第1周 第5天 直角三角形的判定和三角形的外角-【预备新初二】2025-2026学年新八年级数学衔接教材

第一周三角形 B.如图2，延长AC到点F,过点C作CE∥AB C.如图3，过AB上一点D分别作DEBC,DF∥AC D.如图4，过AB上一点D作DE∥BC 【解析】：EF∥AB,∴.∠ECA=∠A,∠FCB=∠B.:'∠ECA+∠ACB+ ∠FCB=180°，∴.∠A+∠B+∠ACB=180°，故选项A不符合题意.：CE∥ AB,∴.∠FCE=∠A,∠ECB=∠B.,∠FCE+∠ECB+∠ACB=180°， ∴.∠A+∠B+∠ACB=180°，故选项B不符合题意.：DE∥BC,DF∥AC, ∴.∠ADE=∠B,∠BDF=∠A,∠C=∠AED,∠AED=∠EDF,∴.∠C= ∠EDF.:∠ADE+∠EDF+∠BDF=180°，∴.∠A+∠B+∠C=180°，故选 项C不符合题意.DEBC,∴.∠ADE=∠B,∠AED=∠C,不能证明“三 角形的内角和等于180”，故选项D符合题意. 【答案】D 25年113考 可第五天 直角三角形的判定和三角形的外角 典例讲解 知识回顾 1.直角的大小是一定的，与开口方向无关，与两条边的长短也无关 2.锐角比直角小，钝角比直角大 预习新知 知识点/1直角三角形的性质 1.直角三角形的性质 文字语言 几何语言 图示 我们的和是 90,我们两 我和∠2的和也是 个互余 直角三角形的两个锐 如图，在直角三角形 90°，我和它还在同 ABC中， 锐角 一个真角三角形中， 斜边 我们两个也互余 角互余 :∠C=90°，∠A+∠B+ 直角边 理论依据是三角形的 ∠C=180°， 锐角 直角 内角和定理 .∠A+∠B=90° 直角边 2.直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC可以写成Rt△ABC. 13 三预备新初二数学 向敲黑板“Rt△”后必须紧跟表示直角三角形的三个顶，点的大写字 母，不能单独使用，如“直角三角形的边”不能写成“R△的边” ☑即学即然多考卷堂儿P87 奥例D如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=36°，AD⊥BC交BC于 1.如图，AD是△ABC的 点D,则∠DAC= 高，AE是△ABC的角平 分线，若∠B=48°，∠C= 68°，则∠DAE= 【解析】：AD⊥BC,.∠BDA=90 ∠B=36°，∴.∠BAD=90°-∠B=54° ,∠BAC=90°，∴.∠DAC=∠BAC-∠BAD=36 【答案】36° 知识点2 直角三角形的判定 @ 文字语言 几何语言 图示 如图，在△ABC中，∠A+∠B= 有两个角互余的 90°，.∠C=180°-（∠A+∠B)= 三角形是直角三 90°-d 180°-90°=90°，即△ABC是直角 角形 三角形 ☑即学脚族枣考卷家见P87 典例2 下列条件：①∠A+∠B=∠C:②∠A:∠B:∠C=1:2:3;③∠A= 2.如图，在△ABC中，AD 90°-∠B:④∠A=∠B=∠C.其中能判定△ABC是直角三角形的条件 是BC边上的高，E是AB 有( 边上一点，CE交AD于点 M,且∠DCM=∠MAE.求 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 证：△AEM是直角三 【解析】①.∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°，.2∠C=180°， 角形 .∠C=90°，.△ABC是直角三角形，故①符合题意；②.∠A:∠B: E ZC123,心∠C写+2+3×180°=90，△ABC是直角三角形，故回 M 符合题意；③∠A=90°-∠B,∴.∠A+∠B=90°，∴.△ABC是直角三角 形，故③符合题意；④∠A=∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°，∴.∠A= ∠B=∠C=60°，，△ABC不是直角三角形，故④不合题意.综上，能判 定△ABC是直角三角形的条件有①②③，共3个 【答案】C D技巧点接 直角三角形的判定方法：(1)证明三角形中有一个内角为90° 或证明三角形中有两条边互相垂直；(2)证明三角形中有两个内角互余 14 第一周三角形 知识点/3三角形的外角 @ 1.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角 a 你不是△ABC的 形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角， 我是△MBC 外角，不长记性 的外角吗？ Zoff C D 一个三角形的内角的对顶 白敲黑板三角形的外角是相对于一个三角形来说的，一个角对一个 角不是这个三角形的外角 三角形来说是外角，而对另一个三角形来说可能是内角。 2.三角形外角的性质 我还跟∠2 与∠3的和 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.如上图，∠ACD= 相等呢1 你可是我的 LA+∠B. 邻补角蛾！ 典例3如图，已知∠A=75°，∠B=25°，∠C=35°，求∠1的度数 ☑即学即作多考卷数见P87 3.如图，在△ABC中，D C思路制析 是BC边上一点，∠1= 第三步解决问题 ∠2，∠3=∠4，∠BAC= 第二步结合所学 第一步提取信息 ∠BDC=∠A+∠C=110°， 63°，则∠DAC= 三角形的外角等于与它 ∠1=∠BDC+∠B=135 观察图形，可 不相邻的两个内角的和 知∠1是△BDE 的一个外角 2 3 C 【答案】解：.：∠A=75°，∠C=35, “,由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和， 得∠BDC=∠A+∠C=75°+35°=110 ∠B=25°， ∴.∠1=∠BDC+∠B=110°+25°=135°. ⑧拓展提升三角形的每一个顶点处有两个外角，它们互为对顶角，一个三 角形共有六个外角.在每个顶点处各取一个外角，则三角形的外角的和为 360°.如图，∠1+∠2+∠3=360°. 15.∴.∠C=180°-∠BDC-∠DBC=180°-110°- 40°=30° 2.110°：AB∥CD,∠BCD=35°，∴.∠ABC= ∠BCD=35°.，CB平分∠ACD,∴.∠ACB= ∠BCD=35°，∴.∠A=180°-∠ABC- ∠ACB=110° 第五天直角三角形的判定和三角形的外角 1.10°∠B=48°，∠C=68°，∴∠BAC= 180°-∠B-∠C=64°.AE平分∠BAC, ·∠EAC=2∠BAC=322“AD是BC边上 的高，∴.∠ADC=90°.又∠C=68°， ∴，∠DAC=90°-∠C=22°，∴.∠DAE= ∠EAC-∠DAC=32°-22°=10. 2.证明：：AD是BC边上的高，∴.∠ADC=90 ∴.∠DMC+∠DCM=90°..'∠DCM=∠MAE ∠DMC=∠AME,∴.∠AME+∠MAE=90°， ∴.△AEM是直角三角形 3.24°，∠1=∠2，∠1+∠2=∠3，∴.∠3= 2∠2.∠3=∠4，∴.∠4=2∠2..∠BAC= 63°，.∴∠2+∠4=180°-∠BAC=180°-63°= 117°，.3∠2=117°，.∠2=39°，∴∠1= 39°，∴.∠DAC=∠BAC-∠1=63°-39°=24°. 第二周全等三角形 第一天全等三角形 1.D观察发现，A,B,C选项中的两个图形不 能够完全重合，不是全等形：D选项的两个图 形能够完全重合，是全等形 2.解：AB和DC,AC和DB,BC和CB是对应边； ∠ABC和∠DCB,∠A和∠D,∠ACB和 ∠DBC是对应角. 3.解：△ABC≌△ABD,∴，∠CAB=∠DAB, ∠CBA=∠DBA=20°，∴.∠DAB= 2∠CAD= 2×90°=45，÷∠D=180°-∠DMB- 即学即练参考答案 ∠DBA=115°. 4.解：△ABC≌△AEC,.∠B=∠E=30°， ∠ACB=∠ACE=85°，∴.∠EAC=180°-30°- 85°=65°. 第二天三角形全等的判定(SAS和ASA) 1.证明：∠1=∠2， ∴.∠ACB=∠DCE. 在△ABC和△DEC中， (CA=CD, ∠ACB=∠DCE, BC=EC, ,∴.△ABC≌△DEC(SAS). 2.证明：，DE∥AC,∴.∠A=∠EDB. 在△DEB和△ABC中， BD=CA, ∠EDB=∠A, DE=AB, .△DEB≌△ABC(SAS). 3.证明：，BF=CE, .BF+CF=CE+CF,即BC=EF 在△ABC和△DEF中， I∠ACB=∠DFE, BC=EF, L∠B=∠E, ∴.△ABC≌△DEF(ASA). 4.证明：：BD同时平分∠ABC和∠ADC, ∴.∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB. 在△ABD和△CBD中， ∠ABD=∠CBD, BD=BD、 L∠ADB=∠CDB, .△ABD≌△CBD(ASA). 第三天三角形全等的判定(AAS和SSS) 1.证明：，FB=CE,.BC=EF. 又AC∥DF,.∠ACB=∠DFE. 87