精品解析：河南省鹤壁市2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

2024-2025学年下期（期末）教学质量调研测试 八年级数学 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列有理式中，是分式的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 上海中心大厦建筑高度为632米，是中国目前第一高楼，也是世界第三高楼．强风来袭，摩天大楼会晃动，“上海慧眼”（如图），是上海中心大厦的建筑设施，类似巨型复摆，功能为阻尼器，可以削减高层晃动，帮助超高层建筑保持楼体稳定和安全．这是一个重达1000吨的风阻尼器，距离地面583米，是目前世界上最重的阻尼器，重量约占大厦的．用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（　　） A. （3，4） B. （﹣3，﹣4） C. （﹣3，4） D. （﹣4，3） 4. 如果关于的分式方程的解为非负数，那么实数的取值范围为（　　） A. B. 且 C. D. 且 5. 如图所示，已知于点于点，下列说法错误的是（　　） A. B. 两点间的距离就是线段的长度 C. D. 与两线之间的距离就是线段的长度 6. 我市今年4月份举行了鹤壁马拉松赛，甲、乙两选手参加了半马公里的比赛并跑完全程，其行程（千米）随时间（小时）变化的图象如图所示．下列说法正确的序号是（　　） ①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②在1小时的时候两人都跑了千米；③乙比甲先到达终点；④两人都跑了公里． A. ①②③④ B. ①③ C. ②④ D. ③④ 7. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（　　） A. 图象经过点 B. 图象在第一、三象限 C. 随的增大而增大 D. 当时， 8. 学校气象社的同学们对当地的日最高气温进行了连续14天的测量，统计结果(精确到个位)如下表： 日最高气温() 26 28 29 30 31 天数 3 3 4 2 2 这14天中，当地日最高气温的众数和中位数分别为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 如图所示，在平面直角坐标系中，平行四边形位于第一象限，顶点的坐标分别为，将平行四边形沿轴向上平移4个单位后，则平移后点的对应点的坐标是（　　） A. B. C. D. 10. 定义：在平面直角坐标系中，若点到轴、轴距离和为1，则称点为“和一点”．例如：点到轴、轴距离和为1，则点是“和一点”，点，也是“和一点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“和一点”，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数的取值范围是________． 12. 某品牌糖果的单价为28元/千克，沙琪玛的单价25元/千克，则该品牌千克的糖果和千克的沙琪玛混合后的单价应为_______元/千克． 13. 一组数据的中位数为8，则这组数据的平均数等于_______． 14. 如图所示，已知正方形的面积为2，点、在对角线上且，若四边形的面积为1，则_______． 15. 一位同学在玩折纸时发现如下现象：如图所示，在矩形中，点、分别是边、上的点，将按如图所示的方式向内翻折，为折痕，点恰好都落在同一点上．如果，则的度数为_______°，的长度为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 如图所示，在四边形中，，点、为对角线上的两点，，．连结．求证：四边形是平行四边形． 18. 一次函数的图象交轴于点，点在轴上，且到原点的距离是2个单位长度，求直线的函数解析式． 19. 如图所示，点、分别在反比例函数和的图象上，且轴，过点作轴的垂线，垂足为点，连结，求的面积． 20. 我们定义：在分式中，对于只含有1个字母分式，当其分子次数高于或等于分母次数时，我们称之为“假分式”；当其分子次数低于分母次数时，我们称之为“真分式”．如为假分式，，为真分式．假分式可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）或整式，如． 解决下列问题： （1）下列分式中属于“假分式”的是 ．（填序号） ；；；． （2）将假分式化为带分式的形式． 21. 在2025年全国两会上，健康中国三期战略作为政府工作报告中备受瞩目议题，正引领着中国迈向全民健康的新时代．为了让同学们了解自己的运动能力水平，提高体能素质锻炼意识，八（3）班的体育老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，该班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下： （3）班体育模拟测试成绩分析表 平均分（分） 方差（分）2 中位数（分） 众数（分） 男生 ___________ 2.0275 7.5 7 女生 7.92 1.9936 ___________ 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）这个班共有男生 人，共有女生 人； （2）补全八（3）班体育模拟测试成绩分析表； （3）你认为在这次体育测试中，3班男生队、女生队哪个表现更优秀一些？并写出一条支持你的看法的理由． 22. 某农业合作社积极利用智能化农业设备，计划引进无人机田间喷洒农药技术．无人机喷洒农药时，农田的单位面积用药量比常规喷药壶用药量少毫升，无人机用药毫升喷洒的面积与常规喷药壶用药毫升喷洒的农田面积相同． （1）求无人机喷洒农药时，农田的单位面积用药量． （2）该合作社计划购进两种型号的喷药无人机共台，已知型号机每台万元，型号机每台万元，现要求采购型号机的数量不高于型号机数量的．请计算该合作社应采购两种型号的无人机各多少台时，所需费用最少？并求出此时的最少费用． 23. 如图1所示，四边形是正方形，点在边上，是边的中点，平分． （1）的等量关系是 ． （2）是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图2所示，若四边形是长与宽不相等矩形，其它条件不变，那么上述问题（1）（2）中的结论是否依然成立？请分别给出判断，不必证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年下期（期末）教学质量调研测试 八年级数学 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列有理式中，是分式的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式．熟练掌握分式的定义，是解题的关键．逐一判断各选项分母是否含有字母即可． 【详解】解：：分母为（含字母），是分式． ：分母为（不含字母），整式． ：分母为（含字母），是分式． ：分母为（含字母和），是分式． ：分母为（含字母和），是分式． ：分母为（不含字母），是整式． 综上，分式共有、、、共4个． 故选：C． 2. 上海中心大厦建筑高度为632米，是中国目前第一高楼，也是世界第三高楼．强风来袭，摩天大楼会晃动，“上海慧眼”（如图），是上海中心大厦的建筑设施，类似巨型复摆，功能为阻尼器，可以削减高层晃动，帮助超高层建筑保持楼体稳定和安全．这是一个重达1000吨的风阻尼器，距离地面583米，是目前世界上最重的阻尼器，重量约占大厦的．用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，先将百分数化为小数，再根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故选B． 3. 在平面直角坐标系中，点（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（　　） A. （3，4） B. （﹣3，﹣4） C. （﹣3，4） D. （﹣4，3） 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数进行解答即可． 【详解】点（x，y）关于原点对称的点的坐标为（-x，-y）， 所以点（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，4）， 故选C． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 4. 如果关于的分式方程的解为非负数，那么实数的取值范围为（　　） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解方程得到，再根据方程的解为非负数以及分母不为0列式求解即可． 【详解】解：原方程两边同乘，得，解得， 分式方程的解为非负数， ，， 又分母不为0， ，即， ， 综上可知，且． 故选：D． 5. 如图所示，已知于点于点，下列说法错误的是（　　） A. B. 两点间的距离就是线段的长度 C. D. 与两线之间的距离就是线段的长度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线之间的距离，平行四边形的判定与性质，根据平行四边形的性质、平行线之间距离的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，故本选项正确； B、∵是线段， ∴A、B两点间距离就是线段的长度，故本选项正确； C、∵于点E，于点G， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，故本选项正确； D、∵于点E， ∴与两平行线间的距离就是线段的长度，故本选项错误． 故选：D． 6. 我市今年4月份举行了鹤壁马拉松赛，甲、乙两选手参加了半马公里的比赛并跑完全程，其行程（千米）随时间（小时）变化的图象如图所示．下列说法正确的序号是（　　） ①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②在1小时的时候两人都跑了千米；③乙比甲先到达终点；④两人都跑了公里． A. ①②③④ B. ①③ C. ②④ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从函数的图象获取信息，解题关键是能看懂函数图象． 根据函数图象，对四个选项逐一分析，作出判断即可． 【详解】解：起跑后1小时内，乙已经超过甲在，故①错误； 在1小时的时候乙跑了千米, 甲不到千米,故②错误； 在2小时处乙跑在甲前面，从函数图象可知，短时间内甲不可能超过乙，由此可估计乙比甲先跑到达终点，故③正确； 甲、乙两选手参加了半马公里的比赛并跑完全程，可知两人都跑了公里，故④正确， 故选：D． 7. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（　　） A. 图象经过点 B. 图象在第一、三象限 C. 随的增大而增大 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，逐一分析各选项的正误． 【详解】解：A：当时，，故图象经过点，正确； B：因，反比例函数图象位于第一、三象限，正确； C：当时，函数在每一象限内随的增大而减小，因此，选项C中“随的增大而增大”的结论错误； D：当时，的值趋近于0且小于1（如时），故，正确； 故选：C． 8. 学校气象社的同学们对当地的日最高气温进行了连续14天的测量，统计结果(精确到个位)如下表： 日最高气温() 26 28 29 30 31 天数 3 3 4 2 2 这14天中，当地日最高气温的众数和中位数分别为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数的定义，熟练掌握中位数和众数的定义是解题的关键． 中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数， 众数就是出现次数最多的数据，由此即可得到答案． 【详解】解：由表可知，出现4天，天数最多，故众数为． 将14天的气温按升序排列：26，26，26，28，28，28，29，29，29，29，30，30，31，31， 总数据数为偶数，中位数为第7和第8个数的平均值． 第7和第8个数均为，故中位数为 综上，众数和中位数均为． 故选：B． 9. 如图所示，在平面直角坐标系中，平行四边形位于第一象限，顶点的坐标分别为，将平行四边形沿轴向上平移4个单位后，则平移后点的对应点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形变化—平移，根据平行四边形对角线中点坐标相同可求出点B的坐标，再根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，顶点的坐标分别为， ∴， ∴， ∴， ∴将平行四边形沿轴向上平移4个单位后，平移后点的对应点的坐标是，即， 故选：B． 10. 定义：在平面直角坐标系中，若点到轴、轴的距离和为1，则称点为“和一点”．例如：点到轴、轴距离和为1，则点是“和一点”，点，也是“和一点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“和一点”，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、求一次函数解析式、函数图象的运用等知识点，正确画出函数图象是解题的关键．根据“和一点”的定义可以得出，进而可以得出由所有“和一点”所构成的函数及其图象，又通过过点的图象上存在“和一点得到一次函数与“和一点”构成的函数存在交点，然后运用待定系数法求得的最小值和最大值，即可确定的取值范围． 【详解】解：由题意可得：点到轴，轴的距离和为1，即，去绝对值后可得： ， 将“和一点”的函数表示在直角坐标系中如图： 一次函数的图象经过点，且图象上存在“和一点”， 一次函数至少与“和一点”构成的图象有1个交点， 当一次函数的图象在直线与直线之间时，一次函数至少与“和一点”构成的图象有1个交点， 当最小时，一次函数图象过点， 由题意可得：， 解得：，即的最小值为． 当最大时，一次函数与图象过点， 由题意可得： 则有， 解得：， 即的最大值为2． ． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 12. 某品牌糖果的单价为28元/千克，沙琪玛的单价25元/千克，则该品牌千克的糖果和千克的沙琪玛混合后的单价应为_______元/千克． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，先求出糖果和沙琪玛的总价值，再用总价值除以总质量即可得到答案． 【详解】解：由题意得，该品牌千克的糖果和千克的沙琪玛混合后的单价应为千克， 故答案为：． 13. 一组数据的中位数为8，则这组数据的平均数等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的平均数，根据中位数求未知数据的值，根据中位数的定义可求出a的值，再根据平均数的定义求解即可． 【详解】解：∵一组数据的中位数为8，且， ∴， ∴， ∴这组数据的平均数为， 故答案为；7． 14. 如图所示，已知正方形的面积为2，点、在对角线上且，若四边形的面积为1，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，菱形的判定和性质，设正方形的对角线交于点，根据正方形的对角形相等且垂直平分，面积等于对角线乘积的一半，求出的长，证明四边形为菱形，根据菱形的面积公式求出的长即可． 【详解】解：设正方形的对角线交于点， 则：，，， ∴正方形的面积， ∴（负值舍去）； ∵，， ∴， ∴，互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∴四边形的面积， ∴； 故答案为：1． 15. 一位同学在玩折纸时发现如下现象：如图所示，在矩形中，点、分别是边、上的点，将按如图所示的方式向内翻折，为折痕，点恰好都落在同一点上．如果，则的度数为_______°，的长度为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了翻折的性质，全等三角形的性质，矩形的性质. 根据折叠的性质得出三角形全等，即可求出的度数，根据全等三角形的性质得出对应边相等，利用等量代换分别求出，，由即可求解． 【详解】解：根据，，恰好都落在同一点上及折叠的性质， 有，，， ，，，， ∵， ∴， ， ，， ， ， 故答案为：，． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（）；（）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、分式的运算，熟练掌握实数的混合运算和分式的运算法则是解题的关键． （）利用绝对值、零指数幂、负整数指数幂，有理数乘方的法则化简，再合并即可； （）利用分式的运算法则即可求解． 【详解】解：（）原式 ； （）原式 ． 17. 如图所示，在四边形中，，点、为对角线上的两点，，．连结．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，平行四边形的判定，先证明，则，然后通过平行四边形的判定方法即可求证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 18. 一次函数的图象交轴于点，点在轴上，且到原点的距离是2个单位长度，求直线的函数解析式． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴的交点坐标，设直线的解析式为，可求出点的坐标为，再由题意可得点的坐标为或，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为． 一次函数的图象交轴于点， 令，得，解得． 点的坐标为． 点在轴上且到原点的距离为2个单位长度， 点的坐标为或． ①当点为时，与点同时代入中，得 解得 直线的解析式为． ②当点为时，与点同时代入中，同理可得直线的解析式为． 综上所述，直线的解析式为或． 19. 如图所示，点、分别在反比例函数和的图象上，且轴，过点作轴的垂线，垂足为点，连结，求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由轴，则点的横坐标相同，设点的横坐标，点的坐标为，点的坐标为，故有，，然后用面积公式即可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵轴， ∴点的横坐标相同， 设点的横坐标， 将代入中，得， 将代入，得， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， 根据题意，轴，轴， ∴为直角三角形， ∴． 20. 我们定义：在分式中，对于只含有1个字母的分式，当其分子次数高于或等于分母次数时，我们称之为“假分式”；当其分子次数低于分母次数时，我们称之为“真分式”．如为假分式，，为真分式．假分式可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）或整式，如． 解决下列问题： （1）下列分式中属于“假分式”的是 ．（填序号） ；；；． （2）将假分式化为带分式的形式． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据“假分式”定义即可求解； （）仿照题例即可求解． 【小问1详解】 解：由“假分式”定义可知：属于“假分式”， 故选：； 小问2详解】 解： ． 21. 在2025年全国两会上，健康中国三期战略作为政府工作报告中备受瞩目的议题，正引领着中国迈向全民健康的新时代．为了让同学们了解自己的运动能力水平，提高体能素质锻炼意识，八（3）班的体育老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，该班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下： （3）班体育模拟测试成绩分析表 平均分（分） 方差（分）2 中位数（分） 众数（分） 男生 ___________ 2.0275 7.5 7 女生 7.92 1.9936 ___________ 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）这个班共有男生 人，共有女生 人； （2）补全八（3）班体育模拟测试成绩分析表； （3）你认为在这次体育测试中，3班男生队、女生队哪个表现更优秀一些？并写出一条支持你的看法的理由． 【答案】（1）20，25 （2），8； （3）女生队更优秀些，因为女生队平均分7.92分高于男生队平均分7.85分，因此女生队更优秀 【解析】 【分析】本题主要考查平均数、众数及条形图、扇形图. （1）由条形图可得男生总人数，总人数减去男生人数可得女生人数； （2）根据平均数和中位数定义可得； （3）根据表格比较得出答案． 【小问1详解】 解：这个班男生人数：（人）， 女生人数：（人）， 故答案为：20、25； 【小问2详解】 解：男生的平均分为， 由扇形统计图可知，女生的中位数为8， 故答案：，8； 【小问3详解】 解：女生队表现更突出． 理由：女生队的平均分、中位数、众数高于男生队，且女生队的方差小于男生队. 所以女生队表现更突出．（答案不唯一） 22. 某农业合作社积极利用智能化农业设备，计划引进无人机田间喷洒农药技术．无人机喷洒农药时，农田的单位面积用药量比常规喷药壶用药量少毫升，无人机用药毫升喷洒的面积与常规喷药壶用药毫升喷洒的农田面积相同． （1）求无人机喷洒农药时，农田的单位面积用药量． （2）该合作社计划购进两种型号的喷药无人机共台，已知型号机每台万元，型号机每台万元，现要求采购型号机的数量不高于型号机数量的．请计算该合作社应采购两种型号的无人机各多少台时，所需费用最少？并求出此时的最少费用． 【答案】（1）无人机喷洒农药时，农田的单位面积用药量为毫升； （2）应采购型号机台，型号机台时所需费用最少，最少费用为万元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）设无人机喷洒农药时，农田的单位面积用药量为毫升，则常规喷药壶单位用药为毫升，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）设采购型号机台，则型号机为台，根据题意得，解得，设总费用为万元，根据题意得，然后通过一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：（1）设无人机喷洒农药时，农田的单位面积用药量为毫升，则常规喷药壶单位用药为毫升， 根据题意，得， 解得， 经检验，是该方程的解，且，符合题意， 答：无人机喷洒农药时，农田的单位面积用药量为毫升； 【小问2详解】 解：设采购型号机台，则型号机为台， 根据题意，得， 解得， 设总费用为万元， 根据题意，得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最小值，， 则， 答：应采购型号机台，型号机台时所需费用最少，最少费用为万元． 23. 如图1所示，四边形是正方形，点在边上，是边的中点，平分． （1）的等量关系是 ． （2）是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图2所示，若四边形是长与宽不相等的矩形，其它条件不变，那么上述问题（1）（2）中的结论是否依然成立？请分别给出判断，不必证明． 【答案】（1） （2）成立，见解析 （3）（1）中结论成立，（2）中结论不成立 【解析】 【分析】（1）从平行线和中点这两个条件出发， 延长，交于点，如图，易证，从而有，只需证明即可； （2）延长至N，使，连接，证明；从而有，．由平分，可得出，则，可证； （3）在图2中，仿照(1)中的证明思路即可证到仍然成立；在图2中，采用反证法，过点A作，交的延长线于点G，先证，通过证明，可得 ，与题目不符，即可证到不成立． 【小问1详解】 解：延长，交于点，如图 四边形是正方形， ，． ． 是边中点， ． ． ，． 平分， ． ． ． ， ． 【小问2详解】 解：成立， 延长至N，使，连接． 四边形是正方形， ，，． ． ，． 平分， ． ． ，， ． ， ． ． ． ， ． 【小问3详解】 解：（1）中结论成立． 延长，交于点P，如图 四边形是矩形， ，． ． 是边的中点， ． ． ． 平分， ． ． ． ， ． （2）结论不成立 证明∶假设成立．过点A作，交的延长线于点G，如图所示． 四边形是矩形， ，． ， ． ，， ． ，， ． ， ． 平分， ． ，，， ． ，， ． ． ，， ． ，， ． ． 四边形是长与宽不相等的矩形， 假设不成立．即不成立． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形及矩形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义等知识，考查了基本模型的构造（平行加中点构造全等三角形），考查了反证法的应用，综合性比较强．添加辅助线，构造全等三角形是解决这道题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$