精品解析：上海市宝山区市西中学2025届高三开学摸底考试数学试题

2024~2025学年 开学摸底考试 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题填对得4分，后六题每题填对得5分． 1. 已知集合，，则___________. 2. 函数y=的定义域是______． 3. 若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围__________. 4. 已知数列，，若在上是递增数列，则实数的取值范围是______． 5. 已知方程的两个根在复平面上对应的两点之间的距离为，则__________． 6. 若四面体的各个顶点到平面距离都相等，则称平面为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数是______. 7. 已知在中，，，其外接圆的圆心为，则的值为________. 8. 从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则摸出的2个球中恰有1个红球的概率是___________. 9. 若点既是，的中点，又是直线：与：的交点，则线段的垂直平分线的方程是_________． 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，，垂足为N，，则点的横坐标为_______． 11. 已知直线与函数的图象相交，若自左至右的三个相邻交点，，满足，则实数______. 12. 祖暅是我国古代的伟大科学家，他在5世纪末提出：“幂势即同，则积不容异”，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.这就是著名的祖暅原理，祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的体积推导半球体的体积，其示意图如图一所示. 利用此方法，可以计算如下抛物体的体积：在平面直角坐标系中，设抛物线C的方程为，将C围绕y轴旋转，得到的旋转体称为抛物体.利用祖暅原理它可用一个直三棱柱求解，如图二，由此可计算得该抛物体的体积为___________. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分． 13. 下列事件中，随机事件的个数是（ ）个． ①某人购买福利彩票一注，中奖万元；②三角形的内角和为； ③地球上，没有空气和水，人类可以生存下去；④同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上． A. B. C. D. 14. 函数的零点所在的区间是（ ）． A. B. C. D. 15. 设，.若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对（a,b）的对数为. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 设，是定义域为的恒大于零的可导函数，且，则当时，有（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，扇形OMN的半径为，圆心角为，A为弧MN上一动点，B为半径上一点且满足. （1）若，求AB的长； （2）求△ABM面积的最大值. 18. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，；设M是的中点，满足，N是BC的中点，P是线段上的一点． （1）证明：平面； （2）若，，求直线与平面PMN所成角的大小． 19. 已知椭圆：的离心率，点在椭圆上，、分别为椭圆的上、下顶点，动直线交椭圆于、两点，满足，过点作，垂足为． （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； （3）求面积的最大值． 20. 在某一个十字路口，每次亮绿灯的时长为（为时间单位：秒），那么每次绿灯亮时，在同一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口？ 该问题涉及车长、车距、车速，前方堵塞状况包括行人非机动车等因素．为了将问题简化，在路况车况驾驶状态等都良好的前提下，提出如下基本假设： 1．通过路口的车辆长度都相等； 2．等待通行时，前后相邻两辆车的车距都相等； 3．绿灯亮时，汽车都是沿同方向从静止状态匀加速启动，到达最高限速汽车开始匀速行驶； 4．离路口信号灯最近的第一辆车在绿灯亮后延迟时间开始动起来．前一辆车启动后，下一辆车启动的延迟时间相等，在延迟时间内，车辆保持静止； 5．按照交通安全法规行驶，行车秩序良好，没有碰擦或堵塞等现象发生． 一名建模爱好者收集数据整理如下： 1．车长设为，取，车距设为，取，第一辆车离停车线距离为； 2．加速度记作，取，汽车在匀加速运动时段行驶路程； 3．前后车启动延迟时间记为，取； 4．第辆车启动延迟时间为； 5．该十字路口限速，换算为； 6．第辆车到达最高限速的时间为取． 设第辆车在绿灯持续时间内驶离停车线的距离为．根据上述假设与数据，，依次类推．请你解决下列问题： （1）求；（结果保留一位小数，单位：） （2）对于第辆车，写出函数的分段表达式； （3）求在亮绿灯的内，这一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口． 21. 已知为实数，函数. （1）若函数在处的切线斜率为2，求的值； （2）讨论函数在上的零点个数； （3）设表示的最大值，设.当时，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年 开学摸底考试 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题填对得4分，后六题每题填对得5分． 1. 已知集合，，则___________. 【答案】； 【解析】 【分析】 根据交集定义求结果. 【详解】 故答案为： 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关集合的运算，在解题的过程中，正确解题的关键是掌握交集的定义. 2. 函数y=的定义域是______． 【答案】[0，+∞） 【解析】 【分析】根据偶次方根的被开方数大于等于零，得到不等式，再根据指数函数的性质解不等式即可得函数的定义域． 【详解】解：由题意可得， 解不等式可得 所以函数的定义域是， 故答案为： 【点睛】本题考查了求函数的定义域的最基本的类型：偶次根式型：被开方数大于（等于）0，还考查了指数不等式的解法．属于基础题． 3. 若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得：“任意，使得”是真命题，参变分离结合基本不等式运算求解. 【详解】由题意可得：“任意，使得”是真命题， 注意到，整理得， 原题意等价于“任意，使得”是真命题， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围. 故答案为：. 4. 已知数列，，若在上是递增数列，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据递增数列的定义可得，，且，结合题意解得，即，求出的最小值即可求解. 【详解】在上是递增数列，所以，，且， 即， 所以，即， 又， 所以. 故答案为：. 5. 已知方程的两个根在复平面上对应的两点之间的距离为，则__________． 【答案】或 【解析】 【分析】设方程的两根分别为，，用表示出，利用韦达定理求得或，分情况结合两个根在复平面上对应的两点之间的距离为，求得的值. 【详解】解：方程的两个根在复平面上对应的两点之间的距离为， 设方程的两根分别为，， 则，得，，则， 则， 则或 当时，， ， 设在复平面上对应的点为，则，设在复平面上对应的点为，则， 则，得， 则， 当时，，， ， 此时，即，即， ∴， 故答案为：或. 6. 若四面体的各个顶点到平面距离都相等，则称平面为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数是______. 【答案】 【解析】 【分析】分3种情况分类讨论即可，①四个顶点均在平面的一侧，②平面的一侧有三个顶点，另一侧有一个顶点，③平面的两侧各有两个顶点.分别求出中位面的个数再相加可得答案. 【详解】解：将所考虑的四面体记作. 若四个顶点均在平面的一侧，则这四个顶点必位于一个与平面平行的平面内，不符合条件； 只考虑以下两种情形. （1）平面的一侧有三个顶点，另一侧有一个顶点. 不妨设在平面 的一侧，点在另一侧， 则三点所确定的平面必平行与， 由点作平面的垂线，为垂足. 则中位面必为经过的中点且与垂直的平面（存在且唯一），该中位面平行于平面，如图. 这种类型的中位面共有4个. （2）平面的两侧各有两个顶点，不妨设点在平面的一侧，点在另一侧， 显然 ， 易知，与为异面直线，中位面必为经过它们公垂线中点且平行于它们的平面（存在且唯一）如图. 因为四面体的6条棱可按异面直线关系分为3组， 所以，这种类型的中位面共有3个. 综上，一个四面体有7个互不相同的中位面. 故答案为：7. 7. 已知在中，，，其外接圆的圆心为，则的值为________. 【答案】8 【解析】 【分析】如图，作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，根据向量数量积的几何意义即可得到答案． 【详解】如图，过O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， 可得D，E为AB，AC的中点， 则 ＝ ＝×（25﹣9） ＝8． 故答案为：8 8. 从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则摸出的2个球中恰有1个红球的概率是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】设甲袋中摸出一个红球为事件，乙袋中摸出一个红球为事件，从两袋中各摸出1个球，则摸出的2个球中恰有1个红球为事件，进而根据独立事件的概率乘法公式求解即可. 【详解】解：设甲袋中摸出一个红球为事件，乙袋中摸出一个红球为事件， 则，， 设从两袋中各摸出1个球，则摸出的2个球中恰有1个红球为事件， 则. 故从两袋中各摸出1个球，则摸出的2个球中恰有1个红球的概率是. 故答案为： 9. 若点既是，的中点，又是直线：与：的交点，则线段的垂直平分线的方程是_________． 【答案】 【解析】 【分析】将两直线方程相减可得过两直线交点的直线方程，再将代入化简可求出直线的斜率，从而可求出线段的垂直平分线的方程. 【详解】直线与直线的方程相减可得，， 把点代入可得， 所以， 所以线段的垂直平分线的方程是，即， 故答案为： 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，，垂足为N，，则点的横坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，由抛物线定义以及三角函数可用含的横坐标的式子表示，注意到，由此即可列方程求解. 【详解】如图所示： 过点作于点， 显然抛物线的焦点为，准线为， 由抛物线定义有，结合得， 而， 所以. 故答案为：. 11. 已知直线与函数的图象相交，若自左至右的三个相邻交点，，满足，则实数______. 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据题意将条件转化为直线与函数的图象相交，由三角函数的周期性结合已知得出的长并用和的横坐标之差表示，再结合和的中点函数值取最值即可求解. 【详解】解：由题知，直线与与函数的图象相交 等价于直线与函数的图象相交 设，， 所以， 又由得： 即 化简得：① 由题知点和点的中点坐标为： 当直线与函数的交点在轴上方，则 即， 化简得：② 由①②联立得：， 所以 即 解得： 当直线与函数的交点在轴下方，则 即， 化简得：③ 由①③联立得：， 所以 即 解得： 所以或 故答案为：或. 【点睛】关键点睛：本题的关键是设坐标之后列方程求出或者的整体，进而求出，并且要讨论交点在正弦型函数的下半部分和上半部分的情况. 12. 祖暅是我国古代的伟大科学家，他在5世纪末提出：“幂势即同，则积不容异”，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.这就是著名的祖暅原理，祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的体积推导半球体的体积，其示意图如图一所示. 利用此方法，可以计算如下抛物体的体积：在平面直角坐标系中，设抛物线C的方程为，将C围绕y轴旋转，得到的旋转体称为抛物体.利用祖暅原理它可用一个直三棱柱求解，如图二，由此可计算得该抛物体的体积为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】构造出符合要求的直三棱柱，求出三棱柱的体积即可. 【详解】构造如图所示的直三棱柱，高设为x，底面两个直角边为2，1 若底面积相等，则，解得：，下面说明截面面积相等，设截面距底面为t，矩形截面长为a，圆形截面半径为r，由左图得到，所以，所以截面面积为，由右图得到，所以，所以截面面积为，两者截面面积相等，所以体积相等，所以抛物体的体积等于三棱柱的体积， 故答案为： 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分． 13. 下列事件中，随机事件的个数是（ ）个． ①某人购买福利彩票一注，中奖万元；②三角形的内角和为； ③地球上，没有空气和水，人类可以生存下去；④同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用随机事件的定义逐个判断，可得出结论. 【详解】对于事件①，某人购买福利彩票一注，中奖万元，该事件为随机事件； 对于事件②，三角形的内角和为，该事件为必然事件； 对于事件③，地球上，没有空气和水，人类可以生存下去，该事件为不可能事件； 对于事件④，同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上，该事件为随机事件. 因此，随机事件的个数为. 故选：B. 14. 函数的零点所在的区间是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算区间端点处的函数值，根据零点存在性定理即可判断． 【详解】由题意得，， ， ， ， ， ， 则，∴零点在区间上． 故选：B． 15. 设，.若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对（a,b）的对数为. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：，， 又，， 注意到，只有这两组．故选B． 【考点】三角函数 【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等. 16. 设，是定义域为的恒大于零的可导函数，且，则当时，有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意得到，从而得到在R上为减函数．再利用的单调性求解即可. 【详解】因为， 所以，即在R上为减函数． 又因为，所以． 且，在R上恒大于零，所以，即C对，B错， 因为是满足题意的一个解，但，所以AD都错， 故选：C 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，扇形OMN的半径为，圆心角为，A为弧MN上一动点，B为半径上一点且满足. （1）若，求AB的长； （2）求△ABM面积的最大值. 【答案】（1）1； （2）. 【解析】 【分析】(1)在△OAB中，利用余弦定理即可求AB； (2)由题可知AB∥OM，则，设，，在中利用余弦定理和基本不等式求出xy的最大值，再由即可求面积最大值. 【小问1详解】 在△OAB中，由余弦定理得，， 即，即，即， ∴； 【小问2详解】 ，，，∥， ， 设，， 则在中，由余弦定理得， 即，当且仅当时取等号， ∴，当且仅当时取等号. ∴△ABM面积的最大值为. 18. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，；设M是的中点，满足，N是BC的中点，P是线段上的一点． （1）证明：平面； （2）若，，求直线与平面PMN所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点，利用异面直线垂直、线面垂直的判定推理即得. （2）证明两两垂直，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 在三棱柱中，取中点，连接， 由点为正方形边中点，得，则， 有，则， 由N是BC的中点，得，而，于是， 又平面， 所以平面. 【小问2详解】 显然，则，由（1）知，又平面， 于是平面，而平面，则，显然直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量，则，令，得， 设直线与平面所成的角为，则， 而，解得， 所以直线与平面所成角的大小为. 19. 已知椭圆：的离心率，点在椭圆上，、分别为椭圆的上、下顶点，动直线交椭圆于、两点，满足，过点作，垂足为． （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； （3）求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）证明见解析，定点；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率、及其所过的点坐标，结合椭圆参数关系求出a、b、c，写出椭圆方程； （2）由题设可设为且，联立椭圆方程，若、可得、，再由，利用向量垂直的坐标表示列方程求出m，进而可知所过的定点坐标. （3）法一：由题意结合（2）可设为，联立求出H的横坐标，而结合基本不等式即可求面积的最大值；法二：由在以为直径的圆上，则即可求面积的最大值； 【详解】（1）由题意知，，解得：， ∴椭圆的标准方程为． （2）由题意知，的斜率存在，设直线方程为，其中， 由得：， ， 设，，则，， ∵， ∴， ∴，即，又， ∴， ∴，则，满足． ∴直线的方程为，即直线的定点． （3）（解法一）∵存在，则， ∴的斜率为，方程为， 联立，解得，（为点的横坐标）， ∴，当且仅当，即时等号成立，即面积的最大值为． （解法二）设所过定点为，由， ∴点在以为直径的圆上， ∴，即面积的最大值为． 20. 在某一个十字路口，每次亮绿灯的时长为（为时间单位：秒），那么每次绿灯亮时，在同一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口？ 该问题涉及车长、车距、车速，前方堵塞状况包括行人非机动车等因素．为了将问题简化，在路况车况驾驶状态等都良好的前提下，提出如下基本假设： 1．通过路口的车辆长度都相等； 2．等待通行时，前后相邻两辆车的车距都相等； 3．绿灯亮时，汽车都是沿同方向从静止状态匀加速启动，到达最高限速汽车开始匀速行驶； 4．离路口信号灯最近的第一辆车在绿灯亮后延迟时间开始动起来．前一辆车启动后，下一辆车启动的延迟时间相等，在延迟时间内，车辆保持静止； 5．按照交通安全法规行驶，行车秩序良好，没有碰擦或堵塞等现象发生． 一名建模爱好者收集数据整理如下： 1．车长设为，取，车距设为，取，第一辆车离停车线距离为； 2．加速度记作，取，汽车在匀加速运动时段行驶路程； 3．前后车启动延迟时间记为，取； 4．第辆车启动延迟时间为； 5．该十字路口限速，换算为； 6．第辆车到达最高限速的时间为取． 设第辆车在绿灯持续时间内驶离停车线的距离为．根据上述假设与数据，，依次类推．请你解决下列问题： （1）求；（结果保留一位小数，单位：） （2）对于第辆车，写出函数的分段表达式； （3）求在亮绿灯的内，这一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口． 【答案】（1）， （2） （3）至多有7辆汽车通过该十字路口 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得答案； （2）对第辆车，列出函数的分段表达式，相当于已经解决一般化的问题． 通过对小汽车三个运动阶段的分析，整理可得答案； （3）由于十字路口亮绿灯的时长为，求的最大，分别计算到可得答案. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 对第辆车，列出函数的分段表达式，相当于已经解决一般化的问题． 通过对小汽车三个运动阶段的分析，整理得： ， 其中，， 或者写成 ； 【小问3详解】 由于十字路口亮绿灯的时长为，即， 于是，该实际问题可表述为数学问题：求的最大，与计算的方法相同，计算， ， 第8辆车没有行驶到停车线时绿灯已经结束，没能通过十字路口． 在亮绿灯的内，这一条直行道路上同方向至多有7辆汽车通过该十字路口， 【点睛】思路点睛：利用数学建模，根据题意这次建模就只考虑小轿车的情况，根据小轿车的长度差距不大，对相关因素进行分析，从而可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设即可. 21. 已知为实数，函数. （1）若函数在处的切线斜率为2，求的值； （2）讨论函数在上的零点个数； （3）设表示的最大值，设.当时，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 时有一个零点，时没有零点. （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可； （2）利用导数的性质，结合函数零点的宝义、零点存在原理进行求解即可； （3）根据题中定义，结合导数的性质，给合函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 ， 因为函数在处的切线斜率为2， 所以； 【小问2详解】 ， 令， ， 令，解得. ①当，即时，在恒成立， 在为严格增函数， ， 由零点存在定理知在上有唯一零点. ②当时，在恒成立， 在为严格增函数， ，故在恒成立，没有零点. ③当时 - 0 + 极小值 最小值，无零点. 综上，时有一个零点，时没有零点. 【小问3详解】 当时，， 根据题中定义显然有. 当时， 时，， 根据题中定义显然有； 时， 根据题中定义显然有. 下考虑时的情况. ， 由解得，且 - 0 + 极小值 最小值. 令，则在为严格增函数. ①时， ，故， 故的最小值； ②时， 故在上的最小值， 而在上，，即在上， 此时. 综上，. 【点睛】关键点睛：本题的关键是理解题中定义含义，能够转化为不等式，能够运用分类讨论思想进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $