江西省景德镇一中2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（19班）

Page 1 of 2 高一（19）班下学期期末考试数学试卷 一、单选题 1．已知 m,n是两条不同的直线， ,  是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A．若 / / ,m n  ，则 //m n B．若 ,m n m   ，则 / /n  C．若 / / ,m n m  ，则 n  D．若 ,m    ，则 / /m  2．若过点  0,4 且与圆 2 2( 2) 2x y   相切的两条直线的夹角为，则 tan （ ） A． 4 3 B． 3 5 C． 3 4 D． 1 3 3．已知过抛物线 2 2 ( 0)y px p  焦点 F的直线与该抛物线交于 ,A B两点，若 4 9AF BF  ，则 p的 最大值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．已知双曲线 2 2Γ : 1 3 yx   的左焦点为 F ，点 ,A B在Γ的右支上，且 6AB  ，则 FA FB 的最小值 为（ ） A．4 B．6 C．10 D．14 5．如图，在棱长均为 2的直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，D是 1 1AB 的中点，过 B、C、 D三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点 1B 所在部分的体积为（ ） A． 2 3 3 B． 5 3 6 C． 3 D． 7 3 6 6．已知点 1 2F F、 是双曲线 C： 2 2 2 2 1 x y a b   （ 0a  ， 0b  ）的左、右焦点，O为坐标原点，点 P在双 曲线 C的右支上，且满足 1 2 1 22 , 3F F OP PF PF  ，则双曲线 C的离心率的取值范围为（ ） A．    5 ，+ 2 B． 10 2        ， C． 101 2       ， D． 51 2      ， 7．设椭圆 2 2 : 1 4 3 x yC   的左右焦点分别为 1 2,F F ，点 P在椭圆上， 1 2 1 2 3cos , 5 F PF F PF   的平分线与 x 轴交于点A，则 | |PA （ ） A． 3 B．2 3 C． 3 10 4 D． 3 5 4 8．如图，正方形 ABCD和正方形 ABEF 的边长均为 2，且它们所在的平面互相 垂直，点 N在线段 BF上运动，点M 在正方形 ABCD内运动， 2MN  ，且始终 保持MN AB ，则DM 的最小值为（ ） A． 2 1 B． 2 2 2 C． 2 2 D． 3 2 二、多选题 9．下列选项正确的是（ ） A．若直线 1 : 2 1 0l x y   与 2 : 2 2 0l x ay   平行，则 1l 与 2l 的距离为 2 5 5 B．过点  1,1 且和直线 2 7 0x y   平行的直线方程是 2 6 0x y   C．“ 1a   ”是“直线 2 1 0a x y   与直线 2 0x ay   互相垂直”的必要不充分条件 D．直线 sin 2 0x y    的倾斜角 的取值范围是 π 3π0, , π 4 4           10．已知抛物线 2: 8C y x 的焦点为 F ，过点 F 的直线 l与C交于 ,A B两点，D是C的准线与 x轴的交 点，则下列说法正确的是（ ） A．若 4BF AF ，则直线 l的斜率为 4 3  B． 4 18AF BF  C．0 90AOB  （O为坐标原点） D．当 AF AD 取最小值时， 4AF  11．如图，在正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，点 P在线段 1BC 上运动，有下列判断，其中正确的是（ ） A．异面直线 1AP与 1AD 所成角的取值范围是 π0, 3      B．三棱锥 1D APC 的体积不变 C．平面 1PB D 平面 1ACD D．若 1AB  ，则 1CP PD 的最小值为 2 2 12．如图是数学家 Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称 为“Dandelin双球”）.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面 分别与球 1O ，球 2O 切于点 E， F （ E， F 是截口椭圆C的焦点）. Page 2 of 2 设图中球 1O ，球 2O 的半径分别为 3和 1，球心距 1 2 4 2OO  ，则（ ） A．椭圆C的中心在直线 1 2OO 上 B． | | 4EF  C．直线 1 2OO 与椭圆C所在平面所成的角为 π 3 D．椭圆C的离心率为 2 7 7 三、填空题 13．已知抛物线 C： 2 4y x 焦点为 F，过点 F的直线 l交 C于 A、B两点，交 C的准线于点 M，若 F 为 AM的中点，则 AB  . 14．已知点 P是双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x yC a b a b     左支上一点 1 2,F F 是双曲线的左、 右两个焦点，且 1 2 2,PF PF PF 与两条渐近线相交于 ,M N两点（如图），点 N恰 好平分线段 2PF ，则双曲线的离心率是 ． 15．设 1F ， 2F 分别为椭圆   2 2 2 2: 1 0 x yC a b a b     的左、右焦点，过点 1F 且倾斜角为 60°的直线与椭圆 C交于A， B两点，若 13AB FB ，则椭圆C的离心率为 . 16．三棱锥 A BCD 中， 4, 3, 5, 60AB BC BD AC AD CBD       ，则三棱锥 A BCD 外接球的表 面积为 ． 四、解答题 17．已知 ABCV 的三个顶点的坐标为  1,0A ，  3,2B ，  2,4C ．求： (1)点 D的坐标，使四边形 ABCD是平行四边形； (2)点 C关于直线 AB对称点的坐标； (3)求 ABCV 的面积． 18．如图，梯形 BCDP中， //BC PD，BA PD 于点A， 2PA  ，且 11 2 AB BC AD   ．沿 AB把 PAB 折起到 PAB△ 的位置，使 6P D  ． (1)求异面直线CD与 P B 所成角的余弦值； (2)若 E为 P C 的中点， F为 P D 上一点， 证明CF AE ． 19．已知双曲线C：   2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b     的离心率为 2，O为坐标原点，过C的右焦点的直线 l交C 的右支于 P，Q两点，当 l x 轴时， 2 2PQ  . (1)求C的方程； (2)过 P作直线 1x  的垂线，垂足为 N. （i）证明：直线QN过定点；（ii）求 OQN△ 面积的最小值. 20．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是矩形，PA 平面 ABCD，E，F，G分别是 AB，PD， PC的中点. (1)若 AD PA ，求证： AF 平面 PDC； (2)若二面角 P EC D  的正切值为 2，且 2AD  ， 2 2AB  ， 求EG与平面PDE所成角的正弦值. 21．已知圆 2 2: ( 1) 16A x y   和点  1,0B ，点 P是圆上任意一点，线段 PB的垂直平分线与线段 PA相 交于点Q，记点Q的轨迹为曲线C . (1)求曲线C的方程； (2)点D在直线 4x  上运动，过点D的动直线 l与曲线C相交于点 ,M N . （ⅰ）若线段MN上一点 E，满足 ME MD EN DN  ，求证：当D的坐标为  4,1 时，点 E在定直线上； （ⅱ）过点M 作 x轴的垂线，垂足为G，设直线 ,GN GD的斜率分别为 1 2,k k ，当直线 l过点  1,0 时， 是否存在实数 ，使得 1 2k k ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由