第03讲 全等三角形的判定 （知识清单+8大题型+好题必刷）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（苏科版2024）

第03讲 全等三角形的判定 （知识清单+5大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 用SAS证明三角形全等 题型二 用ASA（AAS）证明三角形全等 题型三 用SSS证明三角形全等 题型四 用HL证全等 题型五 尺规作图——作三角形 知识清单 知识点1．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点2．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识点3．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点4．全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 题型方法 【题型一】用SAS证明三角形全等 【例1】如图，点、、、在同一直线上，、相交于点，，垂足为，垂足为，且，．求证：△≌△． 【变式1-1】如图，已知，经分析 ，依据是 ． 【变式1-2】已知：如图，，，点E、F在线段上，且．请说明的理由． 【变式1-3】如图，已知：AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，求证：∠B＝∠C． 证明：∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＋ 　 　＝∠2＋ 　 　（等式的性质）． 即∠BAD＝ 　 　． 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（　 ）， ∴∠B＝∠C（   ）． 【变式1-4】（八年级上·江苏常州·期中）已知：如图，点B、C、D、E在一条直线上，∠B＝∠E，AB＝EF，BD＝EC．求证： （1）△ABC≌△FED； （2）ACFD． 【题型二】用ASA（AAS）证明三角形全等 【例2-1】已知 中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：．    【例2-2】如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式2-1】（八年级上·江苏泰州·期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，与相交于点，．求证：． 【变式2-3】如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，且，．求证：． 【变式2-4】如图， ，点E，F在线段上，且．连接，，若，请完成下列问题： (1)说明 ； (2)猜想与的关系，并说明理由． 【变式2-5】如图，，点在边上，和相交于点，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由． 证明：∵ ∴__________=__________ ∴__________ 在和中 ∵ 所以（________）． 【题型三】用SSS证明三角形全等（SSS） 【例3-1】如图，已知：AB＝DC，AE＝BF，CE＝DF，求证：△AEC≌△BFD． 【例3-2】如图，点F，C在上，，，，求证：． 【例3-3】如图所示，，与交于点O．试说明：． 【举一反三】 【变式3-1】如图，，判定的依据是 ． 【变式3-2】如图，点D、C在线段上，，，．求证：． 【变式3-3】如图，，，，点E、B、D、F在同一条直线上．求证． 【变式3-4】如图所示是一个三角形支架，小王想要检查与的大小是否相等，由于不方便测量，小王想了一个办法，在，上量得，在上量得，同时量得和的长度相等，最后小王得出，他的说法正确吗？请你说明理由． 【题型四】用HL证全等 【例4】如图，在中，，，垂足分别为 E，D，且有，求证：． 【举一反三】 【变式4-1】（2023八年级上·全国·专题练习）如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，AD是△ABC的高，AD＝BD＝8，E是AD上的一点，BE＝AC，AE＝2，BE的延长线交AC于点F，则CD的长为 ． 【变式4-3】如图，在△ABC中，AC＝BC，过点A，B分别作过点C的直线的垂线AE，BF．若AE＝CF＝3，BF＝4.5，求EF的长度． 【变式4-4】（八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知BE⊥CD，BE=DE，BC=AD． (1)求证：△BEC≌△DEA； (2)求∠DFC的度数． 【题型五】尺规作图——作三角形 【例5】（八年级上·江苏苏州·期中）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【举一反三】 【变式5-1】如图1，已知，，线段，求作．作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（ ） A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角 【变式5-2】尺规作图：画一个三角形与如图所示的全等，要求用尺规作图，保留作图痕迹． 【变式5-3】已知：如图，线段m、n，用尺规作一个等腰三角形，使它的底等于m，腰等于n．（保留作图痕迹，不写作法） 好题必刷 一、单选题 1．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 2．如图，在中，D是的中点，，若，则的值为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 3．如图，已知于点B，且，若，则的长为（    ） A．3 B．5 C．4 D．2 4．如图，AC＝DC，BC＝EC，添加一个条件，不能保证△ABC≌△DEC的是（　　） A．AB＝DE B．∠ACB＝∠DCE C．∠ACD＝∠BCE D．∠B＝∠E 5．如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．图，已知，经分析 ，依据是 ． 7．嘉淇为了测量建筑物墙壁AB的高度，采用了如图所示的方法： ①把一根足够长的竹竿AC的顶端对齐建筑物顶端A，末端落在地面C处； ②把竹竿顶端沿AB下滑至点D，使DB＝ ，此时竹竿末端落在地面E处； ③测得EB的长度，就是AB的高度． 以上测量方法直接利用了全等三角形的判定方法 （用字母表示）． 8．如图，AD是△ABC的高，AD＝BD＝8，E是AD上的一点，BE＝AC，AE＝2，BE的延长线交AC于点F，则CD的长为 ． 三、解答题 9．阅读并填空：两块完全相同的纸板和，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边和的交点试说明不重叠的两部分与全等的理由． 解：因为两三角形纸板完全相同（已知）， 所以，__________，__________（全等三角形对应边、对应角相等）． 所以__________（等式性质）． 即__________（等式性质）． 完成以上说理过程． 10.如图，在中，D为的中点，，，点E、F为垂足，且．求证：． 11．已知：如图，点、、、在同一直线上，，，．求证：． 12．如图，．求证：． 13．如图，线段与相交于点，点分别在上，线段过点，猜想线段与的大小关系，并说明理由． 14．已知：如图，在中，，，交于点，于点，．求证：． 15．如图，已知，于点，于点，．求证：． 16．如图，已知在四边形中，，E为的中点，连接，，，，，求的长度． 17.如图，在中，于点，，，求证：． 18.如图中，，过C作，使，在上取一点E，连接，且．求证： 19．如图：已知ABCD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点． （1）请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等，并证明之； （2）求BE的长． 20．如图，在中，，分别是边，边上的高，与相交于点，且，连接． (1)试说明：； (2)试求的度数； (3)若点是的中点，则，试求的值． 21．如图1，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，若，，求的长． 22．已知，在四边形中，，，分别是边上的点．且．探究线段的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明_________；即可得出线段之间的数量关系是______________________． (2)如图②，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，分别是所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 全等三角形的判定 （知识清单+5大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 用SAS证明三角形全等 题型二 用ASA（AAS）证明三角形全等 题型三 用SSS证明三角形全等 题型四 用HL证全等 题型五 尺规作图——作三角形 知识清单 知识点1．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点2．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识点3．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点4．全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 题型方法 【题型一】用SAS证明三角形全等 【例1】如图，点、、、在同一直线上，、相交于点，，垂足为，垂足为，且，．求证：△≌△． 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】根据得到，之后利用证明即可． 【详解】证明：∵EF⊥AD，CB⊥AD， ∴∠ABC=∠DEF=90°， 又∵AE=BD， ∴AE+EB=BD+EB， ∴AB=DE， 在△ABC与△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【变式1-1】如图，已知，经分析 ，依据是 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】利用SAS得出全等三角形. 【详解】证明：∵AC＝BD， ∴AD＝BC， 在△ADF和△BCE中 ∵ ， ∴△ADF≌△BCE（SAS）. 故答案为：①，②，③. 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键 【变式1-2】已知：如图，，，点E、F在线段上，且．请说明的理由． 【知识点】两直线平行内错角相等、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定．由得到，由得到，从而根据“”证明． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中 ， ∴． 【变式1-3】如图，已知：AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，求证：∠B＝∠C． 证明：∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＋ 　 　＝∠2＋ 　 　（等式的性质）． 即∠BAD＝ 　 　． 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（　 ）， ∴∠B＝∠C（   ）． 【答案】，，，，，，全等三角形对应角相等 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】由题意知∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD，∠BAD＝∠CAE，找条件证明三角形全等，补全证明过程； 【详解】证明：∵∠1＝∠2（已知） ∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD （等式的性质），即∠BAD＝∠CAE 在△ABD和△ACE中 ∵ ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴∠B＝∠C（全等三角形对应角相等） 故答案为：∠CAD，∠CAD，∠CAE，AD，AE，SAS，全等三角形对应角相等． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质．解题的关键在于找出三角形全等所需的条件． 【变式1-4】（八年级上·江苏常州·期中）已知：如图，点B、C、D、E在一条直线上，∠B＝∠E，AB＝EF，BD＝EC．求证： （1）△ABC≌△FED； （2）ACFD． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据线段的加减得出BC=EF，笛根据SAS证明△ABC≌△FED即可； （2）根据全等三角形的性质得，从而得，再根据平行线的判定定理可得结论． 【详解】解：（1）证明：∵BD=EC， ∴BD-CD=EC-CD， 即BC=DE， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△FED（SAS）； （2）∵△ABC≌△FED， ∴∠ACB=∠FDE， ∴∠ACE=∠FDB ∴ACFD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于找出三角形全等的条件． 【题型二】用ASA（AAS）证明三角形全等 【例2-1】已知 中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：．    【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据垂直的定义和余角的性质得到，再根据证明． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【例2-2】如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明是解题的关键． （1）由，得，而，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得，则，即可求得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中 ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2-1】（八年级上·江苏泰州·期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定； 根据即可解答． 【详解】解：有图形可以看到这个三角形还能明显看到的条件为两个角和一条边，且是两角及其夹边，因此符合． 故选D． 【变式2-2】如图，与相交于点，．求证：． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用证明即可． 【详解】证明；在和中， ， ∴． 【变式2-3】如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，且，．求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．由平行线的性质得，进而证明． 【详解】证明：在四边形中，，点为对角线上一点， ， 在和中， ， ． 【变式2-4】如图， ，点E，F在线段上，且．连接，，若，请完成下列问题： (1)说明 ； (2)猜想与的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)， ，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）根据平行线的性质得到，进而根据证明即可； （2）由得到，，即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴，即． 在和中， ∵ ， ∴； （2）解：， ，理由如下： ∵， ∴，． ∴． 【变式2-5】如图，，点在边上，和相交于点，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由． 证明：∵ ∴__________=__________ ∴__________ 在和中 ∵ 所以（________）． 【答案】；；；；；；；；； 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证，再证即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中 ∵ 所以． 故答案为：；；；；；；；；；． 【题型三】用SSS证明三角形全等（SSS） 【例3-1】如图，已知：AB＝DC，AE＝BF，CE＝DF，求证：△AEC≌△BFD． 【分析】先根据AB＝DC，得到AC＝BD，即可利用SSS证明△AEC≌△BFD． 【详解】证明：∵AB＝DC， ∴AB+BC＝DC+BC，即AC＝BD， 在△AEC和△BFD中， ， ∴△AEC≌△BFD（SSS）． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的判定条件． 【例3-2】如图，点F，C在上，，，，求证：． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，先证明，进而证明，即可推出． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【例3-3】如图所示，，与交于点O．试说明：． 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质．连接，利用证明，即可求证． 【详解】解：连接．如图． 在和中． ， ∴ ∴．（全等三角形对应角相等）． 【举一反三】 【变式3-1】如图，，判定的依据是 ． 【答案】 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】结合三角形全等的判定定理及题目所给条件判断． 【详解】， BD为公共边， 故 故可以用判定 故答案为：SSS． 【点睛】本题考查三角形全等判定定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握判定定理的应用情形． 【变式3-2】如图，点D、C在线段上，，，．求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先结合，得，证明，即可作答． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ． 【变式3-3】如图，，，，点E、B、D、F在同一条直线上．求证． 【分析】根据，两边同时减去BD，可得，再由，证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵在和中， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的证明，通过根据得到是解答本题的关键． 【变式3-4】如图所示是一个三角形支架，小王想要检查与的大小是否相等，由于不方便测量，小王想了一个办法，在，上量得，在上量得，同时量得和的长度相等，最后小王得出，他的说法正确吗？请你说明理由． 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 根据三边对应相等的两个三角形全等证明即可得出结论． 【详解】解：小王的做法正确．理由如下： 在和中， ∵ ∴， ∴． 【题型四】用HL证全等 【例4】如图，在中，，，垂足分别为 E，D，且有，求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法． 先证明，根据即可证明． 【详解】证明： ∵，， ∴ 在和中 ∵， ∴（）． 【举一反三】 【变式4-1】（2023八年级上·全国·专题练习）如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查运用“”证明三角形全等，根据“”证明三角形全等的条件即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 当时， 在和中 ， ∴． 故选：B 【变式4-2】（八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，AD是△ABC的高，AD＝BD＝8，E是AD上的一点，BE＝AC，AE＝2，BE的延长线交AC于点F，则CD的长为 ． 【答案】6 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】证明Rt△ACD≌Rt△BED(HL)，由全等三角形的性质得CD＝ED＝AD-AE＝6． 【详解】解：∵AD是△ABC的高， ∴AD⊥BC， ∴∠EDC＝∠BDE＝90°， ∴在Rt△ACD和Rt△BED中， ∴Rt△ACD≌△Rt△BED(HL)， ∴CD＝ED＝AD-AE＝8-2＝6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质．掌握证明三角形全等的条件是解题的关键． 【变式4-3】如图，在△ABC中，AC＝BC，过点A，B分别作过点C的直线的垂线AE，BF．若AE＝CF＝3，BF＝4.5，求EF的长度． 【答案】EF的长度为7.5 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】易证∠AEC=∠CFB=90°，由HL证得Rt△AEC≌Rt△CFB，得出EC=BF=4.5，即可得出结果． 【详解】解：∵过点A，B分别作过点C的直线的垂线AE，BF， ∴∠AEC=∠CFB=90°， 在Rt△AEC和Rt△CFB中，， ∴Rt△AEC≌Rt△CFB（HL）， ∴EC=BF=4.5， ∴EF=EC+CF=4.5+3=7.5． 【点睛】本题考查了全等直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等直角三角形的判定是解题的关键． 【变式4-4】（八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知BE⊥CD，BE=DE，BC=AD． (1)求证：△BEC≌△DEA； (2)求∠DFC的度数． 【答案】(1)见解析 (2)∠DFC=90°． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）由“HL”可证Rt△BEC≌Rt△DEA； （2）由全等三角形的性质可得∠B=∠D，由三角形内角和定理可求∠DFC=90°． 【详解】（1）证明：∵BE⊥CD， ∴∠BEC=∠DEA=90°， 在Rt△BEC和Rt△DEA中： ， ∴Rt△BEC≌Rt△DEA（HL）； （2）解：∵Rt△BEC≌Rt△DEA， ∴∠B=∠D， ∵∠DAE=∠BAF， ∴∠BFA=∠DEA=90°， ∴∠DFC=90°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 【题型五】尺规作图——作三角形 【例5】（八年级上·江苏苏州·期中）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】尺规作图——作三角形、构成三角形的条件 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的三边关系，根据全等三角形的判定定理及三角形的三边关系逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：A、已知一角和一边，不能判定三角形全等，故该选项不能画出唯一，不合题意； B、已知两边及一边的对角相等，不能判定三角形全等，故该选项不能画出唯一，不合题意； C、因为，所以三条线段不能构成三角形，故该选项不能画出唯一，不合题意； D、已知两角及夹边相等，由能判定三角形全等，故该选项能画出唯一，符合题意； 故选：D． 【举一反三】 【变式5-1】如图1，已知，，线段，求作．作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（ ） A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角 【答案】C 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、尺规作图——作三角形 【分析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法． 【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即． 故选：C． 【变式5-2】尺规作图：画一个三角形与如图所示的全等，要求用尺规作图，保留作图痕迹． 【知识点】尺规作图——作三角形 【分析】根据全等三角形的判定SSS定理分别作, ,即可． 【详解】解：如图所示： 【点睛】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握全等三角形的判定定理． 【变式5-3】已知：如图，线段m、n，用尺规作一个等腰三角形，使它的底等于m，腰等于n．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【知识点】尺规作图——作三角形 【分析】作一条线段等于已知线段m，作为三角形的底，再用圆规，分别以线段的两端点B，C为圆心，线段n的长为半径画弧，两弧交于点A，连接、，则即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求： 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 好题必刷 一、单选题 1．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的三边关系，根据全等三角形的判定定理及三角形的三边关系逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：A、已知一角和一边，不能判定三角形全等，故该选项不能画出唯一，不合题意； B、已知两边及一边的对角相等，不能判定三角形全等，故该选项不能画出唯一，不合题意； C、因为，所以三条线段不能构成三角形，故该选项不能画出唯一，不合题意； D、已知两角及夹边相等，由能判定三角形全等，故该选项能画出唯一，符合题意； 故选：D． 2．如图，在中，D是的中点，，若，则的值为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【分析】由题意，先证明，即可得到． 【详解】解：∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确找到证明三角形全等的条件． 3．如图，已知于点B，且，若，则的长为（    ） A．3 B．5 C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据已知条件先证明，再根据AAS证明，根据全等三角形性质可得，进而根据即可求得的长． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵． ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 4．如图，AC＝DC，BC＝EC，添加一个条件，不能保证△ABC≌△DEC的是（　　） A．AB＝DE B．∠ACB＝∠DCE C．∠ACD＝∠BCE D．∠B＝∠E 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：∵AC＝DC，BC＝EC， ∴AB=DE,满足SSS，故可保证△ABC≌△DEC； ∠ACB＝∠DCE，满足SAS, 故可保证△ABC≌△DEC； ∵∠ACD＝∠BCE ∴∠ACD+∠BCD＝∠BCE+∠BCD,即∠ACB＝∠DCE，满足SAS, 故可保证△ABC≌△DEC； 由∠B＝∠E，AC＝DC，BC＝EC，满足的是SSA，不能判定△ABC≌△DEC． 故选D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定法则是解答本题的关键，SSA不能判定三角形全等是解答本题的关键． 5．如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，利用判定方法“”证明和全等，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线． 故选：D． 二、填空题 6．图，已知，经分析 ，依据是 ． 【答案】 【分析】利用SAS得出全等三角形. 【详解】证明：∵AC＝BD， ∴AD＝BC， 在△ADF和△BCE中 ∵ ， ∴△ADF≌△BCE（SAS）. 故答案为：①，②，③. 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键 7．嘉淇为了测量建筑物墙壁AB的高度，采用了如图所示的方法： ①把一根足够长的竹竿AC的顶端对齐建筑物顶端A，末端落在地面C处； ②把竹竿顶端沿AB下滑至点D，使DB＝ ，此时竹竿末端落在地面E处； ③测得EB的长度，就是AB的高度． 以上测量方法直接利用了全等三角形的判定方法 （用字母表示）． 【答案】 / 【分析】根据题意，将的长度转化为的长度，证明即可求解． 【详解】解：由③可得将的长度转化为的长度，证明，故把竹竿顶端沿AB下滑至点D，使DB＝， 证明， （HL） 故答案为：，． 【点睛】本题考查了HL证明三角形全等，全等三角形的性质，掌握的性质与判定是解题的关键． 8．如图，AD是△ABC的高，AD＝BD＝8，E是AD上的一点，BE＝AC，AE＝2，BE的延长线交AC于点F，则CD的长为 ． 【答案】6 【分析】证明Rt△ACD≌Rt△BED(HL)，由全等三角形的性质得CD＝ED＝AD-AE＝6． 【详解】解：∵AD是△ABC的高， ∴AD⊥BC， ∴∠EDC＝∠BDE＝90°， ∴在Rt△ACD和Rt△BED中， ∴Rt△ACD≌△Rt△BED(HL)， ∴CD＝ED＝AD-AE＝8-2＝6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质．掌握证明三角形全等的条件是解题的关键． 三、解答题 9．阅读并填空：两块完全相同的纸板和，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边和的交点试说明不重叠的两部分与全等的理由． 解：因为两三角形纸板完全相同（已知）， 所以，__________，__________（全等三角形对应边、对应角相等）． 所以__________（等式性质）． 即__________（等式性质）． 完成以上说理过程． 【答案】，，，；证明见解析 【分析】根据全等三角形的性质得出AB＝DB，BC＝BF，∠A＝∠D，求出AF＝CD，根据AAS证明两三角形全等即可． 【详解】解：∵△ABC≌△DEF， ∴AB＝DB，BC＝BF，∠A＝∠D， ∴AB−BF＝DB−BC， ∴AF＝CD ∵在△AOF与△DOC中， ∴△AOF≌△DOC（AAS）， 故答案为：BF＝BC，∠A＝∠D，BD−BC，CD． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．全等三角形的对应角相等，对应边相等． 10.如图，在中，D为的中点，，，点E、F为垂足，且．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据“”证明即可． 【详解】证明：，，点E、F为垂足， ， 和均为直角三角形． 为的中点， ． 在和中， ， ． 11．已知：如图，点、、、在同一直线上，，，．求证：． 证明，再得到，即可证明平行． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．如图，．求证：． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴． 13．如图，线段与相交于点，点分别在上，线段过点，猜想线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】，见解析 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等． 证明，即可解答． 【详解】解：． ， ， ， 在与中，， ， ． 14．已知：如图，在中，，，交于点，于点，．求证：． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中 ， ∴， ∴，， ∴． 15．如图，已知，于点，于点，．求证：． 【详解】证明：∵   ∴     ∴ ∵    ∴与是直角三角形 ∵在与中， ， ∴ 16．如图，已知在四边形中，，E为的中点，连接，，，，，求的长度． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，延长交于F，可证明，得到，；再证明，得到，则． 【详解】解：如图所示，延长交于F， ∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴，； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 17.如图，在中，于点，，，求证：． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ． 18.如图中，，过C作，使，在上取一点E，连接，且．求证： 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用证明即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19．如图：已知ABCD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点． （1）请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等，并证明之； （2）求BE的长． 【答案】（1）见解析；（2）5 【分析】（1）延长交于点，通过全等三角形判定，即可求解； （2）根据勾股定理求得的长度，即可求解． 【详解】解：（1）延长交于点，如下图： ∵ ∴ ∵E是AD的中点 ∴ 在和中 ∴ ∴ （2）由（1）得，∴ ∵CD＝2AB＝12， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ， 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握并利用相关性质进行求解． 20．如图，在中，，分别是边，边上的高，与相交于点，且，连接． (1)试说明：； (2)试求的度数； (3)若点是的中点，则，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）由题意可知，根据即可证明； （2）在线段上取点，使得，连接，证明，可知是等腰直角三角形，得到，即可求出的度数； （2）过点作于点，证明，则，求出即可． 【详解】（1）证明：∵，分别是边，边上的高， ∴； 又∵， ∴，． ∴； （2）解：如图，在线段上取点，使得，连接， 在和中， ∴（） ∴，． ． 是等腰直角三角形． ． ； （3）解：如图，过点作于点， 点是的中点 在和中， ， （）． ． ． 由（2）得，． 又， ． ． ． ． 21．如图1，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由，，得，因为，所以，而，即可根据证明； （2）由全等三角形的性质得，因为，所以； （3）作于点，则，由，推导出，而，可证明，得，，则，再证明，得，由，求得，则，即可求得． 【详解】（1）证明：直线经过点，，垂足为，，垂足为， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：由（1）得， ， ， ， 的长是． （3）解：如图，作于点，则， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 线段的长为． 22．已知，在四边形中，，，分别是边上的点．且．探究线段的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明_________；即可得出线段之间的数量关系是______________________． (2)如图②，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，分别是所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)或或； 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长 到点G，使 ，连接 ，先证明，再证明，即可得出线段之间的数量关系； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，先利用证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：补全小宁的解题思路如下： 先证明；再证明；即可得出线段之间的数量关系是， 故答案为： ，，； （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图②，延长 到点G，使 ，连接， ∵， ∴， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：或或，理由如下： ①，如图：在 上截取，使 ，连接 ， ∵ ∴ 在 与 中， ∴ ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②，如图，在上截取， 同第一种情况，先证得，再证得， ∴ ； ③由（1）、（2）可知，； ④如图，点 在 延长线上，点 在延长线上，此时线段之间并无直接数量关系； 综上，线段之间的数量关系为或或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$