精品解析：山东省泰安市新泰中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题

新泰中学2024级高一下学期期末仿真模拟测试 数学试题 一、单选题 1. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 2. 甲乙两人进行三分远投比赛，甲、乙每次投篮命中的概率分别为0.5和0.4，且两人之间互不影响.若两人分别投篮一次，则两人中至少一人命中的概率为（ ） A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件的乘法公式可求得结果 【详解】由题意两人中至少一人命中的概率为 . 故选：B. 3. 已知，是不同的直线，，，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系，逐一核对四个选项得答案． 【详解】对于A，若，，则可以平行、相交、异面,故A错误； 对于B，若，，和可以相交，也可以平行，故B错误； 对于C，若，，则或，故C错误； 对D，若，设与的交线为m，与的交线为n， 在平面内取，在平面内取，与l不重合， 由面面垂直的性质可得，所以， 又，所以，由线面平行的性质定理得， 所以有，故D正确.    故选：D. 4. 某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1~8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球.事件“取出的小球编号为奇数”，事件“取出的小球编号为偶数”，事件“取出的小球编号小于6”，事件“取出的小球编号大于6”，则下列结论错误的是（ ） A. 与互斥 B. 与互为对立事件 C. 与互为对立事件 D. 与相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出样本空间和事件、、、即可根据互斥事件和对立事件的概念去进行判断. 【详解】由题意抽奖者从中任取一个球的样本空间为， 事件表示，事件B表示，事件C表示， 事件D表示， 且所以与互斥；与互为对立事件；故选项A,B正确， 且，所以事件C与事件D不为对立事件，故选项C错误； 故事件B和事件D为独立事件，故选项D正确. 故选：C. 5. 在中，，，为角，，对应的边，则“”是“为直角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理及两角和与差的正弦公式即可证明充分性，举例子当时，结论不一定成立，否定必要性. 【详解】因为， 由正弦定理得，且， 所以， 化简得 又， 所以， 又，即；充分性得证. 若为直角三角形，则当时，结论不一定成立，必要性不成立. 故选：A. 6. 从1，2，3，4，5这5个数中随机选出2个数，则这2个数都是偶数的概率为（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.1 【答案】D 【解析】 【分析】先求出从5个数中随机选出2个数，共有种情况，再求出从2个偶数中选2个，有种情况，即可得答案. 【详解】这5个数中2，4为偶数，从这5个数中随机选出2个数共有种情况，其中都是偶数的有种情况， 则所求概率. 故选：D. 7. 如图，圆台的轴截面是等腰梯形，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成角的正切值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过作，连接.证明平面，即直线与平面所成的角即. 【详解】过作，连接. 因为为圆台的轴截面， 所以平面平面, 因为平面平面,平面， 所以平面， 所以直线与平面所成的角即. 因为且， 则,，， 所以. 故选：D. 8. 在平行四边形中，，，，是以为圆心，为半径的圆上一动点，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用余弦定理求出，易得，以C为坐标原点建立平面直角坐标系，设，根据平面向量线性运算的坐标表示结合三角函数即可得解. 【详解】由题意， 在中，由余弦定理得， 所以， 则，故， 如图，以C为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，，，设， 故，，， 又， 即， 所以，所以， 所以，其中， 当且仅当时，取最大值，且它的最大值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键. 二、多选题 9. 在正三棱柱中，D为BC的中点，则（ ） A. B. 平面 C D. 平面 【答案】BD 【解析】 【分析】法一：对于A，利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于B，利用线面垂直的判定与性质定理即可判断；对于D，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C，利用反证法即可判断；法二：根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面， 又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以， 则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则，， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于D，因为在正三棱柱中， 又平面平面，所以平面，故D正确； 对于C，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故C错误； 故选：BD. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为， 则， 对于A，， 则， 则不成立，故A错误； 对于BD，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则， 所以，， 则平面，平面，故BD正确； 对于C，， 则，显然不成立，故C错误； 故选：BD. 10. 四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，判断可能出现了点数6的是（ ） A. 中位数为3，极差为3 B. 平均数为2，第百分位数为4 C. 平均数为3，中位数为4 D. 平均数为3，方差为1 【答案】AC 【解析】 【分析】举例判断A，C正确，举反例判断D错误，利用百分位数结合平均数的性质判断B即可. 【详解】对于A，易得满足题意； 对于B，因为第百分位数为4，若有点数6， 则，故平均数不可能为2，故B错误； 对于C，易得满足题意； 对于D，若出现点数6，则，不符合题意， 故选：AC. 11. 如图所示，在直角梯形中，，，分别是，上的点，且，，将四边形沿向上折起，连接，，.在折起的过程中，下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 与所成的角先变大后变小 C. 几何体体积有最大值 D. 平面与平面不可能垂直 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：借助线面平行的判定定理推导即可得；对B： 借助线面垂直的性质定理得到后，结合， 即可得与所成的角即为与所成角，由题意可得随翻折角增大，逐渐变小，即可得所成的角的变化； 对C：借助割补法表示出体积后，结合体积公式计算即可得；对D：借助反证法，假设平面与平面垂直， 从而借助面面垂直的性质定理于线面垂直的性质定理可得，其与矛盾，即可得证. 【详解】对A：延长与延长线交于，连接，， 由题意可得且，则可得、分别为、中点， ，又， 为平行四边形，，又平面，平面， 平面，故A正确； 对B：，，，， 又，平面，平面， 又平面，，随翻折角增大，逐渐变小， 所以与所成角即与所成角逐渐变小，故B错误； 对C：由，则， 则 ， 其中为点到平面距离，则，故； 故C正确； 对D：若平面平面，过作于点， 由平面平面，平面平面，平面， 则平面，又平面，， ，，则， 又，平面，， 平面，又平面，， ，平面， 平面，又平面，， 又由B选项知，与矛盾， 故平面与平面不垂直，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：D选项中关键点在于借助反证法，假设平面与平面垂直，从而借助面面垂直推导出矛盾之处即可得. 三、填空题 12. 已知平面向量若，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 13. 已知圆锥体积为，表面积是底面积的倍，则该圆锥的母线长为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的表面积公式和体积公式计算即可. 【详解】设圆锥底面半径为，高为，则母线， 由题，解得， 所以母线. 故答案为：. 14. 在正三棱柱中，，为线段上动点，为边中点，则三棱锥外接球表面积最小值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】建立边长和O到平面ABD距离为OF的函数关系，结合基本不等式，求解出最小值，建立外接球半径的函数，从而求解外接球半径的最小值，从而求出外接球表面积的最小值. 【详解】由正三棱锥的侧棱垂直于底面的性质，设球心O到平面ABD距离为，设， 有因为为直角三角形，则经过直角三角形斜边中点，即为中点. 故取的中点设为，则由正三角形求解高知如图，设， 设球心O到平面ABD距离为OF，设 ，， ， 当且仅当时即取“=”. ，. 故最小为. 故答案为：. 【点睛】立体图形平面化，结合函数和基本不等式的知识求解是问题的关键. 四、解答题 15. 某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）； （2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从，，三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人．求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率． 【答案】（1）83.3；84 （2） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图计算可得x，再借助百分位数的定义与平均数定义计算即可得： （2）先借助分层随机抽样定义计算出从，，三层中抽取的人数，并给抽取出的人数进行编号，结合古典概型公式，计算出所有可能的样本空间数即符合要求的样本空间数即可得． 【小问1详解】 ，则， ；， 故40百分位数在层，则40百分位数为， 平均数； 【小问2详解】 因为按比例分配的分层随机抽样，故，，三层中抽取的样本量分别为： ，，， 从这6人中随机抽取两人，记中抽取的人编号为1，抽取的人编号为2、3，抽取的人编号为4、5、6， 记事件 “抽取的两人都及格” ， 所以； ，所以； ∴． 16. 在中，为角对应的边，为的面积．且． （1）求； （2）若，求内切圆半径的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据三角形的面积公式结合正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解； (2)根据，可得，再根据余弦定理将用表示，再化简，结合基本不等式即可得解． 【小问1详解】 因为， 所以， 由正弦定理得， 整理得， 由余弦定理得， 又，所以； 【小问2详解】 设内切圆的半径为r， 则， 所以， 又，所以， 则， 由，得， 当且仅当时取等号， 所以， 即内切圆半径的最大值为． 17. 如图，四边形为矩形，直线垂直于梯形所在的平面.，是线段的中点，，. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用中位线易由线线平行证明线面平行； （2）利用等体积法来求点到面的距离即可. 【小问1详解】 设CP与ED相交于O，连接OF， ，， 又平面DEF，平面DEF，平面DEF 【小问2详解】 设A到平面PCB距离为h， 在梯形中，， ， 又平面，， ， 又因为平面，平面，所以， 则；又有；， 所以有，即，， 而， 又F为PA中点，故点F到平面BCP的距离. 18. 如图，在平行四边形ABCD中，，垂足为. （1）若，求AP的长； （2）设， ①用向量表示向量； ②求的值. 【答案】（1）2 （2）； 【解析】 【分析】（1）利用线性运算将转化为，然后根据和得到，然后求即可； （2）①根据向量的减法结合线性关系计算即可；②根据三点共线得到，根据数量积公式得到，，即可得到，然后解方程即可. 【小问1详解】 在平行四边形中，，垂足为， ， ， 解得，故长为2. 【小问2详解】 ① ②，且三点共线， ， 又， 则， 由可知， 展开，化简得到 联立解得，故. 19. 如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱，上的点，点是线段的中点，． （1）求证平面； （2）求与所成角的余弦值； （3）若，求多面体的体积. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接；证明，根据线面平行判定定理证明平面. （2）根据异面直线夹角定义证明为直线与所成角，解三角形求其余弦值即可. （3）求出四棱锥及三棱柱的体积，再利用割补法求出多面体的体积. 【小问1详解】 取的中点，连接， 由分别为的中点，得，， 而，且，则，且 ， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）知，，则为直线与所成角， 由平面，，得平面，而平面， 则，，， 直角梯形中，， 则， 在中，由可得， 在中，，， 在中，，， 所以与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 在棱柱中，取中点，连接，则， 由平面，平面，得，而， 平面，则平面，而，， 四棱锥的体积，由，得， 三棱柱的体积， 所以多面体体积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新泰中学2024级高一下学期期末仿真模拟测试 数学试题 一、单选题 1. 虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 2. 甲乙两人进行三分远投比赛，甲、乙每次投篮命中的概率分别为0.5和0.4，且两人之间互不影响.若两人分别投篮一次，则两人中至少一人命中的概率为（ ） A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9 3. 已知，是不同直线，，，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 4. 某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1~8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球.事件“取出的小球编号为奇数”，事件“取出的小球编号为偶数”，事件“取出的小球编号小于6”，事件“取出的小球编号大于6”，则下列结论错误的是（ ） A. 与互斥 B. 与互为对立事件 C. 与互为对立事件 D. 与相互独立 5. 在中，，，为角，，对应的边，则“”是“为直角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 从1，2，3，4，5这5个数中随机选出2个数，则这2个数都是偶数的概率为（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.1 7. 如图，圆台的轴截面是等腰梯形，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成角的正切值为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 在平行四边形中，，，，是以为圆心，为半径的圆上一动点，且，则的最大值为（ ） A B. C. D. 二、多选题 9. 在正三棱柱中，D为BC的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 10. 四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，判断可能出现了点数6的是（ ） A. 中位数为3，极差为3 B. 平均数为2，第百分位数为4 C. 平均数3，中位数为4 D. 平均数为3，方差为1 11. 如图所示，在直角梯形中，，，分别是，上的点，且，，将四边形沿向上折起，连接，，.在折起的过程中，下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 与所成的角先变大后变小 C 几何体体积有最大值 D. 平面与平面不可能垂直 三、填空题 12. 已知平面向量若，则___________ 13. 已知圆锥体积为，表面积是底面积的倍，则该圆锥的母线长为_____________. 14. 在正三棱柱中，，为线段上动点，为边中点，则三棱锥外接球表面积的最小值为_____________. 四、解答题 15. 某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）； （2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从，，三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人．求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率． 16. 在中，为角对应的边，为的面积．且． （1）求； （2）若，求内切圆半径的最大值． 17. 如图，四边形为矩形，直线垂直于梯形所在的平面.，是线段的中点，，. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 18. 如图，在平行四边形ABCD中，，垂足为. （1）若，求AP的长； （2）设， ①用向量表示向量； ②求的值. 19. 如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱，上的点，点是线段的中点，． （1）求证平面； （2）求与所成角的余弦值； （3）若，求多面体的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$