广东省华附、省实、广雅、深中2024～2025学年高二下学期四校期末联考数学试题

华附、省实、广雅、深中2023级高二下学期四校联考 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 题号 2 3 4 5 6 8 答案 B D C B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分。 题号 9 10 11 答案 BCD BD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2,4 1260 13.1 3 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解析】 a b sin A sin B sin C (1)由正弦定理知 …1分 sinA+sinB=√2sinC ∴a+b=V2c BAEREESEEEEE88B3EA888B83B88BEBBEBB8EEB08B0E8E8888BBEAEBEEB8BABAEAEBBABBBE0D88ABB800888000000000 '△ABC √2+1 的周长为 .a+b+e=√2+1=V2c+c 第1页共9页 ..AB=C=1 5分 1 S= absin C=sin C (②)△ABC的面积 6 7分 ∴.ab= 3 8分 a+b=√2c=1 由(1)知， 1 cosC=+b-_(a+by-2ab-c 2-2x: -1 2ab 2ab 2 2× 3 由余弦定理得 11分 又Ce(0,) C 3 .13分 16.【解析】 ()连接AE,由四边形ABEF为菱形，得AB=BE, 又”∠ABE=60÷△ABE 为等边三角形， :G为BE的中点，.AG⊥BE, 又Af1BE,.AG1Af，.2分 由四边形ABCD为矩形，得AD⊥AB, ABCD⊥ABEF ABCD∩ABEF=AB 因为平面 平面 ,平面 平面 且ADC平面ABCD, .AD⊥平面ABEF, AGC ABEF·AG⊥AD 平面 5分 :ADOAF=AAD、AFC平面 DF∴.AG⊥ ADF 平面 7分 注：位置关系判定条件未写全的的情扣1-2分 包DL平面4BEF,4GLAF 8分 第2页共9页 以点A为坐标原点，AG、AF、AD所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示 的空间直角坐标系，9分 5,-l,D0,0,1EV5,10 则 G5,0,0 DC=5,-1,0EC=(0,-2,1CG=(0,L- 11分 .EC=-2y+z=0 设平面CDE的法向量为1=(x,d,则万：DC=V5x-y=0, 取术=1，可 n=1,v5,25 13分 cos<CG,n > CG.n 6 V2×48 所以 网 6 CG CDE 8 所以，直线与面 所成角的正弦值为 15分 17.【解析】 (0令86)=f)-ar 8)=f(x)-a=1-a-a 1+x2 ，则 ，1分 2 1-a-ax2>1-2a20 x∈(0，I) ①当 时， 对任意 恒成立， >0在e0》恒成立，g在0， 此时 在 在 单调递增.2分 ②当a≥1时，1-a-ar2<0对任意x∈(0,1)恒成立， 第3页共9页 此时g()<0在x∈(0，)恒成立，g)在(0，)单调递减.3分 ae 1-a ∈(0,1) ③当 时，令8)=0 得 a 当 时，8>0,80单调递增 1-a xe( ) 当 时，8气()）<08单调递减.5分 因此， 1 4= 2 g0=f0-分g0=0 f0>1 取 得， ，即 1 得，80=/0-1<g0=0f0<1 取0=1 ,即 1 f0<1 故 7分 xf(x)-1=Inx (2)法一：题意等价于 的不同零点个数， 令)=)-血-l,则h=/)+)-f)+-1 十1+x2x8分 令=h) p=fe)+1-2+1.2 , 广0++京++7>0 9分 h'(x).(0,+o) f(x) 因此在 上单调递增，由于”为增函数，故 2=f号<f0-等<0A0=f⑩-分0 ∈(0，x)h'(x)<0x∈(xo,+o) 因此存在 ，使得当 时， :当 时， h'(x)>0 h(x)(0,xo) (xa,+0） 故 在 递减，在 递增，12分 =>0 e M)<h0=f0-1<0Me)>ef0-3>g-3>0 2 第4页共9页 (x),(0,x）(xo,+o) 故 在 分别存在唯一零点 y=f(x)-1 y=Inx 因此函 的图象与函数 的图象的交点个数为…15分 注：利用极限分析酌情给分 f-1+nx=0x>0) 法二：题意等价于 的不同零点个数 (x)=f(x)-1+Inx h()=f()+=1 Inx 令 ,则 1++ 8分 )=x2 1+x+血x 4w-=20pwa0 令 ，则 9分 (x)(0,+o) p()<0 故 在 上单调递增，且 p1)>0 x∈(-，1) xE(0,x)h'(x)<0 xE(xo,+o) 因此存在 ，使得当 时， ；当 时， h'(x)>0 (x)(0,xo) (xo,+0) 故 在 递减，在 递增， 12分 白=>0M<A0=D-1<0Me)>f0-寻>0 而 (x),(0,xo)(xo,+o) 故 在 分别存在唯一零点 y=xf(x)-1 y=Inx 因此函数 的图象与函数 的图象的交点个数为15分 注：利用极限分析酌情给分 18.【解析】 P(Xo-Yo) %0。≠1 (1)设 由题意得 且 kar:kw=Yo Xo=2 x0+1x-1 2 ,整理得 r2、y2 Γ2=1少≠0 因此曲线的方程为： (或术*1 3分 第5页共9页 (2)由题意得 hay --3kwkw-kaw -2 .kav-ko --6 4分 M(x,),N(x2,2)y2≠0 设 MN =x2,y=-y3 若直线的斜率不存在，则 .kayhau-( -y2=20+x2=-6 (x-10x2-1)(6-1)21-x =2 解得 ,此时直线N:x=2过2,0) 6分 MN MN:y=kx+m 若直线的斜率存在，设 ，与双曲线联立得 (2-k2)x2-2kmx-(m2+2)=0 2-k2≠0△=8(m2-k2+2)>0 依题意 且 2km m2+2 +6=2-尺西= 2-k2 由韦达定理得 48 分 =+m,+m=2m-3 2-k2 2(m2-k3)=-2m-k=-6 六kaykaw--1Xx-)(m+ m+k 整理得m=-2 …10分 =8(3k2+2)>0 MN y=kx-2k (2,0) 此时 恒成立， MN 2,0) 综上所述，直线 过定点 11分 注：用齐次化方法也相应给步骤分 4k2+2 XX2=- 2-k22=-6(x1-1)x2-1) (3)由(2)知 @当>2时，6>0，M, 均在C的右支，如图1 BM.BN=(c-1x2-I)+yy2=-5(x-1(x2-1)<0 此时 故<B 为钝角 …14分 第6页共9页 ②当<2时，5<0，M,N在C的两支，如图2，不妨设M在C的右支 记20 此时 MB.MR=(x-10(x-2)+y2=3x2-3x>0 故∠BMR为锐角，因此∠BMN为钝角 BMN 综上所述，三角形 为钝角三角形.… .17分 图1 图2 19.【解析】 (1)设事件A为“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利 法一： 事件A等效于甲乙进行5局比赛且甲至少赢3局2分 X 8 记5局比赛中甲赢的局数为，由题意得 --GG 4分 法二： 事件A分三种情况 ①比赛局数为3，甲3局全胜 ②比赛局数为4，甲第4局胜，前3局输1局 ③比赛局数为5，甲第5局胜，前4局输2局 -Cci- 44分 注：缺少必要的文字说明酌情扣1-2分 X. ②设甲乙进行2m-局比赛，甲赢的局数为，则 X2-B(2n-1,p)P=P(X2 zn) 第7页共9页 分 2n+1n+1 局”胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲要获得最终胜利 2n-1 n+1 若第2局甲输，则后续打满局比赛，甲至少胜局 2n-1 若第2局甲胜，则后续打满局比赛，甲至少胜局 由全概率公式得 P2=(I-p)PX2≥n+1)+p·P(X2≥n) =(I-p)(P-P(X2=n))+pP =p,-(1-p)P(X2=n) =p-C2m-1p1-p)9 故B-BA=Cp0-pr 9 分 (3)不妨设有无数支粉笔 题意台“用了n+1支白粉笔时，至多用了n-2支黄粉笔” 2n-1 .n+1 “总共用了”支粉笔时，至少用了”支白粉笔” 10分 2n-1 设总共用了“支粉笔时，白粉笔用了支，则 2m- a=P(Yzn+1)=P(Yzn)-P(Y=n) 11分 1 事件Y≥m。等效于甲乙进行2n-一局” 局胜”制游戏，甲乙每局获胜概率都为， P(Yzn)=7 最终甲获胜，由对称性可知 13分 .o.-3-P)--Ci 14分 =分+C2+C+C品 (注：直接写出 酌情给分) ∴.an> 2√2n 第8页共9页 (2n-10！_1.23…(2n-2)(2n-1) (m-1)nk22m可nk2”-[2.4:6…(2n-2 13-5…(2n-1)13.5…(2n-1) n!2" 2.4.6…(2n) 135…(2n-1) 2.46…(2m =13.3-52n-32n-D.2n-》<2n-<1 2242 (2n-2)2(2m)2 (2n)22n 注意到 1 2n 、11 :.a,722n 得证 17分 第9页共9页 华附、省实、广雅、深中2023级高二下学期四校联考 数　学 命题学校：深圳中学 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1． 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息。 2． 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。 3． 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4． 考生必须保持答题卡的整洁。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为 ( ) A. B. C. D. 2．“”是“”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．已知向量，，向量在向量方向上的投影向量的模为 ( ) A. B. C. D. 4．已知数列的前项和，，则的值为 ( ) A. B. C. D. 5．函数的极小值点是 ( ) A. B. C. D. 6．若随机事件满足，，，则 ( ) A. B. C. D. 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则双曲线的离心率的最大值为 ( ) A. B. C. D. 8．若曲线 () 与圆有公共点，且在点处的切线相同，则 ( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分。 9．已知复数，为虚数单位，其共轭复数为，则下列说法正确的是 ( ) A. B. 的虚部为 C. 对应的点位于复平面的第三象限 D. 10．已知函数，则下列说法正确的是 ( ) A. 关于中心对称 B. 关于直线对称 C. 的最小正周期为 D. 的最大值为 11．统计是研究数据的学问，一组数据的特征数能反映数据的取值规律，如平均数、众数、中位数能刻画数据的集中程度，极差、标准差、方差能刻画数据的离散程度. 已知10个数的平均数为5，根据下列选项的结果，能判断这组数据的中位数不超过7的是 ( ) A. 标准差为0 B. 众数为3 C. 极差为5 D. 方差为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．现将一个7、两个3、三个5排成一排，不同的排列方法有种 . (用数字作答) 13．随机变量服从正态分布，若函数为偶函数，则 . 14．已知正四面体的顶点均在一个底面半径为1的圆柱侧面上(圆柱的高足够大)，且点 到圆柱下底面的距离相等，则该四面体的边长的取值集合是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分) 已知的周长为，且. (1) 求边的长； (2) 若的面积为，求角. 16．(15分) 如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点. (1) 求证：平面； (2) 若，，求直线与平面所成角的正弦值. 17．(15分) 已知函数的定义域为，导函数为，满足，. (1) 讨论函数()在上的单调性，并证明：； (2) 求函数的图象与函数的图象的交点个数. 18．(17分) 已知两点的坐标分别是，，直线相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹为曲线.两个不同点在上运动，满足直线与直线的斜率之比是. (1) 求曲线的方程; (2) 直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由； (3) 证明：三角形是钝角三角形. 19．(17分) 在概率中，等效转换是一种很重要的思想方法.例如，甲乙两人比赛下棋，假设每局比赛甲赢的概率为，输的概率为，且每局比赛结果相互独立，那么甲乙进行“3局2胜”制游戏(累计先胜2局者获得最终胜利)，甲获得最终胜利这一事件，可等效为：甲乙进行3局比赛且甲至少赢2局.设3局比赛中甲赢的局数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出甲最终获胜的概率. (1) 若，求“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利的概率； (2) 记“局胜”()制游戏中甲获得最终胜利的概率为，“局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的概率为，证明：； (3) 教室里有一盒白粉笔和一盒黄粉笔，其中白粉笔有支，黄粉笔有支(且)，老师上课时每次都等可能地随机选择一盒粉笔，并拿出一支使用，不放回，记白色粉笔先被用完的概率为，证明：. 数学试题　　第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $$