精品解析：江西省金溪县第二中学2023-2024学年八年级下学期期中考数学试卷

2023-2024学年度下学期期中学生学业水平检测八年级数学试卷 考试范围：北师大版八下1~3；总分：120分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A B. C. D. 3. 的三边长分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的为（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 三边长为3、4、5的三角形为直角三角形 C. 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 D. 若，则 5. 如图，在中，，且的面积为，，的垂直平分线分别交，于点，，若点为的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在和中，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分，其中正确的是（　　） A. ①②④ B. ①②③ C. ①②③④ D. ②③④ 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 等腰三角形两边长分别为3，7，则它的周长为______． 8. 如图，在中，边上的垂直平分线交于点D，交于点E，，的周长为，则的长为 ___________． 9. 如图，在中，，以适当长为半径画弧，分别交、于点、，以大于的长为半径画弧，点为线段上一点，若，，则当最小时，的面积为 _______． 10. 如图，一艘轮船以15海里/小时速度由南向北航行，在处测得小岛在北偏西方向上，2小时后，轮船在处测得小岛在北偏西方向上，在小岛周围18海里内有暗礁，若轮船继续向前航行，______触礁的危险．（“有”或“无”） 11. 若关于x的不等式的解都是关于x的不等式的解，则a的范围是______． 12. 在等边三角形中，，于点，点E，F分别是，上的动点，沿所在直线折叠后点C落在上的点处，若是等腰三角形，则____．  三、（共5小题，每小题6分，共30分） 13. 如图，点为平分线上一点，交于点．求证：是等腰三角形． 14. 解不等式组： 并写出它所有正整数解． 15. 如图，在等边中，，点D是线段上的一点，，将绕点A旋转后得到，连接．求的长． 16. 如图，的顶点，，．若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点C的对应点坐标是． （1）画出，并直接写出点的坐标； （2）若内有一点经过以上平移后的对应点为，则点的坐标 　　； （3）若将看成是由经过一次平移得到的，则平移的方向 　　，平移的距离 　　． 17. 如图，这是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1个单位长度、A在格点（小正方形的顶点）上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作，使B，C在格点上，且三边长为不相等的无理数． （2）在图2中作一个面积为的等腰直角三角形，P，Q在格点上． 四、（共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，村和村相距1500米，经过村和村（将，村看成直线上的点）的笔直公路旁有一块山地正在开发，现需要在处进行爆破．处与村的距离为1200米，处与村相距900米． （1）求爆破点处到公路距离． （2）已知爆破点周围750米之外为安全范围．在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 19. 如图，已知直线经过点A，B，直线与该直线交于点C． （1）求直线的表达式； （2）求两直线交点C的坐标； （3）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 20. 如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： （1）； （2）． 五、（共2小题，每小题9分，共18分） 21. 疫情过后，地摊经济逐步步入大众视野，某个体户购买了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进腊梅5束，百合3束，需要118元；若购进腊梅8束，百合6束，需要214元． （1）求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？ （2）若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为28元．结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共90束，计划购买成本不超过1400元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的，两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案． 22. 如图，在中，，D是边上一点，，过点D作于E，过点C作于F． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 五、（共1小题，12分） 23. （1）【问题背景】如图（1），，，，连接．求证：； （2）【问题探究】将图（1）中绕着点A旋转，使点D落在内部，如图（2），其余条件不变，请探究与的关系（数量关系和位置关系），并证明你的结论； （3）【拓展应用】连接图（1）中如图（3），若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度下学期期中学生学业水平检测八年级数学试卷 考试范围：北师大版八下1~3；总分：120分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”和轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记定义是解题关键．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意； 故选：C． 2. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变； (3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、，，故此选项错误，不符合题意； B、，，故此选项错误，不符合题意； C、，，故此选项错误，不符合题意； D、，，故此选项正确，符合题意， 故选：D． 3. 的三边长分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股逆定理以及三角形内角和性质，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、设，则 解得，则，故该选项是符合题意的； B、因为，所以，解得，故该选项是不符合题意的； C、设，则，即，所以是直角三角形，故该选项是不符合题意的； D、因为，所以是直角三角形，该选项是不符合题意的； 故选：A 4. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 三边长为3、4、5的三角形为直角三角形 C. 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了逆命题的概念，判断命题真假，熟练掌握相关知识点是解题关键．先分别写出逆命题，再根据不等式的性质，勾股定理，角平分线的性质，绝对值的意义逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，，则的逆命题是“若，则，” ，则，或，， 逆命题是假命题，不符合题意； B、三边长为3、4、5的三角形为直角三角形的逆命题是“直角三角形的三边长为3、4、5”， 直角三角形的三边长还可以为6、8、10或5、12、13或……， 逆命题是假命题，不符合题意； C、在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上的逆命题是“角的平分线上的点到角的两边距离相等”，是真命题，符合题意； D、若，则的逆命题是“若，则”， ，则， 逆命题是假命题，不符合题意； 故选：C 5. 如图，在中，，且的面积为，，的垂直平分线分别交，于点，，若点为的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，将军饮马问题，理解将军饮马问题，正确添加辅助线是解题关键．连接，，先证明，根据三角形面积公式求出，根据线段垂直平分线的性质得到点C关于直线的对称点为点A，根据，即可求出的周长最小值为10． 【详解】解：连接，． ∵，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∵， ∴的长为的最小值， ∴的周长最小值为． 故选：B． 6. 如图，在和中，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分，其中正确的是（　　） A. ①②④ B. ①②③ C. ①②③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理外角和定理等知识的综合．掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理是解题的关键． 根据题意，可证，可判定结论②，由此可得，再根据三角形的外角可得，可证结论①，过点O作于点G，于点H，可证，根据角平分线的性质可证结论③错误，结论④正确，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； 由三角形外角性质得：， ∴，故①正确； 如图，过点作于点，于点， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，故④正确； ∵， ∴当时，才平分， 假设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 与矛盾，故③不正确； 综上所述，正确的是①②④， 故选：． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 等腰三角形两边长分别为3，7，则它的周长为______． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分腰长为3和腰长为7进行求解即可． 【详解】解：当腰长为3时，，不能构成三角形， ∴腰长为， ∴三角形的周长为； 故答案为：17． 8. 如图，在中，边上的垂直平分线交于点D，交于点E，，的周长为，则的长为 ___________． 【答案】##9厘米 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．先根据线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”可得，再利用的周长为，即可求出的长． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，的周长为， ∴， 解得， 故答案为：． 9. 如图，在中，，以适当长为半径画弧，分别交、于点、，以大于的长为半径画弧，点为线段上一点，若，，则当最小时，的面积为 _______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图，勾股定理，角平分线的性质，掌握勾股定理是解题的关键．根据点为线段上的一个动点，最短，则，由基本尺规作图可知，是的角平分线，根据角平分线的性质可得，证明可得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：点为线段上的一个动点，最短， ， 由基本尺规作图可知，是的角平分线， ， ， ，， ， ，， ， ， 的面积， 故答案为：． 10. 如图，一艘轮船以15海里/小时的速度由南向北航行，在处测得小岛在北偏西方向上，2小时后，轮船在处测得小岛在北偏西方向上，在小岛周围18海里内有暗礁，若轮船继续向前航行，______触礁的危险．（“有”或“无”） 【答案】有 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质．含直角三角形的性质，根据题意过点作，求出的长度与18比较即可． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， 海里， 海里， 海里， 有触礁的危险． 故答案为：有． 11. 若关于x的不等式的解都是关于x的不等式的解，则a的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不等式的解集，先求出两个不等式的解集，根据题意，列出的不等式，求解即可． 详解】解：∵， 解得：； ∵， 解得：， ∵关于x的不等式的解都是关于x的不等式的解， ∴， ∴； 故答案为：． 12. 在等边三角形中，，于点，点E，F分别是，上的动点，沿所在直线折叠后点C落在上的点处，若是等腰三角形，则____． 【答案】，或 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，折叠的性质的运用，勾股定理的应用，二次根式的除法运算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键，注意分情况讨论． 先根据题意和折叠的性质得出，，，由是等腰三角形分三种情况进行讨论，当时，当时，当时，分别求出的长度即可． 【详解】解：在等边三角形中，，， ，，， 沿所在直线折叠后点C落在上点处， ，，， 由是等腰三角形，则 当时，如图： ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 解得：， ； 当时，此时点与点D重合，如图： ； 当时，此时点F与点D重合，如图： ， ， 综上所述：的长度为：，或． 故答案为：，或．  三、（共5小题，每小题6分，共30分） 13. 如图，点为平分线上一点，交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题主要考查等腰三角形的判定，根据平行线的性质、角平分线的性质证明，由等腰三角形的判定即可求解． 【详解】证明：平分， ． ， ， ， ， 是等腰三角形． 14. 解不等式组： 并写出它的所有正整数解． 【答案】；正整数解为：1，2 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及求不等式组的整数解；分别求出每个不等式的解集，再求出解集的公共部分，即可求得正整数解． 【详解】解：解第一个不等式得：； 解第二个不等式得：， ∴不等式组的解集为：， 不等式组的正整数解为：1，2． 15. 如图，在等边中，，点D是线段上的一点，，将绕点A旋转后得到，连接．求的长． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形性质及旋转的性质，熟练掌握等边三角形的性质及旋转的性质是解题的关键．由题意易得，则有，然后由旋转的性质可进行求解． 【详解】是等边三角形， , ∵绕点A旋转后得到， ∴． 16. 如图，的顶点，，．若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点C的对应点坐标是． （1）画出，并直接写出点的坐标； （2）若内有一点经过以上平移后的对应点为，则点的坐标 　　； （3）若将看成是由经过一次平移得到的，则平移的方向 　　，平移的距离 　　． 【答案】（1）图见解析， （2） （3）沿直线的方向，5 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系网格作图，图形的平移；掌握点的平移规律：“左减右加，上加下减．”是解题的关键． （1）按要求作出图形，写出坐标，即可求解； （2）根据点的平移规律：左减右加，上加下减，写出坐标，即可求解； （3）按对应点平移，用勾股定理求出对应点连线段长度，即可求解； 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 由图可知：； 【小问2详解】 解：向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到， ； 故答案为：； 【小问3详解】 解：由勾股定理，得： ； 将看成是由经过一次平移得到，则平移的方向为沿着直线的方向，平移5个单位得到； 故答案为：沿直线的方向，5． 17. 如图，这是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1个单位长度、A在格点（小正方形的顶点）上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作，使B，C在格点上，且三边的长为不相等的无理数． （2）在图2中作一个面积为的等腰直角三角形，P，Q在格点上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握勾股定理． （1）根据要求，结合勾股定理作图即可； （2）作直角边长为的等腰直角三角形即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的三角形． ，，， ∵， ∴为直角三角形； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作的三角形． ，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 四、（共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，村和村相距1500米，经过村和村（将，村看成直线上的点）的笔直公路旁有一块山地正在开发，现需要在处进行爆破．处与村的距离为1200米，处与村相距900米． （1）求爆破点处到公路的距离． （2）已知爆破点周围750米之外为安全范围．在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 【答案】（1）爆破点处到公路的距离为720米； （2）需要封锁的路段长度为420米． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的应用． （1）根据勾股定理逆定理判定是直角三角形，利用三角形的面积公式即可求得米； （2）根据720米米可以判断有危险，根据勾股定理求出，进而求出． 【小问1详解】 解：在中，米，米，米， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， 如图，过C作于D． ∵， ∴ （米）． 答：爆破点处到公路的距离为720米； 【小问2详解】 解：公路有危险而需要封锁． 理由如下：如图，以点C为圆心，750米为半径画弧，交于点E，F，连接，， 由于720米米，故有危险， 因此段公路需要封锁． ∴米， ∴ （米）， 故米， 则需要封锁的路段长度为420米． 19. 如图，已知直线经过点A，B，直线与该直线交于点C． （1）求直线的表达式； （2）求两直线交点C的坐标； （3）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查的是待定系数法求解析式和一次函数与一元一次不等式的关系 （1）利用待定系数法代入求解即可； （2）两直线的解析式联立方程组，解方程组得到点的坐标； （3）根据图象，找出点右边的部分的的取值范围即可． 【小问1详解】 解：直线经过点，， ， 解得， 直线的表达式为； 【小问2详解】 解：直线与直线相交于点， ， 解得， 点的坐标为，； 【小问3详解】 解：由图象可知， 点右边直线在的上面， 不等式的解集为． 20. 如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型：垂线模型，熟悉模型的构成及相关结论是解题关键． （1）证即可求证； （2）由（1）可得，据此即可求证． 【小问1详解】 证明：，， . 在和中， ， . ， ， 即. 【小问2详解】 解：， . 又，， . 五、（共2小题，每小题9分，共18分） 21. 疫情过后，地摊经济逐步步入大众视野，某个体户购买了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进腊梅5束，百合3束，需要118元；若购进腊梅8束，百合6束，需要214元． （1）求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？ （2）若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为28元．结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共90束，计划购买成本不超过1400元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的，两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案． 【答案】（1）腊梅的进价是11元/束，百合的进价是21元/束； （2）当购进腊梅54束，百合36束时，销售的最大利润为738元． 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，一次函数，一元一次不等式组的应用，熟练掌握利润与进购量之间的数量关系是解决问题的关键． （1）设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束，根据题意列出方程组求解即可； （2）设购进腊梅m束，则购进百合束，根据题意列出不等式组求出，然后表示出总利润，然后利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束， 根据题意得：， 解得：． 答：腊梅的进价是11元/束，百合的进价是21元/束； 【小问2详解】 解：设购进腊梅m束，则购进百合束， 根据题意得：， 解得：， 设购进的两种鲜花全部销售完后获得的总利润为w元， 则， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，（元）， 此时（束）． 答：当购进腊梅54束，百合36束时，销售的最大利润为738元． 22. 如图，在中，，D是边上一点，，过点D作于E，过点C作于F． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，勾股定理等等： （1）先证明得到，再由等边对等角推出，进而证明，即可证明． （2）设，则．在中，根据勾股定理，得，解方程求出，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：设． ∵， ∴． 又∵， ∴在中，根据勾股定理，得， ， ∴， ． 五、（共1小题，12分） 23. （1）【问题背景】如图（1），，，，连接．求证：； （2）【问题探究】将图（1）中绕着点A旋转，使点D落在内部，如图（2），其余条件不变，请探究与的关系（数量关系和位置关系），并证明你的结论； （3）【拓展应用】连接图（1）中如图（3），若，请直接写出的值． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）26 【解析】 【分析】（1）根据，可得，由，，证明，即可解决问题； （2）延长交于点，结合（1）证明，然后根据三角形内角和定理可得，进而可得与的关系； （3）结合（1）可得，，然后根据对角线互相垂直以及勾股定理列式，再进行式子的变形，即可作答． 【详解】证明：（1），，， ， ， 在和中， ， ， ； （2），， 证明：如图，延长交于点， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：由（1）得， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， 则，， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转性质，勾股定理，能利用全等三角形的性质和判定得到是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $