专题5 三角函数-【创新教程】2021-2025五年高考真题数学分类特训

　 　　　　　　　专题五　三角函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 　　三角函数作为高考的必考内容,在高考中选择、填空、解答三种题型都会涉及,大部分是 考查基础知识和基本方法,也是历年来考试的热点,考查内容涉及三角函数定义、诱导公式、 同角三角函数基本关系式、图象变换、正弦型函数或余弦型函数的图象和性质、三角恒等变 换,解三角形,主要考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力．是考生得分的重要知识板块． 第１节　三角函数的概念 [考点１]　象限角 (２０２０􀅰全国Ⅱ卷(理),２)若α为第四象限 角,则 (　　) A．cos２α＞０ B．cos２α＜０ C．sin２α＞０ D．sin２α＜０ [考点２]　三角函数的概念 (２０１８􀅰北京卷(文),７)在平面直角坐标系 中,AB ︵ ,CD ︵ ,EF ︵ ,GH ︵ 是圆x２＋y２＝１上的 四段弧(如图),点P 在其中一段上,角α以 Ox为始边,OP 为终边,若tanα＜cosα＜ sinα,则P 所在的圆弧是 (　　) A．AB ︵ B．CD ︵ C．EF ︵ D．GH ︵ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２节　三角恒等变换 [考点１]　同角三角函数的基本关系式、诱 导公式 １．(２０２３􀅰全国乙卷(文),１４)若θ∈ ０,π２ æ è ç ö ø ÷, tanθ＝１２ ,则sinθ－cosθ＝　　　　． ２．(２０２１􀅰北京卷,１４)若点P(cosθ,sinθ)与 点Q cos θ＋π６ æ è ç ö ø ÷,sin θ＋π６ æ è ç ö ø ÷ æ è ç ö ø ÷关于y轴对 称,写出一个符合题意的θ　　　　． [考点２]　三角恒等变换 １．(２０２５􀅰全国二卷,８)已知０＜α＜π,cosα２ ＝ ５５ ,则sinα－π４ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．２１０　　　　　　　　B． ２ ５ C．３ ２１０ D． ７ ２ １０ ２．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷,４)已知cos(α＋β)＝ m,tanαtanβ＝２,则cos(α－β)＝ (　　) A．－３m B．－m３ C．m３ D．３m ３．(２０２４􀅰全国甲卷(理),８)已知 cosαcosα－sinα ＝ ３,则tanα＋π４ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．２ ３＋１ B．２ ３－１ C．３２ D．１－ ３ ４．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷,８)已知sin(α－β)＝ １ ３ ,cosαsinβ＝ １ ６ ,则cos(２α＋２β)＝ (　　) A．７９ B． １ ９ C．－１９ D．－ ７ ９ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７３ 第二部分　专题五　三角函数 ５．(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷,７)已知α为锐角,cosα ＝１＋ ５４ ,则sinα２＝ (　　) A．３－ ５８ B． －１＋ ５ ８ C．３－ ５４ D． －１＋ ５ ４ ６．(２０２２􀅰新高考Ⅱ卷,６)若sin(α＋β)＋cos(α ＋β)＝２ ２cos α＋ π ４ æ è ç ö ø ÷sinβ,则 (　　) A．tan(α－β)＝１ B．tan(α＋β)＝１ C．tan(α－β)＝－１ D．tan(α＋β)＝－１ ７．(２０２１􀅰全国乙卷(文),６)cos２ π１２－cos ２５π １２＝ (　　) A．１２ B． ３ ３ C．２２ D． ３ ２ ８．(２０２１􀅰全国甲卷(理),９)若α∈ ０,π２ æ è ç ö ø ÷, tan２α＝ cosα２－sinα ,则tanα＝ (　　) A．１５１５ B． ５ ５ C．５３ D． １５ ３ ９．(２０２１􀅰新高考Ⅰ卷,６)若tanθ＝－２,则 sinθ(１＋sin２θ) sinθ＋cosθ ＝ (　　) A．－６５ B．－ ２ ５ C．２５ D． ６ ５ １０．(２０２５􀅰北京卷,１３)已知α,β∈[０,２π],且 sin(α＋β)＝sin(α－β),cos(α＋β)≠cos(α －β),写出满足条件的一组(α,β)＝　　 　　． １１．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷,１３)已知α为第一象限角, β为第三象限角,tanα＋tanβ＝４,tanαtanβ＝ ２＋１,则sin(α＋β)＝　　　　． １２．(２０２３􀅰上海卷,４)已知tanα＝３,则tan２α ＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第３节　三角函数的图象与性质 [考点１]　三角函数的图象 １．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷,７)当x∈[０,２π]时,曲 线y＝sinx与y＝２sin３x－π６ æ è ç ö ø ÷的交点个数 为 (　　) A．３ B．４ C．６ D．８ ２．(２０２２􀅰 浙江卷,６)为 了 得 到 函 数 y＝ ２sin３x的图象,只要把函数y＝ ２sin３x＋π５ æ è ç ö ø ÷图象上所有的点 (　　) A．向左平移π５ 个单位长度 B．向右平移π５ 个单位长度 C．向左平移π１５ 个单位长度 D．向右平移π１５ 个单位长度 ３．(２０２１􀅰全国乙卷(理),７)把函数y＝f(x) 图象上所有点的横坐标缩短到原来的１ ２ 倍, 纵坐标不变,再把所得曲线向右平移π ３ 个单 位长度,得到函数y＝sinx－π４ æ è ç ö ø ÷的图象,则 f(x)＝ (　　) A．sinx２－ ７π １２ æ è ç ö ø ÷ B．sinx２＋ π １２ æ è ç ö ø ÷ C．sin２x－７π１２ æ è ç ö ø ÷ D．sin２x＋π１２ æ è ç ö ø ÷ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８３ 最新真题分类特训􀅰数学 ４．(２０２１􀅰全国甲卷(文),１５)已知函数f(x) ＝２cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示,则 f π２ æ è ç ö ø ÷＝　　　　． [考点２]　三角函数的性质:周期 １．(２０２４􀅰北京卷,６)设函数f(x)＝sinωx(ω ＞０),已知f(x１)＝－１,f(x２)＝１,且|x１－ x２|的最小值为 π ２ ,则ω＝ (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ ２．(２０２４􀅰上海卷,１４)下列函数中,最小正周 期是２π的是 (　　) A．y＝sinx＋cosx B．y＝sinxcosx C．y＝sin２x＋cos２x D．y＝sin２x－cos２x [考点３]　三角函数的性质:最值 １．(２０２４􀅰天津卷,７)已知函数f(x)＝sin３ ωx＋π３ æ è ç ö ø ÷的最 小 正 周 期 为 π,则 f(x)在 －π１２ ,π ６ é ë êê ù û úú的最小值为 (　　) A．－ ３２ B．－ ３ ２ C．０ D．３２ ２．(２０２１􀅰全国乙卷(文),４)函数f(x)＝ sinx３＋cos x ３ 的最小正周期和最大值分 别是 (　　) A．３π和 ２ B．３π和２ C．６π和 ２ D．６π和２ ３．(２０２５􀅰上海卷,５)函数y＝cosx在 [ －π２, π ４ ] 上的值域为　　　． ４．(２０２４􀅰全国甲卷(文),１３)函数f(x)＝sinx－ ３cosx在[０,π]上的最大值是　　　　． ５．(２０２４􀅰北京卷,１２)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边 关于原点对称．若α∈ π６ ,π ３ é ë êê ù û úú,则cosβ的最 大值为　　　　． ６．(２０２１􀅰浙江卷,１８)(１４分)设函数f(x)＝ sinx＋cosx(x∈R)． (Ⅰ)求 函 数 y＝ fx＋π２ æ è ç ö ø ÷ é ë êê ù û úú ２ 的 最 小 正 周期; (Ⅱ)求函数y＝f(x)f x－π４ æ è ç ö ø ÷在[０,π２ ]上 的最大值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９３ 第二部分　专题五　三角函数 [考点４]　三角函数的性质:单调 １．(２０２３􀅰全国乙卷(理),６)已知函数f(x)＝ sin(ωx＋φ)在区间 π ６ ,２π ３ æ è ç ö ø ÷ 单调递增,直线 x＝π６ 和x＝２π３ 为函数y＝f(x)的图象的两 条相邻对称轴,则f －５π１２ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．－ ３２ B．－ １ ２ C．１２ D． ３ ２ ２．(２０２２􀅰北京卷,５)已知函数f(x)＝cos２x －sin２x,则 (　　) A．f(x)在 －π２ ,－π６ æ è ç ö ø ÷上单调递减 B．f(x)在 －π４ ,π １２ æ è ç ö ø ÷上单调递增 C．f(x)在 ０,π３ æ è ç ö ø ÷上单调递减 D．f(x)在 π４ ,７π １２ æ è ç ö ø ÷上单调递增 ３．(２０２１􀅰新高考Ⅰ卷,４)下列区间中,函数 f(x)＝７sinx－π６ æ è ç ö ø ÷单调递增的区间是 (　　) A．０,π２ æ è ç ö ø ÷ B．π２ ,π æ è ç ö ø ÷ C．π,３π２ æ è ç ö ø ÷ D．３π２ ,２π æ è ç ö ø ÷ [考点５]　三角函数的性质:对称 １．(２０２５􀅰全国一卷,４)已知点(a,０)(a＞０)是 函数y＝２tanx－π３ æ è ç ö ø ÷的图象的一个对称中 心,则a的最小值为 (　　) A．π６ B． π ３ C．π２ D． ４ ３π ２．(２０２２􀅰全国甲卷(文),５)将函数f(x)＝ sinωx＋π３ æ è ç ö ø ÷(ω＞０)的图象向左平移π２ 个单 位长度后得到曲线C,若C 关于y 轴对称, 则ω的最小值是 (　　) A．１６ B． １ ４ C．１３ D． １ ２ ３．(２０２２􀅰新高考Ⅰ卷,６)记函数f(x)＝ sinωx＋π４ æ è ç ö ø ÷＋b(ω＞０)的最小正周期为T, 若２π ３ ≤T＜π ,且y＝f(x)的图象关于点 ３π ２ ,２ æ è ç ö ø ÷中心对称,则f π２ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．１ B．３２ C．５２ D．３ [考点６]　三角函数图象和性质的综合 应用 １．(２０２５􀅰北京卷,８)设函数f(x)＝sin(ωx) ＋cos(ωx)(ω＞０),若f(x＋π)＝f(x)恒成 立,且f(x)在 [０,π４ ]上存在零点,则ω的最 小值为 (　　) A．８　　　B．６　　　C．４　　　D．３ ２．(２０２５􀅰天津卷)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞０, －π＜φ＜π),在 － ５π １２ ,π １２ é ë êê ù û úú上单调递增,且x ＝π１２ 为f(x)图象的一条对称轴,π３ ,０ æ è ç ö ø ÷ 是 f(x)图 象 的 一 个 对 称 中 心,当 x ∈ ０,π２ é ë êê ù û úú时,f(x)的最小值为 (　　) A．－ ３２ B．－ １ ２ C．－１ D．０ ３．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷,９)(多选)对于函数 f(x)＝sin２x和g(x)＝sin２x－π４ æ è ç ö ø ÷,下列 说法正确的有 (　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０４ 最新真题分类特训􀅰数学 ４．(２０２３􀅰全国甲卷(理),１０)已知f(x)为函 数y＝cos２x＋π６ æ è ç ö ø ÷向左平移π ６ 个单位所得 函数,则y＝f(x)与y＝１２x－ １ ２ 的交点个 数为 (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ ５．(２０２２􀅰全国甲卷(理),１１)已知f(x)＝ sinωx＋π３ æ è ç ö ø ÷ 在区间(０,π)上恰有三个极值 点,两个零点,则ω的取值范围是 (　　) A．５３ ,１３ ６ é ë êê ö ø ÷ B．５３ ,１９ ６ é ë êê ö ø ÷ C．１３６ ,８ ３ æ è ç ù û úú D． １３ ６ ,１９ ６ æ è ç ù û úú ６．(２０２２􀅰新高考Ⅱ卷,９)(多选)已知函数 f(x)＝sin(２x＋φ)(０＜φ＜π)的图象关于 点 ２π ３ ,０ æ è ç ö ø ÷中心对称,则 (　　) A．f(x)在区间 ０,５π１２ æ è ç ö ø ÷单调递减 B．f(x)在区间 －π１２ ,１１π １２ æ è ç ö ø ÷有两个极值点 C．直线x＝７π６ 是曲线y＝f(x)的对称轴 D．直线y＝ ３２－x 是曲线y＝f(x)的切线 ７．(２０２２􀅰北京卷,１３)若函数f(x)＝Asinx－ ３cosx的一个零点为π３ ,则A＝　　　　; f π１２ æ è ç ö ø ÷＝　　　　． ８．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷,１５)已知函数f(x)＝ cosωx－１(ω＞０)在区间[０,２π]有且仅有３个 零点,则ω的取值范围是　　　　． ９．(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷, １６)已知函数f(x)＝ sin(ωx＋φ),如图,A, B是直线y＝１２ 与曲 线y＝f(x)的两个交点,若|AB|＝π６ ,则f(π) ＝　　　　． １０．(２０２１􀅰 全 国 甲 卷 (理),１６)已知函数f (x)＝２cos(ωx＋φ)的 部分图象如图所示,则满足条件 f(x)－f －７π４ æ è ç ö ø ÷ æ è ç ö ø ÷ f(x)－f ４π３ æ è ç ö ø ÷ æ è ç ö ø ÷＞０的 最小正整数x为　　　　． １１．(２０２５􀅰全国二卷,１５)已知函数f(x)＝ cos(２x＋φ)(０≤φ＜π),f(０)＝ １ ２． (１)求φ; (２)设函数g(x)＝f(x)＋f x－π６ æ è ç ö ø ÷,求 g(x)的值域和单调区间． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １４ 第二部分　专题五　三角函数 又因为G(x)在(１,＋∞)上单调递增,x０＞０,即ex０ ＞１, x４＞１,所以x４＝ex０, 又因为ex０ －２x０＋lnx０＝０,所以x１＋x４＝ex０ ＋lnx０ ＝２x０, 即存在直线y＝b与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)从左 到右的三个交点的横坐标成等差数列． １０．解:(１)当a＝２时,f(x)＝x ２ ２x ,(x＞０)． f′(x)＝x (２－xln２) ２x ,(x＞０) 令f′(x)＞０,即０＜x＜ ２ln２ ,此时f(x)单调递增; 令f′(x)＜０,即x＞ ２ln２ ,此时f(x)单调递减; 故f(x)的 单 调 递 增 区 间 ０,２ln２( ) ,单 调 递 减 区 间 ２ ln２ ,＋∞( )． (２)要使y＝f(x)与y＝１有２个交点, 即x a ax ＝１有２解,故lnxx ＝ lna a 有２解． 令g(x)＝lnxx ,(x＞０),g′(x)＝１－lnxx２ ,(x＞０) 令g′(x)＝１－lnxx２ ＝０,解得x＝e． 令g′(x)＞０,即０＜x＜e,此时g(x)单调递增; 令g′(x)＜０,即x＞e,此时g(x)单调递减; 故g(x)max ＝g(e)＝ １ e ,而 g(x)在 x＞e时,g(x) ∈ ０,１e( ) , 因g(１)＝０,即要使条件成立,即:０＜lnaa ＜ １ e Ⅰ:当０＜a＜１,此时不符合条件． Ⅱ:当a＞１,因g(x)max＝g(e)＝ １ e , 故a∈(１,e)∪(e,＋∞)． １１．解:(１)f′(x)＝x(ex－２a),令f′(x)＝０,则a≤０时,x ＝０;a＞０时,x＝０或ln(２a)． ①a≤０时,∵ex－２a≥ex＞０恒成立,x＞０时f′(x)＞ ０;x＜０时f′(x)＜０． ∴f(x)在(－∞,０)上 单 调 递 减,在(０,＋∞)上 单 调 递增． ②a∈ ０,１２( ) 时,x∈(－∞,ln(２a))∪(０,＋∞)时,x 和ex－２a同号,f′(x)＞０恒成立;x∈(ln(２a),０)时,x ＜０, ex＞２a,f′(x)＜０恒成立．∴f(x)在(－∞,ln(２a))和 (０,＋∞)上递增,在(ln(２a),０)上递减． ③a＝１２ 时,f′(x)＝x(ex－１),x≠０时x 和ex－１同 号,∴f(x)在(－∞,＋∞)上递增; ④a＞１２ 时,x∈(－∞,０)∪(ln(２a),＋∞)时,x 和ex －２a同号,f′(x)＞０恒成立,x∈(０,ln２a)时,x＞０,ex ＜２a,f′(x)＜０ 恒 成 立．∴f(x)在 (－ ∞,０)和 (ln(２a),＋∞)上递增,在(０,ln(２a))上递减． 综上,①a≤０时,f(x)在(－∞,０)上单调递减,在(０,＋∞) 上单调递增;②a∈ ０,１２( ) 时,f(x)在(－∞,ln(２a))和(０, ＋∞)上递增,在(ln(２a),０)上递减;③a＝ １２ 时,f(x)在 (－∞,＋∞)上 递 增;④a＞ １２ 时,f(x)在(－∞,０)和 (ln(２a),＋∞)上递增,在(０,ln(２a))上递减． (２)若选①,由f(x)在(０,ln２a)上递减,在(－∞,０)或 (ln２a,＋∞)上递增． 由f(x)在(－∞,０)上递增,且f(０)＝b－１＞２a－１＞ ０,f － ba æ è ç ö ø ÷＝ － ba －１ æ è ç ö ø ÷e－ b a ＜０, 可得f(x)在(－∞,０)上有唯一零点, 由f(x)在(０,ln２a)上递减,在(ln２a,＋∞)上递增, 且f(ln２a)＝(ln２a－１)􀅰２a－aln２２a＋b＞(ln２a－１) 􀅰２a－aln２２a＋２a＝a(２－ln２a)ln２a＞０, 所以在(０,ln２a)及(ln２a,＋∞)上没有零点, 所以f(x)只有一个零点． 若选②,由(１)知０＜a＜ １２ 时,f(x)在(ln２a,０)上递 减,在(－∞,ln２a)上递增, 因为f(ln２a)＝(ln２a－１)􀅰２a－aln２２a＋b＞(ln２a－ １)􀅰２a－aln２２a＋２a＝a(２－ln２a)ln２a＜０, 所以f(x)在(－∞,０)没有零点, 设g(x)＝ex－x－１(x＞１),则g′(x)＝ex－１＞０, 所以g(x)在(１,＋∞)上是增函数,g(x)＞g(１)＝e－２ ＞０, 所以x＞１时f(x)＝(x－１)ex－ax２＋b＞(x－１)(x＋ １)－１２x ２＋b＝１２x ２－１＋b． 所以x＞１且１２x ２－１＋b＞０时f(x)＞０, 又f(x)在(０,＋∞)上递增, 且f(０)＝b－１＜２a－１＜０, 所以f(x)在(０,＋∞)上有唯一零点,所以f(x)只有一 个零点． 专题五　三角函数 第１节　三角函数的概念 考点１　象限角 D　∵－π２ ＋２kπ＜α＜２kπ (k∈Z),∴－π＋４kπ＜２α＜ ４kπ(k∈Z),∴２α是第三或第四象限角或y 轴负半轴上 角,∴sin２α＜０． 考点２　三角函数的概念 C　由三角函数律性质得:有向线 段OM 为 余 弦 线,有 向 线 段 MP 为正弦 线,有 向 线 段 AT 为 正 切 线,A 选 项:如 图 ①,点 P 在 AB ︵ 上, cosα＝x,sinα＝y,∴cosα＞ sinα,故 A 选项错误;B选项:如 图②,点P 在CD ︵ 上, cosα＝x,sinα＝y,tanα＝yx tanα＞sinα＞cosα,故 B选项错 误;C 选 项:如 图 ③,点 P 在 EF ︵ 上, cosα＝x,sinα＝y,tanα＝yx 由图可得:sinα＞cosα＞tanα,故 C选项正确;D 选项:点 P 在GH ︵ 上且GH ︵ 在 第 三 象 限,tanα＞０, sinα＜０,cosα＜０,故 D 选 项 错误． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５５１ 详解详析 第２节　三角恒等变换 考点１　同角三角函数的基本关系式、诱导公式 １．解析:因为θ∈ ０,π２( ) ,则sinθ＞０,cosθ＞０, 又因为tanθ＝sinθcosθ＝ １ ２ ,则cosθ＝２sinθ, 且cos２θ＋sin２θ＝４sin２θ＋sin２θ＝５sin２θ＝１, 解得sinθ＝ ５５ 或sinθ＝－ ５５ (舍去), 所以sinθ－cosθ＝sinθ－２sinθ＝－sinθ＝－ ５５． 答案:－ ５５ ２．解 析:点 P、Q 都 在 单 位 圆 上,θ 可 取 π２ － π ６ ２ ＝ ５π １２ 满足θ＝５π１２＋kπ ,k∈Z( ) 答案:５π １２ 考点２　三角恒等变换 １．D　由０＜α＜π可知０＜α２＜ π ２ ,因为cosα２＝ ５ ５ ,所以 sinα２＝ ２ ５ ５ ,所以sinα＝２sin α２cos α ２＝２× ５ ５× ２ ５ ５ ＝４５ , cosα＝cos２ α２－sin ２ α ２＝ ( ５ ５ ) ２ － (２ ５５ ) ２ ＝－３５ ,所 以sin(α－π４ ) ＝sinαcos π ４－cosαsin π ４＝ ４ ５× ２ ２－ ( － ３ ５ ) × ２ ２＝ ７ ２ １０ ． ２．A　由tanαtanβ＝２,得sinαsinβ＝２cosαcosβ,cos(α＋β)＝ cosαcosβ－sinαsinβ＝－cosαcosβ＝m,故cosαcosβ＝－m, 所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝３cosαcosβ＝－３m． 故选择:A． ３．B　 因 为 cosαcosα－sinα＝ ３ ,所 以 tanα＝１－ ３３ ,tan α＋π４( )＝ tanα＋１ １－tanα＝２ ３－１． ４．B　因为sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝ １ ３ , cosαsinβ＝ １ ６ ,则sinαcosβ＝ １ ２． 故sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝ １ ２＋ １ ６＝ ２ ３． 即cos(２α＋２β)＝１－２sin ２(α＋β)＝１－２× ２ ３( ) ２ ＝１９． 故选B． ５．D　由半角公式可知sin２ α２ ＝ １－cosα ２ ,解得sinα２ ＝ ５－１ ４ ． 故选 D． ６．C　由已知得:sinαcosβ＋cosαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ＝ ２(cosα－sinα)sinβ, 即:sinαcosβ－cosαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝０,即: sin(α－β)＋cos(α－β)＝０,所以tan(α－β)＝－１,故选 C． ７．D　由题意可知cos２ π１２－cos ２ ５π １２＝cos ２ π １２－sin ２ π １２＝ cosπ６＝ ３ ２． ８．A　由tan２α＝sin２αcos２α＝ ２sinαcosα １－２sin２α ＝ cosα２－sinα ,化 解 得 sinα＝１４ ,从而得tanα＝ １５１５ ,故选 A． ９．C　sinθ (１＋sin２θ) sinθ＋cosθ ＝sinθ (sin２θ＋２sinθcosθ＋cos２θ) sinθ＋cosθ ＝sinθ (sinθ＋cosθ)＝ sin２θ＋sinθcosθ＝sin ２＋sinθcosθ sin２θ＋cos２θ ＝tan ２θ＋tanθ tan２θ＋１ ,将tanθ＝ －２代入得tan ２θ＋tanθ tan２θ＋１ ＝４－２４＋１＝ ２ ５ ,故C正确． １０．解析:由sin(α＋β)＝sin(α－β),即 sinαcosβ＋cosαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ, 得cosαsinβ＝０,故cosα＝０或sinβ＝０; 同理,由cos(α＋β)≠cos(α－β), 可得sinαsinβ≠０,故sinα≠０且sinβ≠０ 则必有cosα＝０且sinβ≠０ 故取α＝π２ ,β＝ π ６ 可满足题设要求． 答案: π ２ ,π ６( )(答案不唯一) １１．解析:sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ＝cosαcosβ(tanα＋tanβ) ＝４cosαcosβ＝ －４ １＋tan２α １＋tan２β ＝ －４ (tanα＋tanβ) ２＋(tanαtanβ－１) ２ ＝ －４ ４２＋２ ＝ －２ ２３ ． 答案:－２ ２３ １２．解析:tan２α＝ ２tanα １－tan２α ＝ ６１－９＝－ ３ ４． 答案:－３４ 第３节　三角函数的图象与性质 考点１　三角函数的图象 １．C　由题意可得:y＝２sin ３x－π６( ) 可知最小正周期T＝ ２π ３ ,所以y＝２sin ３x－π６＋ ２π ３( ) ＝２cos３x,画出y＝sinx 和y＝２cos３x在[０,２π]上的函数图象,观察即可得到６ 个交点． 故选择:C． ２．D　函数图象平移满足左加右减,y＝２sin ３x＋π５( ) ＝ ２sin ３ x＋π１５( )[ ] ,因此需要将函数图象向右平移 π １５ 个 单位长度,可以得到y＝２sin３x的图象．故本题选 D． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６５１ 最新真题分类特训􀅰数学 ３．B　y＝sin x－π４( ) 向左平移 π ３ 个单位 →y＝ sin x＋π１２( ) 横坐标变为原来的２倍 　 →y＝sin x２＋ π １２( ) ４．解析:由图象得３４T＝ １３π １２－ π ３＝ ３π ４ ,T＝π,ω＝２πT＝２ , 又∵f π３( )＝０, ∴２cos ２×π３＋φ( )＝０, ２π ３＋φ＝２kπ＋ π ２ (k∈Z) ∴φ＝２kπ－ π ６ (k∈Z) 所以f(x)＝２cos ２x＋２kπ－π６( )＝ ２cos ２x－１６π( ) , 所以f π２( )＝２cos ２× π ２－ １ ６π( )＝２cos ５π ６＝ ２× － ３２ æ è ç ö ø ÷＝－ ３． 答案:－ ３ 考点２　三角函数的性质:周期 １．B　由题意可知:x１ 为f(x)的最小值,x２ 为f(x)的最大 值点, 则|x１－x２|min＝ T ２＝ π ２ ,即T＝π, 且ω＞０,所以ω＝２πT＝２． ２．A　对于 A,sinx＋cosx＝ ２ ２ ２sinx＋ ２ ２cosx æ è ç ö ø ÷＝ ２sin x＋π４( ) ,则 T＝２π,满 足条件,故 A正确; 对于B,sinxcosx＝ １２sin２x ,则 T＝２π２ ＝π ,不满足条 件,故B错误; 对于 C,sin２x＋cos２x＝１,为常值函数,则不存在最小正 周期,不满足条件,故 C错误; 对于 D,sin２x－cos２x＝－cos２x,则T＝２π２＝π ,不满足 条件,故 D错误,故答案选 A． 考点３　三角函数的性质:最值 １．A　f(x)＝sin３ ωx＋π３( ) ＝sin(３ωx＋π)＝－sin３ωx, 由T＝２π３ω＝π 得ω＝２３ , 即 f (x)＝ － sin ２x,当 x ∈ －π１２ ,π ６[ ] 时,２x ∈ －π６ ,π ３[ ] , 画出 f(x)＝ －sin２x 图 象, 如图, 由图 可 知,f(x)＝－sin２x 在 －π１２ ,π ６[ ] 上递减, 所以,当x＝ π６ 时,f(x)min＝－ sinπ３＝－ ３ ２． ２．C 　 由 f (x)＝sin x３ ＋cos x ３ 可 得 f (x)＝ ２sin x３＋ π ４( ) ,故周期为T＝ ２π ω ＝ ２π １ ３ ＝６π,最大值为 ２,故选 C． ３．解析:本题考查了余弦函数的值域． ∵y＝cosx,x∈ －π２ ,π ４[ ] ,由余弦函数的图象可知x ＝－π２ 时,ymin＝０, 当x＝０时,ymax＝１．故y＝cosx 在 － π ２ ,π ４[ ] 上的值 域为[０,１]． 答案:[０,１] ４．解析:由题意知f(x)＝sinx－ ３cosx＝２sin x－π３( ) , 当x∈[０,π]时,x－π３∈ － π ３ ,２π ３[ ] , ∴sin x－π３( ) ∈ － ３ ２ ,１[ ] ,于是f(x)∈[－ ３,２],故 f(x)在[０,π]上的最大值为２． 答案:２ ５．解析:∵α∈ π６ ,π ３[ ] ,∴cos π ３≤cosα≤cos π ６ ,即１ ２≤ cosα≤ ３２ ,又β－α＝π＋２kπ,k∈Z,∴cosβ＝cos(α＋π＋ ２kπ)＝cos(α＋π)＝－cosα,∴－ ３２≤cosβ≤－ １ ２ , ∴cosβ的最大值为－ １ ２． 答案:－１２ ６．解:(Ⅰ)f(x)＝sinx＋cosx＝ ２sin x＋π４( ) y＝ f x＋π２( )[ ] ２ ＝ ２sin x＋３π４( )[ ] ２ ＝ ２sin２ x＋３π４( )＝１－cos ２x＋ ３π ２( )＝１－sin２x, 所以T＝２π|ω|＝ ２π ２＝π． (Ⅱ)y＝f(x)f x－π４( )＝ ２sin x＋ π ４( ) 􀅰 ２sinx ＝２sin x＋π４( )sinx＝２sinx 􀅰 ２ ２sinx＋ ２ ２cosx æ è ç ö ø ÷＝ ２sin２x＋ ２sinxcosx ＝ ２􀅰１－cos２x２ ＋ ２ ２sin２x＝ ２ ２sin２x－ ２ ２cos２x＋ ２ ２ ＝sin ２x－π４( )＋ ２ ２ 令２x－π４ ＝t ,x∈ ０,π２[ ] ,所以t∈ － π ４ ,３π ４[ ] ,所以 sint∈ － ２２ ,１[ ] ,故y∈ ０,１＋ ２２[ ] , 所以函数y＝f(x)f x－π４( ) 在 ０, π ２[ ] 上的最大值为１ ＋ ２２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７５１ 详解详析 考点４　三角函数的性质:单调 １．D　因为f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间 π ６ ,２π ３( ) 单调递增, 所以T ２＝ ２π ３－ π ６＝ π ２ ,且ω＞０,则T＝π,ω＝２πT＝２ , 当x＝π６ 时,f(x)取得最小值,则２􀅰 π６＋φ＝２kπ－ π ２ , k∈Z,则φ＝２kπ－ ５π ６ ,k∈Z, 不妨取k＝０,则f(x)＝sin ２x－５π６( ) , 则f －５π１２( )＝sin － ５π ３( )＝ ３ ２． 故选 D． ２．C　f(x)＝cos２x－sin２x＝cos２x,选项 A中:２x∈(－π, －π３ ),此时f(x)单调递增,选项B中:２x∈(－π２ ,π ６ ), 此时f(x)先递增后递减,选项 C中:２x∈(０,２π３ ),此时 f(x)单调递减,选项 D 中:２x∈(π２ ,７π ６ ),此时f(x)先 递减后递增．所以选 C． ３．A　当x－ π６ ∈ － π ２＋２kπ ,π ２＋２kπ( ) ,k∈Z时,函数 单调递增,即x∈ －π３＋２kπ ,２π ３＋２kπ( ) ,k∈Z,故答案 选 A． 考点５　三角函数的性质:对称 １．B　依题知a－π３＝ kπ ２ ,即a＝kπ２＋ π ３ ,其中k∈Z,又a ＞０,所以当k＝０时,a取得最小值 π３ ,故选B． ２．C　记g(x)为f(x)向左平移 π２ 个单位后得到的曲线, 则g(x)＝f x＋π２( )＝sin ωx＋ π ２ω＋ π ３( ) 由g(x)关于 y轴对称,可得:π２ω＋ π ３＝kπ＋ π ２ ,k∈Z,故有ω＝１３＋ ２k,所以ω的最小值为１３ ,故选 C． ３．A　ω＝２πT ∈ (２,３),y＝f(x)的 函 数 图 象 关 于 点 ３π ２ ,２( ) 中心对称,则有b＝２,且f ３π２( )＝２,所以 sin ３π２ω＋ π ４( )＋２＝２,则 ３π ２ω＋ π ４＝２kπ ,k∈Z; 解得ω＝８k－１６ ,由ω∈(２,３)得k＝２,ω＝５２ , 故f π２( )＝sin ５ ２ 􀅰π ２＋ π ４( )＋２＝－１＋２＝１． 考点６　三角函数图象和性质的综合应用 １．C　由辅助角公式化简函数解析式,再由正弦函数的最 小正周期与零点即可求解． 函数f(x)＝sin(ωx)＋cos(ωx)＝ ２sin(ωx＋ π４ )(ω＞ ０), 设函数f(x)的最小正周期为 T,由f(x＋π)可得kT＝ π,(k∈N∗ ), 所以T＝２πω＝ π k (k∈N∗ ),即ω＝２k,(k∈N∗ ); 又 函 数 f (x)在 ０,π４[ ] 上 存 在 零 点,且 当 x ∈ ０,π４[ ] 时,ωx＋ π ４∈ π ４ ,πω ４＋ π ４[ ] , 所以πω ４＋ π ４≥π ,即ω≥３; 综上,ω的最小值为４．故选:C． ２．A　依题可知πω１２＋φ＝２kπ＋ π ２ ,πω ３ ＋φ＝nπ ,其中k,n ∈Z． 两式相减,得ω＝４(n－２k)－２＝４t－２,t∈Z． 又因为T ２ ＝ π ω ≥ π １２－ － ５π １２( ) ＝ π ２ ,所 以ω≤２,故ω ＝２． 从而φ＝２kπ＋ π ３ ,结合－π＜φ＜π得φ＝ π ３． 显然f(x)＝sin ２x＋π３( ) 在 ０, π ２[ ] 上的最小值为 f π２( )＝sin ４π ３＝－ ３ ２． ３．BC　A错,代x＝０便知;B显然对,两者值域相同;C显 然对,两者最小正周期都为 π;D 错,前者对称轴为x＝ π ２＋kπ ,后者是x＝３π８＋kπ． ４．C　因为y＝cos ２x＋π６( ) 向左平移 π ６ 个单位所得函数 为y＝cos ２ x＋π６( )＋ π ６[ ]＝ cos２x＋π２( )＝－sin２x,所以f(x)＝－sin２x, 而y＝１２x－ １ ２ 显然过 ０,－１２( ) 与(１,０)两点, 作出f(x)与y＝１２x－ １ ２ 的部分大致图象如下, 考虑２x＝－３π２ ,２x＝３π２ ,２x＝７π２ ,即x＝－３π４ ,x＝３π４ ,x ＝７π４ 处f(x)与y＝１２x－ １ ２ 的大小关系, 当x＝－３π４ 时,f －３π４( )＝－sin － ３π ２( )＝－１, y＝１２× － ３π ４( )－ １ ２＝－ ３π＋４ ８ ＜－１ ; 当x＝３π４ 时,f ３π４( ) ＝－sin ３π ２＝１ ,y＝１２× ３π ４ － １ ２＝ ３π－４ ８ ＜１ ; 当x＝７π４ 时,f ７π４( ) ＝－sin ７π ２＝１ ,y＝１２× ７π ４ － １ ２＝ ７π－４ ８ ＞１ ; 所以由图可知,f(x)与y＝１２x－ １ ２ 的交点个数为３．故 选 C． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８５１ 最新真题分类特训􀅰数学 ５．C　设ωx＋ π３＝t ,则t∈ π３ ,πω＋π３( ) ,有两个零点可 得２π＜πω＋π３ ≤３π ,即 ５ ３＜ω≤ ８ ３ ,又因为有三个极值 点,(sint)′＝cost,所以５π２＜πω＋ π ３≤ ７π ２ ,所以１３ ６＜ω≤ １９ ６ ,综上得１３ ６＜ω≤ ８ ３． 即选 C． ６．AD　由题意得:f ２π３( )＝sin ４π ３＋φ( )＝０ 所以４π ３＋φ＝kπ 即:φ＝－ ４π ３＋kπ ,k∈Z 又０＜φ＜π,所以k＝２时,φ＝ ２π ３ 故f(x)＝sin ２x＋２π３( )． 选项 A:x∈ ０,５π１２( ) 时２x＋ ２π ３∈ ２π ３ ,３π ２( ) , 由y＝sinu图象知y＝f(x)是单调递减的; 选项B:x∈ －π１２ ,１１π １２( ) 时２x＋ ２π ３ ∈ π ２ ,５π ２( ) ,由y＝ sinu图象知y＝f(x)只有１个极值点,由２x＋２π３＝ ３π ２ 可解得极值点; 选项 C:x＝７π６ 时２x＋２π３＝３π ,y＝f(x)＝０,直线x＝７π６ 不是对称轴; 选项 D:由y′＝２cos ２x＋２π３( )＝－１得: cos ２x＋２π３( )＝－ １ ２ , 解得２x＋２π３＝ ２π ３＋２kπ 或２x＋２π３＝ ４π ３＋２kπ ,k∈Z 从而得:x＝kπ或x＝π３＋kπ ,k∈Z 所以函数y＝f(x)在点 ０,３２ æ è ç ö ø ÷ 处的切线斜率为k＝y′|x＝０ ＝２cos２π３＝－１ , 切线方程为:y－ ３２＝－ (x－０)即y＝ ３２－x． ７．解析:f π３( )＝Asin π ３－ ３cos π ３＝ ３ ２A－ ３ ２＝０ ,解得 A＝１．f(x)＝sinx－ ３cosx＝２sin x－π３( ) , 故f π１２( )＝２sin π １２－ π ３( )＝２sin － π ４( )＝－ ２． 答案:１　－ ２． ８．解析:令f(x)＝cosωx－１＝０,得cosωx＝１,又x∈[０, ２π],则ωx∈[０,２ωπ],所以４π≤２ωπ＜６π,即２≤ω＜３． 故ω的取值范围是[２,３)． 答案:[２,３) ９．解析:设A x１, １ ２( ) ,B x２, １ ２( ) ,则ωx１＋φ＝ π ６ ,ωx２＋ φ＝ ５π ６ ,又x２－x１＝ π ６ ,所以ω＝４,由曲线y＝f(x)过 ２π ３ ,０( ) ,所以４×２π３＋φ＝２π,即φ＝－ ２π ３ ,所以f(x)＝ sin ４x－２π３( ) ,f(π)＝sin ４π－ ２π ３( ) ＝－sin２π３＝－ ３ ２． 答案:－ ３２ １０．解 析:由３T４ ＝ １３π １２ － π ３ ＝ ３π ４ ,得 T＝π,ω＝２,将 π ３ ,０( ) 代入y＝２cos(２x＋φ),得cos ２π３＋φ( ) ＝０, ２π ３ ＋φ＝ π ２ ,φ＝－ π ６ ,所以f(x)＝２cos ２x－π６( )． f(x)－f －７π４( )( ) f(x)－f ４π ３( )( ) ＞ ０ 等 价 于 (f(x)－１)f(x)＞０,等价于f(x)＜０或f(x)＞１,由 f(x)＜０得x∈ π３＋kπ ,５π ６＋kπ( ) ,k∈Z, 此时x的最小正整数为２, 由f(x)＞１得x∈ －π１２＋kπ ,π ４＋kπ( ) ,k∈Z,此时x 的最小正整数为３,故答案为２． 答案:２ １１．解:(１)因为f(０)＝cosφ＝ １ ２ 且０≤φ＜π, 所以φ＝ π ３ (２)由(１)得f(x)＝cos ２x＋π３( ) 所以g(x)＝cos ２x＋π３( )＋ cos ２ x－π６( )＋ π ３[ ] ＝cos ２x＋π３( )＋cos２x ＝３２cos２x－ ３ ２sin２x ＝ ３cos ２x＋π６( ) 因为x∈R,所以g(x)的值域为[－ ３,３], 令－π＋２kπ≤２x＋π６≤２kπ ,k∈Z, 得－７１２π＋kπ≤x≤－ π １２＋kπ ,k∈Z, 令２kπ≤２x＋π６≤π＋２kπ ,k∈Z, 得－π１２＋kπ≤x≤ ５ １２π＋kπ ,k∈Z, 所以g(x)单调增区间为 －７１２π＋kπ ,－π１２＋kπ[ ] ,k∈Z 单调递减区间为 －π１２＋kπ ,５ １２π＋kπ[ ] ,k∈Z 专题六　平面向量 第１节　平面向量的概念及运算 考点１　平面向量的线性运算及平面向量基本定理 A　本题考查平面向量的线性运算．因为 D 是AB 的中 点,所以AD → ＝DB → ．所以CB → ＝CD → ＋DB → ＝CD → ＋AD → ＝CD → ＋(CD → －CA →)＝２CD→－CA→．故选 A． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９５１ 详解详析