第1周 第3天 三角形的中线、角平分线、高-【预备新初二】2025-2026学年新八年级数学衔接教材

第一周三角形 25年126考 ⊙第三天 三角形的中线、角平分线、高 典例讲解 知识回顾 1.从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这个点和垂足之间的线段叫作平行四边形的高，垂 足所在的边叫作平行四边形的底。 2.从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的 高，这条对边叫作三角形的底 3.三角形的高可能在三角形的内部、三角形的直角边上或三角形的外部. 预习新知 知识点个三角形的中线 1.三角形的中线 连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中，点D,所得线段AD叫 文字语言 作△ABC的边BC上的中线 图示 如图，①AD是△ABC的边BC上的中线；②点D是边BC的中点； 几何语言 ③BD=DC=2BC 2.三角形的重心 找到重心，才 一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点（如图）.三角形 能够像我这样， 条中线的交点叫作三角形的重心 质地均匀的三角形木板， ⑧拓展提升 三角形的一条中线平分三角形的一条边及三角形的面积， 重心就是它的平衡点 典例①在等腰三角形ABC中，AB=AC,腰AC上的中线BD将这个等腰 三角形的周长分成12和6两部分，求等腰三角形ABC的腰长及底 边长 【答案】解：设AB=AC=2x,则AD=CD=x 7 三预备新初二数学 ☑即学即结多考卷常见P86 ①当AB+AD=12,BC+CD=6时，有2x+x=12 1.如图，AD是△ABC的 所以x=4,2x=8, 一条中线，若△ABC的面 所以AB=AC=8,BC=6-4=2. 积是10cm2.则△ABD的 因为2+8>8，所以此时能组成三角形. 面积为 cm2, ②当BC+CD=12,AB+AD=6时，有2x+x=6, 所以x=2,2x=4, 所以AB=AC=4,BC=12-2=10 因为4+4<10， 所以此时不能构成三角形 综上，等腰三角形ABC的腰长为8，底边长为2 知识点/②三角形的角平分线 1.三角形的角平分线 我有三条角平 画△ABC的∠A的平分线AD,交∠A所对的边BC于点D,所得线 分线，并且每 文字语言 条角平分线平 任意一个三角形 段AD叫作△ABC的角平分线 分相应的角哦！ 都有三条角平分 线，并且每条角 平分线都平分相 应的角. 图示 B 如图，①AD是△ABC的角平分线：②AD平分∠BAC,交BC于点 几何语言 1 D:③∠BAD=∠CAD= ∠BAC 2.三角形的角平分线的位置：三角形的三条角平分线都在三角形的内 部，并且三条角平分线相交于三角形内一点（如图）.，这个点叫内心 ☑甲学即妹泉考卷童见P86 典2如图，在△ABC中，画出△ABC的中线AD,角平分线CE. 2.如图，在△ABC中， ∠ABC=∠ACB,BE,CD 为两条角平分线，则图中 与∠1相等的角有 个 【答案】解：如图所示，AD为所求作的中线，CE为所求作的角平分线。 B 8 第一周三角形 ⑥技巧点搜本题画图要注意的两点：()要用好量角器和刻度尺，准确测量 角度和线段长，不要随意估计；(2)三角形的角平分线、中线都是线段，不要 画成射线或直线。 典例3如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB. 园即学即棒永专卷囊见PB6 (1)若DF∥AC,EF交AD于点O,请问D0是否为△EDF的角平分线？ 3.如图，在△ABC中， 并说明理由。 ∠BAD=∠DAE=∠EAF= (2)若DO是∠EDF的平分线，试探索DF与AC的位置关系，并说明 ∠FAC,则△ABC的一条 理由 角平分线为( D E F C 【答案】解：(1)DO是△EDF的角平分线.理由如下： A.AD B.AE AD是△ABC的角平分线，∴.∠CAD=∠BAD. C.AF D.AC DE∥AB,∴.∠EDA=∠BAD ,DF∥AC,∴，∠CAD=∠ADF,∴.∠EDA=∠ADF, ∴.DO是△EDF的角平分线。 (2)DF∥AC.理由如下： ,AD是△ABC的角平分线，∴.∠CAD=∠BAD. DE∥AB,∴∠EDA=∠BAD. 又DO是∠EDF的平分线，∴.∠EDA=∠ADF,∴.∠CAD=∠ADF, .DF∥AC 知识点/3三角形的高 1.三角形的高 从△ABC的顶，点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D, 文字语言 所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线.三角形的高线简称 我的务高和△ABC的 三角形的高·三角形的高是线段，而不是射线或直线 边BC上的高一样！ 图示 如图，①过，点A作AD⊥BC,垂足为D,则AD为△ABC的边BC上 几何语言 的高；②∠ADB=∠ADC=90° 2.三角形的高的画法 一靠 使三角尺的一条直角边靠在要作高的边上 二移 移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶，点 三画 画垂线段 9 三预备新初二数学 3.三角形高的位置 名称 高及其交点的位置 图示 凭什么 你也有三素高， 你有三 难道你自己不 条高？ 锐角三角形的三条高都在三角形的内部， 知道吗？ 锐角三角形 三条高的交点在三角形的内部 任意三角形都有三条高 直角三角形有两条高恰好是它的两条直 直角三角形 角边，三条高的交点是直角顶点 C(C) 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两 钝角三角形 个垂足落在边的廷长线上，三条高所在的 B 直线交于三角形外一点 ☑即学即栋多考卷常见PB6 G 4.如图，在△ABC中， 典A四位同学所画的△ABC中BC边上的高如下，其中正确的 AD⊥BC于点D,BC=12, 是( AB=5,AD=2,边AB上的 高是CE,则CE= E:- B C D 【解析】A.CD不是任何边上的高，故不符合题意；B.AD不是任何边上 的高，故不符合题意；C.BD是AC边上的高，故不符合题意；D.AD是BC 边上的高，故符合题意。 【答案D Q技巧点拔 判断三角形的高的方法：(1)三角形的高一定过顶点；(2)垂足 在该顶点的对边或对边的延长线上，延长线要用虚线画出，并标明垂足和直 角符号。 ②即学即练多考卷常见PB6 5.如图，在△ABC中， 典5如图，AD,BE分别是△ABC的边BC,AC上的 ∠ACB=90°，CD是边AB 高，AC=5,BC=12,BE=9,求AD的长 上的高，AB=13,BC=12, 【答案】解：AD,BE分别是△ABC的边BC,AC上的高， AC=5,求CD的长. 2BC·AD 2AC·BE, .BC·AD=AC·BE. 又AC=5,BC=12,BE=9 .12AD=5×9, 10即学即练参考答案 第一周三角形 .∴AB+AC>BN+NC. 第一天三角形的概念及分类 在△DNE中，DN+NE>DE. 1.解：(1)题图中有7个三角形，分别为△ABD, 又，BN+NC=BD+DN+NE+EC, △ABE,△ABC,△ADE,△ADC,△AEC,△AFG ∴.BN+NC>BD+DE+EC, (2)在△ABD中，它的三个内角是∠ABD, ...AB+AC>BN+NC>BD+DE+EC, ∠ADB,∠BAD. 即BD+DE+EC<AB+AC. (3)含AB边的三角形有△ABD,△ABE, 4.③三角形具有稳定性，四边形和五边形 △ABC. 不具有稳定性，∴具有稳定性的是③， 2.D题图中被木板遮住一部分的三角形有可 第三天三角形的中线、角平分线、高 能是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. 1.5,AD是△ABC的一条中线，△ABC的面积 3.B由∠B-2∠C=90°-∠C可得，∠B=∠C+ 是10em…5m5k-分x10-5(cmi. 90°>90°，所以△ABC是钝角三角形 2.3BE,CD为两条角平分线，.∠1=∠2= 第二天三角形的边 1.①2④①因为a>0,(a+1)+(a+2)=2a+ AC 3-4-LACB.LAC 3>a+3,所以能组成三角形；②设三边长度分 ∠ACB,∴∠1=∠2=∠3=∠4，.与∠1相等 别为2k,3k,4h,其中>0，则2k+3k>4k,故能 的角有3个. 组成三角形；③8+10<20，故不能组成三角 3.B因为∠BAD=∠DAE=∠EAF=∠FAC,所 形：④4k+3k>5k,故能组成三角形 以∠BAD+∠DAE=∠EAF+∠FAC,即 2.D当底边长为7cm时，腰长为(19-7)÷2= ∠BAE=∠CAE,所以△ABC的一条角平分线 6(cm),此时6+6>7，能够组成三角形；当腰 为AE. 长为7cm时，底边长为19-7×2=5(cm),此 时5+7>7，能够组成三角形 SAWe-2BG AD=AB CE.CE= 5 2 3.证明：如图，延长BD交AC于点M,延长CE BC·AD_12×2_24 交BD的延长线于点N. AB 55 5.解：在△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB 上的高4C,BC=B,Cm.又AB= 13,BC=12,AC=5,.5×12=13CD,解得 在△ABM中，AB+AM>BM, CD=60 3 在△CNM中，NM+MC>NC, 第四天三角形的内角 .AB+AM+NM+MC>BM+NC. 1.30°.BD是△ABC的角平分线，∴.∠DBC= AM+MC=AC,BM=BN+NM, .'AB+AC+NM>BN+NM+NC, )∠ABC=。X80°=40.又∠BDC=110 86