第二十一章 一元二次方程 单元试卷2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十一章 一元二次方程 一、单选题 1．关于方程中，实数，满足，则方程的根情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是（如图）：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 3．若关于x的一元二次方程的常数项为0，则方程的两个根为（   ） A． B． C． D． 4．已知m是一元二次方程的根，则的值是（   ） A．7 B．6 C． D． 5．已知是一元二次方程（）一个根，则一次函数的图象必过定点（   ） A． B． C． D． 6．如图，在长为62m、宽为42m的长方形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为，设道路的宽为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 7．如果关于的一元二次方程 的一个解是，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 8．某戏院举办文艺演出，经调研，当票价为每张30元时，1200张门票可以全部售出；票价每增加1元，售出的门票就减少20张．若涨价后，门票总收入达到38500元．设票价每张x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 9．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（    ） A．或1 B．1 C． D． 二、填空题 11．若是关于x的方程的解，则的值是 12．若是方程的一个根，设，则M与N的大小关系为M N（填“>”“<”或“=”）． 13．如图，点在矩形的边上，连接，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，连接．若，，则的长为 ． 14．图①为淮安清晏园中的曲桥，桥身蜿蜒曲折，与周围亭台阁楼相映成趣．图②是某景区池塘的示意图，点与点由段曲桥连接，各段桥长如图所示（单位：），桥中各弯曲处均成直角．若边与边垂直，边比边长，则 15．若k，b是一元二次方程的两个实数根（），在一次函数中，随的增大而减小，则一次函数的图象一定经过第 象限． 三、解答题 16．解方程 (1) (2) 17．某校九年级学生陈强和张红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为6元/千克，下面是他们在活动结束后的对话． 陈强：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可获取利润800元． 张红：我通过调查验证，发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在（k是常数，且）的关系． (1)求y（千克）与x（元）的函数关系式： (2)求当销售单价为多少元时，该超市销售这种水果每天可以获得980元的利润？[利润=销售量×（销售单价－进价）]． 18．电影《哪吒之魔童闹海》是一部大型的动画电影题材影片，该片以神话人物为背景，讲述一个感人的故事，影片于2025年1月开始上映后，深受人们的喜爱，票房过百亿．某影院开展“优惠”系列活动，对团体购买该电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价18元，这样按原定票价需花费5000元购买的门票张数，现在只花费了3200元． (1)求每张电影票的原定零售票价； (2)为了进一步回馈观众，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张元，求原定零售票价平均每次降价的百分率． 19．某商店销售一种商品，每件的进价为20元．根据市场调查，当售价不低于30元/件时，这种商品销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系的部分图象如图所示． (1)求y关于x的函数解析式；（不需要写自变量取值范围） (2)若商店销售这种商品获得利润625元，则应该定价多少元？ (3)若商店要利润达到最大，则商店应定价多少？最大利润为多少？ 20．已知甲、乙两种玩具每件的进价分别为10元和15元．经市场调查发现，甲种玩具每天的销量（单位：件）与每件售价x（单位：元）的函数关系为，乙种玩具每天的销量（单位：件）与每件售价z（单位：元）之间是一次函数关系，其部分数据如下表： 每件售价z （单位：元） … 20 25 30 销量y₂ （单位：件） … 100 80 60 其中x、z均为非负整数．商店按照每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍来确定甲、乙两种玩具的销售单价，且销售单价高于进价． (1)直接写出乙种玩具每天的销量y₂与每件售价z的关系式是 ；甲种玩具每件售价x与乙种玩具每件售价z的关系式是 （用x表示z） ； (2)当甲种玩具的总利润为800元时，求乙种玩具的总利润是多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据条件，将方程的判别式用表示，化简后判断其符号即可确定根的情况． 【详解】解：方程的判别式为， 由条件，得，代入中：， 由于，故，即． 因此，方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 2．B 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，在中，利用勾股定理列出关系式，把各自的长度代入，化简后与已知方程比较，即可确定出所求． 【详解】解：在中， 根据勾股定理得：， ∵，， ∴， 整理得：， 比较方程，可得的长是方程的一个正根， 故选：B． 3．D 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程．根据常数项为0求出m的值，代入方程后解方程即可． 【详解】解：∵方程常数项为， ∴由题意得，解得：， ∵， ∴， ∴方程为：， 提公因式得：， ∴或， ∴方程的两个根为，， 故选：D． 4．A 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入一元二次方程得到，然后利用代数式变形可得到，最后整体代入即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴原式， 故选：A 5．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，一次函数的定义，根据题意得当时，，即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程（）一个根， ∴ ∴ ∴一次函数的图象必过定点 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了平移，根据实际问题列一元二次方程，利用平移，黑色道路的面积为，剩下道路的面积为，利用草坪的面积为，即可列出方程． 【详解】解：设道路的宽为，如图， 黑色道路的面积为，剩下道路的面积为， 则， 变形得 ，， 故选：A． 7．A 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键； 根据题意可以得到，对变形即可求解； 【详解】解：关于的一元二次方程 的一个解是， 把代入得， ， 故选：A 8．B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． 设票价每张x元，根据票价×销售的票数=获得门票收入，即可列出一元二次方程． 【详解】解：设票价每张x元，由题意可得， 故选：B． 9．C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 10．B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，绝对值，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，根据一元二次方程的定义得出且，即可求出m的值． 【详解】解：若方程是关于x的一元二次方程， 则， 解得或， ， ， ， 故选：B． 11．2021 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，理解一元二次方程的解的意义是解题的关键． 根据一元二次方程的解得到，将其代入中求解，即可解题． 【详解】解：是关于x的方程的解， ， 整理得， 则， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键． 利用作差法进行计算比较． 【详解】解：是方程的一个根， ，即． =0， ． 故答案为：=． 13．/ 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、解方程等，能熟练掌握并灵活运用相关知识点是解题的关键． 根据矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、解方程等进行推导即可求得答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ，， ∴ ∵由矩形的性质、折叠的性质可知，、 ∴ ∴设为，则、 ∵在中， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 14．9 【分析】本题考查了勾股定理，平移的性质，解一元二次方程，根据题意设，则，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，作交的延长线于点，连接 设，则，依题意得 解得：或（舍去） 故答案为：． 15．一、二、四 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一次函数的性质，由一元二次方程根与系数的关系可得，由一次函数的性质可得，从而可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵k，b是一元二次方程的两个实数根（）， ∴， ∵， ∴， ∵在一次函数中，随的增大而减小， ∴， ∴， ∴一次函数的图象一定经过第一、二、四象限， 故答案为：一、二、四． 16．(1) (2)，． 【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． （2）运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 去分母得， ∴， 解得， 经检验：当时， ∴是原分式方程的解； （2）解：， ∴， 则， 解得，． 17．(1) (2)当销售单价为元时，该超市销售这种水果每天可以获得980元的利润． 【分析】本题考查了一次函数和一元二次方程的应用，熟练掌握利润的计算公式是解题关键． （1）先求出当时，，再根据利润的计算公式建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （2）销售利润等于销售量乘以每千克的利润等于总利润列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：当时，， 则可列方程为， 解得， 则． （2）由题意可得， 解得， 答：当销售单价为元时，该超市销售这种水果每天可以获得980元的利润． 18．(1)每张零售电影票的原定价为元 (2)原定零售票价平均每次的下降率为 【分析】本题主要考查了分式方程和一元二次方程的实际应用， （1）设每张零售电影票的原定价为x元，根据“在原定零售票价基础上每张降价元，这样按原定票价需花费元购买的门票张数，现在只花费了元”列方程，即可求解； （2）设原定零售票价平均每次的下降率为m，根据“原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设每张零售电影票的原定价为x元，则题意可得， ， 解得：， 经检验，是原方程的根且符合题意， 故每张零售电影票的原定价为元． （2）设原定零售票价平均每次的下降率为m， 由题意得：， 解得，（不合题意，舍去）， 即原定零售票价平均每次的下降率为． 19．(1) (2)应该定价45元 (3)商店应定价35元时，利润最大，最大利润为1125元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，配方法的意义，一元二次方程的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式和列出方程求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意总利润等于单件商品的利润乘以销售量，据此列出方程求解即可； （3）根据题意总利润等于单件商品的利润乘以销售量，设出总利润关于x的关系式，再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数解析式为， 把图象上两点，代入， 得， 解得， 与之间的函数解析式为； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得（舍去）或， 答：应该定价45元； （3）解：设商店的利润为W元， 由题意得 ， ∵， ∴，当且仅当，即时取得等号， ∴商店应定价35元时，利润最大，最大利润为1125元． 20．(1)；； (2)乙种玩具的总利润是800元 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一元二次方程的应用，有理数混合运算的应用，理解题意是解题关键． （1）设每天的销量与每件售价z的函数关系式为，利用待定系数法即可求解；分别表示出甲、乙两种玩具每件的利润，再根据每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍，即可得到关系式； （2）先根据甲种玩具的总利润列一元二次方程，求出甲种玩具每件的售价，进而求出乙种玩具每件的售价，即可得出乙种玩具的总利润． 【详解】（1）解：设每天的销量与每件售价z的函数关系式为， 则，解得：， 即每天的销量与每件售价z的关系式是； 甲、乙两种玩具每件的进价分别为10元和15元． 甲、乙两种玩具每件的利润分别为元和元， 每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍， ， ， 故答案为：；； （2）解：甲种玩具的总利润为800元， 则， 解得：，即甲种玩具每件的售价为元， ，即乙种玩具每件的售价为元， 乙种玩具的总利润是元， 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$