第08讲 椭圆的标准方程（知识清单+3必考题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（苏教版2019选修一）

第08讲 椭圆的标准方程 题型梳理 题型方法 题型一 椭圆定义的理解 题型二 椭圆方程的求解 题型三 椭圆定义及方程的应用 知识清单 知识点01椭圆的定义 　　平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距. 知识点02椭圆的标准方程 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 焦点 F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) a，b，c的关系 a2=b2+c2 知识点03点与椭圆的位置关系 　　点P(x0，y0)与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系： (1)点P在椭圆上⇔+=1； (2)点P在椭圆内部⇔+<1； (3)点P在椭圆外部⇔+>1. 知识点04直线与椭圆的位置关系 1. 直线与椭圆位置关系的判断 一般地，联立直线Ax+By+C=0(A，B不全为0)与椭圆+=1(a>b>0)的方程， 得整理，得到一个关于x(或y)的一元二次方程. 位置关系 Δ的取值 交点的个数 相交 Δ>0 2 相切 Δ=0 1 相离 Δ<0 0 2. 弦长公式 设直线l：y=kx+b与椭圆交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则P1P2=|x1-x2|=· 或P1P2=|y1-y2|=· (k≠0). 知识点05椭圆标准方程的求解 1. 定义法求椭圆的标准方程 　　根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆的标准方程. 2. 待定系数法求椭圆的标准方程 (1)求椭圆的标准方程，一般是先“定性”，即判断焦点所在的坐标轴，再“定量”，即确定a，b的值. (2)求a，b的值，一方面可利用条件直接求出，另一方面可用待定系数法设出相应的标准方程，然后计算. 如果明确椭圆的焦点在x轴上，那么设所求的椭圆方程为+=1(a>b>0). 如果明确椭圆的焦点在y轴上，那么设所求的椭圆方程为+=1(a>b>0). 如果中心在原点，但焦点的位置不能明确是在x轴上，还是在y轴上，那么方程可以设为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n). 知识点06椭圆中焦点三角形问题  1. 椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形. 关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，并结合勾股定理、正弦定理、余弦定理等知识求解. 2. 焦点三角形的常用结论： ①焦点三角形的周长L=2a+2c. ②在△PF1F2中，由余弦定理可知F1=P+P-2PF1·PF2·cos∠F1PF2. ③设P(xP，yP)，则焦点三角形F1PF2的面积为c·|yP|=PF1·PF2·sin∠F1PF2=b2tan. 知识点07直线与椭圆的相交弦问题 1. 求相交弦的长的两种方法 (1)求出直线与椭圆的两交点的坐标，用两点间的距离公式求弦长. (2)联立直线与椭圆的方程，消元，得到一个关于x(或y)的一元二次方程，设两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据弦长公式AB=|x1-x2| ，结合根与系数的关系求弦长. 2. 与椭圆中点弦有关的三种题型及解法 (1)利用根与系数的关系求中点坐标：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去x(或y)得到一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. (2)利用点差法求直线斜率或方程：利用弦的端点在椭圆上，端点坐标满足椭圆方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，得到中点坐标和直线斜率的关系，即若椭圆方程为+=1(a>b>0)，直线与椭圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，且弦AB的中点为M(x，y)，则 ①-②，整理得a2(-)+b2(-)=0，所以=-·=-·. 　　这样就建立了中点坐标与直线斜率之间的关系，从而使问题得以解决. (3)利用共线法求直线方程：设椭圆+=1(a>b>0)与直线AB的一个交点为A(x，y)，另一个交点为B，如果弦AB的中点为P(x0，y0)，那么利用中点坐标公式可得B(2x0-x，2y0-y)，则有+=1， +=1，两式作差即可得所求直线的方程. 　　其中点差法是解决中点弦问题最常用的方法，点差法中体现的设而不求思想还可以用于解决对称问题 题型方法 【题型一】椭圆定义的理解 【例1】（24-25高二上·江苏宿迁·期中）方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴方程可表示平面内点到点与点的距离之和为的图形， 此时， ∴方程表示的轨迹是线段， 故选：C． 解题技巧 如果能确定动点运动的轨迹满足椭圆的定义，则可以判断动点的轨迹是椭圆． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆与圆内含，且圆心不重合，动圆与两圆相切，则圆心的轨迹为（    ） A．直线 B．圆 C．双曲线 D．椭圆 【答案】D 【分析】运用圆与圆的位置关系的结论，结合椭圆定义可解. 【详解】由题意，记圆半径为．不妨令圆的半径为，圆的半径为，且， 则动圆与圆内切，与圆外切，可得：， 两式相加得：，且，故圆心的轨迹为椭圆． 故选：D． 【变式2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则 【答案】 【分析】将椭圆方程化为标准方程，求得，运用椭圆的定义和光线反射定律，以及角平分线定理和椭圆的光学性质得到直线平分，可得，即可得到所求值． 【详解】 曲线C的方程为，即，即有，， 由椭圆的定义可得且， 过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点M，结合光线的反射定律可得为的角平分线，即有． 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）讨论方程＋表示的曲线. 【答案】答案见详解 【分析】根据椭圆定义讨论判断. 【详解】表示点到点的距离，表示点到点的距离， 所以表示点到点和的距离之和， 当时，方程表示的曲线是椭圆； 当时，方程表示的曲线是线段； 当时，方程表示的曲线不存在. 【题型二】椭圆方程的求解 【例2】（23-24高二上·江苏常州·期中）若动点满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程转化为，利用椭圆定义法求标准方程. 【详解】已知动点满足方程， 设，且， 则有， 故点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 且中心在原点，焦点在轴，即点的轨迹轨迹方程为椭圆的标准方程， 则，， 故所求轨迹方程为, 故选：B. 解题技巧 利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤 (1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程． 提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论． 椭圆方程的设法 (1)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有相同焦点的椭圆可设为＋＝1(m<b2)． (2)椭圆过两定点，焦点位置不确定时，椭圆方程可设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)． 【举一反三】【变式1】（22-23高二上·江苏镇江·阶段练习）已知定点 和一动点 ，若 ，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义分析求解，注意焦点所在位置. 【详解】由题意可知：， 可知动点的轨迹是以为焦点的椭圆， 则，可得， 注意到焦点在y轴上，所以动点的轨迹方程为. 故选：D. 【变式2】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）方程表示的曲线的标准方程是 . 【答案】 【分析】根据方程表示的几何意义结合椭圆的定义即可求得答案. 【详解】方程， 表示点到两点的距离之和等于10，而， 所以方程表示的曲线是椭圆， 且长轴长，焦距，所以， 所以短半轴长， 所以其标准方程为， 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）求出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点； (2)两个焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆方程 (3)过点，且与椭圆有相同焦点椭圆方程.； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，设椭圆方程为，代入点解出即可； （2）设椭圆方程为，代入两点解出即可； （3）设椭圆方程为，代入点解出即可； 【详解】（1）由题意可得，设椭圆方程为， 由点在椭圆上可得， 又， 由以上两式消去并整理可得，解得或（舍去）， 所以， 所以椭圆方程为， （2）设椭圆方程为， 由题意可得，解得， 所以椭圆方程为， （3）由题意可设椭圆方程为， 代入，可得，整理可得， 解得或（舍去） 所以椭圆方程为 【题型三】椭圆定义及方程的应用 【例3】（24-25高二上·江苏宿迁·期末）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆方程结构得到：，求解即可； 【详解】由题意可得：， 解得：， 故选：B 解题技巧 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义具有双向作用，即若PF1＋PF2＝2a(2a＞F1F2)，则点P的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和必为2a. (2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）为椭圆：上一点，，则最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角换元得，即可根据两点距离公式求解. 【详解】设， 则 ， 由于，故当时，取最小值， 故选：D 【变式2】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据圆上的点到定点的距离范围可知，即， 结合椭圆的定义可转化为，即可得解. 【详解】 由椭圆可知椭圆的实轴长，，， 圆的圆心，半径， 由已知圆上任意一点到得距离， 所以， 又根据椭圆定义， 则， 当且仅当，都在线段上时，等号成立， 故答案为：. 【变式3】（22-23高二上·江苏镇江·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为椭圆上一动点，面积的最大值为2．    (1)求椭圆的方程； (2)若分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足：，连接交椭圆于点为坐标原点，证明：为定值； (3)若点为圆上的动点，点，求的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由离心率公式、平方关系以及三角形面积公式列方程即可求解. （2）由题意设直线的方程为，联立椭圆方程求得点的坐标，然后由数量积的坐标公式求解即可. （3）由三角形三边关系结合椭圆定义进行转换即可，注意取等条件是否成立. 【详解】（1）由题意离心率为椭圆上一动点，面积的最大值为2． 所以， 又， 所以解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）椭圆的方程为.    由题意，因为，所以设， 则直线的方程为，将其与椭圆方程联立得， 消去并整理得，，当时，， 所以解得，即， 所以， 所以. （3）   设交圆于点，由三角形三边关系得等号成立，当且仅当三点共线，即点重合时， 由椭圆定义有， 所以， 等号成立当且仅当点重合时，且点重合，其中点是与椭圆的交点， 综上所述，的最小值为. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏南京·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆方程的概念求解即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得，即. 故选：C. 2．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知点为椭圆的右焦点，点为椭圆与圆的一个交点，则（   ） A．2 B．4 C．6 D． 【答案】A 【分析】由椭圆的方程及圆的方程，可得圆的圆心得圆心为左焦点，结合圆与椭圆的定义即可得的值． 【详解】点为椭圆的右焦点，则，左焦点，且， 圆的圆心，半径为4，则圆的圆心是椭圆的左焦点， 点为椭圆与圆一个交点， 所以， 则由椭圆的定义可得，所以． 故选：A． 3．（22-23高二上·江苏淮安·期中）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程可以利用几何意义得到动点P的轨迹方程是以与为 焦点的椭圆方程，从而求出轨迹方程. 【详解】由题意得：到与的距离之和为，且， 故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，， 所以，，所以椭圆方程为. 故选：C 4．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义，结合三点共线，即可求解. 【详解】取椭圆的右焦点为，故, 由于,故， 因此， 故的最小值为5，当且仅当三点共线，且在上半椭圆时取到最小值， 故选：B 5．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别，，点在上，，则内切圆半径为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出的面积，进而求出其内切圆半径. 【详解】椭圆：的长轴长，焦距， 则，由，得， 则，设内切圆半径为，由， 得，所以. 故选：B 6．（22-23高二上·江苏常州·期中）已知椭圆：，四点，，，中恰有三个点在椭圆上，则这三个点是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据椭圆的对称性可知：椭圆经过两点，进一步比较判断即可求解. 【详解】因为两点关于轴对称，所以椭圆经过两点， 又因为，所以椭圆不经过点，故椭圆经过，，点， 故选：. 二、多选题 7．（2023高二上·江苏·专题练习）已知椭圆的标准方程为，并且焦距为6，则实数m的值可以为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】AB 【分析】首先确定c的值，然后分类讨论焦点位置在x轴和y轴两种情况求解m的值即可. 【详解】因为，所以， 当焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知，，所以， 又，解得. 当焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知，，所以， 解得. 综上，解得或． 故选：AB. 8．（22-23高一下·江苏镇江·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．若，则为正三角形 C．角A的最小值为 D．若，则面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据已知条件，结合椭圆的定义，以所在直线为轴，线段中点原点建立坐标系，转化为椭圆的问题，利用椭圆的性质判定各个选项. 【详解】如图所示，不是一般性，将看做定值，则根据已知条件和椭圆的定义，得到B的轨迹为以为焦点，焦距位，长轴长为的椭圆上的动点（长轴的端点除外），以所在直线为轴，线段中点原点建立坐标系，如图所示. 椭圆的半长轴为，半焦距为，半短轴为，椭圆方程为. 当且仅当在椭圆的短轴的端点时，，对应，此时,为正三角形，面积取得最大值. 若，则面积最大值为， 角的值可以任意接近于0，没有最小值. 故A正确，B正确，C错误，D正确. 故选：ABD 三、填空题 9．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】根据方程表示椭圆得到不等式，求出的取值范围. 【详解】由题意得，解得. 故答案为： 10．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知动圆与圆，圆均相切，则动圆圆心的轨迹方程是 ． 【答案】或 【分析】相切分两种情况讨论，再由动圆圆心到两个定圆圆心的距离之和为常数，且大于两个定点的距离，故轨迹为椭圆，根据条件计算得到答案． 【详解】由题意可知，共有两种情况，设动圆半径为，， 动圆与圆内切，与圆内切，所以 所以，此时动圆圆心的轨迹是椭圆，， 所以动圆圆心的轨迹方程为； 动圆与圆外切，与圆内切，所以， 所以，此时动圆圆心的轨迹为椭圆，， 动圆圆心的轨迹方程为， 故答案为：或． 11．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知椭圆C： 的上顶点为B，两个焦点分别为，离心率为，P为线段F1F2上动点，且P到直线的距离之和为，则椭圆C的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意，分别表示出直线与的方程，结合点到直线的距离公式，列出方程，再由，即可得到，从而求得. 【详解】由题意可知，， 则直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 设，且P到直线的距离之和为， 即， 即，又，所以，且， 则，所以椭圆C的标准方程为. 故答案为： 12．（24-25高三上·江苏·期末）已知F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，C上存在一点A，使，点B满足，∠F1AF2的平分线交直线OB于点D，，则椭圆C的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆中焦点三角形的性质和椭圆的定义，利用三角形中位线性质和等腰直角三角形的边长关系，求出只，即得椭圆标准方程. 【详解】 如图所示，不妨设在第一象限，则，因，则， 在中，因，且由，可知点B是的中点， 则得，且， 因为，平分，故， 故为等腰直角三角形，， 由题意知，则，即， 根据椭圆的定义可得， 联立，解得， 在直角中，即， 化简得，又因，两者联立解得， 故椭圆标准方程为. 故答案为：. 四、解答题 13．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）分别根据下列条件求椭圆标准方程： (1)一个焦点为 (2)与椭圆有相同的焦点，且经过点 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知可得a，c，然后由求出b，即可得椭圆方程； （2）根据已知椭圆方程可得焦点坐标，然后设所求椭圆方程为，代入已知点坐标，结合即可求解. 【详解】（1）由题知，，椭圆焦点在x轴上， 又，所以， 所以，椭圆方程为. （2）椭圆的焦点为， 设所求椭圆方程为， 则有，解得， 所以所求椭圆方程为. 14．（23-24高二上·江苏·阶段练习）求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，焦点坐标分别为，； (2)经过，两点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点位置设出椭圆方程，把点的坐标代入椭圆方程求解即可； （2）设出椭圆方程，将两点代入椭圆方程，列式计算即可求解. 【详解】（1）由题知：焦点在轴，且，设椭圆标准方程为，则， 由椭圆过点知，解得或（舍去）. 所以椭圆的标准方程为. （2）椭圆经过，两点，设所求椭圆的方程为， 把点、代入得，解得，所以所求椭圆的方程为. 15．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数． (1)求动点M的轨迹E； (2)在E上是否存在一点使得它到直线的距离最小？若存在，请求出最小距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据题意，结合两点间距离公式进行求解即可； （2）根据平行线的性质，结合直线与椭圆的相切的性质、一元二次方程根的判别式进行求解即可. 【详解】（1）设d是点M到直线的距离， 根据题意，动点M的轨迹E就是集合． 由此得．将此式两边平方，并化简，得， 所以M的轨迹E为． （2）由直线方程方程可知与坐标轴的交点为， 易知此直线与椭圆无公共点， 设直线m与该直线平行，则直线m的方程可以写成． 由方程组，消去y，得． 令其根的判别式，解得或， 当时，直线与椭圆的公共点到直线的距离最小，最小距离． 16．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）分别求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点，且与椭圆有相同的焦点． (2)经过两点，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由共焦点求得，再通过点在椭圆上，列出方程即可求解； （2）通过待定系数法即可求解. 【详解】（1）因为所求的椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在轴上，且． 设所求椭圆的标准方程为． 因为所求椭圆过点，所以有① 又，② 由①②解得． 故所求椭圆的标准方程为． （2）设椭圆方程为，且，在椭圆上， 所以，则椭圆方程. 17．（23-24高二上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为． (1)求的标准方程； (2)若斜率为的直线（不过原点）交于，两点，点关于的对称点在上，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意易得，结合即可得结果； （2）方法一：联立直线与椭圆方程，由弦长公式求出，由对称性求出点的坐标，再求面积即可；方法二：得出直线方程，求出，其余同一. 【详解】（1）由题意，所以， 又因为，所以，， 所以的标准方程为． （2）设直线：（），，，． 将代入：中，化简整理得， 于是有 所以 ， 因为点关于的对称点为，所以解得 即 因为在上，所以，解得． 又因为点到直线的距离， 所以由对称性得 第二问法2：设：，：，则， ，，解得，则 代入：，得：，则 ，则 故． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 椭圆的标准方程 题型梳理 题型方法 题型一 椭圆定义的理解 题型二 椭圆方程的求解 题型三 椭圆定义及方程的应用 知识清单 知识点01椭圆的定义 　　平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距. 知识点02椭圆的标准方程 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 焦点 F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) a，b，c的关系 a2=b2+c2 知识点03点与椭圆的位置关系 　　点P(x0，y0)与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系： (1)点P在椭圆上⇔+=1； (2)点P在椭圆内部⇔+<1； (3)点P在椭圆外部⇔+>1. 知识点04直线与椭圆的位置关系 1. 直线与椭圆位置关系的判断 一般地，联立直线Ax+By+C=0(A，B不全为0)与椭圆+=1(a>b>0)的方程， 得整理，得到一个关于x(或y)的一元二次方程. 位置关系 Δ的取值 交点的个数 相交 Δ>0 2 相切 Δ=0 1 相离 Δ<0 0 2. 弦长公式 设直线l：y=kx+b与椭圆交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则P1P2=|x1-x2|=· 或P1P2=|y1-y2|=· (k≠0). 知识点05椭圆标准方程的求解 1. 定义法求椭圆的标准方程 　　根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆的标准方程. 2. 待定系数法求椭圆的标准方程 (1)求椭圆的标准方程，一般是先“定性”，即判断焦点所在的坐标轴，再“定量”，即确定a，b的值. (2)求a，b的值，一方面可利用条件直接求出，另一方面可用待定系数法设出相应的标准方程，然后计算. 如果明确椭圆的焦点在x轴上，那么设所求的椭圆方程为+=1(a>b>0). 如果明确椭圆的焦点在y轴上，那么设所求的椭圆方程为+=1(a>b>0). 如果中心在原点，但焦点的位置不能明确是在x轴上，还是在y轴上，那么方程可以设为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n). 知识点06椭圆中焦点三角形问题  1. 椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形. 关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，并结合勾股定理、正弦定理、余弦定理等知识求解. 2. 焦点三角形的常用结论： ①焦点三角形的周长L=2a+2c. ②在△PF1F2中，由余弦定理可知F1=P+P-2PF1·PF2·cos∠F1PF2. ③设P(xP，yP)，则焦点三角形F1PF2的面积为c·|yP|=PF1·PF2·sin∠F1PF2=b2tan. 知识点07直线与椭圆的相交弦问题 1. 求相交弦的长的两种方法 (1)求出直线与椭圆的两交点的坐标，用两点间的距离公式求弦长. (2)联立直线与椭圆的方程，消元，得到一个关于x(或y)的一元二次方程，设两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据弦长公式AB=|x1-x2| ，结合根与系数的关系求弦长. 2. 与椭圆中点弦有关的三种题型及解法 (1)利用根与系数的关系求中点坐标：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去x(或y)得到一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. (2)利用点差法求直线斜率或方程：利用弦的端点在椭圆上，端点坐标满足椭圆方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，得到中点坐标和直线斜率的关系，即若椭圆方程为+=1(a>b>0)，直线与椭圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，且弦AB的中点为M(x，y)，则 ①-②，整理得a2(-)+b2(-)=0，所以=-·=-·. 　　这样就建立了中点坐标与直线斜率之间的关系，从而使问题得以解决. (3)利用共线法求直线方程：设椭圆+=1(a>b>0)与直线AB的一个交点为A(x，y)，另一个交点为B，如果弦AB的中点为P(x0，y0)，那么利用中点坐标公式可得B(2x0-x，2y0-y)，则有+=1， +=1，两式作差即可得所求直线的方程. 　　其中点差法是解决中点弦问题最常用的方法，点差法中体现的设而不求思想还可以用于解决对称问题 题型方法 【题型一】椭圆定义的理解 【例1】（24-25高二上·江苏宿迁·期中）方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 解题技巧 如果能确定动点运动的轨迹满足椭圆的定义，则可以判断动点的轨迹是椭圆． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆与圆内含，且圆心不重合，动圆与两圆相切，则圆心的轨迹为（    ） A．直线 B．圆 C．双曲线 D．椭圆 【变式2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则 【变式3】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）讨论方程＋表示的曲线. 【题型二】椭圆方程的求解 【例2】（23-24高二上·江苏常州·期中）若动点满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 解题技巧 利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤 (1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程． 提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论． 椭圆方程的设法 (1)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有相同焦点的椭圆可设为＋＝1(m<b2)． (2)椭圆过两定点，焦点位置不确定时，椭圆方程可设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)． 【举一反三】【变式1】（22-23高二上·江苏镇江·阶段练习）已知定点 和一动点 ，若 ，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）方程表示的曲线的标准方程是 . 【变式3】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）求出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点； (2)两个焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆方程 (3)过点，且与椭圆有相同焦点椭圆方程.； 【题型三】椭圆定义及方程的应用 【例3】（24-25高二上·江苏宿迁·期末）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解题技巧 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义具有双向作用，即若PF1＋PF2＝2a(2a＞F1F2)，则点P的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和必为2a. (2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）为椭圆：上一点，，则最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 【变式3】（22-23高二上·江苏镇江·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为椭圆上一动点，面积的最大值为2．    (1)求椭圆的方程； (2)若分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足：，连接交椭圆于点为坐标原点，证明：为定值； (3)若点为圆上的动点，点，求的最小值． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏南京·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知点为椭圆的右焦点，点为椭圆与圆的一个交点，则（   ） A．2 B．4 C．6 D． 3．（22-23高二上·江苏淮安·期中）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别，，点在上，，则内切圆半径为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 6．（22-23高二上·江苏常州·期中）已知椭圆：，四点，，，中恰有三个点在椭圆上，则这三个点是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 二、多选题 7．（2023高二上·江苏·专题练习）已知椭圆的标准方程为，并且焦距为6，则实数m的值可以为（    ） A．4 B． C．6 D． 8．（22-23高一下·江苏镇江·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．若，则为正三角形 C．角A的最小值为 D．若，则面积的最大值为 三、填空题 9．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围 . 10．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知动圆与圆，圆均相切，则动圆圆心的轨迹方程是 ． 11．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知椭圆C： 的上顶点为B，两个焦点分别为，离心率为，P为线段F1F2上动点，且P到直线的距离之和为，则椭圆C的标准方程为 ． 12．（24-25高三上·江苏·期末）已知F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，C上存在一点A，使，点B满足，∠F1AF2的平分线交直线OB于点D，，则椭圆C的标准方程为 ． 四、解答题 13．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）分别根据下列条件求椭圆标准方程： (1)一个焦点为 (2)与椭圆有相同的焦点，且经过点 14．（23-24高二上·江苏·阶段练习）求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，焦点坐标分别为，； (2)经过，两点. 15．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数． (1)求动点M的轨迹E； (2)在E上是否存在一点使得它到直线的距离最小？若存在，请求出最小距离；若不存在，请说明理由． 16．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）分别求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点，且与椭圆有相同的焦点． (2)经过两点，． 17．（23-24高二上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为． (1)求的标准方程； (2)若斜率为的直线（不过原点）交于，两点，点关于的对称点在上，求四边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$