第4周 第2天 整式的乘法-【预备新初二】2025-2026学年新八年级数学衔接教材

三预备新初二数学 .∠ACB=∠DEF, ∴.EG=CG ∴，△GEC是等腰三角形. 第五天等边三角形 1.240如图，：△ABC是等边三角形，∴.∠A= 60°.'∠1=∠A+∠AED,∠2=∠A+∠ADE, ∴.∠1+∠2=∠A+∠AED+∠A+∠ADE. :∠AED+∠A+∠ADE=180°，.∴，∠1+∠2= ∠A+180°=60°+180°=240° 2.证明：：AB=AC,.∠B=∠C DE⊥AB,DF⊥BC, ∴.∠DEA=∠DFC=90° D为AC的中点，∴DA=DC 又.DE=DF, ∴.Rt△AED≌Rt△CFD(HL), ,∠A=∠C, ∴.∠A=∠B=∠C ∴.△ABC是等边三角形 3D∠ACB=90°，∠A=30°，.BC=AB= 2 2×6=3,LB=60.:∠CDB=90, 1 ∴.∠BCD+∠B=90°，∠BCD=30°，∴.BD= 2BC=2×3=1.5,AD=AB-BD=6-1.5= 4.5. 第四周整式的乘法与因式分解 第一天幂的运算 1.解：(1)(-x)2·(-x)4=(-x)24=(-x)=x5 (2)5m·53m1=5m+3m+1=54m+1】 2.(1)27x+y-3=0,∴.x+y=3,∴.3·3= 3”=33=27. (2)227×321=33×32-1=322=3, ∴.2n+2=6,解得n=2. 90 3.解：(1)[(-a)12=(-a3)2=a° （2)-(22)2=-222=-24 4.解：10"=5,10°=3， .102m+3%=102m·1030=(10)2×(10)3=52× 33=675. 5解：(10(-2=(2(y2= (2)(-a263)3=(-a2)3·(63)3=-a6. 第二天整式的乘法 1.解：(1)2x2·（-w)3=[2×(-1)]·(x2·x) y2=-2xy2 (2)(-2x2y)3·(-3xy2)=(-8xy3）· (-3xy2)=[(-8)×(-3)](x·x)(y·y2)= 24x2y2. 2解：(1)(4a-b)(-2b)2=(4a-b)·4b2= 16ab2-4b3 (2)(3a+1)(a-2)=3a·a+3a·(-2)+1· a+1×(-2)=3a2-6a+a-2=3a2-5a-2. 3.D根据题意，得花园的长为(4-2x)m,宽为 (3-x)m,故面积为(4-2x)(3-x)=(2x2- 10x+12)m2. 4.解：（1)(-y)5÷(-xy)8=(-y)38= （-)=-xy (2)a2m÷a-2=a2mt4)-(m-2=a2m4m2=am6 3 6 a=2,a"=3,.a"4=a"÷a=3÷ 28 6.解：(1)(-12xyz)÷(3x3y2)=[(-12)÷3] x=-4x2yz. (2)(24a3-16a2+8a)÷(-4a)=24a3÷(-4a)+ (-16a2)÷(-4a)+(8a)÷(-4a)=-6a2+ 4a-2. 第三天乘法公式 1.解：(1)(5m+3n)(5m-3n)=(5m)2-(3n)2= 25m2-9n2. (2)(4x+y)(-4x+y)=(y+4x)(y-4x)=y2- (4x)2=y2-16x2.第四周 整式的乘法与因式分解 知识点/3积的乘方 1.积的乘方的运算性质：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再 把所得的幂相乘。 太阳这么大， 你们只撑一把 2.式子表示：(ab)"=ab(n是正整数). ◆，不如一人 一把 白敲黑板积的乘方的运算性质可逆用，即a"b=(ab)“(n是正整数). 3.同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的区别 积的乘方 运算 等号左边 运算特点 等号右边 同底数幂的乘法 a"·a 底数不变，指数相加 2tn 暴的乘方 (a)" 底数不变，指数相乘 gm 积的乘方 (ab)" 积的每一个因式分别乘方，幂相乘 a·b 集5计算：(1)(xy)2; (2)(-3×102)3 么即学脚妹多考誉量见90 ⊙思路制析 第三步解决问题 5计算：(1)(-3a月 第二步结合所学 第一步提取信息 把积的每一个因式分别乘 (2)(-a2b)3 积的乘方的运算性质 观察式子，是积 方，再把所得的幂相乘 的乘方 【答案】解：(1)(xy)2=x2·(y)2=x2y (2)(-3×102)3=(-3)3×(102)3=-27×10°=-2.7×107. 口拔巧点拨 运用积的乘方的运算性质进行运算的步骤 确定底数中的因式 每一个因式分别乘方 所得的暴相乘 25年456考 5⊙第二天 整式的乘法 典例讲解 知识回顾 1.两数相乘，同号得正，异号得负。 2.有理数的乘法满足乘法交换律，乘法结合律，乘法分配律 3.几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数：负的乘数的个数是奇数时， 积为负数 57 岳 预备新初二数学 预习新知 知识点/①单项式与单项式相乘 @ 1.一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作 乘法交换律 桑法结合律 同底数法的运算性 为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为 我的实质戴 是你们的综 积的一个因式 合运用 2.式子表示：ac2·bc4=(a·b)·(c2·c)=abc24=abc 3.单项式乘单项式的步骤 ·指戴相加 确定 单独出现 系数 同底 数暴 的字母 乘积作 相乘作 连同它的 算 为积的 为积的 指数直接 系数 因式 作为积的 因式 ☑即学即陈多考卷案见P90 L计算：(1)2x2·(-y); 典n计算：(1)2a3·3a2; (2)(-3x)·4x2y (2)(-2x2y)3·(-3y2). 【答案】解：(1)2a3.3a2=(2×3)·(a3·a2)=6a+2=6a3 (2)(-3x)·4x2y=(-3×4)y·(x·x2)=-12y·x+2=-12x3y D技巧点拔 将单项式分解成系数和字母部分，然后逐项进行乘法运算，先处理 系数的乘法，再处理相同字母指数的加法。在乘法运算中，要注意结果的符号。 知识点/2 多项式的乘法 1.多项式的乘法 警告，你把我 单项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每 遗忘啦！ 文字表述 与多项式 项，再把所得的积相加 3@,4m6n0 相乘 宇母表示 p(a+b+c)=pa+pb+pc(p,a,b,c都是单项式） 3@4m3@,6 多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一 文字表述 与多项式 个多项式的每一项，再把所得的积相加 相乘 字母表示 (a+b)(p+g)=ap+ag+bp+bg(a,b,p,q都是单项式)》 2.多项式乘多项式的步骤 1按照一定的顺序 不重不漏 确定多项式 依据法则转化为 得乘积的和 中的每一项 单项式×单项式 合并同类项 58 第四周 整式的乘法与因式分解 立敲黑板 多项式乘法的注意事项 注意事项 描述 示例 你把我忘啦！ 确保第一个多项式中的每一 (a+b)(m+n)=am+an+ 每一项都要相乘 项都与第二个多项式中的每 bm+bn 一项相乘 (+2)(+6)2+6+12 乘法完成后，合并所有产生的 爽，薄里不对呢？ 合并同类项 3x2+2x2=5x2 同类项 两个多项式相乘，乘积的项数 如果多项式A有m项，多 多项式与多项式相乘时 项数的关系 最多为两个多项式项数的 项式B有n项，乘积最多 要做到不重不漏 来积 有mxn项 相同底数的项相乘时，底数不 指数法则 x3·x2=x32=x ☑即学即然枣考卷金见P90 变，指数相加 2.计算：(1)(4ab)(-2b)2； (-a)·b=-ab: 注意特号 正确处理乘法中的正负号 (2)(3a+1)(a-2). a·(-b)=-ab 典例2计算：(1)2x2y·（x+y); (2)(2m-n)(m-3n). 【答案】解：(1)2x2y·(x+y)=2x2y·x+2x2y·y=2x3y+2xy2. (2)(2m-n)(m-3n)=2m·m+2m·(-3n)+(-n)·m+(-n)·(-3n)= 2m2-6mn-mn+3n2=2m2-7mn+3n2. ©易错提醒单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，合并前，其项数与 ☑即学即练永考卷囊见P90 因式中多项式的项数相同 3.如图，在长为4m,宽 典例3如图，一块长方形铁皮的长为(7a+b)cm, a+b 为3m的长方形空地上 宽为(5a+3b)cm.将这块长方形铁皮的四个角都 规划一块长方形花园（图 剪去一个边长为(a+b)cm的正方形，然后沿虚线 中阴影部分)，花园的北 5a+3b 折成一个无盖的盒子 面和东、西两面都留有宽 (1)求这个盒子底面的面积（用含a,b的式子表示）； 度为xm(0<x<1)的小路 Ta+b (2)当a=2,b=1时，求这个盒子底面的面积 (图中空白部分)，则花 心思路制折 园的面积为( 第三步解决问题 北 第二步结合所学 第一步提取信息 把原长方形铁皮的长、宽 利用长方形面积公式 和剪去的正方形边长代 观察图形可知，盒 和多项式的乘法的运 入，计算出结果 子底面的长和宽可 算性质进行化简 直接计算出来 A.(2x2-10x+6)m2 【答案】解：(1)由题可知，盒子底面的面积为 B.(4x2-10x+12)m [(7a+b)-2(a+b)][(5a+3b)-2(a+b)] C.(4x2+10x-12)m =(7a+b-2a-2b)(5a+3b-2a-2b) D.(2x2-10x+12)m2 59 三预备新初二数学 =(5a-b)(3a+b) =(15a2+2ab-b2)cm2. (2)当a=2,b=1时，盒子底面的面积为 15×22+2×2×1-12=63(cm2) Q技巧点搜与整式的乘法有关的儿何图形面积问题，在读图时，要将已知 线段进行等量转化，再分析图形，观察它是由哪些基本图形组成，把不规则 图形分割转化为我们学习过的规则图形（如长方形、正方形等）面积的和或 差，进行计算即可 知识点/③同底数幂的除法 1.同底数幂除法的运算性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 2.式子表示：a"÷a”=am“(a≠0，m,n都是正整数，并且m>n). 你不可以上车！ 之敲黑板 该性质可逆用，即a=a"÷a(a≠0，m,n都是正整数，并且 同底数暴的除法中， m>n). 底数不能为0 奥例4计算：(1)x’÷x3= (2)(-a)÷(-a)5=; 区即学种练多考卷常见P90 (3)(mn)4:(mn)2= 4.计算： 【解析】(1)x2÷x2=x2-3=x (1)(-y)÷(-): (2)(-a)8(-a)5=(-a)8-5=(-a)3=-a3 (2)a2m4÷a-2 (3)(mn)4÷(mn)2=(mn)-2=(mn)2=m2n2. 【答案】(1)x(2)-a3(3)m2n2 奥例5已知2x-y-2=0,求9÷3'-1的值. 心思路制析 第三步解决问题 第二步结合所学 第一步提取信息 先根据题意得出2x-y=2, 用幂的乘方和同底数 代入32，计算出结果后减 观察所求式子， 幂相除把9÷3转化成 1即为最终答案 发现底数9可以写 32-y 成3的幂的形式 【答案】解：9÷3-1 =32÷3y-1 ☑即学即然多考卷堂见P90 =32y-1. 5.已知a=2,a"=3,则 2x-y-2=0, .2x-y=2, 原式=32-1=9-1=8. 60 第四周 整式的乘法与因式分解 D技巧点城 利用同底数幂的除法求值的方法 (1)观察所求幂与已知幂的底数，若底数相同则考虑用同底数幂的运算 我们一人出 (2)观皋所求暴与已知幂的指数关系，建立所求与已知的联系.若所求幂的 一份力，就 能堆出一不 指数为已知幂指数相减的形式，则逆用同底数幂除法的运算性质进行转化， 雪人了. 还可以结合幂的乘方等。 知识点/④整式的除法 @ 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商 我有儿项，你也 单项式除 文字表迷 的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数 有几项，喜嘻 以单项式 作为商的一个因式 举例 (6xy2)÷(2y)=(6÷2)·(xx)·(y2y)=3x3y 文字表述 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除 多项式除以单项式，被 多项式除 以这个单项式，再把所得的商相加 除式里有几项，商也应 以单项式 (3ab2+6ab2)÷(3ab2)=(3ab2)÷(3ab2)+(6ab2)÷ 该有几项 举例 (3ab2)=a3+2 立敲黑板 (1)字母部分相除时，尽量按字母的顺序书写，这样可以防 ☑即学即陈多考卷金是P90 止把未参与运算的字母漏写： 6.计算：(1)(-12x3y3z)÷ (3x2y2);(2)(24a3- (2)进行多项式除以单项式的运算时，多项式的每一项都包括它前面的 16a2+8a)÷(-4a). 符号 興例6计算：(1)(28x3y2)÷(7xy)；(2)(8a+ab)÷(2a). 【答案】解：(1)(28xy2)÷(7y）=(28÷7)·(x3÷x)·(y2÷y)= 4x31y2-1=4x2y. (2)(8d+ad)t(2a)=(a)(2oj)+(w)(2o)=41+=4r+7 15年23考 ⊙第三天 乘法公式 典例讲解 预习新知 对面的a 知识点/1平方差公式 a 我还跟-b互为 我们完全 相反数呢！ 一样哦1 1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平 方差 2.式子表示：(a+b)(a-b)=a2-b2. 我的魔法丙等 不，让作 3.平方差公式的常见变形 平方丁泥： (1)(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2-a2=b2-a2: (2)(ka+b)(ka-b)=(ka)2-b2. 平方差公式 61