精品解析：河南省商丘市2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试卷

2024-2025学年度第二学期期末教学效果评估 八年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共10小题，30分） 1. 下列各式一定是二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列关系式中：①；②；③；④；⑤；⑥，其中y是x的函数的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 4. 如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（ ） A. －4和－3之间 B. 3和4之间 C. －5和－4之间 D. 4和5之间 5. 河南省曲剧团中六位曲剧演员的年龄（单位：岁）分别为26，24，29，31，28，29，则四年后这六位曲剧演员的年龄数据中一定不会改变的是（ ） A. 众数 B. 方差 C. 平均数 D. 中位数 6. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知点，点是上的两点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知直线与直线的交点的横坐标为，根据图象，下列结论中错误的是（ ） A. B. 方程的解是 C. D. 不等式的解集是 9. 如图，在矩形中，对角线，相交于点D，以点D为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长，交于点H，已知，则的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，与正方形的一条边重合，，，将正方形沿向右平移，当点D与点A重合时，停止平移，设点C平移的距离为x，正方形与重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共5个小题，15分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是__________． 12. 已知一次函数的图象是由直线向左平移2个单位长度得到，则该函数解析式是________． 13. 某中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中早锻炼及体育课外活动占20%，其中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%，小桐的三项成绩（百分制）依次是80，90，86，则小桐这学期的体育成绩是______． 14. 如图，点A，B，C，D均在正方形网格格点上，则________． 15. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，P是上任一点，于E，于F，若，，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息． 数据收集】 八年级：9，7，11，8，7，5，6，8，6，13； 九年级学生平均每周锻炼时长数据的条形统计图如下： 【数据整理、分析】 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 8 a 8 九年级 8 b 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________； （2）杨洋对李刚说：“虽然平均每周锻炼时长我俩都是8小时，但我在我们年级中排名比你在你们年级的排名靠前．”观察上表可知，杨洋是________年级学生．（填“八”或“九”） （3）你认为哪个年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请给出两条理由． 18. 如图，小橘子数学研修活动中做了以下探究：在菱形中，对角线、相交于点． （1）尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点 作的垂线交于点 （保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证： 四边形为矩形． 19. 研究新函数，可以通过一次函数的图象和性质的学习过程来探究新函数． （1）补全下表： x … 0 1 2 3 … y … ________ 1 ________ （2）根据（1）中的数据在下图中画出函数图象； （3）根据（2）中的图象，探究该函数的性质． ①该函数的最大值为________； ②若方程有两个解，则k的取值范围是________； ③请你再写出一条该函数的性质． 20. 如图，小明对自己家所在小区进行调查后发现，小区车库入口宽为，在入口的一侧安装了起落杆，其中为支架，当起落杆仰起并与地面成角时，起落杆的端点C恰好与地面接触，此时为．在此状态下，若一辆货车高，宽，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗?请你通过计算说明．（参考数据：） 21. “书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进，两类图书，已知购进3本类图书和4本类图书共需192元；购进6本类图书和2本类图书共需240元． （1），两类图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店计划恰好用元来购进这两类图书，设购进类本，类本． ①求关于的关系式． ②进货时，类图书的购进数量不少于500本，已知类图书每本的售价为38元，类图书每本的售价为30元，如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？ 22. 如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于，两点，与直线交于点C． （1）求一次函数的解析式； （2）在x轴上有一点，过点P作x轴的垂线，与直线交于点E，与直线交于点F，若，求m的值； （3）点M为射线上一动点，点N为直线上一动点，是否存在点M，N使得是以点M为直角顶点的等腰直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 问题情景：在数学活动课上：老师出示了这样一个问题：如图①，在正方形中，，分别是射线，上的点，且，点在射线上，且满足． 数学思考： （1）如图①，当点，，分别在线段，，上时，线段与数量关系为________；位置关系为________； 猜想证明： （2）如图②，当点，，分别在线段，，的延长线上时，（）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 拓展延伸： （3）若，当时，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期末教学效果评估 八年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共10小题，30分） 1. 下列各式一定是二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，形如（）的式子称为二次根式，需满足被开方数非负且根指数为2. 【详解】，被开方数为，当时，，此时式子无意义，因此不一定是二次根式，故选项A错误； ，被开方数为，负数在实数范围内无法开平方，故不是二次根式，故选项B错误； ，被开方数是正数，且根指数为2，符合二次根式定义，因此一定是二次根式，故选项C正确； ，根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式条件，故选项D错误 故答案为：C. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别根据二次根式的加、减、乘、除运算法则计算判断即可． 【详解】解：A、，故A错误，不符合题意； B、与为不同类二次根式，无法合并，故B错误，不符合题意； C、，故C错误，不符合题意； D、，故D正确，符合题意； 故选：D． 3. 下列关系式中：①；②；③；④；⑤；⑥，其中y是x的函数的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据函数的定义，对于每个x值，都有唯一的y值对应．逐一判断各关系式是否满足该条件． 【详解】解： ①：每个x对应唯一y，是函数． ②：每个x对应唯一y，是函数． ③：解为 ，一个x对应两个y，不是函数． ④：平方根仅取非负值，每个x对应唯一y，是函数． ⑤：解为 ，一个x对应两个y，不是函数． ⑥：每个x对应唯一y，是函数． ∴y是x的函数的有①②④⑥。 故选：B． 4. 如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（ ） A. －4和－3之间 B. 3和4之间 C. －5和－4之间 D. 4和5之间 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理求出OP，从而得到OA的长度，问题可解． 【详解】由点P坐标为(－2，3)， 可知OP=, 又因为OA=OP, 所以A的横坐标为-，介于－4和－3之间， 故选A． 5. 河南省曲剧团中六位曲剧演员的年龄（单位：岁）分别为26，24，29，31，28，29，则四年后这六位曲剧演员的年龄数据中一定不会改变的是（ ） A. 众数 B. 方差 C. 平均数 D. 中位数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查方差、众数、中位数、平均数，解题的关键是熟练掌握相关定义． 每个数据增加相同数值时，方差不变，而众数、平均数、中位数均增加该数值． 【详解】解：原数据为24，26，28，29，29，31． 众数：原众数为29，四年后变为33，改变（A错误）． 方差：各数同加4，数据波动性不变，方差不变（B正确）． 平均数：原平均数为，四年后增加4，变为，改变（C错误）． 中位数：原中位数为，四年后变为，改变（D错误）． 故选B． 6. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用所给条件结合平行四边形的判定方法进行分析即可． 【详解】解：A选项： ∵∠ABD=∠BDC，OA=OC，∠AOB=∠COD， ∴△AOB≌△COD（AAS）， ∴DO=BO， ∵，， ∴四边形ABCD是平行四边形，故A选项不合题意； B选项： 在与， ，， 这是SSA模型，不能判定， 因此，也不能用来判定四边形ABCD是平行四边形； 下图给出一个反例，图中， 则满足条件：，，但四边形ABCD不是平行四边形， 故B符合题意； C选项： ∵ADBC， ∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC， ∵， ∴△OAD≌△OCB， ∴， ∵，， ∴四边形ABCD是平行四边形，故C选项不合题意； D选项： ∵∠ABD=∠BDC， ∴ABCD． 又∵， ∴ADCB， ∴四边形ABCD是平行四边形，故D选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．假如有个选项不确定，可以先判断其他选项． 7. 已知点，点是上的两点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的增减性，解题的关键是熟练掌握一次函数图象的性质． 根据一次函数的增减性分析，即可得到答案． 【详解】对于一次函数， ∵， ∴， ∴， 即一次函数的系数为负， ∴函数随的增大而减小． ∵，，中， ∴， 故选：A． 8. 如图，已知直线与直线的交点的横坐标为，根据图象，下列结论中错误的是（ ） A. B. 方程的解是 C. D. 不等式的解集是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质以及与一元一次不等式的关系，熟练掌握性质是解题的关键．根据一次函数的图象和性质即可得到，．根据直线与直线的交点即可继续判断，得出答案． 【详解】解：由图象可知，，，故选项A、C正确，不符合题意； 直线与直线的交点的横坐标为，即方程的解是，故选项B正确，不符合题意； 根据图象可知，不等式的解集是，故选项D错误，符合题意． 故选D． 9. 如图，在矩形中，对角线，相交于点D，以点D为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长，交于点H，已知，则的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，尺规作角平分线，等腰三角形的判定与性质，中位线的性质，熟练掌握相关的判定和性质是解答本题的关键．根据矩形的性质得出，根据作图可知：平分，根据等腰三角形的性质得出，根据中位线的性质得出即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， 根据作图可知：平分， ∴， ∴点H为的中点， ∵为的中点， ∴． 故选：B． 10. 如图，与正方形一条边重合，，，将正方形沿向右平移，当点D与点A重合时，停止平移，设点C平移的距离为x，正方形与重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出当和当时y与x的函数关系式，再由函数关系式判断即可解答． 【详解】解：设点C平移的距离为x，正方形与重合部分的面积为y， ∴当时，如图： ∴； 当时，如图： ∴； ∴， 由分段函数可看出B选项中的函数图象与所求的分段函数对应， 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象及二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，平移的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质并运用数形结合是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共5个小题，15分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】x≥-2且x≠1 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出结论． 【详解】解：由题意可得 解得x≥-2且x≠1 故答案为：x≥-2且x≠1． 【点睛】此题考查的是求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题的关键． 12. 已知一次函数的图象是由直线向左平移2个单位长度得到，则该函数解析式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移性质，根据一次函数的平移规律：左加右减上加下减，进行作答即可作答． 【详解】解：一次函数的图象是由直线向左平移2个单位长度得到， ． 故答案为：． 13. 某中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中早锻炼及体育课外活动占20%，其中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%，小桐的三项成绩（百分制）依次是80，90，86，则小桐这学期的体育成绩是______． 【答案】86分 【解析】 【分析】根据题意，求小桐的三项成绩的加权平均数即可． 【详解】解：（分）， 答：小桐这学期的体育成绩是86分． 故答案是：86分 【点睛】本题主要考查加权平均数，掌握加权平均数的意义，是解题的关键． 14. 如图，点A，B，C，D均在正方形网格格点上，则________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】该题考查了勾股定理，轴对称和等腰直角三角形的性质和判定，作点关于线段的对称点，连接，由对称可得，即，说明是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于线段的对称点，连接， 由对称可得， 即， 设小正方形的边长为 1 ， 由勾股定理，得， ， 是等腰直角三角形， ∴，即． 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，P是上任一点，于E，于F，若，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是过作于，证明，由菱形的面积公式求出的长．过作于，由菱形的性质推出，，，，平分，由角平分线的性质推出，由于，，，得到、、共线时，有最小值，即的长度，由勾股定理求出，由菱形的面积公式得到，即可求出，得到的值． 【详解】解：过作于， 四边形是菱形， ，，，，平分， 于， ， ，，， 当P、、共线时，，此时有最小值，即的长度 ，， ，， ， 菱形的面积， ， ． 的值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键． （1）根据负整数指数幂，化简绝对值，零指数幂，二次根式的性质化简，进行计算即可求解； （2）根据二次根式的混合运算法则结合完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息． 【数据收集】 八年级：9，7，11，8，7，5，6，8，6，13； 九年级学生平均每周锻炼时长数据的条形统计图如下： 【数据整理、分析】 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 8 a 8 九年级 8 b 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________； （2）杨洋对李刚说：“虽然平均每周锻炼时长我俩都是8小时，但我在我们年级中的排名比你在你们年级的排名靠前．”观察上表可知，杨洋是________年级学生．（填“八”或“九”） （3）你认为哪个年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请给出两条理由． 【答案】（1）， （2）八 （3）九年级的学生体育锻炼情况总体更好,理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了求中位数和众数，根据中位数、众数、方差等数据作决策，熟练掌握求中位数和众数及根据中位数、众数、方差等数据作决策是解题的关键． （1）将八年级学生的平均每周锻炼时长数据从小到大排序，计算中间两个数的平均值即可；根据九年级学生平均每周锻炼时长数据的条形统计图可得学生平均每周锻炼时长为9小时的学生人数最多，即得答案； （2）分别计算平均每周锻炼8小时，在八、九年级中的排名，即得答案； （3）分别从中位数和方差两个角度分析即可（答案不唯一）． 【小问1详解】 解:将八年级学生的平均每周锻炼时长数据从小到大排序：5，6，6，7，7，8， 8，9， 11， 13， 所以中位数； 由九年级学生平均每周锻炼时长数据的条形统计图可知． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：平均每周锻炼时长是8小时，在八年级排第4，在九年级排第6，所以杨洋是八年级学生． 故答案为：八． 【小问3详解】 解：九年级的学生体育锻炼情况总体更好．理由如下（答案不唯一）： ①中位数来看，九年级（小时）高于八年级（小时），表明九年级一半以上的学生达到较高锻炼时长； ②从方差来看，九年级方差（）小于八年级（），说明九年级数据更集中，波动更小． 18. 如图，小橘子数学研修活动中做了以下探究：在菱形中，对角线、相交于点． （1）尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点 作的垂线交于点 （保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证： 四边形为矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，菱形的性质，矩形的判定定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意完成尺规作图；在的延长线上截取，连接，再过点 作的垂线交于点 （2）根据作图可得，根据四边形是菱形，证明四边形为平行四边形，进而得出，证明根据矩形的判定定理，即可得证． 【小问1详解】 解： 图形如图所示： 【小问2详解】 证明： ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， 四边形为矩形． 19. 研究新函数，可以通过一次函数的图象和性质的学习过程来探究新函数． （1）补全下表： x … 0 1 2 3 … y … ________ 1 ________ （2）根据（1）中的数据在下图中画出函数图象； （3）根据（2）中的图象，探究该函数的性质． ①该函数的最大值为________； ②若方程有两个解，则k的取值范围是________； ③请你再写出一条该函数的性质． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）①1；②；③根据图象可知，当时，y随x的增大而大；当时，y随x的增大而减小 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数性质、一次函数的图象等知识点，掌握数形结合是解题的关键． （1）分别将代入，计算即可； （2）根据表格数据，描点，即可画出函数图象； （3）①根据函数图象即可解答；②根据函数图象即可解答；③根据函数图象即可解答． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：函数图象如下： 【小问3详解】 解：①根据函数图象，该函数的最大值为； ②根据函数图象，若方程有两个解，则k的取值范围是； ③当时，y随x的增大而大；当时，y随x的增大而减小． 20. 如图，小明对自己家所在小区进行调查后发现，小区车库入口宽为，在入口的一侧安装了起落杆，其中为支架，当起落杆仰起并与地面成角时，起落杆的端点C恰好与地面接触，此时为．在此状态下，若一辆货车高，宽，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗?请你通过计算说明．（参考数据：） 【答案】不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．在之间找一点F，使，过点F作，交于点G，根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：不能. 理由如下：在之间找一点F，使， 过点F作，交于点G， 如图所示， ，，， . ，， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ， 这辆货车在不碰杆的情况下，不能从入口内通过． ， 这辆货车在不碰杆的情况下，不能从入口内通过． 21. “书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进，两类图书，已知购进3本类图书和4本类图书共需192元；购进6本类图书和2本类图书共需240元． （1），两类图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店计划恰好用元来购进这两类图书，设购进类本，类本． ①求关于的关系式． ②进货时，类图书的购进数量不少于500本，已知类图书每本的售价为38元，类图书每本的售价为30元，如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1），两类图书每本进价分别为32元，24元 （2）①，②当购进类图书501本，类图书1332本时，书店所获利润最大，最大利润为10998元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用， （1）设类图书每本的进价是a元，B类图书每本的进价是b元，根据“购进3本类图书和4本类图书共需192元；购进6本类图书和2本类图书共需240元．”列出方程组，即可求解； （2）①根据“用元全部购进两类图书，”列出方程，再变形，即可求解；②设书店所获利润为w元，根据题意，列出W关于x函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设，两类图书每本的进价分别为元，元． ，解得 答：，两类图书每本的进价分别为32元，24元． 【小问2详解】 ①依题意； ∴ ②解得 设利润为元． 因为小于0，所以随的增大而减小， 当取501时， ， 所以当购进类图书501本，类图书1332本时，书店所获利润最大，最大利润为10998元． 22. 如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于，两点，与直线交于点C． （1）求一次函数的解析式； （2）在x轴上有一点，过点P作x轴的垂线，与直线交于点E，与直线交于点F，若，求m的值； （3）点M为射线上一动点，点N为直线上一动点，是否存在点M，N使得是以点M为直角顶点的等腰直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或8 （3）或 【解析】 【分析】（1）把，代入，进行列方程组，再解得，即可作答． （2）理解题意，得，，因为，，则，再建立方程，最后解得出方程的解，即可作答． （3）先理解题意，得出点C坐标，在x轴上取一点M，在直线上取一点N，使得，且，分别过N，C作x轴的垂线，垂足为H，I．再进行分类讨论，运用数形结合思想以及等腰直角三角形的性质，证明，则把点的坐标代入，进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，把，代入得到 解得， ∴一次函数的解析式是 【小问2详解】 解：∵在x轴上有一点，过点P作x轴垂线，与直线交于点E，与直线交于点F， ∴，， ∵， ∴， ， ， 则或， 或； 【小问3详解】 解：或，过程如下： 依题意，联立方程组， 解得， 点C坐标 在x轴上取一点M，在直线上取一点N，使得，且，分别过N，C作x轴的垂线，垂足为H，I． 第一种情况，当点在的延长线上时，如图所示： ∵是以点M为直角顶点的等腰直角三角形， ， ， 又， ， ，， 设， 则 ， 把点代入， 得， 解得； 第二种情况：当点在线段上时， ∵是以点M为直角顶点的等腰直角三角形， ， ， 又， ， ，， 设，则 ， 把点代入， 得， 解得， 综上所述或． 【点睛】本题考查了一次函数的几何综合，求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 23. 问题情景：在数学活动课上：老师出示了这样一个问题：如图①，在正方形中，，分别是射线，上的点，且，点在射线上，且满足． 数学思考： （1）如图①，当点，，分别在线段，，上时，线段与的数量关系为________；位置关系为________； 猜想证明： （2）如图②，当点，，分别在线段，，的延长线上时，（）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 拓展延伸： （3）若，当时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1），；（2），，依然成立，证明见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）过点作于点，设交于点，证明，可得，，进而证明，即可； （2）过点作于点，延长交于点，根据（1）的方法进行证明即可求解； （3）根据（1）（2）结论，结合图形分类讨论即可求解． 【详解】（1）如图所示，过点作于点，设交于点， ∵ ∴， ∵四边形是正方形， ∴,， 又∵， ∴ ∴，， 又 又 又∵， （2），，依然成立，证明如下， 如图所示，过点作于点，延长交于点， ∵ ∴， ∵四边形是正方形， ∴,， 又∵， ∴ ∴，， 又 又 又∵， （3）当点，，分别在线段，，上时，同（1）可得 ∴ ∵， ∴， ∴ ∴； 当点，，分别在线段，，的延长线上时，由（2）可得 ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$