初中数学强基计划数论专题4：不定方程的探索方法与解题导引

初中强基计划数论专题4：不定方程的探索方法与解题导引 【知识梳理】 1、不定方程：未知数的个数多于方程的个数的方程（或方程组）称为不定方程（或方程组）。 2、二元一次不定方程的一般形式：ax+by=c。 3、二元一次不定方程ax+by=c有整数解的判定： 定理1：若二元一次不定方程ax+by=c中，a和b的最大公约数不能整除c，则方程没有整数解。 例如，方程2x+4y=5没有整数解。（想一想为什么？） 定理2：如果正整数a,b互质，则方程ax+by=1有整数解，同时方程ax+by=c有整数解。 例如，3x+5y=7，3与5互质，x=-1,y=2是这个方程的一组整数解。 定理3：如果a,b互质，且方程ax+by=c有一组整数解x0,y0，则此方程式的所有整数解可表示为 或 例如，3x+5y=7的所有整数解可表示为 4、一次不定方程的整数解的求法：观察法；辗转相除法。 【典型例题】 例1.设整数a使得关于x的一元二次方程的两个根 都是整数，则a的值是 　 ． 答案：18 解：为整数为整数为整数，所以，解得5或13，所以． 例2 (加拿大数学竞赛题)求方程的所有正整数解. 【解】由对称性,不妨设.显然，于是 即于是由知， （1）时， （2）时，无解； （3）时，无解； （4）时，无解； 于是原方程只有一组正整数解：， 例3、设整数（）为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数. 解 由已知等式可得 ① 令，则，其中均为自然数. 于是，等式①变为，即 ② 由于均为自然数，判断易知，使得等式②成立的只有两组：和 （1）当时，，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形. …………15分 （2）当时，，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形. 综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11. 例4.已知三个不同的实数满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根．求的值． 解 依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④． 设是方程①和方程②的一个相同的实根，则 两式相减，可解得． 设是方程③和方程④的一个相同的实根，则两式相减，可解得。 所以 ． 又方程①的两根之积等于1，于是也是方程①的根，则。 又 ，两式相减，得 ． 若，则方程①无实根，所以，故． 于是 ．又，解得 ． 【素养提升】 1.关于x，y的方程的整数解（x，y）的组数为（ ）． （A）2组 （B）3组 （C）4组 （D）无穷多组 【答】C． 解：可将原方程视为关于的二次方程，将其变形为 ． 由于该方程有整数根，则判别式≥，且是完全平方数． 由 ≥， 解得 ≤．于是 0 1 4 9 16 116 109 88 53 4 显然，只有时，是完全平方数，符合要求． 当时，原方程为，此时； 当y＝－4时，原方程为，此时． 所以，原方程的整数解为 2、边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程的两根，求的值并确定直角三角形三边之长． 解：设直角边为，（）则，因方程的根为整数，故其判别式为平方数，设， 或或 解得(不是整数，舍去)， 时， 时， 3.求满足的所有素数p和正整数m. ．解：由题设得， 所以，由于p是素数，故，或. … （1）若，令，k是正整数，于是， ， 故，从而. 所以解得 （2）若，令，k是正整数. 当时，有， ， 故，从而，或2. 由于是奇数，所以，从而. 于是 这不可能. 当时，，；当，，无正整数解；当时，，无正整数解. 综上所述，所求素数p=5，正整数m=9. 4、已知a，b都是正整数，试问关于x的方程是 否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明. 解：不妨设≤b，且方程的两个整数根为(≤)，则有 所以 ， . 因为,b都是正整数，所以x1，x2均是正整数，于是，≥0,≥0，≥1,≥1，所以 或 （1）当时，由于a,