精品解析：北京二中教育集团2024—2025学年八年级数学下册期末试题

北京二中教育集团2024—2025学年度第二学期 初二数学期末考试试卷 命题人：孙竹溪 审核人：杨丽敏 曲莹 考生须知 1．本试卷分为第Ⅰ1卷、第Ⅱ卷和答题卡，共16页；其中第Ⅰ卷3页，第Ⅱ卷8页，答题卡8页．全卷共三大题，28道小题． 2．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号． 4、考试结束，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共16分） 一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在数轴上找出表示3的点A，则，过点A作直线垂直OA，在上取点B，使，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C．其中点C表示的实数是（ ） A. B. 4 C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点，根据图象可知的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 5. 如图，在边长为5的菱形中，，于点H，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 6. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员成绩如下表所示： 成绩/米 人数 2 5 3 1 其中两个数据被污染了，根据这些数据，一定能确定这15名运动员成绩的（ ） A. 众数和中位数 B. 中位数和方差 C. 众数和方差 D. 众数和平均数 7. 下面的三个问题中都有两个变量： ①在压力一定的情况下，物体对地面的压强与受力面积； ②冷冻一个的物体，使它每分钟下降．物体的温度与冷冻时间； ③在弹性限度内，弹簧原长度为，弹簧挂重物后的长度与弹簧受到的拉力x（N）． 其中，两个变量之间的函数关系是一次函数的是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ①② 8. 如图，在矩形中，点P是对角线上任意一点（不与A，C重合），过点P作，点E，F，M，N分别是边上的点，连接．设．下面四个结论中正确的个数是（ ） ①当时．四边形是正方形； ②四边形与四边形的面积始终相等； ③； ④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 在函数中，自变量x的取值范围是___． 10. 已知点和点在直线上，则______．（填） 11. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择______． 甲 乙 丙 丁 平均数（） 192 195 195 193 方差 3.2 4.7 6.5 6.0 12. 某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按的比例对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为______． 13. 如图，在矩形中，．点Q是中点，点P为上任意一点，E、F分别是的中点，则的长是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是．以为边作菱形，若点C在x轴上，点B在第二象限，则点B的坐标为______． 15. 如图，在矩形中，点P是中点，点Q从点A开始，沿着的路线匀速运动，设的面积是y，点Q经过的路线长度为x，在平面直角坐标系中，折线表示y与x之间的函数关系，当的面积是3时，x的值为______． 16. 如图，已知，．直线l是过点A的一条动直线（不与直线重合），分别过点B，C作直线l的垂线，垂足为D，E、在直线l运动的过程中，的最大值为______． 三、解答题（共68分，其中第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分） 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 已知，如图，菱形的对角线交于点O． 求作：矩形： 作法：①作的垂直平分线交于点F； ②连接并延长，在的延长线上截取点E，使； ③连接． 四边形为所求作的矩形． （1）按要求利用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成以下证明： 证明：∵的垂直平分线交于点F，， ，∴四边形是平行四边形，（______）（填推理依据） ∵四边形是菱形， ，（______）（填推理依据） ， 是矩形．（______）（填推理依据） 20. 如图，小明家有一块三角形土地用来种植菠菜，其中，，小明想以B为起点挖一条水渠，点D在边上．水渠能将土地分成而积相等的两部分．分别用来种植两种不同蔬菜，又能同时对两种蔬菜进行灌溉．请帮小明计算一下水渠的准确长度． 21. 如图所示，在中，对角线与相交于点，点，在对角线上．且．求证：． 22. 共享电动车方便出行，是一种新理念下的交通工具．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有A，B两种品牌的共享电动车可选择．A，B两种品牌共享电动车所收费用y（元）与骑行时间x（）之间的函数图象如图所示． （1）A品牌的共享电动车每分钟收费______元；骑行时间不超过10分钟时，B品牌的共享电动车一律收费______元． （2）已知王老师家与学校的距离为，且王老师骑电动车的平均速度为，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？求出此时使用两种品牌的共享电动车的价格差． 23. 如图，在中，，过A点作的平行线与的平分线交于点D，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接与交于点O，过点D作交的延长线于E点，连接，若，，求的长． 24. 在平面直角坐标系中．一次函数的图象平行于，且经过点． （1）求一次函数解析式； （2）点P为x轴上一点，一次函数的图象与x轴交于点B，的面积是2，求点P坐标； （3）当时，对于x的每一个值，函数的值均大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 25. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：A：，B：，C：，D：）． 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中的数据：64，70，75，76，78，78，80，82，84，85，85，85，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中C组包含的所有数据：87，88，84，87，89，87，81，90． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 86 85 a 乙 86 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，______，______，______． （2）在此次测验中，有200人对甲款进行评分．220人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数是多少？ （3）如果让你选择一款聊天机器人，你会选择哪一款？请利用数据说明理由． 26. 请同学们探究函数的图象，通过列表、描点、面图，观察图象，并利用函数性质解决问题． （1）画出函数的图象． ①列表： x … 0 1 2 … y … 3 1 1 3 … 请补全表格： ②根据表格的数据，请在平面直角坐标系中描出对应点并连线，画出该函数图象． （2）利用函数的图象，探索函数性质并解决问题： ①写出该函数的一条性质______： ②当时，y的取值范围是______． ③若点与是函数图象上的两个点，若对于，，都有则a的取值范围是______． 27. 如图，在正方形中，E为上一点（不与重合），过点C作交延长线于点F．连接，作交的延长线于点G． （1）补全图形并用等式表示线段的数量关系并证明； （2）用等式表示线段与的数量关系并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京二中教育集团2024—2025学年度第二学期 初二数学期末考试试卷 命题人：孙竹溪 审核人：杨丽敏 曲莹 考生须知 1．本试卷分为第Ⅰ1卷、第Ⅱ卷和答题卡，共16页；其中第Ⅰ卷3页，第Ⅱ卷8页，答题卡8页．全卷共三大题，28道小题． 2．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号． 4、考试结束，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共16分） 一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母，据此即可判断． 【详解】解：选项A：，因，可化简为，不是最简二次根式； 选项B：，因，不是最简二次根式； 选项C：，被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项D：，被开方数，无平方因数且不含分母，符合最简二次根式的条件； 故选D． 2. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，方程思想的运用；根据平行四边形的对角相等、邻角互补的性质，结合已知条件建立方程求解． 【详解】解：在平行四边形中，与为邻角，故； 设，则，代入得方程：， 解得：， 因此，，； 根据平行四边形对角相等，； 综上，的度数为； 故选：A． 3. 如图，在数轴上找出表示3的点A，则，过点A作直线垂直OA，在上取点B，使，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C．其中点C表示的实数是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，计算即可求解． 【详解】解：由题意得：， 故选：D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点，根据图象可知的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与不等式，数形结合是解题的关键；由图象知，当时，一次函数的函数值位于0于3之间，由此即可得出答案． 【详解】解：由图象知，当时，一次函数的函数值位于0于3之间， 即的解集为； 故选：D． 5. 如图，在边长为5的菱形中，，于点H，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理；根据菱形的性质及勾股定理求得的长，利用面积关系可求得结果． 【详解】解：在边长为5的菱形中，， 则，； 由勾股定理得； ∵， ∴， 故选：C． 6. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员成绩如下表所示： 成绩/米 人数 2 5 3 1 其中两个数据被污染了，根据这些数据，一定能确定这15名运动员成绩的（ ） A. 众数和中位数 B. 中位数和方差 C. 众数和方差 D. 众数和平均数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位数与众数、平均数与方差，掌握它们的含义是解题的关键；被污染的数据有4个，可以确定众数与中位数均是，由此可作出判断． 【详解】解：被污染的数据有4个，显然众数是，它出现了5次；，则中位数是按大小排列的第8个数据，中位数也是，根据这些数据，一定能确定这15名运动员成绩的众数与中位数； 故选：A． 7. 下面的三个问题中都有两个变量： ①在压力一定的情况下，物体对地面的压强与受力面积； ②冷冻一个的物体，使它每分钟下降．物体的温度与冷冻时间； ③在弹性限度内，弹簧原长度为，弹簧挂重物后的长度与弹簧受到的拉力x（N）． 其中，两个变量之间的函数关系是一次函数的是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ①② 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的概念，掌握一次函数的概念是关键；判断每个情境中的变量关系是否为一次函数，需根据一次函数的定义（形如，）逐一分析． 【详解】解：情境①：压强与受力面积的关系为（为定值），此式为反比例函数，不符合一次函数的形式，故①不符合； 情境②：温度与时间的关系为（每分钟下降），此式为，符合一次函数的形式（），故②符合； 情境③：弹簧长度与拉力的关系为（为弹性系数），此式符合一次函数的形式，故③符合； 综上，符合一次函数的是②③， 故选：B． 8. 如图，在矩形中，点P是对角线上任意一点（不与A，C重合），过点P作，点E，F，M，N分别是边上的点，连接．设．下面四个结论中正确的个数是（ ） ①当时．四边形是正方形； ②四边形与四边形的面积始终相等； ③； ④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，正方形的判定，三角形三边的不等关系，掌握这些知识是解题的关键；由题意得四边形是矩形，同理易得四边形，四边形，四边形均是矩形，由可判定①；利用矩形的性质可判定②；利用三角形三边关系及勾股定理可分别判定③与④，最后可确定答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，； ∵， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是矩形， ∴； 同理得四边形，四边形，四边形均是矩形； ∵， ∴四边形是正方形； 故①正确； ∵，， ∴， 即四边形与四边形的面积相等； 故②正确； ∵， ∴； 在中，， 即； 故③错误； 如图，连接， ∵，； 在中，，当点P位于对角线上时，等号成立； ∴； 故④不正确； 综上，正确的有2个； 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 在函数中，自变量x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须． 10. 已知点和点在直线上，则______．（填） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比较一次函数的函数值大小，根据解析式可得一次函数的增减性，由增减性即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而减小， ∵点和点在直线上，且， ∴， 故答案为：． 11. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择______． 甲 乙 丙 丁 平均数（） 192 195 195 193 方差 3.2 4.7 6.5 6.0 【答案】乙 【解析】 【分析】本题主要考查了用方差和平均数做决策，根据题意可知要选择平均数大且方差小的运动员参赛，据此可得答案． 【详解】解：从平均数来看，应该从乙、丙中选择一人参赛， 从方差来看，应该选择乙参赛， 故答案为：乙． 12. 某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按的比例对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数．根据加权平均数的计算方法即可解答本题． 【详解】解：依题意，该学生的课堂评价成绩为 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，．点Q是中点，点P为上任意一点，E、F分别是的中点，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、中位线的性质及勾股定理，检验学生对矩形性质和中位线性质的理解及对勾股定理的掌握情况． 根据矩形的性质，利用勾股定理即可求出得长度，在根据三角形中位线的性质即可求得答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形是矩形，，， ， Q是的中点， ， ， ∵E、F分别是的中点， 为的中位线， ， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是．以为边作菱形，若点C在x轴上，点B在第二象限，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查菱形的性质，勾股定理，理解题意，作出相应图形是解题关键． 根据题意，作出图形，延长交y轴于点E，确定，结合图形即可求解． 【详解】解：∵以为边作菱形，若点C在x轴上，点B在第二象限， ∴如图所示，只有一种情况， 延长交y轴于点E， ∴轴， ∵点A的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点B在第二象限， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，在矩形中，点P是中点，点Q从点A开始，沿着的路线匀速运动，设的面积是y，点Q经过的路线长度为x，在平面直角坐标系中，折线表示y与x之间的函数关系，当的面积是3时，x的值为______． 【答案】2或7 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，矩形的性质，根据函数图象可得当点Q运动到点B时，x的值为4，y的值为6，，由矩形的性质可得，则；求出，再分点Q在上，点Q在上和点Q在上，根据的面积是3分别建立方程求解即可． 【详解】解：由函数图象可得，当点Q运动到点B时，x的值为4，y的值为6， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； ∵点P是中点， ∴； 当点Q在上，且y的值为3时，则，解得； 当点Q在上，且y的值为3时，则，解得； 当点Q在上，且y的值为3时，则，解得； 综上所述，x的值为2或7， 故答案为：2或7． 16. 如图，已知，．直线l是过点A的一条动直线（不与直线重合），分别过点B，C作直线l的垂线，垂足为D，E、在直线l运动的过程中，的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系及完全平方公式的应用，正确得出的值最大时，直线在外部，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 根据全等三角形的判定和性质得出，得出当直线在内部时，，当直线在外部时，，可得的值最大时，直线在外部，根据勾股定理，利用完全平方公式得出，结合三角形三边关系即可的答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵过点B，C作直线l的垂线，垂足为D，E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，当直线在内部时，， 当直线在外部时，， ∴的值最大时，直线在外部， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故答案为： 三、解答题（共68分，其中第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】解： ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据二次根式的性质，先化简，然后计算即可． 【详解】解： 19. 已知，如图，菱形的对角线交于点O． 求作：矩形： 作法：①作的垂直平分线交于点F； ②连接并延长，在的延长线上截取点E，使； ③连接． 四边形为所求作的矩形． （1）按要求利用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成以下证明： 证明：∵的垂直平分线交于点F，， ，∴四边形是平行四边形，（______）（填推理依据） ∵四边形是菱形， ，（______）（填推理依据） ， 是矩形．（______）（填推理依据） 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；菱形对角线互相垂直；有一个角是直角的平行四边形是矩形 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，线段和线段垂直平分线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）先根据对角线互相平分的四边形是平行四边证明四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直得到，据此根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，小明家有一块三角形土地用来种植菠菜，其中，，小明想以B为起点挖一条水渠，点D在边上．水渠能将土地分成而积相等的两部分．分别用来种植两种不同蔬菜，又能同时对两种蔬菜进行灌溉．请帮小明计算一下水渠的准确长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，三角形中线的性质，可证明，得到，再根据题意可得是中线，则，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分的面积， ∴是中线， ∴， ∴， 答：水渠的准确长度为． 21. 如图所示，在中，对角线与相交于点，点，在对角线上．且．求证：． 【答案】 四边形是平行四边形 ， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的判定；根据平行四边形的性质与已知条件，得出，证明，得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证． 【详解】略 22. 共享电动车方便出行，是一种新理念下的交通工具．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有A，B两种品牌的共享电动车可选择．A，B两种品牌共享电动车所收费用y（元）与骑行时间x（）之间的函数图象如图所示． （1）A品牌的共享电动车每分钟收费______元；骑行时间不超过10分钟时，B品牌的共享电动车一律收费______元． （2）已知王老师家与学校的距离为，且王老师骑电动车的平均速度为，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？求出此时使用两种品牌的共享电动车的价格差． 【答案】（1）；6； （2）选择A品牌，价格差1元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和函数图象是解题关键． （1）根据点的坐标为即可得出结果，结合图象信息即可确定B品牌收费； （2）先求出王老师从家骑行到学校所需时间为，再结合函数图象可得当时，，由此即可得；分别确定两个函数解析式，然后代入计算即可确定差值． 【小问1详解】 解：根据图象得：元， 骑行时间不超过10分钟时，B品牌的共享电动车一律收费6元， 故答案为：；6； 【小问2详解】 解：选择品牌共享电动车会更省钱．理由如下： ∵王老师家与学校的距离为，且王老师骑电动车的平均速度为， ∴王老师从家骑行到学校所需时间为， 观察函数图象可知，当时，， 所以选择A品牌共享电动车会更省钱 设，将点代入得：， 解得：， ∴， 设，将点代入得：， 解得：， ∴， 当时，，， 元． 23. 如图，在中，，过A点作的平行线与的平分线交于点D，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接与交于点O，过点D作交的延长线于E点，连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的等腰，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用性质进行推理是本题的关键． （1）由角平分线的定义和平行线的性质可得，可得，由菱形的判定可证四边形是菱形； （2）由直角三角形的性质得到，由勾股定理求得，设，则，在中，，代入数据解答即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴的长为． 24. 在平面直角坐标系中．一次函数的图象平行于，且经过点． （1）求一次函数解析式； （2）点P为x轴上一点，一次函数的图象与x轴交于点B，的面积是2，求点P坐标； （3）当时，对于x的每一个值，函数的值均大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，确定一次函数解析式，理解题意，熟练掌握一次函数的性质是解题关键 （1）由题意可设一次函数，再结合待定系数法求得解析式； （2）根据题意确定，设，利用面积建立方程求解即可； （3）根据题意，分三种情况分析，列出不等式，即可求得解． 【小问1详解】 解：由题意可设一次函数， ∵一次函数过点， ∴，解得， 则一次函数． 【小问2详解】 一次函数， 当时，， ∴， ∵点P为x轴上一点， ∴设， ∴， ∵的面积是2， ∴， 解得：或， ∴或 【小问3详解】 由题意得当时，，得， ①当时，； ②当时，，则，解得， ∵， ∴，则有； ③当时，，则，解得，不符合题意； ④根据题意得：， 综上所述，或． 25. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：A：，B：，C：，D：）． 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中的数据：64，70，75，76，78，78，80，82，84，85，85，85，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中C组包含的所有数据：87，88，84，87，89，87，81，90． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 86 85 a 乙 86 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，______，______，______． （2）在此次测验中，有200人对甲款进行评分．220人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数是多少？ （3）如果让你选择一款聊天机器人，你会选择哪一款？请利用数据说明理由． 【答案】（1）85，；20； （2）115人 （3）解：乙款，理由如下： 由表格得，甲乙款平均数都相同，但是乙的中位数，甲的中位数85， ∴选择乙款聊天机器人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键； （1）根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得a的值，再由数据确定m即可； （2）由A、B两款的非常满意的人数之和即可得出答案． （3）利用中位数和平均数作决策即可． 【小问1详解】 解：甲款评分数据中，85分出现次数最多，则， 根据乙款扇形统计图可得，A组B组共有人， 将C组包含的所有数据排序为：81，84，87，87，87，88， 89， 90 第十个和第十一个评分分别为84、87， 所以中位数． 乙款聊天机器人中，C组包含8个数据，所占比例为， ∴， ∴， 故答案为：85，；20； 【小问2详解】 解：乙款扇形统计图可得，组有人， 甲数据中组有6人， ∴对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数人． 【小问3详解】 略 26. 请同学们探究函数的图象，通过列表、描点、面图，观察图象，并利用函数性质解决问题． （1）画出函数的图象． ①列表： x … 0 1 2 … y … 3 1 1 3 … 请补全表格： ②根据表格的数据，请在平面直角坐标系中描出对应点并连线，画出该函数图象． （2）利用函数的图象，探索函数性质并解决问题： ①写出该函数的一条性质______： ②当时，y的取值范围是______． ③若点与是函数图象上的两个点，若对于，，都有则a的取值范围是______． 【答案】（1） ①补全表格如下： x … 0 1 2 … y … 3 1 1 3 … ②函数图象如图所示： （2）①函数图象关于对称；②；③或 【解析】 【分析】题目主要考查函数图象的性质，画函数图象，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）①根据题意代入计算填表即可；②结合表格，描点、连线即可； （2）①根据函数图象写出性质即可；②根据函数图象确定取值范围；③根据函数图象及题意即可确定取值范围． 【小问1详解】 解：①当时，， 当时，． ②略 【小问2详解】 ①函数图象关于对称（答案不唯一）， 故答案为：函数图象关于对称； ②由函数图象得，当时，， 故答案为：； ③∵， ∴， ∵对于，，都有， ∴结合图象得：或， 故答案为：或． 27. 如图，在正方形中，E为上一点（不与重合），过点C作交延长线于点F．连接，作交的延长线于点G． （1）补全图形并用等式表示线段的数量关系并证明； （2）用等式表示线段与的数量关系并证明． 【答案】（1） 解：补全图形如下： 连接， ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）， 证明：过点B作于点H，过点B作于点M，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴ ∵正方形， ∴， ∴， 同理得：， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴． 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据题意，补全图形即可，然后连接，根据正方形的性质及勾股定理即可得出结果； （2）过点B作于点H，过点B作于点M，根据矩形的判定得出四边形为矩形，再由全等三角形的判定得出，确定，结合图形即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $