1.3勾股定理的应用 培优练习 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

1.3勾股定理的应用 刷基础 知识点1 在几何中的应用 1[2025 浙江温州期中]如图,在 Rt△ABC 中,C=90°,D 为AC 上一点,且 DA=DB=5,若△ABD 的面积为10,则 CD的长为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.4.5 2[2025 江苏南京期中]如图,在长方形ABCD中,AB=9,AD=27,将此长方形折叠,使点 D 与点B 重合,折痕为 EF,则△ABE 的面积为 () A.54 B.90 C.108 D.216 3[2025河北唐山期中]对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O.若AD=4,BC=2,则 [2025河南焦作质检]如图,在△ABC中,AD 是BC边上的高,AB = 13 cm,AC= 15 cm,AD =12 cm,则△ABC 的面积为 cm². [2025 山东烟台期中]如图,在△ABC 中,AB=AC,点E在AC上,CE=5,BC=13,BE=12. (1)判断△ABE的形状，并说明理由； (2)求AB的长. 知识点2 在实际问题中的应用 6[2024广西桂林期中]如图所示，一根长为7 cm的吸管放在一个圆柱形杯中，测得杯的内部底面直径为3c m，高为4 cm，则吸管露在杯外面的最短长度为 cm. 7如图，将一根长为16 cm的橡皮筋固定在笔直的木棒上，两端点分别记为点A，点B，然后将中点 C 向上拉升6 cm 至点D，则橡皮筋被拉长了 . 8[2025 四川成都期末]如图(1)，一台笔记本电脑平放在水平桌面上，其示意图如图(2)，屏幕宽BC为25 cm,当电脑张角为∠ABC时,顶部边缘 C处到桌面的距离CE 为20cm，调整电脑的张角，当张角为∠ABD(点C 与点D 为笔记本顶部边缘同一点)时，顶部边缘 D 处到桌面的距离DF 为 15 cm,则 E 处与 F 处之间的距离EF 长为 cm. [2024广东佛山质检]如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为17米，此人以每秒1米的速度收绳，7 秒后船移动到点 D 的位置，问船向岸边移动了多少米?(假设收绳过程中绳子是直的) 学科网（北京）股份有限公司 刷提升 1[2024 安徽淮南期末，中]如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为 0.7m，顶端距离地面2.4m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面 2m ，则小巷的宽度为 ( ) A.0.7 m B.1.5m C.2.2m D.2.4m 2[2025湖北黄石质检，中]如图，松松在放风筝时(其中∠AEC=90°),测得如下数据:①BD 的长为12m(BD⊥CE);②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 BC 的长为15 m，若松松想使风筝沿 CD方向下降4m，则他应该往回收线 ( ) A.2m B.5m C.5.4m D.3.6m 3[2024 陕西中考,中]如图,在△ABC中,AB=AC,E 是边AB 上一点,连接CE,在 BC 的右侧作BF∥AC,且 BF=AE,连接 CF. 若 AC=13,BC=10,则四边形 EBFC 的面积为 . 4[较难]如图,长方形ABCD中,AB= 3,BC=4,点E是 BC边上一点,连接AE,把∠B 沿AE 折叠,使点 B 落在点B'处.当△CEB'为直角三角形时,BE 的长为 . 刷素养 核心素养应用意识[2025广西防城港期中，中] 【问题情境】消防云梯常用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场.如图，已知一架云梯AB 长25 m，斜靠在一面墙上，这时云梯底端与墙角的距离 OB =20m,∠AOB=90°. 【独立思考】(1)求这架云梯顶部距离地面的高度OA. 【深入探究】(2)消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到A'位置上，则底部B 沿水平方向滑动到B'位置上，若. ,求 BB'的长度. 【问题解决】(3)在演练中，墙边距地面24 m的窗口有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员.经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端到墙的距离不小于云梯长度的 ，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达 24 m高的窗口去救援被困人员? 3 勾股定理的应用 刷基础 1. A 【解析】因为在 Rt△ABC 中,∠C=90°,所以BC⊥AC,即 BC 是△DAB 的高. 因为△DAB 的面积为 10,DA=5,所以 所以BC=4,所以 所以CD=3.故选 A. 2. A 【解析】根据折叠的性质得 DE=BE,设BE=DE=x.因为AD=27,所以AE=AD-DE= 在 中， ，由勾股定理得 所以 解得 所以 所以 12,所以 故选 A. 3.20 【解析】因为 所以 .故答案为20. 4.84 【解析】因为 AD 是 BC 边上的高,所以 所以 '所以 所以. 所以 '的面积为 故答案为84. 5.【解】(1)△ABE 是直角三角形.理由如下:在△BCE中, 所以∠BEC= 90°, 所以 ∠AEB = 90°, 所以△ABE 是直角三角形. (2)设AB=x.因为AC=x,CE=5,所以AE=x-5.在 Rt△ABE 中,由勾股定理得 ,解得x=16.9,所以AB的长为16.9. 6.2【解析】设吸管在杯内部分的最大长度为x cm,则有 解得x=5，所以露在杯外面的最短长度为7-5=2(cm)，故答案为2. 7.4 cm 【解析】由题意知 CD=6cm.在 Rt△ACD 中,根据勾股定理,得 所以AD=10cm,则AD+BD-AB=2AD-AB=20-16=4(cm).故橡皮筋被拉长了4 cm.故答案为4 cm. 8.5 【解析】由题意得 BC=BD=25 cm,CE= 在Rt△BEC 中,由勾股定理,得 所以 BE=15 cm. 在 Rt△BFD中，由勾股定理得 400,所以BF=20cm,所以EF=BF-BE=20-15=5(cm).故答案为5. 9.【解】在 Rt△ABC 中,因为∠CAB=90°,BC=17米,AC=8米,所以 所以AB=15 米.因为此人以每秒1米的速度收绳，7秒后船移动到点 D 的位置，所以CD=17-1×7=10(米),所以 ,所以AD=6米,所以BD=AB-AD=15-6=9(米). 答：船向岸边移动了9米. 刷提升 1. C【解析】如图，由题意知∠ACB=∠BDE=90°,CB=0.7 m,AC =2.4 m,DE =2m . 在Rt△ABC中, 所以 AB =2.5m .因为 AB=BE,所以 BE=2.5m ,所以 所以 BD=1.5 m,所以 CD = CB +BD = 0.7 + 1.5 =2.2(m),即小巷的宽度为2.2m.故选 C. 2. A 【解析】因为 BD⊥CE,所以∠BDC=90°.在Rt△CDB 中,由勾股定理,得 所以CD=9 m.设风筝沿CD方向下降4m 至点 M,连接 BM,如图,则CM=4m,所以DM=CD-CM=9-4=5(m),所以 所以BM=13m,所以BC-BM=15-13=2(m),即松松应该往回收线2m，故选 A. 3.60 【解析】因为 AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.因为BF ∥AC,所以 ∠ACB =∠CBF,所以∠ABC=∠CBF,所以BC平分∠ABF.如图,过点C作CM⊥AB于点 M,CN⊥BF 于点 N,则 CM =CN. 因为 且 AE,所以 所以四边形 EBFC 的面积为 因为 所以. 设 则 .由勾股定理，得 所以 解得 x= 所以 所以 所以 所以四边形 EBFC 的面积为 60.故答案为 60. 或3 【解析】当 为直角三角形时，有以下两种情况： ①当. 时,如图(1)所示,连接AC.在 中， 所以 则 因为 沿AE折叠，使点B落在点. 处，所以. 又因为 所以点A， C共线，即. 沿AE 折叠，使点 B 落在对角线AC 上的点 处，则 所以( 设 则 在 中，因为 所以 解得 即 ②当点 落在AD边上时，如图(2)所示.易知此时四边形， 为正方形， 所以. .综上所述，BE 的长为 或 3.故答案为或3. 刷素养 5.【解】(1)在 中，由勾股定理得 所以 (2)因为( 所以 在 中，由勾股定理得 所以 24m,所以 (3)因为 所以当云梯的顶端到达24 m高的窗口时，云梯的底端与墙的距离为7m.因为 所以在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达24 m高的窗口去救援被困人员. 学科网（北京）股份有限公司 $$