第05讲 等腰三角形 （知识清单+10大题型+好题必刷）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备课系列（苏科版2024）

第05讲 等腰三角形 （知识清单+10大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 等腰三角形的定义 题型二 等边对等角 题型三 三线合一 题型四 等腰三角形的性质和判定 题型五 等边三角形的性质 题型六 等边三角形的判定 题型七 等边三角形的判定和性质 题型八 含30度角的直角三角形 题型九 斜边的中线等于斜边的一半 题型十 直角三角形的两个锐角互余 知识清单 知识点1．等腰三角形定义和性质 1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． 2.等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【简称：三线合一】 知识点2．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明： ①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 知识点3．等边三角形的定义和性质 1.等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． 2.等边三角形的性质： (1)等边三角形的三条边都相等； (2)等边三角形的各角都等于60°； (3)等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，分别为三边的垂直平分线； (4)等边三角形各边上的高线、中线、所对的角平分线重合，且长度相等. 知识点4．等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 知识点5．含30°角的直角三角形的性质 1.含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 2.此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． 3注意： ①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 知识点6．直角三角形的性质定理 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 题型方法 【题型一】等腰三角形的定义 【例1】如果等腰三角形的一个角是70°，那么它的底角是（　　） A．55° B．70°或40° C．40°或55° D．70°或55° 【答案】D 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】分已知角是底角与不是底角两种情况，分别结合三角形内角和等于180°求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个角等于70°， ∴①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是70°， ②当这个是70°是顶角，设等腰三角形的底角是x°， 则2x+70°＝180°，解可得，x＝55°，即该等腰三角形的底角的度数是55°； ∴该等腰三角形的底角为70°或55°． 故选D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，灵活运用分类讨论思想成为解答本题的关键． 【举一反三】 1．已知等腰三角形一边长为4，周长为10，则另两边长分别为（    ） A．4，2 B．3，3 C．4，2或3，3 D．以上都不对 【答案】C 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】分两种情况讨论：若腰长为4；若底边长为4，即可求解． 【详解】解：若腰长为4，则底边长为10-4-4=2， 此时另两边长分别为4，2；可以构成三角形，满足题意； 若底边长为4，则腰长为， 此时另两边长分别为3，3；可以构成三角形，满足题意； 综上所述，另两边长分别为4，2或3，3． 故选：C 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键． 2．已知直角三角形△ABC的三条边长分别为3，4，5，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 条． 【答案】6 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】根据等腰三角形的性质分别利用AB，AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示： 当BC2=CC2，AC1=AC，BC=BC3，BC=CC4，BC=CC5，C6A=C6B都能得到符合题意的等腰三角形． 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键． 3.一个等腰三角形的周长是． (1)若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长． (2)若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 【答案】(1) (2)与，或与 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的定义 【分析】本题考查一元一次方程的应用，等腰三角形的定义等知识，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）设等腰三角形的底边长为，则腰长为，根据“周长是”列方程求解即可； （2）根据等腰三角形的定义，分腰为与底为两种情况分别求出其他两边即可； 【详解】（1）解：设等腰三角形的底边长为，则腰长为， 由题意得：， 解得： ∴，这个等腰三角形的底边长为，腰长分别为，， 即各边长分别是； （2）当腰为时，底边长为： ， ∴其余两边分别为，此时能构成三角形； 当底为时，腰长为：， ∴其余两边分别为，此时能构成三角形； 综上所述：其余两边分别为与，或与． 【题型二】等边对等角 【例2】若等腰三角形的顶角为50°，则它的一个底角的度数为（　　） A．65°或50° B．50° C．65° D．75° 【答案】C 【知识点】等边对等角 【分析】等腰三角形中，给出了顶角为50°，可以结合等腰三角形的性质及三角形的内角和定理直接求出底角，答案可得． 【详解】解：∵三角形为等腰三角形，且顶角为50°， ∴底角＝（180°−50°）÷2＝65°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质；等腰三角形中只要知道一个角，就可求出另外两个角，解题关键是掌握等腰三角形的性质． 【举一反三】 1．如图，将绕点B顺时针旋转，得到，若点E恰好在的延长线上，则的度数为 ． 【答案】/80度 【知识点】等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角．根据旋转的性质得到，，利用等边对等角可以求得的度数，据此求解得以解决． 【详解】 解：由题意得，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 2．如图，是等腰三角形，，，BP平分；点D是射线BP上一点，如果点D满足是等腰三角形，那么的度数是（    ）． A．20°或70° B．20°、70°或100° C．40°或100° D．40°、70°或100° 【答案】D 【知识点】等边对等角 【分析】由于中，腰底不确定，故需要分情况讨论，然后根据等腰三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：当时，如图所示， ，， ， 平分， ， ， ， 当时，如图所示， ，， ， 平分， ， ， ． 当时，如图所示， ，， ， 平分， ， ， ， 故的度数是：、或， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质及分类讨论的思想求解，本题属于中等题型． 3．在等腰△ABC中，∠A＝40°，则∠B＝ °． 【答案】40°或70°或100° 【知识点】等边对等角 【分析】本题要分两种情况讨论：当∠A=40°为顶角；当∠A=40°为底角时，则∠B为底角时或顶角．然后求出∠B． 【详解】分两种情况讨论： 当∠A=40°为顶角时，； 当∠A=40°为底角时，∠B为底角时∠B=∠A=40°；∠B为顶角时∠B=180°−∠A−∠C=180°−40°−40°=100°． 故答案为：40°或70°或100°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，分情况讨论问题. 【题型三】三线合一 【例3】（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，，垂足为，，垂足为，、交于点，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，关键是推出，属于中考常考题型． （1）根据证出即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，再根据，推出即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ，且， ， 在和中， ， ． （2）证明：∵， ， 又由（1）知， ∴， ． 【举一反三】 1.如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（   ）    A． B．平分 C． D． 【答案】D 【知识点】三线合一 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可得，平分，从而判断B与C正确；由等腰三角形等边对等角的性质可判断A正确；根据已知条件不能判断D正确． 【详解】解：∵中，，D是中点 ∴，即平分， 故A、B、C三项正确， D不正确． 故选：D． 2.如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是（  ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．延长交于，根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 故选：． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　） A．8 B．3 C．6 D．4 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，连接，，由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，当三点共线时，即的长为的最小值，由此即可得出结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点， ∴当三点共线时，即的长为的最小值， ∴的周长最短， 故选：A． 【题型四】等腰三角形的性质和判定 【例4】（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，是的角平分线，在上取点使． (1)求证：是等腰三角形 (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理和平行线的性质： （1）角平分线的性质，平行线的性质，推出，即可得出结论； （2）三角形的内角和定理，求出的度数，平行线的性质，求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 【举一反三】 1．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，与相交于点,给出下面四个条件：①∠1＝∠2；②AD＝BE；③④DF＝EF，从这四个条件中选取两个，不能判定是等腰三角形的是（    ） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据等腰三角形的判定，逐一进行判断即可． 【详解】解：A. ①∠1＝∠2；②AD＝BE， 又， （AAS）， ， ， ， 即， ， 是等腰三角形， 故该选项不符合题意； B. ①∠1＝∠2，④DF＝EF， 又， （AAS）， ， ， ， 即， ， 是等腰三角形； 故该选项不符合题意； C. ②AD＝BE；③不能证明，不能判定，故不能判定是等腰三角形；该选项符合题意； D. ③④DF＝EF， 又， （SAS）， ， ， ， 即， ， 是等腰三角形； 故该选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，点分别在射线上，，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，点在直线上运动时，当的面积最小值为时，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】连接，过点作于，根据轴对称的性质可得，，，即得，得到为等腰直角三角形，即得，可知当的面积最小时，点在点位置，即，可得，最后根据三角形面积公式计算即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于， 由轴对称可得，，，，， ∴，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当的面积最小时，点在点位置，即， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图①所示，在中，高相交于点F，且． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图②，延长到点G，过点G作的垂线交的延长线于点H，当时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题是三角形的综合题，主要考查了三角形的高，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，理解三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线，构造全等三角形． （1）证和全等即可证明； （2）证和全等得，从而得为等腰直角三角形，进而可得的度数； （3）在上截取，连接，先证和全等得，，再证，进而可依据“”判定和全等，从而得，由此可得线段的数量关系． 【详解】（1）证明：∵的高交于点F，如图所示： ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； （3）证明：在上截取，连接，如图2所示： ∵是的高，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 由（2）可知：，即， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 即． 【题型五】等边三角形的性质 【例5】 如图，，点在射线ON上，点在射线OM上，、均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为，第2个等边三角形的边长记为，以此类推．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质以及平行线的判定定理得出，以及，得出，，…进而得出答案． 【详解】解：如图，    ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， 同理可得：， ∴， 同理：， ， ， …， 以此类推：， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，等边中，是的中线，点E在线段上，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出是解本题的关键；先判断出是的垂直平分线，进而求出，即可得出结论． 【详解】解：∵等边三角形中，是的中线， ，，即：是的垂直平分线， ∵点在上， ， ， ， ， ∵是等边三角形， ， ， 故选：A． 2．如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形、与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤是正三角形．其中正确的结论有（    ） A．①②③⑤ B．①③④⑤ C．①②⑤ D．②③④ 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知，①正确；由得，加之，，得到，再根据推出为等边三角形，⑤正确；同理得：，即可得出②正确；根据，，可知，可知④错误；利用等边三角形的性质，，再根据平行线的性质得到，于是可知③正确． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，①正确； ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是等边三角形，⑤正确； 同理得：， ∴，②正确； ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴，故④错误； ∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴③正确； 综上，正确的有①②③⑤； 故选：A． 3．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使得．求的度数． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、等边对等角、三角形的外角的定义及性质 【分析】此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用．根据等边三角形的性质得到，，再根据角之间的关系求得，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】证明：是等边三角形，是中线， ，（等腰三角形三线合一）， 又， ， 又， ， ， ． 【题型六】等边三角形的判定 【例6】等边中，点P在内，点Q在外，且，问是什么形状的三角形？试说明你的结论． 【答案】是等边三角形，见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定 【分析】本题考查等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质，先证，得，再证，从而得出是等边三角形． 【详解】解：是等边三角形． 证明：∵为等边三角形， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形． 【举一反三】 1.如图，已知：在中，，，在直线上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，等边三角形的判定，如解析图中，当时，可证明此时是等边三角形，当时，是等腰三角形；再讨论讨论为等腰三角形时，符合题意的点D个数即可得到答案． 【详解】解：如图：当时，是等腰三角形； ∵， ∴是等边三角形， ∴； 当时，是等腰三角形； 当，，当时，都是等腰三角形； 综上，符合条件的点D的个数有6个． 故选：B． 2．在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是 ．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】三线合一、等边三角形的判定 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，等边三角形的判定．根据题意要证明垂直平分，推出，再根据等边三角形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图，添加时，为等边三角形， ∵在中，平分，， ∴是中边上的中线， ∴是中边上的高（三线合一）， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：（答案不唯一）． 3．在中，，直线，垂足为点，点是直线上一点，过作，交直线于点． (1)如图1，当点在点右侧时，若时，求证：； (2)在（1）问条件下，连接，若，请判断的形状，并说明理由； (3)如图2，若，，点在直线上运动，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 (3)20或44 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由垂线的定义得到，再导角证明，则可利用证明； （2）连接，可证明，得到，则可证明，进而证明垂直平分，得到，，则；证明垂直平分，得到，则可求出，进而得到，则是等边三角形； （3）分点E在延长线上和点E在延长线上，两种情况证明得到的长，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ （2）解：是等边三角形，理由如下： 如图所示，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）解：如图3①所示，当点E在延长线上时， 同理可证明， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3②所示，当点E在延长线上时， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为20或44． 【题型七】等边三角形的判定和性质 【例7】（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，和都是等边三角形．交于F，交于H． (1)求证：； (2)求证：； (3)判断的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)等边三角形，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质是解答的关键． （1）利用等边三角形的性质得出条件，可证明：； （2）利用得出，再运用平角定义得出进而得出因此； （3）由和根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可得是等边三角形． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形 ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ． ， ． ， 在和中， ， ， ； （3）解：是等边三角形． 理由如下： 由（2）知，， 是等边三角形． 【举一反三】 1．如图，在中，，，边上的高，E是边上的一个动点，F是边的中点，则的最小值是（   ） A．3.5 B．5 C．7 D．10 【答案】C 【知识点】两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，熟练掌握和运用等边三角形的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论． 先连接，，再根据，将转化为，最后根据两点之间线段最短，求得的长，即为的最小值． 【详解】解：连接，， ∵，， ∴是等边三角形， ∵是边上的高， 是边上的中线，即垂直平分， ， ∴， ∴当、、三点共线时，值最小 ，最小值为， 等边中，是边的中点， ， 的最小值为7， 故选：C． 2．如图，在面积为的锐角中，，，D是内部一点，E，F分别是边上的动点，连接．若的面积为2，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】过点D作直线，过点C作于点G，交直线l于点H，求出，推出的最小值为，再作点D关于的对称点，，连接，、，证明出是等边三角形，且边长等于，由此可解决问题． 本题考查了轴对称——最短路线问题，三角形面积计算，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，熟练掌握相关知识，证明出是等边三角形，且边长等于，是解题的关键． 【详解】解：过点D作直线，过点C作于点G，交直线l于点H，如图， 由题意，知为的边上的高，等于的边上的高， ∵锐角的面积为，， ∴， ， ∵的面积为2，， ∴，点D是直线l上的动点， ∴， ， ∵， 的最小值为， 作点D关于的对称点，，连接，、，，， 则，，，，， 当共线时，周长最小为， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 周长的最小值为， 故答案为：． 3．如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、等边三角形的判定和性质、利用平移的性质求解 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． （2）由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 【题型八】含30度角的直角三角形 【例8】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，点D在上，，延长至点E，使，过点E作于点F，交于点G，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得，，由线段的数量关系可求解，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ，，， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，中，，，等边三角形的三个顶点分别落在，，上，若，，则的长为 ． 【答案】14 【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，含角直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键． 过D点作于点G，则，先证明，可得，从而得到，再由直角三角形的性质可得，，从而得到的长，即可求解． 【详解】解：过D点作于点G，则， 在中，，， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：14． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，分别是以为斜边的直角三角形，是等边三角形． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和HL综合（HL）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，证明是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，，则可证明，证明得到，据此可得，即； （2）根据全等三角形的性质可得，则，进而可得，则． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵为斜边的直角三角形，且， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 3.如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当t为何值时，为等边三角形？ (2)当t为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1) (2)或 【知识点】等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了含角的直角三角形、等边三角形的判定，本题的关键是用含的代数式表示出、，熟练掌握等边三角形的判定，当不确定哪个是直角时注意分类讨论的思想方法． （1）用含的代数式表示出、，由于，当时，为等边三角形，列式求解即可； （2）分两种情况进行讨论：当时，时，利用直角三角形中，含角的边的关系，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵在中， ，， ∴， ∵，点的运动速度为， ∴， ∵点的运动时间为， ∴，， ∴， 当时，为等边三角形， 即， 解得：； ∴当时，为等边三角形； （2）解：若为直角三角形， ①当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； ②当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 综上所述，当或时，为直角三角形． 【题型九】斜边的中线等于斜边的一半 【例9】如图，在中，于点F，于点E，M为的中点，，则的周长是（    ） A．7 B．10 C．11 D．14 【答案】C 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM＝FM＝BC，再根据三角形的周长的定义列式计算即可得解． 【详解】∵，M为的中点， ∴， ∴的周长 故选C． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 【举一反三】 1．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，∠B＝72°，CE⊥AB于E，F为AD中点，则∠AEF等于（    ） A．54° B．55° C．60° D．45° 【答案】A 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】取BC的中点G，连接EG、FG，如图，先根据直角三角形斜边上的中线性质得到EG＝BG＝CG，则∠B＝∠GEB＝∠FGC＝72°，则EG＝AB＝FG，所以∠EFG＝∠FEG，接着利用平角的定义可得∠AEF的大小． 【详解】解：取BC的中点G，连接EG、FG，如图， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC，ADBC， ∴AFBG， ∵F为AD的中点， ∴AF＝BG＝AD， ∴四边形ABGF是平行四边形， ∴ABFG， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴ABCD， ∴ABFG， ∵CE⊥AB， ∴∠CEB＝90°， ∴EG＝BG， ∴∠B＝∠GEB＝∠FGC＝72°， ∴∠BGE＝180°﹣72°﹣72°＝36°， ∴∠EGF＝180°﹣72°﹣36°＝72°， ∵BC＝2AB， ∴EG＝AB＝FG， ∴∠EFG＝∠FEG＝54°， ∴∠AEF＝180°﹣54°﹣72°＝54°， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，直角三角形斜边中线的性质，也考查了等腰三角形的性质． 2．如图，在中，是斜边上的中线，若，则的长是 ．    【答案】2 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】解：在中，是斜边上的中线，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形性质，熟记直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解决问题的关键． 3.如图所示，在△ABC中，AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线，G是CE的中点，AB=2CD，求证：DG⊥CE． 【答案】见解析 【知识点】根据三线合一证明、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】连接DE，根据直角三角形的性质得到DE=AB，再根据AB=2CD，得到CD=AB，从而可得CD=DE，根据等腰三角形的三线合一证明即可． 【详解】证明：连接DE，如图： ∵AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线， ∴AD⊥BD，E是AB的中点， ∴DE=AB， ∵AB=2CD， ∴CD=AB， ∴CD=DE， ∵G是CE的中点， ∴DG⊥CE． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质．解题的关键是掌握直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，明确在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 【题型十】直角三角形的两个锐角互余 【例10】在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，已知一个锐角为，另一个锐角的度数即为减去已知锐角的度数． 【详解】解：∵在直角三角形中，两个锐角的和为， ∴． 故选：D． 【举一反三】 1.若直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形的两个锐角互余计算得出． 【详解】解：直角三角形中，一个锐角是， 另一个锐角的度数为：， 故选：B． 2．如图，在中，是斜边的垂直平分线，连接，若，则 度． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形锐角互余等知识点． 根据垂直平分线得到，则，再根据直角三角形锐角互余即可求解． 【详解】解：∵是斜边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．如图，已知，求的度数． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余得到，，再由平角即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 好题必刷 一、单选题 1．直线上依次有A，B，C，D四个点，AD＝7，AB＝2，若AB，BC，CD可构成以BC为腰的等腰三角形，则BC的长为（　　） A．2 B．5 C．2或2.5 D．无法计算 【答案】C 【分析】根据两种情况即BC＝AB或BC＝CD进行解答即可． 【详解】解：如图 ∵AB＝2，AD＝7， ∴BD＝BC+CD＝5， ∵BC作为腰的等腰三角形， ∴BC＝AB或BC＝CD， ∴BC＝2或2.5． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了线段的和与差，等腰三角形的定义 ，解题的关键是根据两种情况解答． 2．如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　） A．8 B．3 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，连接，，由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，当三点共线时，即的长为的最小值，由此即可得出结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点， ∴当三点共线时，即的长为的最小值， ∴的周长最短， 故选：A． 3．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，与相交于点,给出下面四个条件：①∠1＝∠2；②AD＝BE；③④DF＝EF，从这四个条件中选取两个，不能判定是等腰三角形的是（    ） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定，逐一进行判断即可． 【详解】解：A. ①∠1＝∠2；②AD＝BE， 又， （AAS）， ， ， ， 即， ， 是等腰三角形， 故该选项不符合题意； B. ①∠1＝∠2，④DF＝EF， 又， （AAS）， ， ， ， 即， ， 是等腰三角形； 故该选项不符合题意； C. ②AD＝BE；③不能证明，不能判定，故不能判定是等腰三角形；该选项符合题意； D. ③④DF＝EF， 又， （SAS）， ， ， ， 即， ， 是等腰三角形； 故该选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键． 二、填空题 4．某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为 m． 【答案】4 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．根据，得出为直角三角形，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形， ∵E是斜梁的中点， ∴． 故答案为：4． 5．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，平分，交于点D，E为的中点，连接，则的周长为 ． 【答案】28 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、三线合一 【分析】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用等腰三角形得到性质是解题的关键． 由等腰三角形的性质推出，，由直角三角形斜边中线的性质得到，再求的周长即可． 【详解】解：∵在中，，平分， ∴， ∴， ∵E为 的中点， ∴， ∴的周长． 故答案为：28． 6．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，是斜边上的中线，与关于直线对称．连接，若，则 ． 【答案】70 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、斜边的中线等于斜边的一半、等边对等角 【分析】本题考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，证明，求出，推出，推出可得结论． 【详解】解：∵是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵与关于直线对称， . ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：70． 7.如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当与的一边垂直时， ． 【答案】或或 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、折叠问题 【分析】本题主要考查了三角形折叠中的角度问题，直角三角形两锐角互余，正确进行计算是解题关键，分当D点在线段上时，当点D点在线段延长线上讨论，画出对应的图形，根据三角形内角和定理和折叠的性质求解即可． 【详解】解：当D点在线段上且时， 由折叠可知：， ， ， ， ； 当D点在线段上且时， 由折叠的性质可得， ； 当D点在线段延长线上且时， 同理可得； 当D点在线段延长线上且时， ， ， ， ， 故答案为：或或． 三、解答题 8．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，，是的中线，E是的中点．求证： 【答案】见解析 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、三线合一、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查等腰三角形性质，直角三角形性质，平行线判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识．利用等腰三角形性质得到是直角三角形，再结合直角三角形性质，推出，即可证明． 【详解】证明： 是中线，， 是角平分线，是高， 是直角三角形，， E是斜边中点， ， ， ． 9.如图，已知在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，AB＝12．求BF的长． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】首先根据等边三角形的性质和AB的长度求出AD的长度，然后根据30°角所对直角边是斜边的一半求出AE的长度，进而求出CE的长度，然后根据30°角所对直角边是斜边的一半求出CF的长度，即可求出BF的长度． 【详解】∵在等边△ABC中，D是AB的中点， ∴AD=BD= AB=6， ∵∠A=60°，DE⊥AE， ∴∠ADE=30°， ∴， ∴CE=AC-AE=12-3=9， 又∵∠C=60°，EF⊥BC， ∴∠FEC=30°， ∴CF=CE=， ∴BF=BC-CF=12-=． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，30°角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，30°角直角三角形的性质． 10．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三线合一、等边对等角、线段垂直平分线的性质、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质． （1）连接，由线段垂直平分线的性质得到，得到，根据等腰三角形的三线合一证明； （2）根据等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到，然后利用等边对等角求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知，已知，点D、E分别在上，，和相交于点O． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)等腰三角形，见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键． （1）利用“”证明全等即可； （2）根据全等三角形的性质，得到，再结合等边对等角的性质，得到，即可判断的形状． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：是等腰三角形， 理由如下：， ，     ， ，     ， ， ，     是等腰三角形． 12．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在四边形中，． (1)若为的中点，，求证：平分； (2)若为的中点，，，试判断三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【知识点】等边三角形的判定、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和HL综合（HL）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）延长交的延长线于点，由“”可证，可证，，可证，可得，可得结论； （2）由等腰三角形的性质可得，，由“”可证，可得，可求，即可求解． 【详解】（1）解：证明：延长交的延长线于点， 点是的中点， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， 平分； （2）是等边三角形． 理由如下：点是中点， ， ，， ，， ， ，且， ， ， ，且， ， ，且， 是等边三角形． 13．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知，，，点在线段上，点在线段上，设，． (1)如果，，那么是等边三角形？请说明理由； (2)若，试求与之间的关系． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定 【分析】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形外角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据已知得△ABC是等腰三角形，从而可得，进而可得，然后利用三角形的外角定义可得，从而利用三角形内角和定理求出，即可解答； （2）利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形的外角定义，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 理由：，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）若时，则， 证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 14．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，、分别是、边上的高，F是的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，及直角三角形斜边上的中线的性质的综合运用．灵活运用直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键． （1）连接，由直角三角形斜边上的中线的性质可得，即可证明结论； （2）证明是等边三角形即可求得结论． 【详解】（1）证明：连接， 分别是边上的高， ， ，为直角三角形， 是的中点， ， 是等腰三角形； （2）解：， 且， 为等边三角形， ． 15．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，垂足为，，垂足为，是的中点，连接、． (1)求证：； (2)连接，若，．判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，见解析 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由直角三角形的性质可得，，即可得证； （2）由（1）知，，再结合，即可得解． 【详解】（1）证明：，， ， 在中，，是中点， ， 在中，，是中点， ， ． （2）解：等边三角形， 理由如下：如图， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 16．在等边中，点是边上任意一点，连接，过点的射线交于点，交于点，当时，则必有．为验证此规律的正确性，先利用下图，作，再通过证明全等得出结论．请根据以上思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规在下图的基础上作交于点，交于点．（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹） (2)证明：为等边三角形 ①___________②___________， 在和中， ， ， ④___________， 又， ⑤___________， ． 【答案】(1)见解析 (2)，，，， 【分析】本题考查作一个角等于已知角，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据作一个叫等于已知角解答即可； （2）根据等边三角形的性质，利用得到，即可证明结论． 【详解】（1）如图，射线即为所作； （2）证明：为等边三角形 ， 在和中， ， ， ， 又， ， ． 故答案为：，，，，． 17．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，中，，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为，点N的速度为，当点N第一次到达B点时，点M、N同时停止运动． (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ (2)点M、N运动几秒后，以点A、M、N为顶点的三角形是等边三角形？ (3)当点M、N在上运动时，连接、，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时点M、N运动的时间． 【答案】(1)点M、N运动12秒后重合 (2)当点M、N运动4秒时，是等边三角形 (3)存在，当点M、N运动16秒时，是等腰三角形 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题是三角形的综合问题，主要考查了等边三角形的性质及判定和直角三角形的定义与性质，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系． （1）首先设点M、N运动t秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多，列出方程求解即可； （2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形，然后表示出，的长，由于等于，所以只要三角形就是等边三角形； （3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出，的长，列出方程，可解出未知数的值． 【详解】（1）设点M、N运动t秒后重合， 则， 解得， ∴点M、N运动12秒后重合； （2）设点M、N运动t秒后，是等边三角形， 如图1，，， 当时，是等边三角形， 即， 解得， ∴当点M、N运动4秒时，是等边三角形； （3）能得到以为底边的等腰三角形；理由如下： 如图2， 设点M、N运动t秒， 则，， 假设是等腰三角形， 则，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴当点M、N运动16秒时，是等腰三角形． 18．问题背景： （1）如图（1），在四边形中，，，．E，F分别是，上的点．且，探索，，的数量关系，王岩和张放两位同学探索的思路虽然不尽相同，但都得出了正确的结论． 王岩是这样想的：把绕着点逆时针旋转到使与重合，得，并确定点，，在一条直线上，再证明…… 张放是这样想的：延长到点，使，连接，先证明，……他们得出的结论是_________________． （2）探索延伸：如图（2），若在四边形中，，．E，F分别是，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； （3）实际应用： 如图（3），在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心（O处）南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离都是90海里，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里小时的速度前进，同时，舰艇乙沿着射线的方向（），以14海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且舰艇乙在指挥中心南偏东，试问，两舰艇E，F之间的距离是否符合（2）的条件？如果符合，请求出两舰艇之间的距离（画出辅助线）；如果不符合，请说明理由． 【答案】（1），（2）成立，理由见解析；（3）111海里 【知识点】与方向角有关的计算题、旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）张放的方法利用延长线段构造全等三角形，王岩是利用旋转构造全等三角形，如图1证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论； （2）延长到点G．使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论； （3）延长、相交于点G，根据题意得到，，，根据图2的结论计算． 【详解】（1）解：，理由如下： 延长到点G．使．连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ； （2）（1）中的结论仍然成立，即．理由： 延长到点G．使．连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ； （3）延长、相交于点G， 舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处， ， ， 舰艇乙在指挥中心（O处）南偏东的B处， ， 甲、乙两舰艇分别到达E，F处， 舰艇甲向正东方向以60海里小时的速度前进，同时，舰艇乙沿着射线的方向（），以14海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处， 且舰艇乙在指挥中心南偏东， ，海里，海里， ， 为等边三角形， ， ， ， 在四边形中 ， ， 符合（2）中的条件，结论成立， 海里． 19．已知，是等边三角形，点为射线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转至． (1)如图1，当点在的延长线上时，过点作交边于点，求证：； (2)如图2，点在边上时，连接交边于点，若，，求的长； (3)当点在的延长线上时，连接与射线交于点，若，试探究的值（用含的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）利用平行线的性质以及等边三角形的性质得出，进一步利用三角形外角的定义和性质进一步得出，根据证明即可得结论； （2）过点E作交边的延长线于点F，证明和，可得，可得结论； （3）设，则，分两种情况：点F在边上和在的延长线上，如图3和图4，过点作．交射线于F，证明和，即可解答 【详解】（1）证明∶∵是等边三角形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转至， ∴，． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）证明：过点E作交边的延长线于点F，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∵， ∴， （3）解：∵， 设，则， 如图3，过点E作，交射线于F，    同理得：， ∴， ， 同理得：， ∴， ∴． 如图4，过点E作，交于F，    同理得： ， ∴，， 同理得：， ∴， ∴． 故答案为：或 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，作辅助线构建全等三角形是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 等腰三角形 （知识清单+10大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 等腰三角形的定义 题型二 等边对等角 题型三 三线合一 题型四 等腰三角形的性质和判定 题型五 等边三角形的性质 题型六 等边三角形的判定 题型七 等边三角形的判定和性质 题型八 含30度角的直角三角形 题型九 斜边的中线等于斜边的一半 题型十 直角三角形的两个锐角互余 知识清单 知识点1．等腰三角形定义和性质 1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． 2.等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【简称：三线合一】 知识点2．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明： ①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 知识点3．等边三角形的定义和性质 1.等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． 2.等边三角形的性质： (1)等边三角形的三条边都相等； (2)等边三角形的各角都等于60°； (3)等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，分别为三边的垂直平分线； (4)等边三角形各边上的高线、中线、所对的角平分线重合，且长度相等. 知识点4．等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 知识点5．含30°角的直角三角形的性质 1.含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 2.此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． 3注意： ①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 知识点6．直角三角形的性质定理 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 题型方法 【题型一】等腰三角形的定义 【例1】如果等腰三角形的一个角是70°，那么它的底角是（　　） A．55° B．70°或40° C．40°或55° D．70°或55° 【举一反三】 1．已知等腰三角形一边长为4，周长为10，则另两边长分别为（    ） A．4，2 B．3，3 C．4，2或3，3 D．以上都不对 2．已知直角三角形△ABC的三条边长分别为3，4，5，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 条． 3.一个等腰三角形的周长是． (1)若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长． (2)若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 【题型二】等边对等角 【例2】若等腰三角形的顶角为50°，则它的一个底角的度数为（　　） A．65°或50° B．50° C．65° D．75° 【举一反三】 1．如图，将绕点B顺时针旋转，得到，若点E恰好在的延长线上，则的度数为 ． 2．如图，是等腰三角形，，，BP平分；点D是射线BP上一点，如果点D满足是等腰三角形，那么的度数是（    ）． A．20°或70° B．20°、70°或100° C．40°或100° D．40°、70°或100° 3．在等腰△ABC中，∠A＝40°，则∠B＝ °． 【题型三】三线合一 【例3】（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，，垂足为，，垂足为，、交于点，．求证： (1)； (2)． 【举一反三】 1.如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（   ）    A． B．平分 C． D． 2.如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是（  ） A．10 B．8 C．6 D．4 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　） A．8 B．3 C．6 D．4 【题型四】等腰三角形的性质和判定 【例4】（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，是的角平分线，在上取点使． (1)求证：是等腰三角形 (2)若，，求的度数． 【举一反三】 1．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，与相交于点,给出下面四个条件：①∠1＝∠2；②AD＝BE；③④DF＝EF，从这四个条件中选取两个，不能判定是等腰三角形的是（    ） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，点分别在射线上，，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，点在直线上运动时，当的面积最小值为时，则的面积为 ． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图①所示，在中，高相交于点F，且． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图②，延长到点G，过点G作的垂线交的延长线于点H，当时，求证：． 【题型五】等边三角形的性质 【例5】 如图，，点在射线ON上，点在射线OM上，、均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为，第2个等边三角形的边长记为，以此类推．若，则（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，等边中，是的中线，点E在线段上，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形、与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤是正三角形．其中正确的结论有（    ） A．①②③⑤ B．①③④⑤ C．①②⑤ D．②③④ 3．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使得．求的度数． 【题型六】等边三角形的判定 【例6】等边中，点P在内，点Q在外，且，问是什么形状的三角形？试说明你的结论． 【举一反三】 1.如图，已知：在中，，，在直线上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 2．在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是 ．（只需写出一个） 3．在中，，直线，垂足为点，点是直线上一点，过作，交直线于点． (1)如图1，当点在点右侧时，若时，求证：； (2)在（1）问条件下，连接，若，请判断的形状，并说明理由； (3)如图2，若，，点在直线上运动，当时，求的面积． 【题型七】等边三角形的判定和性质 【例7】（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，和都是等边三角形．交于F，交于H． (1)求证：； (2)求证：； (3)判断的形状并说明理由． 【举一反三】 1．如图，在中，，，边上的高，E是边上的一个动点，F是边的中点，则的最小值是（   ） A．3.5 B．5 C．7 D．10 2．如图，在面积为的锐角中，，，D是内部一点，E，F分别是边上的动点，连接．若的面积为2，则周长的最小值为 ． 3．如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【题型八】含30度角的直角三角形 【例8】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，点D在上，，延长至点E，使，过点E作于点F，交于点G，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，中，，，等边三角形的三个顶点分别落在，，上，若，，则的长为 ． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，分别是以为斜边的直角三角形，是等边三角形． 3.如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当t为何值时，为等边三角形？ (2)当t为何值时，为直角三角形？ 【题型九】斜边的中线等于斜边的一半 【例9】如图，在中，于点F，于点E，M为的中点，，则的周长是（    ） A．7 B．10 C．11 D．14 【举一反三】 1．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，∠B＝72°，CE⊥AB于E，F为AD中点，则∠AEF等于（    ） A．54° B．55° C．60° D．45° 2．如图，在中，是斜边上的中线，若，则的长是 ．    3．如图所示，在△ABC中，AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线，G是CE的中点，AB=2CD，求证：DG⊥CE． 【题型十】直角三角形的两个锐角互余 【例10】在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1.若直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，是斜边的垂直平分线，连接，若，则 度． 3．如图，已知，求的度数． 好题必刷 一、单选题 1．直线上依次有A，B，C，D四个点，AD＝7，AB＝2，若AB，BC，CD可构成以BC为腰的等腰三角形，则BC的长为（　　） A．2 B．5 C．2或2.5 D．无法计算 2．如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　） A．8 B．3 C．6 D．4 3．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，与相交于点,给出下面四个条件：①∠1＝∠2；②AD＝BE；③④DF＝EF，从这四个条件中选取两个，不能判定是等腰三角形的是（    ） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 二、填空题 4．某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为 m． 5．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，平分，交于点D，E为的中点，连接，则的周长为 ． 6．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，是斜边上的中线，与关于直线对称．连接，若，则 ． 7.如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当与的一边垂直时， ． 三、解答题 8．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，，是的中线，E是的中点．求证： 9.如图，已知在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，AB＝12．求BF的长． 10．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 11．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知，已知，点D、E分别在上，，和相交于点O． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 12．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在四边形中，． (1)若为的中点，，求证：平分； (2)若为的中点，，，试判断三角形的形状，并说明理由． 13．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知，，，点在线段上，点在线段上，设，． (1)如果，，那么是等边三角形？请说明理由； (2)若，试求与之间的关系． 14．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，、分别是、边上的高，F是的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 15．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，垂足为，，垂足为，是的中点，连接、． (1)求证：； (2)连接，若，．判断的形状，并说明理由． 16．在等边中，点是边上任意一点，连接，过点的射线交于点，交于点，当时，则必有．为验证此规律的正确性，先利用下图，作，再通过证明全等得出结论．请根据以上思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规在下图的基础上作交于点，交于点．（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹） (2)证明：为等边三角形 ①___________②___________， 在和中， ， ， ④___________， 又， ⑤___________， ． 17．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，中，，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为，点N的速度为，当点N第一次到达B点时，点M、N同时停止运动． (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ (2)点M、N运动几秒后，以点A、M、N为顶点的三角形是等边三角形？ (3)当点M、N在上运动时，连接、，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时点M、N运动的时间． 18．问题背景： （1）如图（1），在四边形中，，，．E，F分别是，上的点．且，探索，，的数量关系，王岩和张放两位同学探索的思路虽然不尽相同，但都得出了正确的结论． 王岩是这样想的：把绕着点逆时针旋转到使与重合，得，并确定点，，在一条直线上，再证明…… 张放是这样想的：延长到点，使，连接，先证明，……他们得出的结论是_________________． （2）探索延伸：如图（2），若在四边形中，，．E，F分别是，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； （3）实际应用： 如图（3），在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心（O处）南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离都是90海里，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里小时的速度前进，同时，舰艇乙沿着射线的方向（），以14海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且舰艇乙在指挥中心南偏东，试问，两舰艇E，F之间的距离是否符合（2）的条件？如果符合，请求出两舰艇之间的距离（画出辅助线）；如果不符合，请说明理由． 19．已知，是等边三角形，点为射线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转至． (1)如图1，当点在的延长线上时，过点作交边于点，求证：； (2)如图2，点在边上时，连接交边于点，若，，求的长； (3)当点在的延长线上时，连接与射线交于点，若，试探究的值（用含的代数式表示） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$