5.1函数的概念和图象（题型专练）数学苏教版必修第一册

5.1 函数的概念和图象 题型一 函数关系的判断 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．（25-26高一上·全国·课后作业）下列从集合到集合的对应中不是函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）下列各解析式能够表示函数的是（为自变量）（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型二 求函数值 1．（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知函数，则（    ） A．1 B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）已知函数，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（16-17高二下·全国·自主招生）已知映射既是单射又是满射，并且满足，则 ． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知定义在上的函数满足，则 ， ． 题型三 已知函数值求自变量、参数 1．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（    ） A．或3 B．1或3 C． D．3 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，且，则实数 ． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，当时， ． 题型四 求具体函数的定义域 1．（2025高二上·云南·学业考试）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．（2017·全国·高考真题）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）函数的定义域是（    ） A． B．或 C．或 D． 题型五 常见函数的值域 1．（25-26高一上·全国·课后作业）如果记圆周率小数点后第n位上的数字为y，那么以下说法正确的为（   ） A．y不是n的函数 B．y是n的函数，定义域是 C．y是n的函数，值域是 D．y是n的函数，但该函数值域不确定 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，其中表示不超过x的最大整数，当时，下列函数中，其值域与的值域不相同的函数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数的定义域为，则其值域为 ． 4．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）函数的值域 ． 题型六 实际问题的定义域 1．（19-20高一·全国·课后作业）等腰三角形的周长为20cm，底边长ycm是腰长xcm的函数，则此函数的定义域为（    ） A．(0，10) B．(0，5) C．(5，10) D．[5，10) 2．（19-20高一·全国·课后作业）设计一个水渠，其横截面为等腰梯形（如图），要求满足条件（常数），，写出横截面的面积y关于腰长x的函数，并求它的定义域和值域. 题型七 函数的图象及应用 1．（24-25高一上·全国·课后作业）甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点 2．（24-25高一上·宁夏银川·期中）如图，是函数的图象上的三点，其中，则的值为（   ）    A． 0 B． 1 C．2 D．3 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如下图的曲线，其中，则（   ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 4．（24-25高一上·全国·课后作业）水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度与时间满足的函数图象是（    ） A． B． B． C． D． 题型一 求抽象（复合）函数的定义域 1．（24-25高一上·江西赣州·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为 . 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知的定义域为，则的定义域是 . 3．（24-25高二下·天津静海·阶段练习）已知的定义域为，函数的定义域为 ． 题型二 复合（抽象）函数的值域 1．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数的值域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2.（2021·江苏·高一单元测试）若函数的值域是，则函数的值域是（     ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（    ） A． B． C． D． 题型三 根据函数定义域求参数 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则实数m的值构成的集合是 ；若函数在上有意义，则实数m的值构成的集合是 ． 2．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 题型四 由函数的值域求参数、定义域 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数．若函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东梅州·期中）已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 3．（多选）（23-24高一上·山西·期中）已知函数的值域为，则的定义域可能为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 ． 1．（25-26高一上·全国·课后作业）函数定义域为，对任意，都有，又，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一上·全国·课前预习）函数的定义域是（   ） A． B． C．，且 D．，且 3．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（24-25高二下·江西南昌·期末）已知函数的定义域为，，则（   ） A．1 B． C． D． 5．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）若函数的定义域是R，实数a的取值范围是 ． 7．（24-25高一上·四川德阳·期中）已知函数，. (1)若函数的图象经过点，求实数的值； (2)在（1）的条件下，求不等式的解集. 8．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数． (1)求与与； (2)由（1）中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现； (3)求． 9．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知，，函数． (1)若，求的最小值； (2)若，求不等式的解集（用表示）． 10．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）（1）把函数写出分段函数形式，并在答题卡上画出该函数的图象，写上该函数的定义域与值域（不需要过程） （2）给定函数． （i）在答题卡上的同一个坐标系画出函数的图象；    （ii），用表示中的较小者，记为，请分别用图象法和解析法表示函数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1 函数的概念和图象 题型一 函数关系的判断 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据函数的定义对图象一一判断即可. 【详解】在函数的基本概念中，自变量和因变量需要一一对应，且对于每个值，仅有一个值对应， 所以选项ABD均不符合. 故选：C. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）下列从集合到集合的对应中不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项D中，对于集合中的元素1，在集合中有两个元素4和5与之对应，不符合函数的定义． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）下列各解析式能够表示函数的是（为自变量）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在选项A中，，在实数范围内定义域不存在，不能表示函数，A错误；在选项B中，当时，或，不符合对应法则中“一对一”或“多对一”，B错误；在选项D中，一个值对应2个值，也不符合函数三要素的对应法则，D错误． 4．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【详解】选项A，B，D中，对集合中任意实数，按给定的对应关系，在集合中都有唯一实数与之对应，故选项A，B，D符合函数的定义．选项C中，对于集合中元素1，按对应法则，在中有元素和1与之对应，不符合函数的定义． 题型二 求函数值 1．（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知函数，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】将直接代入解析式即可. 【详解】因为函数，所以， 故选：D 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，所以． 3．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）已知函数，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用换元法求出函数的解析式，即可得解. 【详解】令，则， 则， 所以， 所以. 故选：D. 4．（16-17高二下·全国·自主招生）已知映射既是单射又是满射，并且满足，则 ． 【答案】5 【分析】设，可得 即可求得答案. 【详解】设，则由可得，即，经验证满足题意， 所以 故答案为：5. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知定义在上的函数满足，则 ， ． 【答案】 1 【详解】因为，令，得，所以．令，得①，令，得②，，得，解得． 题型三 已知函数值求自变量、参数 1．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用赋值法代入计算得解. 【详解】函数，令，则，而， 所以. 故选：B 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（    ） A．或3 B．1或3 C． D．3 【答案】D 【分析】根据题意，再用计算即可. 【详解】令，解得，则，则． 故选：D. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，且，则实数 ． 【答案】或4或 【详解】令，则，解得或0．由，得，解得．由得，解得或． 故答案为：或4或 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，当时， ． 【答案】/ 【分析】根据求解即可. 【详解】由题得，解得． 故答案为：. 题型四 求具体函数的定义域 1．（2025高二上·云南·学业考试）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数有意义列式求解. 【详解】函数的意义，则，解得， 所以函数的定义域是. 故选：B 2．（2017·全国·高考真题）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数有意义求解即可. 【详解】由，得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 3．（24-25高一上·全国·课前预习）函数的定义域是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】由题意得且，即， 等价于，解得或， 故定义域为或. 故选：C 题型五 常见函数的值域 1．（25-26高一上·全国·课后作业）如果记圆周率小数点后第n位上的数字为y，那么以下说法正确的为（   ） A．y不是n的函数 B．y是n的函数，定义域是 C．y是n的函数，值域是 D．y是n的函数，但该函数值域不确定 【答案】B 【详解】对于给定的任意一个n的值，显然有唯一的y值与之对应，所以y是n的函数，故A错误；n的取值为正整数，所以定义域是，故B正确；根据定义可知值域为，故C错误，D错误． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，其中表示不超过x的最大整数，当时，下列函数中，其值域与的值域不相同的函数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，的值域为．对于C，该函数的值域为． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数的定义域为，则其值域为 ． 【答案】 【详解】当时，；当时，；当时，；当时，．所以值域为． 4．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）函数的值域 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【详解】函数的对称轴为，开口向下， 且时，；时，；时，， 则函数的最小值为0，最大值为4， 所以的值域为. 故答案为：. 题型六 实际问题的定义域 1．（19-20高一·全国·课后作业）等腰三角形的周长为20cm，底边长ycm是腰长xcm的函数，则此函数的定义域为（    ） A．(0，10) B．(0，5) C．(5，10) D．[5，10) 【答案】C 【解析】利用两边之和大于第三边及边长为正数可得函数的定义域. 【详解】由题设有， 由得， 故选:C. 2．（19-20高一·全国·课后作业）设计一个水渠，其横截面为等腰梯形（如图），要求满足条件（常数），，写出横截面的面积y关于腰长x的函数，并求它的定义域和值域. 【答案】定义域为，值域为. 【分析】结合图形，求出高和上底、下底的长，写出横截面的面积的解析式，求出它的定义域和值域. 【详解】如图，连接，过分别作的垂线，垂足为， 因为，所以，即， 因为， 所以，所以， ， ， 故当时，y有最大值， 故它的定义域为，值域为. 题型七 函数的图象及应用 1．（24-25高一上·全国·课后作业）甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点 【答案】D 【分析】根据图象对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】当时，，甲、乙同时出发；甲、乙路程一样，故AB错误； 甲跑完全程s所用的时间少于乙所用时间，故甲先到达终点，则甲速度比乙速度快，则C错误，D正确． 故选：D 2．（24-25高一上·宁夏银川·期中）如图，是函数的图象上的三点，其中，则的值为（   ）    A． 0 B． 1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据图象先计算出的值，然后再计算出的值. 【详解】由图象可知，所以， 故选：D. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如下图的曲线，其中，则（   ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】由的图象与的对应法则表可知，所以． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度与时间满足的函数图象是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据容器的特征，结合几何体的结构和题意知，容器的底面积越大水的高度变化慢、反之变化得快，再由图象越平缓就是变化越慢、图象陡就是变化快来判断．结合函数图象分析判别可得结论. 【详解】此容器从下往上口径先由大变小，再由小变大，故等速注入液体其高度增加变化率先由慢变快，再由快变慢， A、B、C选项中：函数图象中高度变化率分别是先快后慢、先慢后快、匀速的增加，与题干不符，故排除； D选项：当注水开始时，函数图象中高度变化率是先由慢变快，再由快变慢，符合题意； 故选：D. 题型一 求抽象（复合）函数的定义域 1．（24-25高一上·江西赣州·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由函数的定义域为，可得，即的定义域为. 【详解】函数的定义域为， ，则， ， 函数的定义域为. 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知的定义域为，则的定义域是 . 【答案】 【分析】利用抽象函数定义域的解法求解即可. 【详解】因为的定义域为， 对于函数，需使，解得， 即的定义域是， 故答案为： 3．（24-25高二下·天津静海·阶段练习）已知的定义域为，函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据题意列不等式组求函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，须有： ，所以或. 所以所求函数的定义域为：. 故答案为： 题型二 复合（抽象）函数的值域 1．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数的值域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知求得的范围，即可得到的范围. 【详解】因为函数的值域为，即， 所以， 所以，即函数的值域为. 故选：A 2.（2021·江苏·高一单元测试）若函数的值域是，则函数的值域是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，则，然后由对勾函数的单调性可求出函数的值域 【详解】解：令，，则． 当时，单调递减， 当时，单调递增， 又当时，，当时，，当时，， 所以函数的值域为， 故选：B． 3．（多选）（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合题意根据复合函数值域及函数图象变换，逐个选项验证可得答案. 【详解】对于A，的图象可看作由的图象向左平移一个单位得到的，故值域不变，正确； 对于B，由可得，即的值域为，错误； 对于C，函数与函数的图象关于y轴对称， 故函数的值域与函数的值域相同，为，正确； 对于D，由可得，即的值域为，错误. 故选：AC 题型三 根据函数定义域求参数 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则实数m的值构成的集合是 ；若函数在上有意义，则实数m的值构成的集合是 ． 【答案】 【详解】由题意得，从而函数的定义域为，即，故．要使函数有意义．则需，从而，故，所以，解得． 2．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得不等式对于恒成立，进而结合一元二次不等式恒成立问题求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以不等式对于恒成立， 当时，不等式为，恒成立，符合题意； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型四 由函数的值域求参数、定义域 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数．若函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的值域为，即的值域包含这一子区间．故当时，，此时的值域为，符合题意；当时，是开口向下的二次函数，显然，值域不可能包含这一区间，故不符合题意；当时，需要与x轴有交点，才能完全包含这一区间，此时，即，解得．综上，． 易错警示  一定要理解并区分定义域为与值域为的不同． 2．（23-24高一下·广东梅州·期中）已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】首先利用二次函数最值求出，则得到其单调性，则，代入计算即可. 【详解】的对称轴为，则，解得， 则在上单调递增， 所以，即， 所以，为方程的两个根， 即为方程的两个根，所以. 故选：D. 3．（多选）（23-24高一上·山西·期中）已知函数的值域为，则的定义域可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据函数的值域为结合二次函数的对称性可求出相应的定义域， 【详解】令，解得， 令，解得， 根据的图象关于轴对称的性质， 可得的定义域可能为，或，故B、C、D正确. 故选：BCD. 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出函数值域包含的范围即可. 【详解】由函数的值域为，得函数值域包含， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 1．（25-26高一上·全国·课后作业）函数定义域为，对任意，都有，又，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由已知得，故． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）函数的定义域是（   ） A． B． C．，且 D．，且 【答案】C 【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式求解作答即可. 【详解】由，解得 故定义域为且. 故选：C． 3．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二次函数知识及题意画出图形，数形结合可得答案． 【详解】结合题意：函数 所以图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为， 所以，易知：， 由图可知,要使函数的定义域是，值域为， 则的取值范围是， 故选：B. 4.（24-25高二下·江西南昌·期末）已知函数的定义域为，，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】借助赋值法，分别令及，可得求得答案. 【详解】令，得① 令，得② 由得. 故选：A. 5．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将定义域是的问题转化为不等式恒成立，对是否为零进行分类讨论即可求得结果. 【详解】根据题意对于恒成立； 当时，显然成立，可得符合题意； 当时，若满足题意可得，解得； 当时，若满足题意可得，此时无解； 综上可得，的取值范围是. 故选：C 6．（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）若函数的定义域是R，实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】要使函数解析式有意义，则，分类讨论即可得出结论. 【详解】因为的定义域为，所以不等式恒成立. 当时，不等式为，显然恒成立； 当时，有 ， 即，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 7．（24-25高一上·四川德阳·期中）已知函数，. (1)若函数的图象经过点，求实数的值； (2)在（1）的条件下，求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入解析式，求出； （2）解一元二次不等式，求出解集. 【详解】（1）将代入得，解得； （2），解得， 故不等式解集为. 8．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数． (1)求与与； (2)由（1）中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现； (3)求． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据解析式代入运算得解； （2），利用解析式代入运算证明； （3）利用，运算得解. 【详解】（1）因为， 所以， ． （2）由（1）发现． 证明如下：． （3）． 由（2）知，， 所以原式. 9．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知，，函数． (1)若，求的最小值； (2)若，求不等式的解集（用表示）． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）由得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. （2）由得到，即代入不等式中分类讨论解不等式即可. 【详解】（1）由，得，即，而， 因此， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值. （2）由，得，即， 不等式， 当时，解得或；当时，；当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为R； 当时，原不等式的解集为. 10．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）（1）把函数写出分段函数形式，并在答题卡上画出该函数的图象，写上该函数的定义域与值域（不需要过程） （2）给定函数． （i）在答题卡上的同一个坐标系画出函数的图象；    （ii），用表示中的较小者，记为，请分别用图象法和解析法表示函数． 【答案】（1），图象见解析；（2）（i）图象见解析；（ii）图象见解析，. 【分析】（1）去掉绝对值，得到分段函数，并画出函数的图象，由图象可写出函数的定义域和值域； （2）（i）分析出的图象特征，画出函数图象； （ii）在（i）基础上，画出的图象，并根据图象写出解析式. 【详解】（1）， 该函数的图象如下：    由图象可知，定义域为R，值域为； （2）（i）为一次函数，其图象为一条直线，经过点， 为二次函数，其图象为抛物线，开口向上，顶点坐标为， 故在答题卡上的同一个坐标系画出函数的图象，如下：    （ii）的图象如下：    解析法表示为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$