第3周 第2天 线段的垂直平分线-【预备新初二】2025-2026学年新八年级数学衔接教材

三预备新初二数学 ☑即学即结多考卷素见PB9 典3如图，直线1是该轴对称图形的对称轴. 3.如图，△ABC和△ADE 关于直线MN对称，线段 BC与DE的交点F在直 线MN上 (1)写出图中两组相等的对应线段； (2)写出图中两组相等的对应角； (3)线段AB,CD都被直线1 (1)图中点D的对称点 心思路制折 第三步解决问题 是点 ,线段AE 第二步结合所学 的对应边是 第一步提取信息 得到对应线段、对应角， ； 轴对称图形的对称轴， (2)若∠DAE=108°， 线段AB,CD都被直线I 轴对称图形、对 都是其任意一对对称点 垂直平分 ∠EAF=39°，求∠DAC的 称轴 所连线段的垂直平分线 度数 【答案】解：(1)：AC与BD、AE与BE分别是对应线段， “,图中相等的对应线段有AC=BD,AE=BE.(答案不唯一) (2),∠BAC与∠ABD、∠ACD与∠BDC分别是对应角， .图中相等的对应角有∠BAC=∠ABD,∠ACD=∠BDC.(答案不唯一) (3)垂直平分 提示：：A与B、C与D分别是关于直线I的对称点， .线段AB,CD都被直线I垂直平分 75年432考 ⊙，第二天 线段的垂直平分线 典例讲屏 知识回顾 1.线段的特征：直的，有两个端点，不能向两端无限延伸，可以量出长度。 2.两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足， 预习新知 知识点/1线段的垂直平分线的性质 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点 的距离相等。 40 第三周轴对称 典例I如图，在△ABC中，∠BAC=108°，线段AC的垂直平分线MD分 ☑即学即练枣考蓉常见PB9 别交AC于点M,交BC于点D,且△ABD的周长为11，AM=2,则△ABC 1.如图，AC=AD,BC= 的周长是() BD,则有( D D A.13 B.14 C.15 D.16 A.AB垂直平分CD ®思路制折 B.CD垂直平分AB 第三步解决问题 C.AB与CD互相垂直 第二步结合所学 平分 第一步提取信息 可得AD=CD,进一步可得 线段垂直平分线上的 AB+BC=11 D.CD平分∠ACB 垂直平分线 点与这条线段两个端 点的距离相等 【解析】，：线段AC的垂直平分线MD分别交AC于点M,交BC于点D, .AD=CD,CM=AM=2,..AC=4. :ABD的周长为11，.AB+BD+AD=11, .AB+BD+CD=11,AB+BC=11, ∴.△ABC的周长=AB+BC+AC=11+4=15. 【答案】C ®技巧点被 当题目中出现线段的垂直平分线的已知条件时，我们就找这条 直线上的点，从而得到线段相等，为进一步解决问题提供依据， 我到A,B两点的 距离也相等，所 以珀俩所在的直 知识点/②点在垂直平分线上的判定 d 线是线段AB的垂 直平分线I 我到A,B 点在垂直平分线上的判定：与线段两个端点距离相等的，点在这条线段的 两点的距 离相等。 垂直平分线上 白敲黑板判定一条直线是线段的垂直平分线时，必须证明该直线上 有两个点到线段两个端点的距离相等。 典例2如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC,交AC于点D. ☑即学即赫求考卷堂见P89 求证：点D在线段BC的垂直平分线上 2.如图，在△ABC中，已 知点D在边BC上，且 BD+AD=BC,下列选项正 确的是() 【答案】证明：BD平分∠ABC, ∴.∠ABC=2∠DBC 在△ABC中，：∠ABC=2∠C, 41 三预备新初二数学 A.点D是边BC的中点 ∴.∠C=∠DBC, B.AD平分∠BAC .DB=DC, C.点D在边AC的垂直 “,点D在线段BC的垂直平分线上 平分线上 国担纳总结 D.点D在边AB的垂直 证明一个点在线段的垂直平分线上，就是证明该点与线段的两 平分线上 个端点的距离相等，通过证明我们可以得出结论：(1)三角形的三条垂直平分 线相交于一点；(2)垂直平分线的交点与这个三角形的三个顶点，距离相等， 知识点/3 互逆命题和互逆定理 名称 定义 说明 如果两个命题的题设、结论正好相反， (1)命题有真有假，而定理都 我是经过证 我可以为真， 互逆 那么把具有这种关系的这两个命题叫 是真命题； 也可以为假 明的真命题： 命题 作互逆命题，如果把其中一个叫作原 (2)每个命题都有逆命题，但 命题，那么另一个叫作它的逆命题 不是所有定理都有逆定理； (3)原命题的真假与其递命 如果一个定理的逆命题经过证明是真 逆命题 题的真假没有关系： 互逆 命题，那么它也是一个定理，这两个定 (4)互逆命题不一定是互逆 定理 理叫作互逆定理，其中一个定理叫作 定理，但互逆定理一定是互逆 另一个定理的逆定理 命题 立敲黑板 “题设、结论正好相反”是指第一个命题的题设是第二个命 题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，并非指它们的意 义相反 ☑即学脚结事考卷量儿P89 典例3写出下列命题的逆命题，并判断其真假。 3.写出下列命题的逆命 (1)同位角相等，两直线平行； 题，并判断其真假： (2)如果x=3,那么x2=9: (1)全等三角形的对应角 相等； (3)如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数的平方也相等， (2)对顶角相等； 【答案】解：(1)逆命题：两直线平行，同位角相等，它是真命题， (3)线段垂直平分线上的 (2)逆命题：如果x2=9,那么x=3.它是假命题 点与线段两个端点的距 (3)逆命题：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数的绝对值也相 离相等 等.它是真命题， Q技巧点被写出一个命题的逆命题的关健是分清原命题的题设和结论，然 后将题设和结论交换位置，即得逆命题.判断一个命题是真命题须给出证 明，判断一个命题是假命题只需举出一个反例即可，有些命题不容易确定题 设和结论，可改写成“如果…，那么…”的形式 42 第三周轴对称 知识点/4线段的垂直平分线的尺规作图 我分别以线段AB的两端 点A,B为国心作，为 作线段的垂直平分线的步骤 什么赢线不能相交呢？ 已知 线段AB,如图所示 A B 求作 线段AB的垂直平分线l 如图.(1)分别以点A和点B为圆心，大于 2AB的长为半径作孤， 两孤相交于C,D两点： (2)作直线CD,则CD就是线段AB的垂直平分线 步骤 你一定是以小于号4B 的长为半径作弧。 ￥D 典例A如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB>AC.按下列步骤作图：①分 ☑即学即陈枣考卷童见P89 别以点B和点C为圆心，大于BC的一半的长为半径作弧，两弧相交于 4.如图，由尺规作图痕迹 点M和点N;②作直线MWN,与边AB相交于点D,连接CD.下列说法不 可知，a与b的关系正确 的是( 一定正确的是( B A.∠BDN=∠CDN B.∠ADC=2∠B A.a>b B.a=b C.∠ACD=∠DCB D.2∠B+∠ACD=90° C.a<b D.无法确定 【解析】由作图步骤可知，直线MN垂直平分线段BC,∴.DB=DC,MN⊥ BC,∴.∠BDN=∠CDN,∠DBC=∠DCB,∴.∠ADC=∠B+∠DCB=2∠B. ∠A=90°，.∠ADC+∠ACD=90°，∴.2∠B+∠ACD=90°，故A,B,D选 项正确.当∠B=∠DCB=30°时，∠ACD=30°；当∠B=∠DCB=20°时， ∠ACD=50°，故C选项不一定正确. 【答案】C 知识点/5对称轴的画法 画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的步骤 先找对称点，然后 连接这对对称点， 再作所连线段的到 步骤一 找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对称，点 咔我哨俩的直平分线！ 对称轴呢？ 步骤二 连接这对对称，点 画出对称，点所连线段的垂直平分线，这条垂直平分线就是该轴对称 步骤三 图形或成轴对称的两个图形的对称轴 白敲黑板 作轴对称图形的对称轴的方法：(1)将轴对称图形对折，使 43 三预备新初二数学 ☑即学即族多考卷案见PB9 左右两侧互相重合，折痕为对称轴：(2)作轴对称图形对称，点所连线段 5.图中两个五边形成轴 的垂直平分线。 对称吗？如果成轴对称， 典例5如图，已知△ABC和△A'B'C'关于某直线成轴对称，请你作出这 请你标出A,B,C三点的 条直线。 对称点，并想办法画出对 称轴 【答案】解：如图所示，直线MN即为所求作的直线 米M 过已知直线上 的一点与过已 知直线外的 两者作图 点作已知直线 的方法不 知识点/6 垂线的尺规作图 的垂线有什么 同，不信 不同鸟？ 你试一试 经过直线外一点作这条直线的垂线的步骤 如图，直线AB和AB外一点C .c 已知 求作 AB的垂线，使它经过，点C ☑即学种徒泉考卷发儿P9 如图.(1)以点C为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB于点D 6.如图，在△ABC中，以 和点E; 点C为圆心，CB长为半 (2)分别以点D和点E为国心，大于2DE的长为半径作孤，两孤 径作弧，交AB于点B和 相交于点F; (3)作直线CF,则直线CF就是所求作的垂线 点D,再分别以点B,D为 步骤 圈心，大于D长为半 径作弧，两弧相交于点 M,作射线CM交AB于 点E.若AB=3,CE=2,则 △ABC的面积为( 典6观察图中尺规作图的痕迹，可得直线BE一定是△ABC的( A.角平分线 B.垂线 C.中位线 D.中线 A.2 B.3 【解析】由图可知，BD⊥AC,,线段BD一定是△ABC的垂线. C.4 D.6 【答案]B 44∠BDE=∠CDF, ∠BED=∠CFD. BE=CF, ∴.△BED≌△CFD(AAS). .DE=DF. 又：DE⊥AB,DF⊥AC, .AD平分∠BAC 第三周轴对称 第一天图形的轴对称 1.AA.该标点符号是轴对称图形：B.该标点 符号不是轴对称图形：C.该标点符号不是轴 对称图形；D.该标点符号不是轴对称图形 2.D选项A,B,C中的两个数字都不能确定一 条直线使两个数字关于这条直线成轴对称： 选项D中的两个数字能确定一条直线使两个 数字关于这条直线成轴对称 3.(1)B:AC. 提示：由题意可得，题图中点D的对称点是点 B,线段AE的对应边是AC (2)解：∠DAE=108°，∠EAF=39°， .∴.∠CAF=∠EAF=39°， ,∴.∠CAE=∠CAF+∠EAF=78° .∴.∠DAC=∠DAE-∠CAE=30 第二天线段的垂直平分线 1.A,AC=AD,BC=BD,∴.点A,B在CD的垂 直平分线上，∴.AB垂直平分CD. 2.C.BD+AD=BC,BC=BD+CD,..AD=CD, ∴.点D在边AC的垂直平分线上， 3.解：(1)逆命题：对应角相等的两个三角形全 等.它是假命题 (2)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角 是对顶角.它是假命题， (3)逆命题：与线段两个端点的距离相等的 点一定在线段的垂直平分线上.它是真命题 4.B由线段垂直平分线的性质和尺规作图 得，a=c,b=c,∴a=b. 5.解：这两个五边形成轴对称，如图所示，点A', B',C分别为A,B,C三点的对称点，线段AA 即学即练参考答案 的垂直平分线（为对称轴， B 6.B由题意知，CE⊥AB,.△ABC的面积为 ABXCE3×2 =3. 2 2 第三天画轴对称的图形 1.解：如图，△A'B'C'即为所求 2.D点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为 (3,-2) 3.解：如图，△AB,C1即为所求 5 4 3 2 B 5-4-3-2-1-1 12345龙 C1-2 第四天等腰三角形 1.40°或100° 当∠A为△ABC的顶角时， △ABC的顶角度数是40°：当∠A为△ABC的 底角时，△ABC的顶角度数是180°-40°- 40°=100° 2.证明：在△ABC和△DFE中， AB=DF. AC=DE, BC=FE, ∴.△ABC≌△DFE(SSS), 89