精品解析：上海市徐汇区世界外国语中学2024--2025学年七年级下学期数学期末卷

2024学年第二学期期末考试七年级数学 （时间：90分钟满分：100分） 注意：答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定位置作答，在本试卷上答题无效 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列方程中为一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义；根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：，是一元一次方程，最高次数为1，不符合条件． 选项B：，仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程，符合定义． 选项C：，含两个未知数和，是二元二次方程，不符合“一元”要求． 选项D：，含分式，属于分式方程，非整式方程，不符合条件． 综上，只有B满足一元二次方程的定义． 故选：B． 2. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式；通过计算每个方程根的判别式，判断是否有两个不相等的实数根即可． 【详解】解：对于一元二次方程，根的判别式： 选项A： ，无实数根． 选项B： ，无实数根． 选项C： ，有两个相等实数根． 选项D： ，有两个不相等实数根． 故选：D． 3. 下列等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质和运算；逐一分析各选项是否在任意情况下成立，结合平方根的性质和运算规则进行判断即可． 【详解】解：选项A： 平方根相加不满足分配律．例如，当，时，左边为，右边为，显然不等．因此A不成立． 选项B： 根号下的数必须非负，故，即．此时有意义，但平方后结果为，而等式右侧为，仅当时成立．若，左边为，右边为，矛盾．因此B不一定成立． 选项C： 根据平方根的性质，．但恒成立，故对任意实数均成立．因此C一定成立． 选项D： 根式乘法法则要求且．若，，左边，但右边无意义．因此D仅在、非负时成立，题目未限定条件，故D不一定成立． 故选：C． 4. 我们知道三角形具有稳定性，但四边形却是不稳定的．已知四边形的边长如图所示．当为等腰三角形时，对角线的长为（　　） A. 4或6 B. 5 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，等腰三角形的定义；根据等腰三角形的定义得到或，再结合三角形的三边关系计算结果即可． 【详解】解：当为等腰三角形时， ∴或； 当时 满足， 在满足； 当时， 在中，，不满足条件，舍掉； ∴； 故选：C． 5. 下列条件中，不能判断是等边三角形的是（ ）． A. ， B. ， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形的定义和判定定理判断即可． 【详解】解：A选项：∵AB=AC．∠B=60°． ∴△ABC是等边三角形，故A选项不符合题意； B选项：∵∠B=∠A，∴AC=BC， ∵AB=AC，∴AB=AC=BC， ∴△ABC是等边三角形，故B选项不符合题意； C选项：∵∠A=∠B=60°，∠C=180°−∠A−∠B=60°， ∴∠A=∠B=∠C，∴AB=AC=BC， ∴△ABC等边三角形，故C选项不符合题意； D选项：∵∠A+∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C=60°，不能判断△ABC是等边三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟悉等边三角形的定义及等边三角形的判定定理．注意：等边三角形的判定定理有：①三边都相等的三角形是等边三角形，②三角都相等的三角形是等边三角形，③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 6. 对于下列两个命题，判断正确的是（　　） 命题①：如果两个等腰三角形的底边和底边上的高对应相等，那么这两个等腰三角形全等； 命题②：如果两个等腰三角形的腰和腰上的高对应相等，那么这两个等腰三角形全等． A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题； C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题． 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定条件，命题，等腰三角形的性质；通过全等三角形的判定条件分析两个命题的真假．命题①中，底边和底边上的高对应相等，可根据确定三角形全等；命题②中，腰和腰上的高对应相等，但顶角可能互补，导致三角形不全等；由此判断即可． 【详解】解：命题①：等腰三角形的底边和底边上的高对应相等．底边上的高将底边平分，结合勾股定理可知两腰长必然相等．因此，两个等腰三角形的三边对应相等，全等成立，命题①为真． 命题②：等腰三角形的腰和腰上的高对应相等．例如，顶角为 和 的两个等腰三角形，腰长和腰上的高相等，但底边长度不同，不全等．因此，命题②为假． 综上，①为真命题，②为假命题， 故选：A． 二、填空题（本大题共12题，每空2分，满分24分） 7. 若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 根据同类二次根式的概念列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故答案为：2， 8. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式和分式的综合应用，熟练掌握二次根式和分式的意义是解题的关键． 根据二次根式和分式的意义即可得到结果． 【详解】解：由题意可得：， 解得：，； 故答案为：，． 9. 方程的解是___________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； 通过移项、因式分解求解方程． 【详解】解； 或 解得，； 故答案为，． 10. 比较大小：______（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查考查了二次根式混合运算，二次根式的大小比较，求出，即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为25，则蓝光唱片的容量是普通唱片的___________倍．（用科学记数法表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可得到答案，确定与的值是解决问题的关键． 【详解】解：蓝光唱片的容量是普通唱片的倍， 故答案为：． 12. 化简：___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义条件，二次根式的化简等知识，熟练掌握二次根式性质，是解题的关键．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：根据题意有：，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 13. 已知，且，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值、平方根，熟练掌握运算法则和完全平方公式是解题关键． 先根据完全平方公式求出的值，再结合判断的正负，进而求出的值． 【详解】解： 则． 已知，将其代入上式可得： 所以， 因为，那么， 所以． 故答案为：． 14. 已知的三边长互不相等，若以为两个顶点画不同位置的三角形（与原三角形不重合），使所画的三角形与全等，这样的三角形最多可以画___________个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的定义，根据题意画出图形，得出答案即可． 【详解】解：如图，可以画、、与全等，因此这样的三角形最多可以画3个． 故答案为：3． 15. 如图，点为的外心，若，，则的大小为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的定义和三角形的内角和，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 利用线段垂直平分线的性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，，，然后利用三角形的内角和定理进行计算即可解答． 【详解】∵点为的外心，，， ∴点P为三边垂直平分线的交点， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，则的周长为___________（用、表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质得到，则，进一步证明，得到，即可求出答案． 【详解】解：∵的垂直平分线交边于点，交边于点 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为 故答案为： 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是关键． 17. 如图，在中，，将绕着点A旋转，旋转后的点B落在上，点B的对应点为D，连接是的角平分线，则________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，，，根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角性质可得，即得，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，根据题意可得：，， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 则在中，∵， ∴， 解得：； 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 18. 如图，边长为6的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在右侧作等边，连接，则的周长最小值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E的运动轨迹，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．通过分析点E的运动轨迹，点E在射线上运动，作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小，求出最小值即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E在射线上运动， 作点A关于直线的对称点M，连接交于点，连接， ∴， ∵为定值， ∴当最小时，周长最小， ∵两点之间线段最短， ∴当点E在点处时，的周长最小，且最小值为的长， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴周长的最小值是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7题，第19题6分，第20题12分，21题7分，22题8分，23题8分，24题9分，25题8分，满分58分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，分母有理化，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据算术平方根定义，零指数幂运算法则，绝对值意义，二次根式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 20. 解下列关于的方程： （1）（用配方法）； （2）． 【答案】（1）， （2），，， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程一般方法，是解题的关键． （1）用配方法解一元二次方程即可； （2）用换元法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 方程两边同除以3得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 设，则原方程可变为： ， 整理得：， 解得：，， 当时，， 解得：，； 当时，， 解得：，； ∴原方程的解为：，，，． 21. 已知关于的一元二次方程，其中分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】（1）等腰三角形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、等腰三角形的判定、等边三角形的性质，解一元二次方程． （1）把代入方程化简可得，即可得是等腰三角形； （2）如果是等边三角形，则，代入方程，只留一个字母a，可得，即，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：是等腰三角形；理由： ∵是方程的根， ∴， ， ， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：是等边三角形时， ， ，可整理为：， ，即， 解得：． 22. 如图是小毕同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 年月日星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图1所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺．怎么办呢？ 解决方案：如图2，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则． 我有如下思考：以上方案依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？…… 任务： （1）根据上述操作过程，证明； （2）用无刻度的直尺和圆规在1图的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法），并说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析；作法所依据的数学定理或基本事实见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）由作图的方法可以得出：，，得出，，利用三角形内角和得出，即，说明垂直即可； （2）以点为圆心，任意长为半径画弧，与有两个交点，分别以这两个交点为圆心，以大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，这两段弧交于一点，连接即可；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可说明垂直． 小问1详解】 证明：由作图方法可知：，， ，， 又， ， ， ， 即， 【小问2详解】 解：如图，直线即为所求； 等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形“三线合一”）；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等．（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，尺规作垂线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握说明垂直的方法是解决本题的关键． 23. 已知：如图，已知中，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的判定定理．先根据等腰三角形的性质得出，根据，证明，根据等腰三角形的判定得出，根据线段垂直平分线的判定得出垂直平分，即可得出答案． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴． 24. 在学习等腰三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作理解 小明用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有___________；（填序号） （2）性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图1，四边形是邻等对补四边形，是它的一条对角线． 求证：平分； （3）拓展应用 如图2，在中，，分别在边上取点，使四边形是邻等对补四边形，则的大小为___________度． 【答案】（1）② （2）证明见解析 （3），或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用相关性质进行推理证明，利用分类讨论的思想求角的大小． （1）根据邻等对补四边形的定义，从对角是否互补，是否有一组邻边相等逐个验证，可得结果； （2）过点A作于E，作，交延长线于F，先后证明，，可得，所以平分； （3）先根据邻等对补四边形的对角互补，推出，，再根据邻等对补四边形有一组邻边相等，分类讨论，求出每一种情况下的度数，综合可得结果． 【小问1详解】 解：①，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形； ②，，满足对角互补，且有两组邻边相等，所以该四边形是邻等对补四边形； ③，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形； ④该四边形没有相等的两条邻边，所以不是邻等对补四边形； 综上可知，是邻等对补四边形的有②． 【小问2详解】 证明：过点A作于E，作，交延长线于F，如图1.1所示： 则， 四边形是邻等对补四边形， ， 又， ， 又由题知， ， ， 又， ， ， 平分． 【小问3详解】 解：在中，， ∴， 四边形是邻等对补四边形， ，， ，． 根据邻等对补四边形至少有一组邻边相等，可得 当时，如图2.1： 结合，可得， ． 当时，如图2.2： ， ， ． 当时，如图2.3： ， ． 当时，如图2.4： 结合，可得， ． 综上可知，大小为或或． 25. 如图，在中，，，是的中点，是的中点，连接．将射线绕点逆时针旋转得到射线，过点作交射线于点． （1）①依题意补全图形； ②求证：； （2）连接，，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意画出图形即可求解； ②连接，则于点，平分，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出，，根据，得出，则； （2）延长至点，使得，连接，，倍长中线法证明，进而证明，即可得证． 【小问1详解】 解：①如图所示， ②连接， ∵，是的中点， ∴于点，平分， ∵ ∴，， ∵， ∴，， ∴； 【小问2详解】 ；证明如下， 延长至点，使得，连接，， ∵为的中点，为的中点 ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰三角形，则，，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期期末考试七年级数学 （时间：90分钟满分：100分） 注意：答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定位置作答，在本试卷上答题无效 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列方程中为一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　） A. B. C. D. 3. 下列等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 4. 我们知道三角形具有稳定性，但四边形却是不稳定的．已知四边形的边长如图所示．当为等腰三角形时，对角线的长为（　　） A. 4或6 B. 5 C. 4 D. 6 5. 下列条件中，不能判断是等边三角形的是（ ）． A. ， B. ， C. D. 6. 对于下列两个命题，判断正确的是（　　） 命题①：如果两个等腰三角形的底边和底边上的高对应相等，那么这两个等腰三角形全等； 命题②：如果两个等腰三角形的腰和腰上的高对应相等，那么这两个等腰三角形全等． A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题； C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题． 二、填空题（本大题共12题，每空2分，满分24分） 7. 若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为___________． 8. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 9. 方程的解是___________． 10. 比较大小：______（填“”或“”）． 11. 科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为25，则蓝光唱片的容量是普通唱片的___________倍．（用科学记数法表示） 12. 化简：___________ 13. 已知，且，则的值为___________． 14. 已知的三边长互不相等，若以为两个顶点画不同位置的三角形（与原三角形不重合），使所画的三角形与全等，这样的三角形最多可以画___________个． 15. 如图，点为外心，若，，则的大小为___________． 16. 如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，则的周长为___________（用、表示）． 17. 如图，在中，，将绕着点A旋转，旋转后点B落在上，点B的对应点为D，连接是的角平分线，则________． 18. 如图，边长为6等边中，是上的中线且，点在上，连接，在右侧作等边，连接，则的周长最小值为___________． 三、解答题（本大题共7题，第19题6分，第20题12分，21题7分，22题8分，23题8分，24题9分，25题8分，满分58分） 19. 计算： 20. 解下列关于的方程： （1）（用配方法）； （2）． 21. 已知关于的一元二次方程，其中分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程根． 22. 如图是小毕同学数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 年月日星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图1所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺．怎么办呢？ 解决方案：如图2，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则． 我有如下思考：以上方案依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？…… 任务： （1）根据上述操作过程，证明； （2）用无刻度的直尺和圆规在1图的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法），并说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）． 23. 已知：如图，已知中，．求证：． 24. 在学习等腰三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作理解 小明用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有___________；（填序号） （2）性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图1，四边形是邻等对补四边形，是它的一条对角线． 求证：平分； （3）拓展应用 如图2，在中，，分别在边上取点，使四边形是邻等对补四边形，则的大小为___________度． 25. 如图，在中，，，是的中点，是的中点，连接．将射线绕点逆时针旋转得到射线，过点作交射线于点． （1）①依题意补全图形； ②求证：； （2）连接，，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $