精品解析：2025年6月赣中少年班竞赛数学期末测试卷

2025年6月赣中少年班竞赛数学期末测试卷 第一试 一、选择题．（每小题7分，共42分） 1. 已知，则的值为：（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 规定”△”为有序实数对的运算，如果(a，b)△(c，d)＝(ac+bd，ad+bc)．如果对任意实数a，b都有(a，b)△(x，y)＝(a，b)，则(x，y)为( ) A. (0，1) B. (1，0) C. (﹣1，0) D. (0，﹣1) 3. ΔABC中，，则∠A( ) A. 一定是锐角 B. 一定是直角 C. 一定是钝角 D. 非上述答案 4. 下列五个命题：①若直角三角形的两条边长为3与4则第三边长是5；②；③若点在第三象限，则点在第一象限；④连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形；⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．其中正确的命题的个数是：（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（ ） A B. C. D. 不确定 6. 满足方程的所有正整数解有：（ ） A 一组 B. 二组 C. 三组 D. 四组 二、填空题．（每小题7分，共28分） 7. 已知x，y为实数，且，则_____． 8. 如图，为直角斜边上高，．设，，的周长分别是，，p．当取最大值时，__________． 9. 若函数中自变量的取值范围是一切实数，则实数的取值范围是__________． 10. 如图所示，线段AB与CD都是⊙O中的弦，其中弧AB=108°，AB=a，弧CD =36°，CD=b，则⊙O的半径R=_____． 第二试 11. 是一个三位数，是一个一位数，且，都是整数，求最大值与最小值． 12. 如图，在中，，O，I，H分别是它的外心，内心，垂心．试比较的外接圆与的外接圆的大小，证明你的论断． 13. 求方程组的所有整数解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年6月赣中少年班竞赛数学期末测试卷 第一试 一、选择题．（每小题7分，共42分） 1. 已知，则的值为：（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的因式分解，利用因式分解将已知条件化简，再通过展开目标表达式并合并同类项，发现其与已知条件中的代数式相等，从而得出结果． 【详解】已知 化简 由已知条件可知该式值为3 故选：C． 2. 规定”△”为有序实数对的运算，如果(a，b)△(c，d)＝(ac+bd，ad+bc)．如果对任意实数a，b都有(a，b)△(x，y)＝(a，b)，则(x，y)为( ) A. (0，1) B. (1，0) C. (﹣1，0) D. (0，﹣1) 【答案】B 【解析】 【分析】根据新定义运算法则列出方程ax+by=a①，ay+bx=b②，由①②解得关于x、y方程组，解方程组即可． 【详解】由定义，知：（a，b）△（x，y）=（ax+by，ay+bx）=（a，b），则ax+by=a①，ay+bx=b② 由①+②，得：（a+b）x+（a+b）y=a+b． ∵a，b是任意实数，∴x+y=1③ 由①﹣②，得：（a﹣b）x﹣（a﹣b）y=a﹣b，∴x﹣y=1④ 由③④解得：x=1，y=0，∴（x，y）为（1，0）． 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法．解答此题的关键是弄懂新定义运算的法则，根据法则列出方程组． 3. 在ΔABC中，，则∠A( ) A. 一定是锐角 B. 一定是直角 C. 一定是钝角 D. 非上述答案 【答案】A 【解析】 【分析】根据以及三角形三边关系可得2bc＞a2，再根据（b-c） 2 ≥0，可推导得出b 2 +c2 ＞a2，据此进行判断即可得． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴2bc=a（b+c）， ∵a、b、c是三角形的三条边， ∴b+c＞a， ∴2bc＞a·a， 即2bc＞a2 ， ∵（b-c） 2 ≥0， ∴b2 +c2 -2bc≥0， b2 +c 2 ≥2bc， ∴b 2 +c2 ＞a2 ， ∴一定为锐角， 故选A． 【点睛】本题考查了三角形三边关系、完全平方公式、不等式的传递性、勾股定理等，题目较难，得出b 2 +c2 ＞a2是解题的关键． 4. 下列五个命题：①若直角三角形的两条边长为3与4则第三边长是5；②；③若点在第三象限，则点在第一象限；④连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形；⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．其中正确的命题的个数是：（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理，涉及直角三角形的性质，二次根式的性质，点的坐标，中点四边形的性质以及三角形全等的判定，根据概念对命题逐一判断． 【详解】解：命题①：未明确3和4是否为直角边，若4为斜边，第三边为，非5，故命题①错误； 命题②：根据二次根式性质，当时，等式成立，故命题②正确； 命题③：第三象限中，，则，，故，坐标均为正，在第一象限，故命题③正确； 命题④：对角线垂直时中点四边形为矩形，对角线相等时中点四边形为菱形，两者同时满足则为正方形，故命题④正确； 命题⑤：由命题条件结论有：已知：如图，，，分别为中点， 求证： 证明：延长至点使得，延长至点使得 在和中 ， 在和中 ， 分别为中点， 在和中 ， 在和中 故命题⑤正确； 综上，正确命题为②、③、④、⑤，共4个． 故选：C． 5. 设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，解法并不复杂，难点在于将问题考虑全面． 此题分两种情况讨论：①当在线段上，②当在的延长线上，利用勾股定理来探讨找到符合要求的点． 【详解】解：线段上时， ①当为中点时，如图 则有， 即； ②当点不为中点时，如图 过点作的垂线，设， 则 同理， 两式相加得 即； 点在的延长线上时，如图， 过点作垂直于的延长线于点， 过点作垂直于的延长线于点， 为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， 在中， 在中， 两式相加得 即； 综上可知：． 故选：B． 6. 满足方程的所有正整数解有：（ ） A. 一组 B. 二组 C. 三组 D. 四组 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式的应用，二元一次方程的正整数解，将原方程变形为关于x的一元二次方程，通过求根公式和判别式分析可能的正整数解，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：原方程变形为： 将其视为关于x的一元二次方程，判别式为： ， ∵方程有正整数解， 即判别式为非负完全平方数， 即，且y为正整数， 解得y的可能取值为,,,： 当时，则， 此时，不是正整数，不符合题意，故舍去； 当时，则， 此时， ∴ （舍去）， 即方程组的正整数解为； 当时，则， 此时，不是正整数，不符合题意，故舍去； 当时，则， 此时， ∴ ， 即方程组的正整数解为 或 ； 综上，共有三组正整数解， 故选：C 二、填空题．（每小题7分，共28分） 7. 已知x，y为实数，且，则_____． 【答案】0 【解析】 【分析】利用等式的性质和平方差公式化简等式即可得到结果. 【详解】解：等式两边同时乘以，得： ①， 等式两边同时乘以，得： ②， ①+②得： x+y=0， 故答案为：0. 【点睛】本题考查了平方差公式，等式性质，解题的关键是观察等式的形式，选择平方差公式对等式进行化简. 8. 如图，为直角斜边上的高，．设，，的周长分别是，，p．当取最大值时，__________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，解直角三角形，二次函数的性质．易证，，令，，即可求得，根据二次函数的极值即可求得，时的度数． 详解】解：， ∴，， ∴，， 令，，则，． ∴． 由二次函数性质知，当，时，取最大值， ∴当即时，取最大值， 此时， ∴， 故答案为：． 9. 若函数中自变量的取值范围是一切实数，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围、分式有意义的条件、根与系数的关系、提公因式法因式分解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据分母不为零以及根与系数的关系进行分析计算即可． 【详解】解：由题意知，的解是一切实数， 当时，，符合题意； 当时，则有：， ∴， ， 解得：； 时，， 当， ， ， ， 不满足“自变量的取值范围是一切实数”，故此种情况舍去； 综上，． 故答案为：． 10. 如图所示，线段AB与CD都是⊙O中的弦，其中弧AB=108°，AB=a，弧CD =36°，CD=b，则⊙O的半径R=_____． 【答案】a﹣b或 【解析】 【详解】AB上取BM=OB，连接AO、BO、DO、MO， ∵=108°，=36°， ∴∠DOC=36°，∠AOB=108°， ∵OC=OD=OA=OB， ∴∠ABO=∠DOC=36°， ∴△BOM≌△OCD，且△MAO∽△OAB， ∵AM=OM=CD=b，OB=BM=a-b，或OA=， 故答案为a-b或. 第二试 11. 是一个三位数，是一个一位数，且，都是整数，求的最大值与最小值． 【答案】最大值为，最小值为． 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，分式的化简，将变形为，根据题意得到，则，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， ∵，都是整数， ∴为整数， ∵是一个三位数，是一个一位数， ∴， ∴， ∴， ∵是一个三位数，是一个一位数， ∴， 当，时，最小，最小值为：， 当，时，最大，最小值为：， ∴的最大值为，最小值为． 12. 如图，在中，，O，I，H分别是它的外心，内心，垂心．试比较的外接圆与的外接圆的大小，证明你的论断． 【答案】的外接圆与的外接圆的大小相等．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形外心、内心、垂心的性质.关键是根据题意找出四点共圆，五点共圆，判断三角形共圆，利用“传递”的方法证明本题结论． 作关于的对称点 ，连接、、、、、、、，可以得到的外接圆与的外接圆是同一个圆；再证明的外接圆与的外接圆是同一个圆，的外接圆与 的外接圆相等，解答即可． 【详解】解：的外接圆与的外接圆的大小相等．理由： 作关于的对称点 ，连接、、、、、、、， 由三角形外心、内心、垂心的张角公式可知，，，， ∴、、、、五点共圆， 即的外接圆与的外接圆是同一个圆； 根据轴对称可知，， ∴、、、四点共圆， 即的外接圆与的外接圆是同一个圆； ∵，，， ∴， ∴的外接圆与'的外接圆相等； 即的外接圆与的外接圆相等． 13. 求方程组的所有整数解． 【答案】或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了解高次方程组，根据题意得到是解题的关键． 先整理原方程组为，由可得，再结合x，y，z均为整数，可得8为的整数倍，然后分类讨论，即可求解． 【详解】解：， 整理得：， 由得：， 即， ∴， ∴， ∵x，y，z均为整数， ∴8为的整数倍， ∴当时，，， 此时， ∴x，y可以看做是方程的两个整数根， 解得：， 此时； ∴当时，，， 此时， ∴x，y可以看做是方程的两个整数根， 此时方程无解； ∴当时，，， 此时， ∴x，y可以看做是方程的两个整数根， 解得：， 此时； ∴当时，，， 此时， ∴x，y可以看做是方程的两个整数根， 此时方程无解； ∴当时，，， 此时， ∴x，y可以看做是方程的两个整数根， 解得：， 此时或； ∴当时，，， 此时， ∴x，y可以看做是方程的两个整数根， 解得：，不符合题意，舍去； ∴当时，，， 此时， ∴x，y可以看做是方程的两个整数根， 解得：，不符合题意，舍去； ∴当时，，， 此时， ∴x，y可以看做是方程的两个整数根， 解得：，不符合题意，舍去； 综上所述，方程组的所有整数解为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $