精品解析：2025年内蒙古自治区初中学业水平考试数学模拟试卷

2025年内蒙古自治区初中学业水平考试 数学中考模拟试卷（六） （本试卷共18道题 满分100分 考试时间90分钟） 一、选择题（共3小题，每小题3分，共2分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如图所示的几何体是由6个完全相同的小正方体组成的，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据主视图是从前面看到的图形，进行判断即可 ． 【详解】解：由图可知，主视图为：   故选：A ． 2. 若互为倒数，则的值为（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查倒数，熟练掌握倒数的性质是解题的关键．根据题意得到，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知：， ， 故选B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，平方差公式．根据合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，平方差公式，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、与 不是同类项，无法合并，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、 ，本选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，已知，，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先通过内错角相等证明，再结合平行线的性质得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 5. 实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则将化简的结果是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式，根据点在数轴上的位置，确定式子的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴ ； 故选D． 6. 如图1，有一张长、宽的矩形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小矩形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是， 依题意，得：， 化简，得：， 解得：，． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 答：纸盒的底面积是时，纸盒的高为． 故选：B． 7. 如图，点A，B，C，D柜上，点B是的中点，过点C作的切线交的延长线于点E．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，连接并延长与圆交于点F，连接．根据圆周角定理得出，根据圆内接四边形的性质得出，根据切线的性质得出，然后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：连接，连接并延长与圆交于点F，连接． ∵B是的中点， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴． ∵是的切线， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，顶点C在反比例函数的图象上，且．若将该菱形向下平移2个单位长度后，顶点B恰好落在反比例函数的图象上，则反比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由，，可得，则，菱形向下平移2个单位后，顶点B的坐标为，将、代入得，，计算求解即可． 【详解】解：过点作垂直于轴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴该菱形向下平移2个单位后，顶点B的坐标为， 将、代入得，， 解得， ∴， ∴． 故选C 【点睛】本题考查了菱形的性质，正弦、余弦，点坐标平移，反比例函数解析式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 因式分解多项式：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分解因式，先提取公因式，再用完全平方公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 若二次函数，，当时，函数的最小值是m，函数的最小值是n，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质可知两个函数的开口方向和对称轴，当时，可求出两个函数的最小值，然后即可求出答案． 【详解】解：二次函数， 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， 当时，函数值最小，， 二次函数， 抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的水平距离越远函数值越小， ， 当时，函数值最小，， ， 故答案为：． 11. 无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力F为．根据物理知识，F可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与，与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则______（单位：N）（参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先利用平行线的性质得到，再在中利用正弦的定义求出，接着利用平角的定义计算出，然后在中利用余弦的定义求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， 在中，∵， ∴． 故答案为：． 12. 如图，在中，，，，分别是，边上的中点，点在的延长线上，，若，则的长为 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中位线定理，圆的有关概念，勾股定理等知识，取中点，连接，由中位线定理得，又，，则，因为分别是上的中点，所以，从而得，则点在以为圆心，为直径的圆上，如图，然后通过勾股定理即可求解，熟练掌握中位线定理，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，取中点，连接， ∵分别是上的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵分别是上的中点， ∴， ∴， ∴点在以为圆心，为直径的圆上，如图， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算： （1）； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了零指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值和负整数指数幂，解分式方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算零指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值和负整数指数幂，然后计算加减； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 14. 为提升学生的文化认同感，弘扬中华民族传统文化，某校举办了“诗意校园·魅力诗词”古诗词知识竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（分数用表示，总分为分，共分成四组：．；．；．；．，其中分数不低于为优秀）．下面给出部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩为： ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，， 九年级20名学生的竞赛成绩在组中的数据是：8，，，，，． 八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，___________，___________，___________； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的古诗词竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）赛后，学校准备从九年级学生中竞赛成绩位于前四名的甲乙丙丁人中随机选取人作古诗词积累的经验交流，请用列表法或画树状图的方法，求选中的人恰好是丁和乙的概率． 【答案】（1），， （2）九年级的竞赛成绩较好， 理由如下：因为八、九年级学生的古诗词竞赛成绩的平均数相等，而九年级古诗词竞赛成绩的中位数88大于八年级古诗词竞赛成绩中位数，所以九年级学生成绩的高分人数多于八年级（答案不唯一，合理即可）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位数及众数，优秀率分析即可得出结果； （2）根据平均数相等，根据九年级成绩的中位数大于八年级的成绩的中位数，即可求解； （3）画出树状图，根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：根据八年级学生竞赛成绩可知，出现次数最多，则众数为，即， 根据九年级成绩两组的占比为，有人， 九年级20名学生的竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，． ∴第和个数分别为， ∴， 九年级20名学生的竞赛成绩在组和组的人数为， ∴优秀率为 ∴， 故答案为：，，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 画树状图如下： 由图可知，所有等可能的结果共有12种，其中选中的2人恰好是丁和乙的结果有2种， ∴选中的2人恰好是丁和乙的概率为． 15. 小明和爸爸在锡林郭勒游玩时买了两个带智能显温的保温壶，分别记为甲和乙．他们把刚煮好的蒙古锅茶（温度约）同时倒入两壶进行保温测试，发现乙壶保温性能更好.测试中，甲、乙壶内锅茶温度y（单位：）与时间x（单位：）之间都近似满足一次函数关系，其函数图象如图所示．根据相关信息，解答下列问题： （1）当乙壶内锅茶温度是时，甲壶内锅茶温度是多少？ （2）测试多长时间内，这两壶内锅茶的温差不超过？ 【答案】（1） （2）分钟 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是关键． （1）待定系数法求出乙的水温与时间（分）的函数关系式，甲的水温与时间（分）的函数关系式，把代入乙的水温与时间（分）之间的解析式求出的值，再代入甲的解析式即可； （2）根据题意列出不等式解答即可． 【小问1详解】 解：设乙的水温与时间（分）之间的一次函数关系为， ∵图象过，， ∴， 解得， 乙的水温与时间（分）之间的一次函数关系为：． 设甲的水温与时间（分）之间的一次函数关系为， ∵图象过，， ∴， 解得， 甲的水温与时间（分）之间的一次函数关系为：． 当时，， 解得： 当乙壶中的水温是时， 解得 当时，． 答：当乙壶中的水温是时，甲壶中水的温度是． 【小问2详解】 解：根据题意可得：， 解得：． 答：测试分钟内，这两个保温壶的温差不超过． 16. 如图，点I是的内心，的延长线与相交于点F，与的外接圆相交于点D，，连接． （1）求证：； （2）求的长； （3）取弦的中点E，连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵点I是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内心、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据三角形的内心的性质以及角平分线的性质可得，由圆周角定理可得，则，根据角的和差以及等量代换可得，最后根据等角对等边即可证明结论； （2）先说明，然后证明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可； （3）如图：延长到M，使得，连接，易得点I，C，M在以点D为圆心，5为半径的圆上，由圆周角定理可得，根据勾股定理可得，再根据、线段的和差以及等量代换即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴，解得：． 【小问3详解】 解：如图：延长到M，使得，连接， ∵， ∴， ∴点I，C，M在以点D为圆心，5为半径的圆上， ∴是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 17. “综合与实践课上，老师将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，． （1）将和按图2所示方式摆放，点B与点D重合，，在同一条直线上，连接，取的中点G，连接并延长至点H，使，连接，，得到四边形，求证：四边形是正方形． （2）如图3，将和的点B与点F重合，并把绕点B旋转，使点E落在内部． ①当时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N．试猜想线段和的数量关系，并加以证明， ②如图4，当时，过点A作于点H，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵的中点G， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴，， ∴平行四边形是菱形， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴菱形是正方形； （2） ①． 理由：， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ； ② 【解析】 【分析】（1）由，得到四边形是平行四边形，然后由全等得到，，证明出平行四边形是菱形，然后得到，即可证明出菱形是正方形； （2）①由已知得到，再由等积，再结合已知即可证明； ②设的交点为，过点作于点，证明点是的中点，利用三角函数知识求出的长，进而求出的长，利用相似三角形的性质即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②设的交点为，过点作于点， ， ，， ， ， ， ， ， 点是的中点， 由勾股定理得， ， ， ， 即， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理，添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 18. 如图1，抛物线与轴交于点A和点（点A在点的左侧），与轴交于点，，点为抛物线的一个动点（点与A，B均不重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）若与互余，求点坐标； （3）如图2，直线分别与轴交于点E，F，求证：． 【答案】（1） （2）或 （3）证明：由（1）可知， 因为点D是抛物线上的一个动点， 设， 设直线的解析式为： ， 解得， 因为点E在y轴上， 所以 ， 设直线的解析式为：， ， 解得， 因为点F在y轴上， 所以， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）分两种情况：①当点D在下方时，②当点D在上方时，分别 求出点D坐标即可； （3）因为点D是抛物线上的一个动点，设，用待定系数法分别求出直线的解析式，从而得点，直线的解析式，从而得点，继而可求得，，即可得出结论． 【小问1详解】 解：因为抛物线与x轴交于A、B两点，于y轴交于点C， 当时，，解得： 当时， 所以，，， 因为， 所以即， 所以抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：①当点D在下方时，过点C作x轴的平行线，分别过点A，D作的垂线，垂足分别为M，N ∵与互余， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点D是抛物线上的一个动点， 设 ， ∴ 解得， 则， ∴ ②当点D在上方时，连接交x轴于H， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得，解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程， 解得， 所以 综上所述，点D的坐标为或． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数图象交点问题等，综合性强，难度适中． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年内蒙古自治区初中学业水平考试 数学中考模拟试卷（六） （本试卷共18道题 满分100分 考试时间90分钟） 一、选择题（共3小题，每小题3分，共2分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如图所示的几何体是由6个完全相同的小正方体组成的，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 若互为倒数，则的值为（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，，则的度数（ ） A. B. C. D. 5. 实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则将化简的结果是（ ） A. B. C. D. 4 6. 如图1，有一张长、宽的矩形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小矩形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点A，B，C，D柜上，点B是的中点，过点C作的切线交的延长线于点E．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，顶点C在反比例函数的图象上，且．若将该菱形向下平移2个单位长度后，顶点B恰好落在反比例函数的图象上，则反比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 因式分解多项式：_____________． 10. 若二次函数，，当时，函数的最小值是m，函数的最小值是n，则______． 11. 无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力F为．根据物理知识，F可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与，与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则______（单位：N）（参考数据：，） 12. 如图，在中，，，，分别是，边上的中点，点在的延长线上，，若，则的长为 ______ ． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算： （1）； （2）解方程：． 14. 为提升学生的文化认同感，弘扬中华民族传统文化，某校举办了“诗意校园·魅力诗词”古诗词知识竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（分数用表示，总分为分，共分成四组：．；．；．；．，其中分数不低于为优秀）．下面给出部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩为： ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，， 九年级20名学生的竞赛成绩在组中的数据是：8，，，，，． 八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，___________，___________，___________； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的古诗词竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）赛后，学校准备从九年级学生中竞赛成绩位于前四名的甲乙丙丁人中随机选取人作古诗词积累的经验交流，请用列表法或画树状图的方法，求选中的人恰好是丁和乙的概率． 15. 小明和爸爸在锡林郭勒游玩时买了两个带智能显温的保温壶，分别记为甲和乙．他们把刚煮好的蒙古锅茶（温度约）同时倒入两壶进行保温测试，发现乙壶保温性能更好.测试中，甲、乙壶内锅茶温度y（单位：）与时间x（单位：）之间都近似满足一次函数关系，其函数图象如图所示．根据相关信息，解答下列问题： （1）当乙壶内锅茶温度是时，甲壶内锅茶温度是多少？ （2）测试多长时间内，这两壶内锅茶的温差不超过？ 16. 如图，点I是的内心，的延长线与相交于点F，与的外接圆相交于点D，，连接． （1）求证：； （2）求的长； （3）取弦的中点E，连接，若，求的长． 17. “综合与实践课上，老师将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，． （1）将和按图2所示方式摆放，点B与点D重合，，在同一条直线上，连接，取的中点G，连接并延长至点H，使，连接，，得到四边形，求证：四边形是正方形． （2）如图3，将和的点B与点F重合，并把绕点B旋转，使点E落在内部． ①当时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N．试猜想线段和的数量关系，并加以证明， ②如图4，当时，过点A作于点H，若，，求的长． 18. 如图1，抛物线与轴交于点A和点（点A在点的左侧），与轴交于点，，点为抛物线的一个动点（点与A，B均不重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）若与互余，求点坐标； （3）如图2，直线分别与轴交于点E，F，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $