第24讲 诱导公式-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

第24讲 诱导公式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sinα －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cosα －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tanα tanα －tanα －tanα 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 知识点2 常用结论 （1）同角三角函数关系式的常用变形 (sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα. （2）诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化. （3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. 教材习题01 化简 解题方法 原式． 【答案】 教材习题02 求值： (1)； (2)； (3)； (4)． 解题方法 （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】(1) (2) (3) (4)1 教材习题03 化简： (1)； (2)． 解题方法 （1） ， ，，故， 故. （2） . 【答案】(1) (2) 考点一 诱导公式一 1．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式即可求解. 【详解】. 故选：D. 2．点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用诱导公式判断，的正负，再判断的所在象限即可. 【详解】由诱导公式得， ， ， 且， 则，， 得到，即， 则，故， 得到点位于第二象限，故B正确. 故选：B. 13．化简 . 【答案】 【分析】应用诱导公式计算化简求值. 【详解】 . 故答案为： 14．已知角的终边经过点，则 （1）的值为 ； （2）的值为 ． 【答案】 【详解】（1）设，则，所以．． （2）． 25．已知. (1)化简； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式化简，求出； （2）在（1）基础上，利用诱导公式化简，结合特殊角函数值求出答案. 【详解】（1）；. （2）， . 考点二 诱导公式二、三、四 3．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，将筒车抽象为一个半径为的圆，如图2建立平面直角坐标系，已知筒车按顺时针方向旋转，每旋转一周用时180秒，当时，某盛水筒位于点，经过秒后运动到点，则当筒车旋转120秒时，此盛水筒对应的点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点坐标求出和，再由旋转时间求出旋转角度，再由三角函数的定义即可求出答案.. 【详解】因为，则，所以， 又， 每旋转一周用时秒，则筒车旋转秒时共旋转， 则此时点所在角的终边为， 则点的横坐标为. 故选：C. 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式得出的值，再结合弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】因为，故. 故选：B. 15．已知，则 . 【答案】 【分析】利用诱导公式化简求值. 【详解】根据题意，， 则. 故答案为： 16．已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点，则 ． 【答案】/ 【分析】根据三角函数的定义求出的值，再利用诱导公式即可求解. 【详解】∵角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点，点到原点的距离， ∴根据三角函数的定义可知， ∴. 故答案为：. 26．化简求值： (1)； (2)； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据诱导公式化简即可； （2）根据诱导公式化简即可； （3）先根据诱导公式化简，再结合同角求值进行切弦互化，即可求解. 【详解】（1）； （2） ； （3）由，得， 所以，又， 所以. 考点三 诱导公式五、六 5．下列命题不正确的有（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用三角函数线证明当时，即可判断AC，再由和诱导公式判断BD. 【详解】当时，， 在单位圆中，点，设，则， 过点A作直线AT垂直于x轴，交OP所在直线于点T， 由，得， 设扇形的面积为， 由图知，即， 即， 对于AC，由，得，AC正确； 对于B，，得，则，B错误； 对于D，由，则， 则，D正确. 故选：B 6．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数关系得出则，再应用诱导公式计算求解. 【详解】已知，且，则， 则， 则. 故选:C. 17．已知，则 ． 【答案】 【分析】根据诱导公式，化简三角函数，求出结果. 【详解】由诱导公式可知. 故答案为：. 18．已知，则 ． 【答案】 【分析】利用诱导公式以及正余弦的齐次式化简求值即可. 【详解】由题意可得， 故． 故答案为： 27．如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且． (1)若点的横坐标为，求的值； (2)求的值． 【答案】(1)0 (2) 【分析】根据诱导公式化简求值即可. 【详解】（1）由题意：， 所以. （2） 考点四 三角函数恒等式的证明-诱导公式 7．若，则属于第__________象限角. A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】先利用诱导公式和同角三角函数的关系对化简，得，从而可得，进而可求得答案 【详解】解：由，得 ， ， 所以， 所以，所以属于第三象限的角， 故选：C 8．设，，则“”是“，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由可得或，再由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】由可知，或，， 所以“”是“，”的必要不充分条件． 故选：B． 19．已知函数，则下列四个等式中，成立的是 .（写出正确的序号） ①；②；③；④. 【答案】④ 【分析】利用诱导公式化简，判断正误. 【详解】，①不成立， ，②不成立， ，③不成立，④成立. 故答案为：④ 20．若角的终边落在直线上，则 ． 【答案】或 【分析】化简得到，考虑角为第一或第三象限角两种情况，计算得到答案. 【详解】因为角的终边落在直线上，所以角为第一或第三象限角， ， 当角为第一象限角时，，； 当角为第三象限角时，，． 故答案为：或. 28．已知的三个内角分别是，，. (1)求证：. (2)若. ①求的值； ②求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①② 【分析】（1）结合内角和公式，利用诱导公式化简，由此证明结论； （2）①由两边平方，结合平方关系求，利用诱导公式结合商的关系可得，由此可求结论；②结合角的范围可得，由此可求结论. 【详解】（1）在中，， 所以 所以． （2）①因为，且， 所以， 所，从而. 所以. ②由，可知， 所以. 考点五 三角函数的化简、求值-诱导公式 9．已知（其中a，b为实数，），若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为，所以，所以，所以. 10．已知，则的值是（    ） A．3 B．2 C．1 D．4 【答案】A 【详解】由已知得，即，于是. 21．已知，则 ． 【答案】1 【分析】由诱导公式化简，化为齐次式，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】原式. 故答案为：. 22．已知角终边上一点，则 ． 【答案】 【分析】由三角函数的定义得，再应用诱导公式、齐次式法求值即可. 【详解】由题设，，则， . 故答案为： 29．已知. (1)若角是第三象限角，且，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）.因为，所以.又角是第三象限角，所以.所以. （2）因为，所以. 考点六 正切函数的诱导公式 11．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正切的诱导公式计算． 【详解】． 故选：C． 12．已知tan100°=K，则cos10°=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式得到，再根据同角三角函数关系计算得到答案. 【详解】由， ，， . 故选：D. 23．已知是第一象限角，且角的终边关于y轴对称，则 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得的值，再由角的终边关于y轴对称可得，结合诱导公式代入计算，即可求解. 【详解】因为是第一象限角，则， 则， 又角的终边关于y轴对称，则， 则. 故答案为： 24． ． 【答案】/ 【分析】由三角函数的诱导公式化简即可得出答案. 【详解】由三角函数的诱导公式，可得： ． 故答案为：. 30．已知． (1)化简； (2)若，且为第三象限的角，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式化简即可； （2）由已知，根据诱导公式和商数关系得出，再根据同角三角函数的平方关系得出，结合为第三象限的角，即可得出，即可求解． 【详解】（1） ． （2）∵， ，即， 又，∴，即， 为第三象限的角，， ． 知识导图记忆 知识目标复核 1．三角函数的诱导公式 2．三角函数恒等式的证明 3．三角函数的化简求值 一、单选题 1．在中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】特殊角的三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【详解】由已知化简得①，②.由①得，又，所以.由②得.又，所以，所以. 2．若，则（   ） A．     B．     C．     D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式二、三、四 【详解】由条件得，又经，所以，所以. 3．（   ） A．     B．     C．     D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】诱导公式二、三、四 【详解】. 4．已知角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、正、余弦齐次式的计算、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由三角函数的定义可得出的值，再利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】由题意，点为角终边上一点，由三角函数定义可得， 所以． 故选：B． 5．在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，，则（   ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、诱导公式五、六 【分析】利用三角函数的定义求出，再结合诱导公式可得. 【详解】由题意可得，， 则，解得（舍去）. 故选：B 6．若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【详解】由得，从而，所以，所以. 7．已知，且，求的值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】由，结合的范围求出的值，再利用诱导公式将化简，即可得解. 【详解】， ，． ． 故选：A 8．已知函数，值域为，则下列选项错误的是（   ） A． B．的图像关于直线对称 C．的最大值为1 D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、判断或证明函数的对称性、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式五、六 【分析】先利用同角三角函数关系和换元法得到，，A选项，当时，，由函数单调性求出最值，得到值域；B选项，计算出，B正确；C选项，，故；D选项，化简得到，由单调性求出最值，得到值域. 【详解】因为，所以， 令，则，. A选项，当时，， 因为，所以在上单调递减，在上单调递增， ，故正确； B选项，因为， 所以的图像关于直线对称，故B正确 C选项，因为，所以，所以， ，故，当且仅当或时，等号成立， 所以的最大值为1，故C正确. D选项，当时，， 因为，所以在上单调递减，在上单调递增， 故，故D错 故选：D 9．设集合，则集合的元素个数为（    ） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】诱导公式二、三、四、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为. 【详解】因为 ， 当时，，此时； 又因为为奇数，，且中的任意两组角都不关于对称， 所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大， 当时，此时； 又因为为奇数，，且中的任意两组角都不关于对称， 所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大， 综上可得当时集合中的取值会随着的增大而增大， 所以此时集合中有个元素； 当时，易知 即时的取值与时的取值相同， 根据集合元素的互异性可知，时并没有增加集合中的元素个数， 当时，则，， 即， 所以 ， 所以当时集合中的取值会随着的增大而减少，且均为正数， 当时，易知 ， 可得当时，集合中的元素个数只增加了一个， 所以可得集合的元素个数为个. 故选：C 10．已知，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式二、三、四、方程与不等式 【分析】利用题目中角度之间的关系将方程变形，再利用消元法用来表示和的值，化简可求得的值. 【详解】，， ， 设，则， 原方程组可表示为，即， 由①得，由②得， 两式联立得，， 将的值代入中得，， 则. 故选：D. 二、多选题 11．在中，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】诱导公式二、三、四 【详解】，，所以B，C正确，A，D错误. 12．下列各式正确的是（   ） A．       B． C．     D． 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】诱导公式二、三、四 【详解】，B错误.其余选项均正确. 13．已知点在角的终边上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式五、六 【分析】根据三角函数的定义及诱导公式逐一分析即可. 【详解】对于：，所以， 平方得，解得，故错误； 对于：，故正确； 对于：，故正确； 对于：，故正确. 故选：. 三、填空题 14．求下列各三角函数值. （1） ； （2） . 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【详解】（1）原式. （2）原式. 15．已知点，将绕坐标原点顺时针旋转至，则点的坐标为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数、诱导公式五、六 【分析】首先确定终边对应的角，再结合三角函数的定义，以及诱导公式，即可求解. 【详解】由题意，点所在终边为角，，，， 顺时针旋转后终边对应的角为，且， 则，， 所以，，所以. 故答案为： 16．设，则 .（用m表示）. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【详解】解法1 原式 . 又，所以原式. 解法2  由，得， 原式 . 17．若为第二象限角，且，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】利用正切函数的诱导公式求出，然后利用正弦函数的诱导公式及同角三角函数的平方关系对所给式子进行化简，最后再根据角的范围确定三角函数的正负对式子进一步化简求值. 【详解】由，知， 原式 ， 因为为第二象限角，所以，且， 所以原式. 故答案为： 18．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式五、六 【分析】任取一个数字串，根据数字黑洞定义，依次得到新的数字串，反复出现的数字即为a的值，再结合诱导公式即可得解. 【详解】由数字串的任意性，不妨取数字串， 经过第一步后可得到数字串，经第二步后得到数字串， 再变为，再变为，... 故数字黑洞为，即， 所以． 故答案为： 19．已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】找出终边相同的角、诱导公式二、三、四 【分析】根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解. 【详解】因为，， 所以的终边关于轴对称，且不与轴重合， 故且， 即， 故取可满足题设要求； 故答案为：；（答案不唯一） 20．已知函数与的图象上存在关于原点对称的点，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】指数函数的判定与求值、函数与方程的综合应用、诱导公式二、三、四、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】由题意得方程在上有解，即在有解，转化成函数图象有交点来做即可. 【详解】由题意当即时，方程有解，即， 即当且仅当在有解， 因为在上单调递减，所以由复合函数单调性可知在上单调递减， 所以在上单调递增， 又在上单调递增， 所以在上单调递增， 且当时，， 所以若在有解，则只需， 则的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：将原问题等价转化为函数方程有解，分离参数即可顺利求解. 四、解答题 21．已知，且， (1)求的值. (2)化简. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据以及的范围，求出，进而得出三角函数值； （2）利用诱导公式化简即可. 【详解】（1）由题意可得，， 解得或， 又，则，故，则， 故. （2）原式. 22．已知 ． (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）根据题意，利用三角函数的诱导公式，化简得到，即可求解； （2）由（1）知，化简，代入计算，即可求解. 【详解】（1）解：由， 所以，所以. （2）解：由（1）知， 又由. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24讲 诱导公式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sinα －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cosα －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tanα tanα －tanα －tanα 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 知识点2 常用结论 （1）同角三角函数关系式的常用变形 (sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα. （2）诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化. （3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. 教材习题01 化简 解题方法 原式． 【答案】 教材习题02 求值： (1)； (2)； (3)； (4)． 解题方法 （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】(1) (2) (3) (4)1 教材习题03 化简： (1)； (2)． 解题方法 （1） ， ，，故， 故. （2） . 【答案】(1) (2) 考点一 诱导公式一 1．（   ） A． B． C． D． 2．点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．化简 . 14．已知角的终边经过点，则 （1）的值为 ； （2）的值为 ． 25．已知. (1)化简； (2)若，求的值. 考点二 诱导公式二、三、四 3．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，将筒车抽象为一个半径为的圆，如图2建立平面直角坐标系，已知筒车按顺时针方向旋转，每旋转一周用时180秒，当时，某盛水筒位于点，经过秒后运动到点，则当筒车旋转120秒时，此盛水筒对应的点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 15．已知，则 . 16．已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点，则 ． 26．化简求值： (1)； (2)； (3)若，求的值． 考点三 诱导公式五、六 5．下列命题不正确的有（   ） A．， B．， C．， D．， 6．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 17．已知，则 ． 18．已知，则 ． 27．如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且． (1)若点的横坐标为，求的值； (2)求的值． 考点四 三角函数恒等式的证明-诱导公式 7．若，则属于第__________象限角. A．一 B．二 C．三 D．四 8．设，，则“”是“，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 19．已知函数，则下列四个等式中，成立的是 .（写出正确的序号） ①；②；③；④. 20．若角的终边落在直线上，则 ． 28．已知的三个内角分别是，，. (1)求证：. (2)若. ①求的值； ②求的值. 考点五 三角函数的化简、求值-诱导公式 9．已知（其中a，b为实数，），若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知，则的值是（    ） A．3 B．2 C．1 D．4 21．已知，则 ． 22．已知角终边上一点，则 ． 29．已知. (1)若角是第三象限角，且，求的值； (2)若，求的值. 考点六 正切函数的诱导公式 11．（    ） A． B． C． D． 12．已知tan100°=K，则cos10°=（    ） A． B． C． D． 23．已知是第一象限角，且角的终边关于y轴对称，则 24． ． 30．已知． (1)化简； (2)若，且为第三象限的角，求的值． 知识导图记忆 知识目标复核 1．三角函数的诱导公式 2．三角函数恒等式的证明 3．三角函数的化简求值 一、单选题 1．在中，，且，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则（   ） A．     B．     C．     D． 3．（   ） A．     B．     C．     D． 4．已知角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，，则（   ） A．-2 B． C． D．2 6．若，则（    ） A． B． C． D．2 7．已知，且，求的值为（   ） A． B． C．0 D． 8．已知函数，值域为，则下列选项错误的是（   ） A． B．的图像关于直线对称 C．的最大值为1 D． 9．设集合，则集合的元素个数为（    ） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 10．已知，则（    ） A． B．1 C． D．2 二、多选题 11．在中，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 12．下列各式正确的是（   ） A．       B． C．     D． 13．已知点在角的终边上，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 14．求下列各三角函数值. （1） ； （2） . 15．已知点，将绕坐标原点顺时针旋转至，则点的坐标为 . 16．设，则 .（用m表示）. 17．若为第二象限角，且，则 ． 18．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则 ． 19．已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ． 20．已知函数与的图象上存在关于原点对称的点，则的取值范围是 . 四、解答题 21．已知，且， (1)求的值. (2)化简. 22．已知 ． (1)求的值； (2)求的值. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$