1.3 集合的基本运算 （第2课时）（教学课件）数学人教A版2019必修第一册

第 1 章 集合与常用逻辑用语 人教A版2019必修第一册 1.3集合的基本运算(第2课时)全集、补集及综合运用 目录 CATALOG 01.全集与补集 03.典型例题分析 02.交·并·补集的综合运算 04.小结及随堂练习 学习目标 1.理解全集和补集的含义，能求给定集合的补集。 2.掌握集合的交、并、补综合运算，能使用Venn图、数轴等工具表达集合的基本关系与基本运算。 3.提升数学抽象素养，通过类比实数运算，理解集合运算的定义和性质； 培养逻辑推理能力，推导补集的性质；提高数学运算能力，求解补集及相关参数问题；增强数据分析能力，通过补集的性质列不等式组解决问题；培养数学建模能力，用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。 01 全集与补集 集合的基本运算(第2课时)全集、补集及综合运用 导入新知 问题情境引入：垃圾分类中的集合智慧 同学们，大家都知道垃圾分类是我们生活中非常重要的一项环保行动。现在，我们来思考一个垃圾分类中的问题。 假设我们有一个小区，小区里有100户居民。为了更好地进行垃圾分类，小区物业决定对居民的垃圾进行分类收集。他们将垃圾分为三类：可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾。现在，我们来定义几个集合： 集合U：小区内所有居民产生的垃圾。 集合A：小区内所有居民产生的可回收垃圾。 集合B：小区内所有居民产生的有害垃圾。 集合C：小区内所有居民产生的其他垃圾。 问题1：如果小区内所有居民都按照规定将垃圾正确分类，那么集合A、B、C与集合U之间有什么关系呢？ 集合A、B、C是集合U的子集，且它们之间没有交集，即A∩B=∅，A∩C=∅，B∩C=∅。同时，集合A、B、C的并集等于集合U，即A∪B∪C=U。 导入新知 问题2：现在，物业发现有些居民没有将有害垃圾正确分类，导致有害垃圾混入了其他垃圾中。那么，我们如何用集合的语言来描述这个问题呢？ 我们需要找到集合B与集合C的交集，即B∩C，然后将这些垃圾重新分类。同时，我们需要找到集合B的补集，即∁UB，也就是所有不属于有害垃圾的垃圾，将它们重新分类为可回收垃圾或其他垃圾。 集合B与集合C有交集，即B∩C≠∅。这就意味着有些垃圾既属于有害垃圾，又属于其他垃圾，这是不符合规定的。 问题3：为了纠正这个问题，物业决定对所有垃圾进行重新分类。那么，我们如何用集合的语言来描述这个重新分类的过程呢？ 导入新知 问题4：已知一个班有30人，其中5人有兄弟，5人有姐妹，你能判断这个班有多少是独生子女吗？如果不能判断，你能说出需哪些条件才能对这一问题做出判断吗？ 如果注意到“有兄弟的人也可能有姐妹”，我们就知道，上面给出的条件不足以判断这个班独生子女的人数，为了解决这个问题，我们还必须知道“有兄弟且有姐妹的同学的人数”。 通过本小节集合运算的知识，我们就能清晰地描述并解决上述问题了。 导入新知 在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的范围． 例如：从小学到初中，数的研究范围逐步地由自然数到正分数，再到有理数， 引进无理数后，数的研究范围扩充到实数．在高中阶段，数的研究范 围将进一步扩充． 一般地，如果一个集合包含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universe set），通常记作U． 学习新知 通常也把给定的集合作为全集． 补集的 Venn图表示 说明：补集的概念必须要有全集的限制 牛刀小试 补集的概念及运算 牛刀小试 补集的概念及运算 牛刀小试 补集的概念及运算 学习新知 1.全集：若一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，则称该集合为 全集，通常记为U. 2.补集：由全集U中不属于A的所有元素组成的集合，称为集合A相对于全集 U的补集，简称集合A的补集。 (1)符号语言： CUA={x|x∈U,且x∈A} ①A∪(CUA)=___ (3)性质： A ∩ (CUA)=___ (2)图形语言： A C UA U Ø ②CU(CUA)=___ CUU=___ CUØ=___ A Ø U 牛刀小试 补集的概念及运算、交集的概念及运算 牛刀小试 交并补混合运算、补集的概念及运算、交集的概念及运算 牛刀小试 交并补混合运算 A C UA 补集知识总结 (1)“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题加以选择的． (2)补集是集合之间的一种运算关系，求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同，因此它们是相互依存、不可分割的两个概念． (3)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． UA C 02 交·并·补集的综合运算 集合的基本运算(第2课时)全集、补集及综合运用 应用新知 【解析】根据题意可知，U={1，2，3，4，5，6，7，8}，所以： ={1，2，7，8} ={4，5，6，7，8}， 应用新知 求集合补集的策略一 如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解，这样处理相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错． 方 法 一 方 法 二 牛刀小试 交并补混合运算 牛刀小试 补集的概念及运算、交集的概念及运算 应用新知 应用新知 【变式2】设全集，，，求，. 【解析】 当集合是用列举法表示时，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时（如不等式形式表示的集合），可运用数轴求解，注意端点值的取舍． CUA={0,1,4} 应用新知 M={0,3} 【练习】 ①若全集U={0,3,6,9}, M={x|x2+ax=0}, CUM={6,9}, 则a=____. ②若A={x|x>1}，则CRA=_________. ③若B={x|1<x≤3}，则CUB=_______________. ④若U={0,1,2,3,4}, A={2,3}, B={1,2,4}, 则B∩(CUA)=________. ⑤若全集U={1,2,a2－2a+3},A={1,a},CRA={3},则实数a=______. 求集合补集的策略二 如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解． -3 {x|x≤1} {x|x≤1或x>3} {1,4} 2 牛刀小试 根据交并补混合运算确定集合或参数 牛刀小试 根据交并补混合运算确定集合或参数 总结新知 补集及其运算性质： A C UA （1）； （2）U； （3）； （4）； （5）； （6）; 03 题型强化训练 集合的基本运算(第2课时)全集、补集及综合运用 能力提升 题型一：补集的运算 求集合补集的方法: (1) 定义法：当集合中元素较少时，可利用定义直接求解． (2) Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集． (3) 数轴法：当集合中的元素无限时，可借助数轴，需注意端点问题 能力提升 题型二：集合的交、并、补集的综合运算 解决集合运算问题的方法： (1)要进行集合运算时，首先必须熟练掌握基本运算法则，可按照如下口诀进行：交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集. (2)解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分，如求(CUA)∩B时，先求出CUA和B再求交集；求CU(A∪B)时，先求出A∪B，再求补集. (3)当集合是用列举法表示时(如数集)，可以通过列举集合分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合)，则可运用数轴求解. C 能力提升 解决集合运算问题的方法 要进行集合运算时，首先必须熟练掌握基本运算法则，可按照如下口诀进行：交集元素仔细找，属于且属于；并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一；全集是大范围，去掉中元素，剩余元素成补集. 解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分，如求时，先求出，再求交集；求时，先求出，再求补集. 当集合是用列举法表示时(如数集)，可以通过列举集合分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合)，则可运用数轴求解. 能力提升 题型三：与补集有关的参数值(范围)问题 由集合的补集求解参数的方法 (1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集的定义并结合集合知识求解. (2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解. 04 小结及随堂练习 集合的基本运算(第2课时)全集、补集及综合运用 课堂小结 课堂小结 一、全集的概念： 一般地，如果一个集合包含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universe set），通常记作U． 二、补集的概念： 对于一个集合A , 由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集． 记作 ，即 ． 三、求补集的基本策略： 当集合是用列举法表示时，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时（如不等式形式表示的集合），可运用数轴求解，注意端点值的取舍． 四、补集的性质： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； ． 作业 (1)整理本节课的题型； (2)课本P13的练习1-3题； (3)课本P14的习题1.3的4、6题. 集合的基本运算(第2课时)全集、补集及综合运用 教材P13练习及参考答案 教材P13练习及参考答案 A B U A B U A B U A B U 教材P14习题1.3及参考答案 教材P13练习及参考答案 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B 教材P14习题1.3及参考答案 A B 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 【练习1】设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则 (　　) A．∅ B．{2} C．{5} D．{2，5} 【解析】 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 , 故选B． 【练习2】已知全集 ， ， ，则下图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【解析】由图可知阴影部分表示的集合为 ， 而 或 ，故 ， 故选：A 【练习3】设全集为 ，则 ( ) A．     B．     C．     D． 【解析】∵ ， ∴ 故选：C． 【练习4】已知集合 ， ，则 （    ） A． B． C． D． 【解析】 ， ， 所以 ． 故选：D． 【练习5】设全集 ， ，则 ）等于（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意 ，则 ， 故 ， 故选：C 【练习6】设全集 ，则 等于（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意，集合 ， 则 ，所以 . 故选：D 不属于 {x|x∈U，且x∉A} eq \a\vs4\al(U) eq \a\vs4\al(A) eq \a\vs4\al(U) eq \a\vs4\al(∅) 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中 集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作 . 符号 语言 CUA＝ . 图形 语言 运算 性质 CUA⊆U，CUU＝∅，CU∅＝ ，CU(CUA)＝ ， A∪(CUA)＝ ，A∩(CUA)＝ . 【变式1】已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}， 则集合B＝________. 【解析】∵A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}， ∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}． 又∁UB＝{1,4,6}， ∴B＝{2,3,5,7}． 借助Venn图，如图所示． 由图可知B＝{2,3,5,7}． {2,3,5,7}　 【练习7】已知全集 ，集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 【解析】因为 ，又全集 ， 所以 . 故选：B 【练习8】已知全集 ， ， ，则 （    ） A． B． C． D． 【解析】因为 ， ， 所以 ， 又全集 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 , 故选：C 【练习9】已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}，若 有三个元素， 则实数m的取值范围是（　　） A．[3，4） B．[1，2） C．[2，3） D．（2，3] 【解析】根据题意则A={0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}， ， 若 有三个元素，则有 ，即实数m的取值范围是[2，3） 【练习10】已知集合 ，且 ，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】由 得 或 ． 又 ，所以 ，故 ． 【练习1】若集合A＝{x|－1≤x<1}，当U＝{x|x≤2}时，∁UA＝_____. 【解析】　当 时，把集合U和A表示在数轴上，如图所示． 由图知 或 . 【练习2】已知集合 ，则 等于(　　) A. B. C. D. 【解析】因为 所以 ，所以 ． 【练习3】已知全集 ,集合 或 , 若 ,求实数 的取值范围. 【解析】因为 或 ,所以 , 因为 ,所以 . 当 时,即 ,所以 ,满足 . 当 时,则 无解. 故实数 的取值范围是 . $$