第五章 三角函数-章末检测-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019）

三角函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，若，则的值为（ ） A．3 B． C． D． 5．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（   ） A．11 B．13 C．14 D．15 6．已知函数在一个周期内的图象如图所示，且其图象过点.则（    ）    A． B． C． D． 7．已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于y轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数的最大值为2，若在区间上有2个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．与405°角终边相同的角是（    ）． A． B． C． D． 10．函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 D．若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是 11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.若规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数），则与的关系为.下列说法正确的是（    ）      A． B．点第一次到达最高点需要的时间为 C．在转动的一个周期内，点在水中的时间是 D．若在上的值域为，则的取值范围是 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知角，满足，，则 . 13．已知函数在上单调递增,且其图像关于点对称,则 ． 14．已知函数在区间内不存在零点，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）若函数的定义域为A，值域为B，且，则称为“子集函数”． (1)证明：函数是“子集函数”． (2)判断函数是否为“子集函数”，并说明理由． (3)若函数（）的定义域为，且是“子集函数”，求a的取值范围． 16．（15分）已知， (1)求的值； (2)求的值 17．（15分）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 18．（17分）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数．记方程在区间上的根从小到大依次为，求的值． 19．（17分）已知函数 (1)求的最大值； (2)若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到 的图象，求的单调递增区间； (3)当时，的值域为，求的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三角函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和差的余弦公式和同角三角函数关系式求解即可. 【详解】，所以， 得，， 所以. 故选：A. 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合. 【详解】因为，， 所以，故. 故选：B. 3．，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两角和、差的余弦公式化简求值，结合同角三角函数的基本关系可得结果. 【详解】由题意得，， 所以， 所以. 故选：B. 4．已知，，若，则的值为（ ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的和差公式以及正切函数与正弦、余弦函数的关系，将转化为含有的式子，结合条件求解. 【详解】根据正切函数的定义，可得： 根据三角函数积化和差公式可得： 分子 分母 所以 已知，代入可得： 故选：D. 5．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（   ） A．11 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，由奇偶性得到方程，求解即可. 【详解】依题意，得为偶函数， 则，即. 故选：B. 6．已知函数在一个周期内的图象如图所示，且其图象过点.则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正弦型函数的周期公式和函数一个周期内的图象得出和；再根据函数的图象过点得出，从而得到函数的解析式；最后利用诱导公式和特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】由可得：函数的最小正周期为. 由函数的图象过点可得：. 由函数的图象可得：，整理得：. 则，即. 又因为，， 所以，， 则. 所以. 故选：B. 7．已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于y轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换化简，根据图象变换求出的解析式，进而根据即可代入化简得求解. 【详解】因为 ， 所以， 因为与关于y轴对称，则，， ，得，， 所以的最小值为. 故选：C. 8．已知函数的最大值为2，若在区间上有2个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据差角的正余弦公式及降幂公式将化简，再由最大值求出值，进而得到的解析式，通过换元，把在区间上有2个零点，转化为在区间上有2个零点，再结合图象，得到的范围，即可得到的取值范围. 【详解】 ， 所以当时，取到最大值， 解得，所以. 令， 在区间上有2个零点， 即在区间上有2个零点， ，解得. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．与405°角终边相同的角是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据终边相同的角定义判断. 【详解】由于， 故与405°终边相同的角应为或． 故选：BC 10．函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 D．若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是 【答案】BC 【分析】对于A，由图象可得周期，再得到即可；对于B，代入，可得的解析式，代入验证即可判断B，对于C，由函数平移前后的解析式可判断；对于D，根据单调性，可确定的取值范围. 【详解】由图可知，，，，故A错误； 所以，又过点，， 所以，，即，，，， 故，，故B正确； 对于C，将函数的图象向右平移个单位得到： ，故C正确； 对于D，当时，，令，则，. 当时，在上单调递增，在上单调递减； 又，，. 因为的图象与有且只有一个实数根， 所以的取值范围是，故D错误. 故选：BC. 11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.若规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数），则与的关系为.下列说法正确的是（    ）      A． B．点第一次到达最高点需要的时间为 C．在转动的一个周期内，点在水中的时间是 D．若在上的值域为，则的取值范围是 【答案】ABD 【分析】根据三角函数基本量求解方法，结合题意即可判断A；根据旋转角度即可判断B和C；根据三角函数图像，结合整体代换的方法即可判断D. 【详解】对于A，因为筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为， 则依题意，满足，所以， 因为筒车每分钟60s沿逆时针方向转动3圈，所以，， 则，由可得， 又因为，所以，故A正确； 对于B，由已知得，与轴正方向的夹角为， 所以点第一次到达最高点需要转动，则所需时间为，故B正确； 对于C，在转动的一个周期内，点在水中转动， 则所需要的时间是，故C错误； 对于D，若在上的值域为， 则在上的值域为， 因为，所以， 作出函数的图象，依题意需使 即，解得，故D正确.    故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的实际应用问题.关键点在于研究图形特点，通过数据转化为三角函数解析式的基本量，进而求解三角函数解析式，从而求解答案. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知角，满足，，则 . 【答案】 【分析】利用两角和与差的余弦公式求解即可. 【详解】由， ，则，. 则. 故答案为：. 13．已知函数在上单调递增,且其图像关于点对称,则 ． 【答案】/0.5 【分析】首先根据计算出的范围,再由函数在上单调递增计算出的范围,把对称点代人,即可计算出,从而计算. 【详解】在上单调递增 又关于点对称 , 当时,, 故答案为： 14．已知函数在区间内不存在零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先化简函数得，结合的图象，利用函数在上无零点，列不等式组可求的取值范围. 【详解】因为. 由题意：，即. 由. 因为在区间内不存在零点，结合的图象， 可得：或， 解得：或. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）若函数的定义域为A，值域为B，且，则称为“子集函数”． (1)证明：函数是“子集函数”． (2)判断函数是否为“子集函数”，并说明理由． (3)若函数（）的定义域为，且是“子集函数”，求a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)不是“子集函数”，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用函数的定义域和值域来判断是否满足，即可得到证明； （2）同理利用函数的定义域和值域来判断是否满足，即可得到判断； （3）利用函数的定义域可求值域，再利用包含关系可求参数的范围. 【详解】（1）证明：若，则定义域为， 可得值域为， 由于，所以是“子集函数”． （2）不是“子集函数”．理由以下： 由于，可得，则的定义域为． 由，则，即的值域为． 因为，所以不是“子集函数”． （3）由，得， 则， 因为，所以的值域为． 因为是“子集函数”，所以， 则，解得， 故a的取值范围为． 16．（15分）已知， (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方关系求出，再由商数关系求解； （2）利用诱导公式化简所求式子，利用商数关系弦化切，结合（1）得解. 【详解】（1）因为， 所以， 故. （2）由（1），， . 17．（15分）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角公式及差角的正弦公式求解. （2）利用同角公式及差角的正弦公式求出即可. 【详解】（1）由，得， 所以. （2）由，得，由， 得，则 ， 所以. 18．（17分）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数．记方程在区间上的根从小到大依次为，求的值． 【答案】(1)，. (2) (3)68 【分析】（1）结合二倍角公式和辅助角公式将函数化简为，再根据正弦函数的单调性得解； （2）分离参数，结合二倍角公式和齐次式运算，求对勾函数最值即可求解； （3）令，原问题可转化为函数与函数的交点个数，由交点个数确定的值，再结合函数对称性即可求解． 【详解】（1） . 令，，解得，， 故的单调递增区间为，. （2）由（1）知， 则对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 令， 因为，则，且， 因为，则函数在上单调递减， 由，解得， 则的最大值为，故. （3）令， ，， 令，又， 函数在上的图象如下图所示， 由图可知，的图象与直线共有6个交点，即， 则， 因， 所以. 19．（17分）已知函数 (1)求的最大值； (2)若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到 的图象，求的单调递增区间； (3)当时，的值域为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）整理可得，即可得的最大值； （2）根据图象变换可得，结合诱导公式可得，，以为整体，结合正弦函数求单调性； （3）以为整体，根据题意结合正项函数有界性分析求解即可. 【详解】（1）由题意可得：． 因为，所以的最大值为. （2）由平移变换知， 又因为，则，解得， 又因为，可得，所以， 令，解得， 所以的单调递增区间为． （3）当时，则， 此时的值域为， 因为，可知， 且，可得， 则，解得， 可得， 由可知，解得， 且，或，解得，或， 所以的值为或. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$