2025年高三数学秋季开学摸底考（上海专用）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷（上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考除选修二第七、八章的全部内容 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已如集合，则______ 2．不等式的解集是______ 3．已知点，则的单位向量为（用坐标表示）________ 4．已知，若实数满足，则________ 5．如图中，，在三角形内挖去一个半圆（圆心在边上， 半圆与、分別相切于点交于点），则图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为______. 6．已知 ，且，则 的最大值为_______. 7．将六个字母排成一排，若均互不相邻且在的同一侧， 则不同的排法有________种．（用数字作答） 8．袋中有一个白球和一个黑球，一次次地从袋中摸球，如果取出白球，则除把白球放回，再加进一个白球，直至取出黑球为止，则取了N次都没有取到黑球的概率是___________. 9．已知定义在上的函数满足，当时，， 则方程有_________个根. 10． 在平面直角坐标系中，已知，是上的两个不同的动点， 满足，且恒成立，则实数最小值是________ 11．已知等比数列严格增，且．记为在区间（为正整数）中的项的个数，则数列的前2023项的和为 ． 12． 陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印信（如图1），它的形状可视为 一个26面体，由18个正方形和8个正三角形围成（如图2），已知该多面体的各条棱长均为1， 且各个顶点在同一球面上；则此球的半径 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h）， 得如图所示茎叶图，则下列结论中错误的是（   ） A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4 B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数约为8.60（按四舍五入精确到0.01） C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值小于0.4 D．乙同学周课外体育运动时长的方差约为0.80（按四舍五入精确到0.01） 14．已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象 不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．设等比数列的前项和为，设甲：，乙：是严格增数列，则甲是乙的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 16．已知定义在上的函数． 对任意区间和，若存在开区间，使得，且对任意（）都成立，则称为在上的一个“M点”． 有以下两个命题：①若是在区间上的最大值，则是在区间上的一个M点； ②若对任意，都是在区间上的一个M点，则在上严格增．那么（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图所示三棱锥，底面为等边，O为AC边中点，且底面ABC， (1) 求三棱锥体积；（2）若M为中点，求与面所成角大小. 18．已知函数其中，，（1）若求的值； （2）在（1）的条件下，若函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式； 并求最小正实数，使得函数的图象向左平移个单位所对应的函数是偶函数. 19．某网球中心在平方米土地上，欲建数块连成片的网球场．每块球场的建设面积为平方米． 当该中心建设块球场时，每平方的平均建设费用（单位：元）可近似地用函数关系式 来刻画，此外该中心还需为该工程一次性向政府缴纳环保费用元. （1） 请写出当网球中心建设块球场时，该工程每平方米的综合费用的表达式，并指出其 定义域（综合费用是建设费用与环保费用之和）；（2）为了使该工程每平方米的综合费用最省，该网球中心应建多少个球场？ 20．已知抛物线的焦点为F，准线为l； （1）若F为双曲线的一个焦点，求双曲线C的离心率e； （2）设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程； （3）经过点F且斜率为的直线l'与相交于A，B两点，O为坐标原点，直线分别与l相交于点M，N；试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由. 21． 已知函数.（1）， 求实数的值；（2）若，且不等式对任意恒成立，求的取值 范围；（3）设，试利用结论，证明：若，其中， 则 . 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷（上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考除选修二第七、八章的全部内容 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已如集合，则______ 2．不等式的解集是______ 3．已知点，则的单位向量为（用坐标表示）________ 4．已知，若实数满足，则________ 5．如图中，，在三角形内挖去一个半圆（圆心在边上， 半圆与、分別相切于点交于点），则图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为______. 6．已知 ，且，则 的最大值为_______. 7．将六个字母排成一排，若均互不相邻且在的同一侧，则不同的排法有________种．（用数字作答） 8．袋中有一个白球和一个黑球，一次次地从袋中摸球，如果取出白球，则除把白球放回，再加进一个白球，直至取出黑球为止，则取了N次都没有取到黑球的概率是___________. 9．已知定义在上的函数满足，当时，， 则方程有_________个根. 10． 在平面直角坐标系中，已知，是上的两个不同的动点， 满足，且恒成立，则实数最小值是________ 11．已知等比数列严格增，且．记为在区间（为正整数）中的项的个数，则数列的前2023项的和为 ． 12． 陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印信（如图1），它的形状可视为 一个26面体，由18个正方形和8个正三角形围成（如图2），已知该多面体的各条棱长均为1， 且各个顶点在同一球面上；则此球的半径 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个 正确选项) 13．分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如图所示茎叶图，则下列结论中错误的是（   ） A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4 B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数约为8.60（按四舍五入精确到0.01） C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值小于0.4 D．乙同学周课外体育运动时长的方差约为0.80（按四舍五入精确到0.01） 14．已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象 不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．设等比数列的前项和为，设甲：，乙：是严格增数列，则甲是乙的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 16．已知定义在上的函数． 对任意区间和，若存在开区间，使得，且对任意（）都成立，则称为在上的一个“M点”． 有以下两个命题：①若是在区间上的最大值，则是在区间上的一个M点； ②若对任意，都是在区间上的一个M点，则在上严格增．那么（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题D．①、②都是假命题 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图所示三棱锥，底面为等边，O为AC边中点，且底面ABC， (1) 求三棱锥体积；（2）若M为中点，求与面所成角大小. 18．已知函数其中，，（1）若求的值； （2）在（1）的条件下，若函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式； 并求最小正实数，使得函数的图象向左平移个单位所对应的函数是偶函数. 19．某网球中心在平方米土地上，欲建数块连成片的网球场．每块球场的建设面积为平方米． 当该中心建设块球场时，每平方的平均建设费用（单位：元）可近似地用函数关系式 来刻画，此外该中心还需为该工程一次性向政府缴纳环保费用元. （1） 请写出当网球中心建设块球场时，该工程每平方米的综合费用的表达式，并指出其 定义域（综合费用是建设费用与环保费用之和）；（2）为了使该工程每平方米的综合费用最省，该网球中心应建多少个球场？ 20．已知抛物线的焦点为F，准线为l； （1）若F为双曲线的一个焦点，求双曲线C的离心率e； （2）设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程； （3）经过点F且斜率为的直线l'与相交于A，B两点，O为坐标原点，直线分别与l相交于点M，N；试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由. 21． 已知函数.（1）， 求实数的值；（2）若，且不等式对任意恒成立，求的取值 范围；（3）设，试利用结论，证明：若，其中， 则 . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$数 学 第 1页（共 6页） 数 学 第 2页（共 6页） 数 学 第 3页（共 6页） 学科网（北京）股份有限公司 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷 数 学·答题卡 姓名： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、填空题（本大题共有 12题，满分 54分，第 1-6 题每题 4分，第 7-12 题每题 5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有 4题，满分 18分，第 13-14 题每题 4分，第 15-16 题每题 5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 三、解答题(本大题共有 5题，满分 78分，第 17-19题每题 14分，第 20、 21题每题 18分.) 17．（14分） 18．（14分） 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 贴条形码区 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 数 学 第 4页（共 6页） 数 学 第 5页（共 6页） 数 学 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 21．（18分） 2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷（上海专用） 数学•全解全析 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已如集合，则______ 1．【分析】由交集的定义求解即可.【详解】因为集合， ，所以，故答案为：. 2．不等式的解集是______ 2．【分析】将绝对值不等式移项后两边平方，即可求不等式的解集. 【详解】原不等式等价于，两边平方得，整理得，解得，故原不等式的解集为.故答案为：. 3．已知点，则的单位向量为（用坐标表示）________ 3．【分析】由单位向量的定义求解即可【详解】因为，所以， 所以的单位向量为， 故答案为：. 4．已知，若实数满足，则________ 4．##-0.2【分析】由复数的运算法则与模长公式求解即可. 【详解】因为，所以，，又， 所以，即， 所以，解得，所以，故答案为： 5．如图中，，在三角形内 挖去一个半圆（圆心在边上，半圆与、分別相切于点交于点），则图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为______. 5．【分析】由题意可知，所得的几何体是从一个圆锥中挖去一个球， 用圆锥的体积减去球的体积.【详解】连接，因为半圆与、分別相切于点交于点， ，所以，， ，所以图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积 为故答案为：. 6． 已知 ，且，则 的最大值为_______. 6．1【详解】因为，所以，当且仅当 时取等号. 因此即 的最大值为1. 7． 将六个字母排成一排，若均互不相邻且在的同一侧， 则不同的排法有________种．（用数字作答） 7．96【分析】先排D、E、F，再利用插空法排A，B，C且C只能插在A、B的同侧，根据乘法原理计算出结果．【详解】解：先排D、E、F，有种排法；再利用插空法排A，B，C且C只能插在A、B的同侧，有种排法；所以有96种排法．故答案为：96.【点睛】本题主要考查排列组合问题，其中涉及到分步乘法计数原理，属于中档题.不相邻问题采用插空法，求解过程为：对于要求有几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后将不相邻的元素插入在已排好的元素之间及两端空隙处. 8． 袋中有一个白球和一个黑球，一次次地从袋中摸球，如果取出白球，则除把白球放回，再加进一个白球，直至取出黑球为止，则取了N次都没有取到黑球的概率是___________. 8．【分析】根据相互独立事件的概率公式计算可得； 【详解】依题意取了次都没有取到黑球的概率；故答案为：. 9．已知定义在上的函数满足，当时，， 则方程有_________个根. 9．10【分析】作出周期函数的图象，再作出的图象，根据数形结合求解即可. 【详解】由可知，函数周期为，作出函数与， 由图象可知，与有10个交点，所以方程有10个根.故答案为：10. 10． 在平面直角坐标系中，已知，是上的两个不同的动点， 满足，且恒成立，则实数最小值是________. 10．49【分析】因为，可知是的垂直平分线，，设，、、的长即可用表示，再利用余弦定理表示，利用数量积的定义将用表示， ，利用函数求出，即得最小值. 【详解】如图圆心，，因为， 所以是的垂直平分线，设与相交于点， 则点是的中点，设，则，，，恒成立，所以 ， ，在中，由余弦定理得：， 所以，， 因为，所以时，，即 所以，故实数最小值是，故答案为：49【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的定义， 余弦定理，勾股定理，恒成立问题，求二次函数的最值，属于综合性题目，属于中档题. 11． 已知等比数列严格增，且．记为在区间（为正整数）中的项的个数，则数列的前2023项的和为 ． 11．11052【分析】求出数列的通项公式，再根据已知利用观察、归纳法求出的前2023项， 进而求出它们的和作答.【详解】等比数列严格增，且，显然，公比，由，即，解得，于是，因为为在区间 （为正整数）中的项的个数，则当时，，当时，，即当时，， 当时，，而，则当时，， 所以数列的前2023项的和为： .故答案为：11052. 12． 陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印信（如图1），它的形状可视为 一个26面体，由18个正方形和8个正三角形围成（如图2），已知该多面体的各条棱长均为1， 且各个顶点在同一球面上；则此球的半径 ． 12.【分析】该多面体可以视为正方体截取部分几何体而成， 求出正方体的棱长，结合其对称性确定该多面体的外接球球心，再利用球的截面性质求解作答. 【详解】该多面体可以看做由一个棱长为的正方体截去8个如①的三棱柱，8个如②的四棱锥 和12个如③的三棱柱构成，如图，    由对称性知，该多面体外接球球心为正方体中心，它的一个正方形面在正方体的上底面内，如上图， 多面体外接球球心到截面的距离，正方形外接圆半径， 所以多面体外接球半径.故答案为：. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如图所示茎叶图，则下列结论中错误的是（   ） A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4 B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数约为8.60 （按四舍五入精确到0.01） C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值小于0.4 D．乙同学周课外体育运动时长的方差约为0.80（按四舍五入精确到0.01） 13．B【分析】计算中位数可判断A，计算平均数可判断B，由古典概型的概率公式求得概率可判断C， 计算方差可判断D【详解】A：甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为，正确. B：乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：，错误；C：甲同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值，正确. D：乙同学周课外体育运动时长的方差约为： ，正确.故选：B. 14．已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象 不经过（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．D【分析】根据指数函数图象性质可得，再由对数函数图象性质可判断出结论. 【详解】当时，函数单调递增，图象经过第一象限，不合题意；当时， 函数单调递减，图象不经过第一象限，合题意；显然此时，则函数 为单调递增，又恒过点，因此函数的图象不过第四象限.故选：D. 15．设等比数列的前项和为，设甲：，乙：是严格增数列，则甲是乙的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 15．D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设， 则，满足，但是严格减数列，充分性不成立，当时， 是严格增数列，但，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D 16．已知定义在上的函数． 对任意区间和，若存在开区间，使得，且对任意（）都成立，则称为在上的一个“M点”． 有以下两个命题：①若是在区间上的最大值，则是在区间上的一个M点； ②若对任意，都是在区间上的一个M点，则在上严格增．那么（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题D．①、②都是假命题 16．D【分析】举出反例，得到①②错误.【详解】对于①，设，满足是在区间上的最大值，但不是在区间上的一个M点，①错误；对于②，设，对于区间，令为有理数，满足对任意（）都成立，故为区间上的一个M点， 但在上不是严格增函数.故选：D【点睛】举出反例是一种特殊的证明方法，它在证明“某命题” 不成立时，可达到事半功倍的效果. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图所示三棱锥，底面为等边，O为AC边中点，且底面ABC， (1) 求三棱锥体积；（2）若M为中点，求与面所成角大小. 17．(1)1 (2)【分析】（1）先求出三棱锥的高，代三棱锥体积公式计算得解; （2）取中点，连接，证明平面，根据直线与平面的所成角的 公式计算可得.【详解】（1）因为底面， ，又因为O为AC边中点， ，所以为正三角形，，………2分，又因为底面为等边， ，………2分，所以；………2分 （2） 连接，因为底面为等边，所以，因为底面，………2分 所以 ，，所以平面，………2分，如图，取中点，连接，则，所以平面，所以，所以与面所成角即为，………2分 因为，所以，直角三角形中， 所以，所以与面所成角大小为.………2分 18．已知函数其中，，（1）若求的值； （2）在（1）的条件下，若函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式； 并求最小正实数，使得函数的图象向左平移个单位所对应的函数是偶函数. 18．(1) ;(2) . 【详解】（1）由得，………2分 即，………2分又；………2分 （2）由（1）得，，依题意，，………2分又故 ，函数的图象向左平移个单位后所对应的函数， ………2分是偶函数，当且仅当即， 从而，最小正实数.………2分 19．某网球中心在平方米土地上，欲建数块连成片的网球场．每块球场的建设面积为平方米． 当该中心建设块球场时，每平方的平均建设费用（单位：元）可近似地用函数关系式 来刻画，此外该中心还需为该工程一次性向政府缴纳环保费用元. （1） 请写出当网球中心建设块球场时，该工程每平方米的综合费用的表达式，并指出其 定义域（综合费用是建设费用与环保费用之和）；（2）为了使该工程每平方米的综合费用最省，该网球中心应建多少个球场？ 19．(1)，定义域为，(2)8 【分析】（1）先求出每平方米的平均环保费用，再根据综合费用是建设费用与环保费用之和求出的 表达式即可；（2）利用导数得到的单调性，进而求出取最小值时的值即可． 【详解】（1）由题意可知，，因为每平方米的平均环保费用为元，………2分 因为每平方米的平均建设费用为可近似地用函数关系式，………2分 所以每平方米的综合费用，其中函数的定义域为.………2分 （2）由（1）可知，则， ………2分，令得，，当时，，在上单调递减，………2分 当时，，在上单调递增， 所以当时，取得极小值即为最小值，………2分 所以当该网球中心建8个球场时，该工程每平方米的综合费用最省．………2分 20．已知抛物线的焦点为F，准线为l； （1）若F为双曲线的一个焦点，求双曲线C的离心率e； （2）设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程； （3）经过点F且斜率为的直线l'与相交于A，B两点，O为坐标原点，直线分别与l相交于点M，N；试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由. 20．(1)，(2)，(3)以线段MN为直径的圆C过定点，理由见详解. 【分析】（1）先求抛物线的焦点坐标，再根据题意求双曲线的，即可得离心率；（2）根据抛物线的定义进行转化分析可得，进而可得直线EP的倾斜角与斜率，利用点斜式求直线方程；（3）设直线l'的方程及A，B两点的坐标，进而可求M，N两点的坐标，结合韦达定理求圆C的圆心及半径，根据圆C的方程分析判断定点.【详解】（1）抛物线的焦点为，准线为，………2分 双曲线的方程为双曲线，即，则， 由题意可知：，则，………2分 故双曲线C的离心率.………2分 （2）由（1）可知：，过点P作直线的垂线，垂足为M，则， ∵，且，∴，………2分 故直线EP的倾斜角，斜率，………2分 ∴直线EP的方程为，即.………2分 （3）以线段MN为直径的圆C过定点，理由如下： 设直线，联立方程，消去y可得：， 则可得：，………2分∵直线，当时，， ∴，同理可得：，∵ ，………2分 ，………2分则线段MN为直径的圆C的圆心，半径， 故圆C的方程为，整理得， 令，则，解得或，故以线段MN为直径的圆C过定点. ………2分【点睛】过定点问题的两大类型及解法：(1)动直线l过定点问题．解法：设动直线方程 (斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)． (2) 动曲线C过定点问题；解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立， 令其系数等于零，得出定点． 21． 已知函数.（1）， 求实数的值；（2）若，且不等式对任意恒成立，求的取值 范围；（3）设，试利用结论，证明：若，其中， 则 . 21．(1)，(2)，(3)证明见解析.【分析】（1）求得，根据题意得到方程组， 即可求解；（2）把转化为即对任意恒成立，设， 设，利用导数求得函数在单调性，结合，即可求解； （3）解法1：由不等式，推得，进而利用累加法，即可得证； 解法2：由，得到，结合累加法，即可得证. 【详解】（1）由函数，可得，所以，.………2分 又由，所以，解得. ………2分 （2）若，可得，………2分 则，则不等式可化为， 即对任意恒成立，令，则，设函数，可得， 因为，所以恒成立，所以函数在上严格递增，………2分 所以，故，即实数的取值范围为.………2分 （3）解法1：由， 因为，可得，当且仅当时，等号成立； ………2分，所以，当且仅当时，等号成立， 故， 当且仅当时等号成立.………2分 因此有，， ，………2分 以上个式子相加得： . ………2分 解法2：由，可得， ………2分 当且仅当时等号同时成立.故，………2分 ，，， ……2分，以上个式子相加得： . ………2分【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷（上海专用） 数学·答案及评分参考 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． 2． 3． 4．##-0.2 5． 6．1 7．96 8． 9．10 10．49 11．11052 12. 2、 选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个 正确选项) 13 14 15 16 B D D D 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 注：解答题给出步骤分值 17．(1)1 (2)【分析】（1）先求出三棱锥的高，代三棱锥体积公式计算得解; （2）取中点，连接，证明平面，根据直线与平面的所成角的 公式计算可得.【详解】（1）因为底面， ，又因为O为AC边中点， ，所以为正三角形，，………2分，又因为底面为等边， ，………2分，所以；………2分 （2）连接，因为底面为等边，所以，因为底面，………2分 所以 ，，所以平面，………2分，如图，取中点，连接，则，所以平面，所以，所以与面所成角即为，………2分 因为，所以，直角三角形中， 所以，所以与面所成角大小为.………2分 18．(1) ;(2) . 【详解】（1）由得，………2分 即，………2分又；………2分 （2）由（1）得，，依题意，，………2分又故 ，函数的图象向左平移个单位后所对应的函数， ………2分是偶函数，当且仅当即， 从而，最小正实数.………2分 19．(1)，定义域为，(2)8 【分析】（1）先求出每平方米的平均环保费用，再根据综合费用是建设费用与环保费用之和求出的 表达式即可；（2）利用导数得到的单调性，进而求出取最小值时的值即可． 【详解】（1）由题意可知，，因为每平方米的平均环保费用为元，………2分 因为每平方米的平均建设费用为可近似地用函数关系式，………2分 所以每平方米的综合费用，其中函数的定义域为.………2分 （2）由（1）可知，则， ………2分，令得，，当时，，在上单调递减，………2分 当时，，在上单调递增， 所以当时，取得极小值即为最小值，………2分 所以当该网球中心建8个球场时，该工程每平方米的综合费用最省．………2分 20．(1)，(2)，(3)以线段MN为直径的圆C过定点，理由见详解. 【分析】（1）先求抛物线的焦点坐标，再根据题意求双曲线的，即可得离心率；（2）根据抛物线的定义进行转化分析可得，进而可得直线EP的倾斜角与斜率，利用点斜式求直线方程；（3）设直线l'的方程及A，B两点的坐标，进而可求M，N两点的坐标，结合韦达定理求圆C的圆心及半径，根据圆C的方程分析判断定点.【详解】（1）抛物线的焦点为，准线为，………2分 双曲线的方程为双曲线，即，则， 由题意可知：，则，………2分 故双曲线C的离心率.………2分 （2）由（1）可知：，过点P作直线的垂线，垂足为M，则， ∵，且，∴，………2分 故直线EP的倾斜角，斜率，………2分 ∴直线EP的方程为，即.………2分 （3）以线段MN为直径的圆C过定点，理由如下： 设直线，联立方程，消去y可得：， 则可得：，………2分∵直线，当时，， ∴，同理可得：，∵ ，………2分 ，………2分则线段MN为直径的圆C的圆心，半径， 故圆C的方程为，整理得， 令，则，解得或，故以线段MN为直径的圆C过定点. ………2分【点睛】过定点问题的两大类型及解法：(1)动直线l过定点问题．解法：设动直线方程 (斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)． (2) 动曲线C过定点问题；解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立， 令其系数等于零，得出定点． 21．(1)，(2)，(3)证明见解析.【分析】（1）求得，根据题意得到方程组， 即可求解；（2）把转化为即对任意恒成立，设， 设，利用导数求得函数在单调性，结合，即可求解； （3）解法1：由不等式，推得，进而利用累加法，即可得证； 解法2：由，得到，结合累加法，即可得证. 【详解】（1）由函数，可得，所以，.………2分 又由，所以，解得. ………2分 （2）若，可得，………2分 则，则不等式可化为， 即对任意恒成立，令，则，设函数，可得， 因为，所以恒成立，所以函数在上严格递增，………2分 所以，故，即实数的取值范围为.………2分 （3）解法1：由， 因为，可得，当且仅当时，等号成立； ………2分，所以，当且仅当时，等号成立， 故， 当且仅当时等号成立.………2分 因此有，， ，………2分 以上个式子相加得： . ………2分 解法2：由，可得， ………2分 当且仅当时等号同时成立.故，………2分 ，，， ……2分，以上个式子相加得： . ………2分【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$