湖南省长沙市芙蓉高级中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

第 1页，共 4页 长沙市芙蓉高级中学 2025 年上学期高二期末考试数学试卷 本试题满分 150 分，考试时间：120 分钟 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求。） 1．已知集合� = � −1 < � < 1 , � = � 0 ≤ � < 2 ，则� ∩ � =（ ） A． � −1 < � < 2 B． � 0 ≤ � < 2 C． � 0 ≤ � < 1 D． � −1 < � < 1 2．已知� + � = 2，� > 0，� > 0，则1 � + 4 � 的最小值为（ ） A．9 B．9 2 C．4 D．6 3．若函数� � = �2 −�− 1 ��2−2�−3是幂函数，则实数�的值是（ ） A．1或−2 B．−1 C．2 D．−1或 2 4．函数� = 2�2 − 2� − 1的零点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 5．函数� = 3cos 2 5 � − π 6 的最小正周期是（ ） A．π B．2π C．4π D．5π 6．已知复数� = 2025 1−i ,i为虚数单位，�为 z的共轭复数，则在复平面内，�对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．小明参加一场弓箭比赛，需要连续射击三个靶子，每次射箭结果互不影响，已知他射中 这三个靶子的概率分别为 x，x，1 3 ，若他恰好射中两个靶子的概率是 1 6 ，那么他三个靶子都没 射中的概率是（ ） A．1 3 B．2 5 C．3 8 D．5 8 8．若函数� � = e� − ��的图象与直线 2� − � = 0 相切，则� =（ ） A．e − 1 B．e − 2 C．e D．2e 第 2页，共 4页 二、多项选择题（共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分） 9．已知向量� = �, 1,3 ，点� 1,0, − 3 ，� 2,3,6 ，则下列选项正确的是（ ） A． �� = 3 3 B．|�� | = 91 C．若� ⊥ ��，则� =− 30 D．若� //��，则� = 1 3 10．下列说法正确的是（ ） A．已知随机变量�1, �2, ⋯, �10的均值为 6，方差为 2，则随机变量 3�1 + 1,3�2 + 1,⋯, 3�10 + 1的均值和方差分别为 19，18 B．一组数�1, �2, ⋯, ��(� ∈ �∗)的平均数为�，若再插入一个数�，则这� + 1 个数的方差 变小 C．若随机变量�~�(5, 1 3 )，则�(� = 2) = 8 243 D．若随机变量�~�(4, �2)，且�(� ≥ 2) = 0.8，则�(� > 6) = 0.2 11．已知直线 4� + 3� − 12 = 0 与 x轴、y轴交于�, �两点，点 P为圆�: (� − 3)2 + (� − 4)2 = 4上的动点，则（ ） A．直线��与圆 C相离 B．△ ��� 的面积为 12 C．当∠���最小时，|��| = 5 D．点 P到直线��距离的最大值为32 5 三、填空题（共 3小题，每小题 5 分，共 15 分。） 12．函数� = log2 3 − �的定义域为 . 13．二项式 �2 − 1 � 8 的展开式中�的系数是 ． 14．某小吃店的日盈利 y（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据： x/℃ −2 −1 0 1 2 y/百元 5 4 m 2 1 由表中数据可得回归方程� =− � + 2.8．则 m值为 ． 第 3页，共 4页 四、解答题（共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知�2 − �2 = �� − �2． (1)求 B； (2)若� = 5，cos� = 2 10 ，求 c． 16．如图，在四棱锥� − ����中，�� ⊥ ��，�� ⊥ ��. (1)证明：�� ⊥平面����； (2)若�� = 6，四边形����的面积等于 10，求四棱锥� − ����的体积. 17．某市为了改善交通状况，实行“小红帽”志愿者服务，协助交警参与交通疏导．现对某单 位参与志愿服务次数进行统计，随机抽取 40名职工作为样本，得到这 40名职工参加“小红 帽”志愿者服务的次数．根据所得数据，按 0,5 , 5,10 , 10,15 , 15,20 , 20,25 , 25,30 分成 六组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中 a的值； (2)若该单位有职工 200人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于 15次的总人数； (3)试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数． 第 4页，共 4页 18．已知等差数列 �� 的公差是-2，等比数列 �� 的公比是 2，若�3 = 2, �1�1 = 3. (1)求 �� 和 �� 的通项公式； (2)求数列 �� + �� 的前�项和��. 19．已知椭圆�: � 2 �2 + � 2 �2 = 1(� > � > 0)的离心率为 2 2 ，长轴长为 4． (1)求 C的方程； (2)过点(0, − 2)的直线 l与 C交于�, �两点，�为坐标原点，若△���的面积为 2，求|��|．