湖南省长沙市望城区第六中学2024-2025学年高一下学期7月期末数学试题

高一期末数学试卷 一、单选题 1．已知集合，则（　　） A． B． C． D． 2．“是“”的（　　） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，向量在向量上的投影向量与向量方向相反，且，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 4．坐标平面内点的坐标为，则点位于第（　　）象限. A．一 B．二 C．三 D．四 5．自然数的位数为（参考数据：）（　　） A．607 B．608 C．609 D．610 6．设为双曲线曲线的左、右焦点，过直线与第一象限相交于点，且直线倾斜角的余弦值为，的离心率为（　　） A．2 B． C．3 D． 7．已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆C的离心率为（　　） A． B． C． D． 8．设定义域为 的函数 满足 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．某篮球爱好者在一次篮球训练中，需进行五轮投篮，每轮投篮5次.统计各轮投进球的个数，获知其前四轮投中的个数分别为2，3，4，4，则第五轮结束后下列数字特征有可能发生的是（　　） A．平均数为3，极差是3 B．中位数是3，极差是3 C．平均数为3，方差是0.8 D．中位数是3，方差是0.56 10．已知函数，则下列结论正确的是（　　） A． B．在上单调递增 C．的值域为 D．的图象关于直线对称 11．函数，关于x的方程，则下列正确的是（　　） A．函数的值域为R B．函数的单调减区间为 C．当时，则方程有4个不相等的实数根 D．若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是 三、填空题 12．若函数 的零点在区间 ， 内，则 　 　． 13．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，，设该阳马的外接球半径为，内切球半径为，则　 　． 14．非零向量的夹角为，且满足，向量组由一个和两个排列而成，向量组由两个和一个排列而成，若所有可能值中的最小值为，则　 　． 四、解答题 15．已知向量，若与的夹角为． （1）求； （2）当为何值时，向量与向量互相垂直？ 16．求值： （1）； （2） 17．已知函数（，且）的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围. 18．在中，点的坐标为，边上的中线所在直线的方程为，直线的倾斜角为． （1）求点的坐标； （2）过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，求（为坐标原点）面积的最小值． 19．已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）若 ，且函数 只有一个零点，求 的最小值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】交集及其运算 【解析】【解答】解：因为 集合 ，所以 故答案为：D. 【分析】本题主要考查交集的运算，根据已知条件集合交集的运算即可求解. 2．【答案】A 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 3．【答案】D 【知识点】数量积表示两个向量的夹角 4．【答案】B 【知识点】三角函数值的符号 5．【答案】C 【知识点】对数的性质与运算法则 6．【答案】A 【知识点】解三角形 7．【答案】B 【知识点】向量在几何中的应用；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【解答】解：由椭圆定义可知，因为，所以，， 点满足，即，则， 又，， 即，又， 故，则，即， 即平分，又，故， 则，则， ， ， 由， 故， 即，即，又，故. 故答案为：B. 【分析】由、结合正弦定理可得，又，故，再结合余弦定理计算即可求得椭圆的离心率. 8．【答案】D 【知识点】函数单调性的性质 【解析】【解答】令 ，则 ， 故g（x）在R递增， 不等式 ， 即 ， 故 ， 故x＜2x−1，解得：x＞1，从而得出不等式 的解集为 。 故答案为：D. 【分析】令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数的单调性，从而求出 不等式 的解集 。 9．【答案】B,C,D 【知识点】极差、方差与标准差 【解析】【解答】2+3+4+4＝13， ①若平均数为3，则第五轮投中的个数为2， 所以极差为4﹣2＝2，方差为 ， 即A不符合题意，C符合题意； ②若中位数为3，则第五轮投中的个数为0或1或2或3， 当投中的个数为0时，极差为4，方差为 当投中的个数为1时，极差为3，方差为 ； 当投中的个数为2时，极差为2，方差为0.8； 当投中的个数为3时，极差为2，方差为 即B和D均正确． 故答案为：BCD． 【分析】 由题知，前四轮投中的个数总和为13，从选项看，分两大类讨论：①平均数为3，则第五轮投中2个，再根据极差和方差的计算公式求解后，即可判断选项A和C；②中位数为3，则第五轮投中的个数为0或1或2或3，然后分4种情况，逐一计算极差和方差，从而判断选项B和D． 10．【答案】A,C,D 【知识点】二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值 11．【答案】B,D 【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系 12．【答案】2 【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理 【解析】【解答】解：因为 ，所以 在 上单调递增，又 ， ， ，所以函数 在 上有唯一零点，所以 ； 故答案为：2 【分析】首先对函数求导，由的函数的性质即可得出函数的单调性，再由零点存在性定理计算出k的取值即可。 13．【答案】 【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体 【解析】【解答】四棱锥为阳马，侧棱底面， 且，，设该阳马的外接球半径为， 该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径， ， ， 侧棱底面，且底面为正方形， 内切球在侧面内的正视图是的内切圆， 内切球半径为， 故． 故答案为． 【分析】将阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，再由侧棱底面，且底面为正方形，可得内切球在侧面内的正视图是的内切圆，即可求解. 14．【答案】 【知识点】平面向量的数量积运算 15．【答案】（1）因为，且与的夹角为60°， 所以， 则； （2）若向量与向量互相垂直，则， 即，即，解得， 故当时，向量与向量互相垂直. 【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系 【解析】【分析】（1）由题意，利用向量的数量积公式以及向量的模长公式求解即可； （2）根据两向量垂直数量积为，列式计算即可. 16．【答案】（1）11 （2）0 【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；三角函数诱导公式二~六 17．【答案】（1）解：由图象可知函数经过点和， 所以解得 所以函数的解析式是 （2）解：由（1）知， 根据题意知，即在上有解， 设，则， 因为和在上都是单调递增函数， 所以在上是单调递增函数，故， 所以，实数的取值范围是. 【知识点】指数函数的图象与性质；指数函数的单调性与特殊点；指、对数不等式的解法 【解析】【分析】（1）由图可知，函数过点和，代入即可求，从而得函数的解析式； （2）由（1）得，问题转化为在有解，令，根据函数的单调性求的最小值，即可得实数m的取值范围. 18．【答案】（1）解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 又的坐标为，所以直线的方程为，即． 由与联立，解得，， 因为边上的中线经过点，所以点的坐标为． （2）解：依题意可设直线的方程为（，），则． 因为，，所以，则， 当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值为． 【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线的点斜式方程；直线的截距式方程；两条直线的交点坐标 【解析】【分析】（1）根据点A既在AC上，又在BC中线上，联立方程即可解得A坐标. （2）设出截距式，即得 轴的正半轴、轴的正半轴 上截距，利用基本不等式即可求得最小值. 19．【答案】（1）解：由题意可知 ， . 当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减. （2）解：解法一：由题意可知 ，且 . 令 ， 则 . 记 ，（*） 当 时， ，与 相矛盾，此时（*）式无解； 当 时， 无解； 当 时，（*）式的解为 ，此时 有唯一解 ； 当 时， ， 所以（*）式只有一个负根 ， 有唯一解，故 的最小值为1. 解法二：由题得 ， 令 ，则 . 再令 ，则 . 记 ， 函数 和函数 的图象如图所示： 当 ，即 时，显然不成立； 当 ，即 时，由 ，得方程 存在唯一解 ，且 . 此时 亦存在唯一解 . 综上， 的最小值为1. 【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系 【解析】【分析】（1）首先求出函数的定义域与导函数，讨论 的取值范围，分别求出函数的单调区间即可. （2）解法一：问题等价于 只有一个交点，令 ，可得 ，记 ，讨论 的取值，确定方程根的个数即可求解；解法二：问题等价于 只有一个交点，令 ，则 ，令 ，则 ，记 ，作出函数 和函数 的图像，利用图像的交点即可求解. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$