第2周 第5天 角的平分线-【预备新初二】2025-2026学年新八年级数学衔接教材

三预备新初二数学 r∠A=∠D 在△ABC和△DEF中，∠ACB=∠DFE, BC=EF, ∴.△ABC≌△DEF(AAS). 2.证明：在△ABD和△CBD中， AD=CD, AB=CB, DB=DB, .△ABD≌△CBD(SSS) 3.解：如图所示. 0/ 4.解：如图所示，△ABC即为所求。 第四天三角形全等的判定(L) 1.证明：：AM⊥CE,AN⊥BD, ∴.∠ANB=∠AMC=90°. 在Rt△ABN和Rt△ACM中， [AB=AC, LAN=AM, ∴.Rt△ABN≌Rt△ACM(HL). 2.证明：，AB⊥CD, ∴.∠FAC+∠ACF=90 ,'∠ACB=90°， .∴.∠DCB+∠ACF=90°， .∠FAC=∠DCB. r∠BAC=∠DCE, 在△ABC和△CDE中，AC=CE, L∠ACB=∠CED, ,∴.△ABC≌△CDE(ASA). 3.解：添加条件：AC=DE(答案不唯一). 理由如下： 在△ABC和△DFE中， 88 rAB=DF, ∠A=∠D, AC=DE, .△ABC≌△DFE(SAS). 第五天角的平分线 1.解：如图，射线BD即为所作. B 2B如图，过点P作PE⊥OA,垂足为点E. B C OC平分∠AOB,PQ⊥OB,PE⊥OA, .'PE=PO=4 cm, ∴.点P到OA的距离为4cm. 3.解：命题的已知、求证和证明过程如下， 已知：△ABC≌△A'B'C',AD平分∠BAC, A'D'平分∠B'A'C. 求证：AD=A'D'. 证明：，△ABC≌△A'B'C, .AB=A'B',∠B=∠B',∠BAC=∠B'A'C. AD平分∠BAC,A'D'平分∠B'A'C, .∠BAD=∠B'A'D. 在△BAD和△B'A'D'中， r∠B=∠B', AB=A'B', ∠BAD=∠B'A'D' ∴.△BAD≌△B'A'D'(ASA), .AD=A'D'. 4.证明：，CE⊥AB,BF⊥AC, ∴.∠BED=∠CFD=90. 在△BED和△CFD中，第二周全等三角形 75年372斯 ⑨第五天 角的平分线 典例讲解 知识回顾 1.一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线。 2.在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫 作三角形的角平分线。 3.三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线。 预习新知 知识点1作已知角的平分线 我要去找角平分线 已知：∠AOB,如图. 求作：∠AOB的平分线， 只要咱哥俩 同心，那都 不是事儿 作法 注意事项 图示 如图.(1)以点0为圆心， 以作图方便为宜，不能太 只要让角的两边重 适当长为半径画孤，交OA 合，得出的折浪就 于点M,交OB于点N 长也不能太短 是角的平分线 目的是确定OM=OW (2)分别以点M,N为圆心， 大于2MN的长为半径作 以小于2MN的长为半径 M 弧，两弧在∠AOB的内部相 作出的两孤不能形成交 交于点C 点，等于？MN的长为丰 0 目的是痛定MC=NC 径作孤不易操作 折叠法作角的平分线 “作射线OC”不能叙述为 ☑即学即赫多考卷堂见P阳8 (3)作射线0C.射线0C即 “连接OC”.因为角的平分 为∠AOB的平分线 L.如图，在△ABC中，已 线是一条射线，而不是线段 知AB=AC,作∠ABC的 白敲黑板 用尺规作图法作一个角的平分线，实质上就是运用“SSS”构造 平分线BD交AC于点 全等三角形，根据全等三角形的对应角相等，从而找到平分一个角的射线 D.(保留作图痕透，不要 典例①已知：∠AOB,如图1. 求写作法) CE O 图1 图2 求作：∠AOB的补角的平分线.（不写作法，保留作图痕迹） 31 三预备新初二数学 【答案】解：如图2所示，射线OD就是∠AOB的补角的平分线， ©易错提醒一般的作图题，通常先根据题意画出草图，标注上要求的字母， 然后根据草图完成尺规作图，最后一定要说明什么是要求作的图形，且作图 痕迹要保留，不能擦去。 知识点/2 角的平分线的性质 在哪里建服务 区，才能到两 角的平分线上的点到角两边的距离相等 条路的距离相 文字语言 等宠？ ·指点到角的两地的垂线段的长度 如图，：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB, 符号语言 找角的平 垂足分别为D,E,PD=PE 分线牙1 D 图示 -B 应敲黑板 (1)角的平分线的性质可以独立作为证明两条线段相等的 依据，不需要再通过证全等三角形得到线段相等；(2)利用角的平分线 ☑即学即然来考卷堂见PB8 的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”，而不是 2.如图，0C平分∠A0B, “垂直于角的平分线的线段”。 在OC上取一点P,过P 典2如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB, 作PQ⊥OB交BO于点 垂足分别为D,E.求证PD=PE. Q,若PQ=4cm,则点P 到OA的距离为( B 0 【答案】证明：：OC是∠AOB的平分线， ∴.∠AOC=∠BOC. A.2 cm B.4 cm .PD⊥OA,PE⊥OB, C.6 cm D.8 cm ∴.∠PD0=∠PE0=90° r∠AOC=∠B0C, 在△OPD和△OPE中， ∠PDO=∠PEO. 改写 确定 OP=OP, 将命题改写成 “如果”后接的 .△OPD≌△OPE(AAS). “如果”， 部分是题设一已 那么…”的 知“那么”后 ∴.PD=PE 形式。 接的部分是结 论一求证 知识点/3证明几何命题的一般步骤 般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 ,·命题中的避没部分 (1)明确命题中的已知和求证；，命通中的结论部分 32 第二周全等三角形 (2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 一◆在画图时，要考虑是香存在不同情形.者存在 则要分别画出因形，再分别进行证明 (3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程 白敲黑板证明一个命题的步骤不是固定不变的，要根据题目的实际情 况而定，但是总体必须是完整的，并且证明过程的每一步推理都要有依据， 推理的依据可以是已知条件，也可以是学过的定义、定理和基本事实等， 典例3写出命题“三角形的一边的两端点到这条边上的中线所在直线 的距离相等”的已知、求证和证明过程 【答案】解：命题的已知、求证和证明过程如下 ☑即学脚练永考卷囊儿PB8 已知：如图所示，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD交AD于点F,BE⊥AD 3.根据下列图形，写出命 交AD的延长线于点E. 题“全等三角形的对应角 求证：BE=CF. 的平分线相等”的已知、 求证和证明过程. B 证明：：AD为△ABC的中线，∴，BD=CD, BE⊥AD,CF⊥AD,∴.∠BED=∠CFD=90° 在△BED和△CFD中， T∠BED=∠CFD, ∠BDE=∠CDF, BD=CD. ∴.△BED≌△CFD(AAS),∴.BE=CF Q技巧点被(1)为了便于分清命题中的已知和求证，可以将命题政写成 “如果…那么…”或“若…则…”的形式；(2)结合图形，根据命题的 题设写出已知，根据命题的结论写出求证 知识点/4角的平分线的判定 咱俩的条件和结 论正好相反哦！ 是的呢！ 1.角的平分线的判定定理 文字语言 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 如图，：点P为∠AOB内一点，PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E, 符号语言 且PD=PE,,点P在∠AOB的平分线上 图示 B 33 三预备新初二数学 2.角的平分线的性质与判定的关系 ()点在角的平分线上费薨角的内部的点到角两边的距离相等， (2)角的平分线的性质及判定恰好是条件和结论的互换，性质 是证两条线段相等的依据，判定是证两角相等的依据，在应用时不 要混淆， ☑即学脚然来考卷量见P88 典例4衔橙教材P1例题)如图，△ABC的角平分线BM,CN相交于点P. 4.如图所示，BF⊥AC, 求证： CE⊥AB,垂足分别为点 (1)点P到三边AB,BC,CA的距离相等； F,E,BF和CE相交于点 (2)△ABC的三条角平分线交于一点， D,BE=CF求证：AD平 分∠BAC. 【答案】证明：(1)如图，过点P作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥CA,垂足分别 为D,E,F BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， “PD=PE,同理PE=PF,角平分的性盾 ∴.PD=PE=PF 即点P到三边AB,BC,CA的距离相等 (2)由(1)得，点P到边AB,CA的距离相等， ∴.点P在∠A的平分线上. .△ABC的三条角平分线交于一点 ®技巧点搬 证明角的平分线的方法 作 在待证线上任取一点向角的两边作（或找）垂线段 证 证明两条垂线段的长度相等 得 得到该线是角的平分线 34