专题1 集合与常用逻辑用语-【创新教程】2021-2025五年高考真题数学分类特训

则S△ABC＝ １ ２absinC＝ １ ２×７×３× ５ ３ １４＝ １５ ３ ４ ． 选择③csinA＝５２ ３ ,则有c× ３２＝ ５ ２ ３ ,解得c＝５, 则由正弦定理得 a sinA＝ c sinC ,即 ７ ３ ２ ＝ ５sinC ,解得sinC ＝５ ３１４ , 因为C为三角形内角,则cosC＝ １－ ５ ３ １４ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１１１４ , 则sinB＝sin(A＋C)＝sin ２π３＋C( )＝sin ２π ３cosC＋ cos２π３sinC ＝ ３２× １１ １４＋ － １ ２( )× ５ ３ １４ ＝ ３ ３ １４ , 则S△ABC＝ １ ２acsinB＝ １ ２×７×５× ３ ３ １４＝ １５ ３ ４ ． ５．解析:(１)由题意可得ba ＝ ３ , a２＋b２＝２, 故a＝１,b＝ ３． 因此C的方程为x２－y ２ ３＝１． (２)设直线PQ 的方程为y＝kx＋t(k≠０),将直线PQ 的 方程代入C 的方程得(３－k２)x２－２ktx－t２－３＝０ 则 x１ ＋x２ ＝ ２kt ３－k２ ,x１x２ ＝ － t２＋３ ３－k２ ,x１ －x２ ＝ (x１＋x２)２－４x１x２＝ ２ ３(t２＋３－k２) ３－k２ ． 设点 M 的坐标为(xM ,yM), 则 yM－y１＝－ ３ (xM－x１) yM－y２＝ ３(xM－x２){ ． 两式相减,得y１－y２＝２ ３xM － ３(x１＋x２),而y１－y２ ＝(kx１＋t)－(kx２＋t)＝k(x１－x２),故２ ３xM ＝k(x１－ x２)＋ ３(x１＋x２),解得xM＝ k t２＋３－k２＋kt ３－k２ ． 两式相加,得２yM－(y１＋y２)＝ ３(x１－x２), 而y１＋y２＝(kx１＋t)＋(kx２＋t)＝k(x１＋x２)＋２t,故 ２yM＝k(x１ ＋x２)＋ ３(x１ －x２)＋２t,解 得 yM ＝ ３ t２＋３－k２＋３t ３－k２ ＝３kxM． 因此,点 M 的轨迹为直线y＝３kx ,其中k为直线PQ 的 斜率． 若选择①②: 设直线AB 的方程为y＝k(x－２),并设A 的坐标为(xA, yA),B 的坐标为(xB,yB)．则 yA＝k(xA－２) yA＝ ３xA{ ,解得xA＝ ２k k－ ３ ,yA＝ ２ ３k k－ ３ ． 同理可得xB＝ ２k k＋ ３ ,yB＝－ ２ ３k k＋ ３ ． 此时xA＋xB＝ ４k２ k２－３ ,yA＋yB＝ １２k k２－３ ． 而点 M 的坐标满足 yM＝k(xM－２) yM＝ ３ kxM{ ,解得xM ＝ ２k２ k２－３ ＝ xA＋xB ２ ,yM＝ ６k k２－３ ＝yA＋yB２ , 故 M 为AB 的中点,即|MA|＝|MB|． 若选择①③: 当直线AB 的斜率不存在时,点 M 即为点F(２,０),此时 M 不在直线y＝３kx 上,矛盾． 当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y＝m(x －２)(m≠０),并 设 A 的 坐 标 为 (xA,yA ),B 的 坐 标 为 (xB,yB )． 则 yA＝m(xA－２) yA＝ ３xA{ , 解 得 xA ＝ ２m m－ ３ ,yA＝ ２ ３m m－ ３ ． 同理可得xB＝ ２m m＋ ３ ,yB＝－ ２ ３m m＋ ３ ． 此时xM＝ xA＋xB ２ ＝ ２m２ m２－３ ,yM＝ yA＋yB ２ ＝ ６m m２－３ ． 由于点 M 同时在直线y＝３kx 上,故６m＝３k 􀅰２m２,解 得k＝m．因此PQ∥AB． 若选择②③: 设直线AB 的方程为y＝k(x－２),并设A 的坐标为(xA, yA),B 的坐标为(xB,yB)．则 yA＝k(xA－２) yA＝ ３xA{ ,解得xA＝ ２k k－ ３ ,yA＝ ２ ３k k－ ３ ． 同理可得xB＝ ２k k＋ ３ ,yB＝－ ２ ３k k＋ ３ ． 设AB 的 中 点 为C(xC,yC),则 xC ＝ xA＋xB ２ ＝ ２k２ k２－３ , yC＝ yA＋yB ２ ＝ ６k k２－３ ． 由于|MA|＝|MB|,故 M 在AB 的垂直平分线上,即点 M 在直线y－yC＝－ １ k (x－xC)上． 将该直线与y＝ ３kx 联立,解得xM ＝ ２k２ k２－３ ＝xC,yM ＝ ６k k２－３ ＝yC,即 点 M 恰 为 AB 中 点．故 点 M 在 直 线 AB 上． 答案:(１)x２－y ２ ３＝１ ;(２)见解析 第二部分　学科专项命题热点特训 专题一　集合与常用逻辑用语 第１节　集合及其运算 考点１　集合的基本运算 １．D　x３＝x,即x３－x＝０,所以x(x＋１)(x－１)＝０,解得x ＝０,－１或１,即B＝{０,１,－１},所以A∩B＝{０,１}． ２．D　先求出集合 M,再根据集合的交集运算即可解出．因 为 M＝{x|２x－１＞５}＝{x|x＞３},所以 M∩N＝∅,故 选:D． ３．D　本题考查集合运算A＝{１,３},B＝{２,３,５},A∪B＝ {１,２,３,５} ∴∁U(A∪B)＝{４}． ４．A　由题意可知集合B 中,只有－１,０满足集合A,所以 A∩B＝{－１,０}．故选择 A． ５．D　因为A＝{１,２,３,４,５,９},B＝{x|x∈A|}＝{１,４,９, １６,２５,８１},所以∁A(A∩B)＝{２,３,５}． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １３１ 详解详析 ６．B　因为集合A＝{１,２,３,４},B＝{２,３,４,５},所以A∩B ＝{２,３,４}． ７．C　因为集合 M＝{x|－３＜x＜１},N＝{x|－１≤x＜４}, 所以 M∪N＝{x|－３＜x＜４}． ８．C　由题意可知,集合 N＝(－∞,－２]∪[３,＋∞),所以 M∩N＝{－２}．故选 C． ９．A　因为整数集U＝{x|x＝３k,k∈Z}∪{x|x＝３k＋１,k ∈Z}∪{x|x＝３k＋２,k∈Z},所以∁U (M∪N)＝{x|x＝ ３k,k∈Z}．故选 A． １０．A　因为全集U＝{１,２,３,４,５},集合 M＝{１,４},所以 ∁UM＝{２,３,５},又 N＝{２,５}, 所以 N∪∁UM＝{２,３,５},故选 A． １１．A　由题意可得 M∪N＝{x|x＜２},则∁U (M∪N)＝ {x|x≥２},选项 A正确; ∁UM＝{x|x≥１},则 N∪∁UM＝{x|x＞－１},选项 B 错误;M∩N＝{x|－１＜x＜１}, 则∁U(M∩N)＝{x|x≤－１或x≥１},选项 C错误; ∁UN＝{x|x≤－１或x≥２},则 M∪∁UN＝ {x|x＜１或x≥２},选项 D错误;故选 A． １２．A　由题意可得∁UN＝{２,４,８}, 则 M∪∁UN＝{０,２,４,６,８}．故选 A． １３．A　由∁UB＝{３,５},而 A＝{１,３},所 以∁UB∪A＝ {１,３,５}．故选 A． １４．A　因为 M＝{２,４,６,８,１０},N＝{x|－１＜x＜６},所以 M∩N＝{２,４}． １５．D　由B＝{x|x２－４x＋３＝０}＝{１,３},A∪B＝{－１, １,２,３},所以∁U(A∪B)＝{－２,０},故选 D． １６．A　方法 一:直 接 通 过 交 集 的 运 算 定 义 可 得 A∩B＝ {０,１,２},故选 A． 方法二:代入排除法,排除B,C,D,选 A． １７．D　集合 M＝{x|０≤x＜１６},集合 N＝ x|x≥１３{ }, M∩N＝ x|１３≤x＜１６{ },故选 D． １８．B　通过解不等式可得集合B＝{x|０≤x≤２},则A∩B ＝{１,２},故选B． １９．A　由 M＝{１,２},N＝{３,４},所以 M∪N＝{１,２,３, ４},所以∁U(M∪N)＝{５},故选 A． ２０．B　由已知得 M∩N＝{１３≤x＜４ },故选B． ２１．B　因为２x＞７⇒x＞３．５,所 以 M∩N＝{５,７,９},故 选B． ２２．B　A∩B 是求集合A 与集合B 的公共元素,即{２,３}． ２３．B　 考 查 交 集 和 补 集 的 运 算,属 于 简 单 题．∁UB＝ {１,５,６},A∩∁UB＝{１,３,６}∩{１,５,６}＝{１,６}． ２４．B　A∪B＝(－１,１)∪[０,２]＝(－１,２]． ２５．C　∵A＝{－１,０,１},B＝{１,３,５},C＝{０,２,４}, ∴A∩B＝{１}, ∴(A∩B)∪C＝{０,１,２,４}．故选:C． ２６．D　易知A∩B＝{x|１≤x＜２},故选 D． ２７．解析:本题考查了补集的运算,∵U＝{x|２≤x≤５},A ＝{x|２≤x＜４} ∴􀭿A＝{x|４≤x≤５}． 答案:{x|４≤x≤５} ２８．解析:根据补集的定义可得 􀭿A＝{１,３,５} 答案:{１,３,５} 考点２　集合的含义及表示 １．C　８－３＝５,选 C． ２．A　由 M＝{x|x∈P 且x∉Q}知,M＝{１}． ３．A　由题设,易知 M＝{２,４,５},对比选项,选择 A． ４．C　当n是偶数时,设n＝２k,则s＝２n＋１＝４k＋１, 当n是奇数时,设n＝２k＋１,则s＝２n＋１＝４k＋３,k∈Z, 则T⊆S,则S∩T＝T,故选 C． 考点３　含参集合 B　若a－２＝０,则a＝２,此时 A＝{０,－２},B＝{１,０, ２},不满足题意;若２a－２＝０,则a＝１,此时A＝{０,－１},B ＝{１,－１,０},满足题意．故选B． 考点４　集合的新概念问题 A　取S＝{１,２,４},则T＝{２,４,８},S∪T＝{１,２,４,８}, ４个元素,排除 C; S＝{２,４,８},则T＝{８,１６,３２},S∪T＝{２,４,８,１６,３２}, ５个元素,排除 D; S＝{２,４,８,１６},则T＝{８,１６,３２,６４,１２８},S∪T＝{２, ４,８,１６,３２,６４,１２８},７个元素,排除B;故选 A． 第２节　常用逻辑用语 考点１　简单的逻辑联结词 A　由已知可得命题p为真命题,命题q为真命题,所以 p∧q为真命题,故选 A． 考点２　全称量词与存在量词 B　由x＝０不 成 立 知p 假,x＝１时 成 立 知q真,所 以 选B． 考点３　充分条件与必要条件 １．A　本题考查了命题的充要条件,由x＝０⇒sin２x＝sin０ ＝０,由sin２x＝０⇒２x＝kπ,x＝kπ２ ,k∈Z不一定为x＝０ ∴sin２x＝０⇒/x＝０ ∴x＝０是sin２x＝０的充分不必要条件． ２．A　由函数值域的概念结合特例,再根据充分条件、必要 条件的概念即可求解． 若函数f(x)的值域为 R,则对任意 M∈R,一定存在x１ ∈D,使得|f(x１)|＝|M|＋１, 取x０＝x１,则|f(x０)|＝|M|＋１＞M,充分性成立; 取f(x)＝２x,D＝R,则对任意 M∈R,一定存在x１∈D, 使得f(x１)＝|M|＋１, 取x０＝x１,则|f(x０)|＝|M|＋１＞M,但此时函数f(x) 的值域为(０,＋∞),必要性不成立; 所以“函数f(x)的值域为 R”是“对任意 M∈R,存在x０ ∈D,使得|f(x０)|＞M”的充分不必要条件．故选:A． ３．C　若a⊥b,则x(x＋１)＋２x＝０, 即x２＋３x＝０,解得x＝０或x＝－３, ∴A错,C对;若a∥b,则２(x＋１)－x２＝０,即x２－２x－２ ＝０, 解得x＝１± ３,故B、D错． ４．C　根据立方的性质和指数函数的性质,a３＝b３⇒a＝b⇒ ３a＝３b,３a＝３b⇒a＝b⇒a３＝b３,所以二者互为充要条件． ５．B　∵(a＋b)􀅰(a－b)＝０,∴a２－b２＝０,∴a２＝b２,则|a|＝ |b|,不能得到a＝b或a＝－b,充分性不成立;若a＝b或 a＝－b,则(a＋b)􀅰(a－b)＝０成立,必要性成立．所以 “(a＋b)􀅰(a－b)＝０”是“a＝－b或a＝b”的必要不充分 条件． ６．B　甲 等 价 于 sin２α＝１－sin２β＝cos ２ β,等 价 于 sinα＝ ±cosβ,所以由甲不能推导出sinα＋cosβ＝０,所以甲不是 乙的充分条件;由sinα＋cosβ＝０,得sinα＝－cosβ,平方可 得sin２α＝cos２β＝１－sin ２ β,即sin ２α＋sin２β＝１,所以由乙可以 推导出甲,则甲是乙的必要条件．综上．故选B． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２３１ 最新真题分类特训􀅰数学 ７．C　①充分性证明: 若{an}为递增数列,则对∀n∈N∗ ,an＋１＞an,公差d＝ an＋１－an＞０,取正整数 N０,aN０＝a１＋(N０－１)d≥０成立 则当n＞N０ 时,存在an＞０． ②必要性证明: 若存在正整数 N０,当n＞N０ 时,an＞０, ∵an＝a１＋(n－１)d, ∴d＞d－a１n ,对∀n＞N０,n∈N都成立, ∵lim n→＋∞ d－a１ n ＝０ ,且d≠０, ∴d＞０, ∴对∀n∈N,都有an＋１－an＝d＞０,an＋１＞an,即:{an}为 递增数列． 所以“{an}为 递 增 数 列”是“存 在 正 整 数 N０,当n＞N０ 时,an＞０”的充要条件． ∴选 C． ８．A　若sinx＝１,则x＝π２＋２kπ ,k∈Zcosx＝０; 若cosx＝０,则x＝π２＋kπ ,k∈Z,sinx＝１或sinx＝－１．若 sinx＝１可推出cosx＝０,充分性成立;反之不成立,必要性 不成立,故为充分不必要条件,故选 A． ９．B　a１＝－１,q＝２时,{Sn}是递减数列,所以甲不是乙的 充分条件;{Sn}是递增数列,可以推出an＋１＝Sn＋１－Sn＞ ０,可以推出q＞０,甲是乙的必要条件．故选B． １０．A　若函数f(x)在[０,１]上单调递增,则f(x)在[０,１] 上的最大值为f(１),充分性成立,反之,则f(x)在[０, １]上的最大值为f(１),但f(x)在[０,１]上不一定是增 函数,如函数f(x)＝ x－１４( ) ２ 在[０,１]上的最大值为 f(１),它在[０,１]上不单调,故必要性不成立． １１．A　由题意,若a＞６,则a２＞３６,故充分性成立; 若a２＞３６,则a＞６或a＜－６,推不出a＞６,故必要性不 成立, 所以“a＞６”是“a２＞３６”的充分不必要条件． 故选:A． １２．B　若c⊥a且c⊥b,则a􀅰c＝b􀅰c＝０,但a不一定等于 b,故充分性不成立;若a＝b,则a􀅰c＝b􀅰c,必要性成 立,故为必要不充分条件．故选择:B． 专题二　不等式 考点１　不等式的性质与解法 １．C 　 由 x－４x－１ ≥ ２ ⇔ －x－２ x－１ ≥ ０ ⇔ x＋２ x－１ ≤ ０ ⇔ (x－１)(x＋２)≤０ x－１≠０{ ⇔－２≤x＜１． ２．D　 不 等 式 a|x－b|≥|２x－５|－|x－４|＝ －x＋１,x＜５２ ３x－９,５２≤x＜４ x－１,x≥４ ì î í ï ï ï ï ,即f(x)的图象恒在g(x)的上方(可 重合),如下图所示: 由图可知:a≥３,１≤b≤３,或１≤a＜３,１≤b≤４－３a ≤３ , 故选 D． ３．解析:取x＝－１２ ,得１ ４ (２a＋b)－１２ (２a＋b)－１≤０,即 ２a＋b≥－４． 另一方面,取２a＋b＝－４,－ b２(２a＋b)＝－ １ ２ ,此时b＝ －４,a＝０, (２a＋b)x２＋bx－a－１≤０即－４x２－４x－１≤０,亦即(２x ＋１)２≥０,显然恒成立,符合题意．故２a＋b的最小值为 －４． 答案:－４ ４．解析:本题考查了分式不等式的解法． ∵x－１x－３＜０ ∴(x－３)(x－１)＜０ ∴１＜x＜３ ∴原不等式的解集为{x|１＜x＜３},即(１,３)． 答案:(１,３) ５．解析:将不等式分解因式得(x－３)(x＋１)＜０,解得－１ ＜x＜３． 答案:(－１,３) ６．解析:|x－２|＜１⇒－１＜x－２＜１⇒１＜x＜３． 答案:(１,３) 考点２　基本不等式 １．C　由基本不等式结合特例即可判断． 对于 A,当a＝b时,a２＋b２＝２ab,故 A 错误;对于 B、D, 取a＝１２ ,b＝１４ ,此时 １ a ＋ １ b ＝２＋４＝６＜ １ １ ２× １ ４ ＝８ ＝１ab ,１ a＋ １ b ＝２＋４＝６＞ ２ １ ２× １ ４ ＝４ ２＝ ２ ab ,故 B、D错误;对于C,由基本不等式可得a＋b≥２ ab＞ ab, 故C正确．故选:C． ２．BC　由x２＋y２－xy＝１得 x－y２( ) ２ ＋ ３ ２y æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１ 令 x－y２＝cosθ ３ ２y＝sinθ ì î í ïï ï ⇒ x＝ ３３sinθ＋cosθ y＝２ ３３sinθ ì î í ï ï ïï 故x＋y＝ ３sinθ＋cosθ＝２sinθ＋π６( ) ∈[－２,２],故 A错, B对; x２＋y２＝ ３３sinθ＋cosθ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ ２ ３ ３sinθ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ３３sin２θ－ １ ３cos２θ＋ ４ ３ ＝ ２ ３ sin (２θ－φ)＋ ４ ３ ∈ ２ ３ ,２[ ] , 其中tanφ＝ ３ ３ æ è ç ö ø ÷,故C对,D错． ３．C　由题意可知 A的最小值为３,B的等号成立条件不成 立,D无最小值． ４．解析:∵a＞０,b＞０,a＋１b＝１ ,∴０＜a＜１,b＞１,∴a＝１ －１b＝ b－１ b ＞０ , ∴b＋１a＝b＋ b b－１＝b－１＋ １ b－１＋２≥ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３３１ 详解详析 　 　　　　专题一　集合与常用逻辑用语 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 　　集合是每年的必考项和高考的得分项,常用逻辑用语不仅是数学语言的重要部分还是数 学学习的重要工具,是高考中不可忽视的考点． (１)集合备考应以常见的选择题、填空题为主训练,难度通常不大,在备考时要注意:在注 重集合定义的基础上,牢固掌握集合的基本概念与运算,加强与其他数学知识的联系,借助数 轴和 Venn图突出集合的工具性; (２)常用逻辑用语主要要求考生理解其中蕴含的逻辑思想,并且容易与函数、不等式、数 列、三角函数、立体几何交汇．考查的热点是充要条件和全称量词命题与存在量词命题．要注 意:本部分内容出错原因主要是与其他知识交汇部分,其次是充要条件的判断容易出错． 第１节　集合及其运算 [考点１]　集合的基本运算 １．(２０２５􀅰全国二卷,３)已知集合A＝{－４,０, １,２,８},B＝{x|x３＝x},则A∩B＝ (　　) A．{０,１,２}　　　　　　B．{１,２,８} C．{２,８} D．{０,１} ２．(２０２５􀅰北京卷,１)集合 M＝{x|２x－１＞ ５},N＝{１,２,３},则 M∩N＝ (　　) A．{１,２,３} B．{２,３} C．{３} D．∅ ３．(２０２５􀅰天津卷,１)已知全集U＝{１,２,３,４, ５},集合A＝{１,３},B＝{２,３,５},则∁U (A ∪B)＝ (　　) A．{１,２,３,４} B．{２,３,４} C．{２,４} D．{４} ４．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷,１)已知集合A＝{x| －５＜x３＜５},B＝{－３,－１,０,２,３},则A∩ B＝ (　　) A．{－１,０}　　　　　　B．{２,３} C．{－３,－１,０} D．{－１,０,２} ５．(２０２４􀅰全国甲卷(理),２)已知集合A＝{１, ２,３,４,５,９},B＝{x|x∈A},则∁A(A∩B) ＝ (　　) A．{１,４,９} B．{３,４,９} C．{１,２,３} D．{２,３,５} ６．(２０２４􀅰天津卷,１)集合A＝{１,２,３,４},B ＝{２,３,４,５},则A∩B＝ (　　) A．{１,２,３,４} B．{２,３,４} C．{２,４} D．{１} ７．(２０２４􀅰北京卷,１)已知集合 M＝{x|－３＜ x＜１},N＝{x|－１≤x＜４},则 M∪N＝ (　　) A．{x|－１≤x＜１} B．{x|x＞－３} C．{x|－３＜x＜４} D．{x|x＜４} ８．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷,１)已知集合M＝{－２, －１,０,１,２},N＝{x|x２－x－６≥０},则 M∩N＝ (　　) A．{－２,－１,０,１} B．{０,１,２} C．{－２} D．{２} ９．(２０２３􀅰全国甲卷(理),１)设集合 M＝{x|x ＝３k＋１,k∈Z},N＝{x|x＝３k＋２,k∈Z},U 为 整数集,则∁U(M∪N)＝ (　　) A．{x|x＝３k,k∈Z} B．{x|x＝３k－１,k∈Z} C．{x|x＝３k－２,k∈Z} D．⌀ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０１ 最新真题分类特训􀅰数学 １０．(２０２３􀅰全国甲卷(文),１)设全集U＝{１, ２,３,４,５},集合 M＝{１,４},N＝{２,５},则 N∪∁UM＝ (　　) A．{２,３,５} B．{１,３,４} C．{１,２,４,５} D．{２,３,４,５} １１．(２０２３􀅰全国乙卷(理),２)设集合U＝R,集 合 M＝{x|x＜１},N＝{x|－１＜x＜２},则 {x|x≥２}＝ (　　) A．∁U(M∪N) B．N∪∁UM C．∁U(M∩N) D．M∪∁UN １２．(２０２３􀅰全国乙卷(文),２)设全集U＝{０, １,２,４,６,８},集合 M＝{０,４,６},N＝{０,１, ６},则 M∪∁UN＝ (　　) A．{０,２,４,６,８} B．{０,１,４,６,８} C．{１,２,４,６,８} D．U １３．(２０２３􀅰天津卷,１)已知集合U＝{１,２,３,４, ５},A＝{１,３},B＝{１,２,４},则(∁UB)∪A＝ (　　) A．{１,３,５} B．{１,３} C．{１,２,４} D．{１,２,４,５} １４．(２０２２􀅰全国乙卷(文),１)集合M＝{２,４,６,８, １０},N＝{x|－１＜x＜６},则M∩N＝ (　　) A．{２,４} B．{２,４,６} C．{２,４,６,８} D．{２,４,６,８,１０} １５．(２０２２􀅰全国甲卷(理),３)设 全 集 U ＝ {－２,－１,０,１,２,３},集合A＝{－１,２},B ＝{x|x２－４x＋３＝０},则∁U(A∪B)＝ (　　) A．{１,３} B．{０,３} C．{－２,１} D．{－２,０} １６．(２０２２􀅰全国甲卷(文),１)设集合 A＝ {－２,－１,０,１,２},B＝ x|０≤x＜５２{ },则 A∩B＝ (　　) A．{０,１,２} B．{－２,－１,０} C．{０,１} D．{１,２} １７．(２０２２􀅰新高考Ⅰ卷,１)若集合 M＝{x|x ＜４},N＝{x|３x≥１},则 M∩N＝ (　　) A．{x|０≤x＜２} B．x|１３≤x＜２{ } C．{x|３≤x＜１６} D．x|１３≤x＜１６{ } １８．(２０２２􀅰新高考Ⅱ卷,１)已 知 集 合 A＝ {－１,１,２,４},B＝{x||x－１|≤１},则 A∩B＝ (　　) A．{－１,２} B．{１,２} C．{１,４} D．{－１,４} １９．(２０２１􀅰全国乙卷(文),１)已知全集U＝ {１,２,３,４,５},集合 M＝{１,２},N＝{３,４}, 则∁U(M∪N)＝ (　　) A．{５} B．{１,２} C．{３,４} D．{１,２,３,４} ２０．(２０２１􀅰全国甲卷(理),１)设集合 M＝ {x|０＜x＜４},N ＝ {x|１３ ≤x≤５ },则 M∩N＝ (　　) A．{x|０＜x≤１３ } B．{x|１３≤x＜４ } C．{x|４≤x＜５} D．{x|０＜x≤５} ２１．(２０２１􀅰全国甲卷(文),１)设集合M＝{１,３,５, ７,９},N＝{x|２x＞７},则M∩N＝ (　　) A．{７,９} B．{５,７,９} C．{３,５,７,９} D．{１,３,５,７,９} ２２．(２０２１􀅰新高考Ⅰ卷,１)设集合A＝{x|－２ ＜x＜４},B＝{２,３,４,５},则A∩B＝ (　　) A．{２} B．{２,３} C．{３,４} D．{２,３,４} ２３．(２０２１􀅰新高考Ⅱ卷,２)设集合U＝{１,２, ３,４,５,６},A＝{１,３,６},B＝{２,３,４},则 A∩(∁UB)＝ (　　) A．{３} B．{１,６} C．{５,６} D．{１,３} 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １１ 第二部分　专题一　集合与常用逻辑用语 ２４．(２０２１􀅰北京卷,１)已知集合A＝{x|－１＜ x＜１},B＝{x|０≤x≤２},则A∪B＝ (　　) A．(－１,２) B．(－１,２] C．[０,１) D．[０,１] ２５．(２０２１􀅰天津卷,１)设集合A＝{－１,０,１}, B＝{１,３,５},C＝{０,２,４},则(A∩B)∪C＝ (　　) A．{０} B．{０,１,３,５} C．{０,１,２,４} D．{０,２,３,４} ２６．(２０２１􀅰浙江卷,１)设集合A＝{x|x≥１}, B＝{x|－１＜x＜２},则A∩B＝ (　　) A．{x|x＞－１} B．{x|x≥１} C．{x|－１＜x＜１} D．{x|１≤x＜２} ２７．(２０２５􀅰上海卷,１)已知全集U＝{x|２≤x ≤５,x∈R},集合 A＝{x|２≤x＜４,x∈ R},则A＝　　　． ２８．(２０２４􀅰上海卷,１)设全集U＝{１,２,３,４, ５},集合A＝{２,４},则􀭿A＝　　　　． [考点２]　集合的含义及表示 １．(２０２５􀅰全国一卷,２)已知全集U＝{x|x是 小于９的正整数},集合 A＝{１,３,５},则 ∁UA 中元素的个数为 (　　) A．０ B．３ C．５ D．８ ２．(２０２３􀅰上海卷,１３)已知集合P＝{１,２},Q ＝{２,３},若 M＝{x|x∈P 且x∉Q},则 M＝ (　　) A．{１} B．{２} C．{１,２} D．{１,２,３} ３．(２０２２􀅰全国乙卷(理),１)设全集U＝{１,２,３, ４,５},集合M 满足∁UM＝{１,３},则 (　　) A．２∈M B．３∈M C．４∉M D．５∉M ４．(２０２１􀅰全国乙卷(理),２)已知集合S＝{s|s ＝２n＋１,n∈Z},T＝{t|t＝４n＋１,n∈Z}, 则S∩T＝ (　　) A．⌀ B．S C．T D．Z [考点３]　含参集合 (２０２３􀅰新课标Ⅱ卷,２)设集合A＝{０,－a},B＝ {１,a－２,２a－２},若A⊆B,则a＝ (　　) A．２ B．１ C．２３ D．－１ [考点４]　集合的新概念问题 (２０２０􀅰浙江卷,１０)设集合S,T,S⊆N∗,T⊆ N∗,S,T中至少有２个元素,且S,T满足: ①对于任意的x,y∈S,若x≠y,则xy∈T; ②对于任意的x,y∈T,若x＜y,则yx∈S． 下列命题正确的是 (　　) A．若S有４个元素,则S∪T 有７个元素 B．若S有４个元素,则S∪T 有６个元素 C．若S有３个元素,则S∪T 有５个元素 D．若S有３个元素,则S∪T 有４个元素 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２节　常用逻辑用语 [考点１]　简单的逻辑联结词 (２０２１􀅰全国乙卷(理),３)已知命题p:∃x ∈R,sinx＜１;命题q:∀x∈R,e|x|≥１,则 下列命题中为真命题的是 (　　) A．p∧q B．􀱑p∧q C．p∧􀱑q D．􀱑(p∨q) [考点２]　全称量词与存在量词 (２０２４􀅰新课标Ⅱ卷,２)已知命题p:∀x∈R,|x ＋１|＞１;命题q:∃x＞０,x３＝x,则 (　　) A．p和q都是真命题 B．􀱑p和q都是真命题 C．p和􀱑q都是真命题 D．􀱑p和􀱑q都是真命题 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２１ 最新真题分类特训􀅰数学 [考点３]　充分条件与必要条件 １．(２０２５􀅰天津卷,２)设x∈R,则“x＝０”是 “sin２x＝０”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ２．(２０２５􀅰北京卷,７)已知函数f(x)的定义 域为D,则“函数f(x)的值域为R”是“对任 意 M∈R,存在x０∈D,使得|f(x０)|＞ M” 的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ３．(２０２４􀅰全国甲卷(理),９)设向量a＝(x＋ １,x),b＝(x,２),则 (　　) A．x＝－３是a⊥b的必要条件 B．x＝－３是a∥b的必要条件 C．x＝０是a⊥b的充分条件 D．x＝－１＋ ３是a∥b的充分条件 ４．(２０２４􀅰天津卷,２)设a,b∈R,则“a３＝b３”是 “３a＝３b”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ５．(２０２４􀅰北京卷,５)已知向量a,b,则“(a＋b)􀅰 (a－b)＝０”是“a＝－b或a＝b”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ６．(２０２３􀅰全国甲卷(理),７)设甲:sin２α＋sin２β ＝１,乙:sinα＋cosβ＝０,则 (　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要 条件 ７．(２０２２􀅰北京卷,６)设{an}是公差不为０的 无穷等差数列,则“{an}为递增数列”是“存 在正整数N０,当n＞N０ 时,an＞０”的 (　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ８．(２０２２􀅰浙江卷,４)设x∈R,则“sinx＝１”是 “cosx＝０”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ９．(２０２１􀅰全国甲卷(理),７)等比数列{an}的 公比 为 q,前 n 项 和 为Sn,设 甲:q＞０, 乙:{Sn}是递增数列,则 (　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要 条件 １０．(２０２１􀅰北京卷,３)已知f(x)是定义在[０,１] 上的函数,那么“函数f(x)在[０,１]上单调递 增”是“函数f(x)在[０,１]上的最大值为f(１)” 的 (　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 １１．(２０２１􀅰天津卷,２)已知a∈ R,则“a＞６” 是“a２＞３６”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 １２．(２０２１􀅰浙江卷,３)已知非零向量a,b,c,则 “a􀅰c＝b􀅰c”是“a＝b”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３１ 第二部分　专题一　集合与常用逻辑用语