第二章 第10节 函数与方程（知识点梳理+限时挑战）-【精准备考】2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）

第二章 函数 第10节　函数与方程 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 函数的零点★★★☆☆ 考点2 函数零点存在定理★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 考点1 函数的零点 (1)概念:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系: 考点2 函数零点存在定理 (1)条件:①函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线;②f(a)·f(b)<0. (2)结论:函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解. 【名师点拨】 1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)=0的实根. 2.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件. 3.周期函数如果有零点,则必有无穷多个零点. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数f(x)=2x的零点为0.(　　) (2)图象连续的函数y=f(x)(x∈D)在区间(a,b)⊆D内有零点,则f(a)·f(b)<0.(　　) (3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.(　　) 【答案】(1)√　(2)×　(3)√ 【解析】(2)f(a)·f(b)<0是连续函数y=f(x)在(a,b)内有零点的充分不必要条件,故(2)错误. 2.(苏教必修一P253T8改编)函数f(x)=的零点个数为(　　) A.3 B.2 C.7 D.0 【答案】B 【解析】由或 解得x=-2或x=e, 故f(x)有2个零点. 3.(北师大必修一P132T3(2)改编)函数f(x)=log2x+x-2的零点所在的区间为(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 【答案】B 【解析】函数f(x)在(0,+∞)上单调递增, 且f(1)=-1,f(2)=1,则f(1)f(2)<0, 故f(x)的零点所在的区间为(1,2). 4.(人教A必修一P156T13改编)若函数f(x)=2x+a在(-1,1)内存在一个零点,则a的取值范围是　　　　.  【答案】(-2,2) 【解析】由题意得f(-1)f(1)=(-2+a)(2+a)<0,解得 -2<a<2. 【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　函数零点所在区间的判断 【典例】1.(2025·东北师大附中模拟)方程log3x+x=2的根所在区间是(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 【答案】B 【解析】设f(x)=log3x+x-2, 则方程log3x+x=2的根所在的区间即为f(x)零点所在的区间. ∵y=log3x与y=x-2在(0,+∞)上均单调递增, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增. 对于A,∵f(1)=log31+1-2=-1, ∴当x∈(0,1)时,f(x)<-1,A错误; 对于B,∵f(1)=-1<0, f(2)=log32+2-2=log32>0, 即f(1)f(2)<0, ∴∃x0∈(1,2),使得f(x0)=0,B正确; 对于C,D,当x>2时,f(x)>f(2)>0, ∴f(x)在区间(2,3)和(3,4)上无零点,C错误,D错误. 【典例】2.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间(　　) A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 【答案】A 【解析】函数y=f(x)是图象开口向上的二次函数,最多有两个零点, 由于a<b<c,则a-b<0,a-c<0,b-c<0, 因此f(a)=(a-b)(a-c)>0, f(b)=(b-c)(b-a)<0, f(c)=(c-a)(c-b)>0. 所以f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0, 即f(x)在区间(a,b)和区间(b,c)内各有一个零点. 【思维建模】确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 【变式训练】1.根据表格中的数据可以判定方程ln x-x+2=0的一个根所在的区间为(　　) x 1 2 3 4 5 ln x 0 0.693 1.099 1.386 1.609 x-2 -1 0 1 2 3 A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 【答案】C 【解析】设f(x)=ln x-x+2=ln x-(x-2),易知函数f(x)在(1,+∞)上的图象连续, 由表格数据得f(1)>0,f(2)>0,f(3)=ln 3-(3-2)=1.099-1=0.099>0,f(4)=ln 4-2=1.386-2<0,f(5)<0,则f(3)·f(4)<0, 即在区间(3,4)上,函数f(x)存在一个零点, 即方程ln x-x+2=0的一个根所在的区间为(3,4). 【变式训练】2.(2025·南昌调研)函数f(x)是函数y=3x的反函数,函数g(x)=f(x)+2x-6的零点为a,且a∈(n,n+1)(n∈N),则n=　　　　.  【答案】2 【解析】由题可知,f(x)=log3x, 则g(x)=log3x+2x-6,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增. 又g(2)=log32+22-6=log32-2<0,g(3)=log33+23-6=3>0, 所以a∈(2,3),即n=2. 考点二　函数零点个数的判断 【典例】3.函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【解析】法一　∵f(0)f(1)=(-1)×1=-1<0,且函数在定义域上单调递增且连续, ∴函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点. 法二　设y1=2x,y2=2-x3, 在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示, 在区间(0,1)内,两图象的交点个数即为f(x)的零点个数. 故函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点. 【典例】4.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,则方程f(x)=|log9x|的实根的个数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】由奇函数可知f(2-x)=f(x)=-f(-x), 即f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 则f(x)是周期为4的周期函数, 又由f(2-x)=f(x),得f(x)的图象关于直线x=1对称,作出函数y=|log9x|与函数y=f(x)的大致图象如图所示, 结合图象可知,共有5个交点,即方程实根的个数为5. 【思维建模】求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法:令f(x)=0,方程有多少个不同的实数根,则f(x)有多少个零点. (2)定理法:利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等. (3)图象法:一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数. 【变式训练】3.(2025·海南质检)函数y=ex+x2+2x-1的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】函数y=ex+x2+2x-1的零点个数即函数f(x)=ex与g(x)=-x2-2x+1的图象的交点个数, 在同一直角坐标系中,分别作出f(x)=ex与g(x)=-x2-2x+1的图象,如图所示, 由图可知,两图象有2个交点,故原函数有2个零点,故选C. 【变式训练】4.函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,当0≤x<2时,f(x)=x2-x,则函数y=f(x)的图象在区间[-3,3]上与x轴的交点个数为(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】B 【解析】令f(x)=x2-x=0, 即x=0或x=1,所以f(0)=0,f(1)=0, 因为函数的最小正周期为2, 所以f(2)=0,f(3)=0,f(-2)=0,f(-1)=0,f(-3)=0, 所以函数y=f(x)的图象在区间[-3,3]上与x轴的交点个数为7. 考点三　函数零点的应用 角度1　根据零点个数求参数范围 【典例】5.(2025·北京朝阳区质检)设函数f(x)=x+(m∈R),则“-3<m≤0”是“f(x)在区间(-1,2)内有且仅有一个零点”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】法一　由函数f(x)=x+(m∈R)的定义域为(-1,2), 显然m=0时,函数在区间(-1,2)内有且仅有一个零点. 令f(x)=0,可得x+=0, 即x2-2x+m=0,且曲线y=x2-2x+m是开口向上的抛物线, 其图象关于直线x=1对称. 设g(x)=x2-2x+m,x∈(-1,2), 要使得函数y=g(x)在区间(-1,2)上只有一个零点, 则满足Δ=(-2)2-4m=0或 解得m=1或-3<m<0, 即函数y=f(x)在区间(-1,2)上只有一个零点时,m∈(-3,0]∪{1}, 所以“-3<m≤0”是“f(x)在区间(-1,2)内有且仅有一个零点”的充分不必要条件. 法二　令f(x)=0,则x+=0, 即m=-x(x-2),x∈(-1,2). f(x)在(-1,2)内有且仅有一个零点, 即直线y=m与函数y=-x(x-2),x∈(-1,2)的图象有且仅有一个交点. 画出函数y=-x(x-2),x∈(-1,2)的大致图象,如图所示. 由图象可知,-3<m≤0或m=1, 所以“-3<m≤0”是“f(x)在区间(-1,2)内有且仅有一个零点”的充分不必要条件.故选A. 角度2　根据零点范围求参数范围 【典例】6.已知函数f(x)=3x-.若存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.(-∞,0) D. 【答案】B 【解析】由f(x)=3x-=0,可得a=3x-, 令g(x)=3x-,其中x∈(-∞,-1), 由于存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0, 则实数a的取值范围即为函数g(x)在(-∞,-1)上的值域. 由于函数y=3x,y=-在区间(-∞,-1)上均单调递增, 所以函数g(x)在(-∞,-1)上单调递增. 当x∈(-∞,-1)时, g(x)=3x-<g(-1)=3-1+1=, 又g(x)=3x->0, 所以函数g(x)在(-∞,-1)上的值域为. 因此,实数a的取值范围是. 【思维建模】已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围. (2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数值域的问题加以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解. 【变式训练】5.(2025·榆林模拟)已知函数f(x)=(x2-4x+m)(-m-1)恰有3个零点,则整数m的取值个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】令f(x)=(x2-4x+m)(-m-1)=0, 得m=-x2+4x或m=-1. 作出g(x)=-x2+4x,h(x)=-1的图象,如图所示. 这两个函数图象的交点坐标为(0,0),(3,3), 因为g(x)max=4,h(x)>-1,所以由图可知m的取值范围是(-1,0)∪(0,3)∪(3,4). 故整数m=1或2,即整数m的取值个数为2. 【变式训练】6.函数f(x)=2alog2x+a·4x+3在区间上有零点,则实数a的取值范围是(　　) A.a<- B.a<- C.-<a<- D.a<- 【答案】D 【解析】当a=0时,f(x)=3,不符合题意; 当a>0时,由于函数y=2alog2x,y=a·4x+3在上均单调递增, 此时函数f(x)在上单调递增; 当a<0时,由于函数y=2alog2x,y=a·4x+3在上均单调递减, 此时函数f(x)在上单调递减. 因为函数f(x)在区间上有零点, 所以f f(1)<0, 即3(4a+3)<0,解得a<-. 【知识拓展】嵌套函数的零点问题 函数的零点是命题的热点,常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点,通常先“换元解套”,设中间函数为t,通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数,借助函数的图象、性质求解. 一、判断嵌套函数的零点个数 【典例】1.(2025·漳州质检)已知函数f(x)=则函数g(x)=f(f(x)-1)的零点个数为(　　) A.3 B.5 C.6 D.8 【答案】B 【解析】依题意,函数g(x)=f(f(x)-1)零点的个数,即为方程f(f(x)-1)=0根的个数, 令f(x)-1=t,则f(t)=0, 当t>0时,ln t-=0, 令h(t)=ln t-,t>0, 因为函数y=ln t,y=-均在(0,+∞)上单调递增, 所以函数h(t)在(0,+∞)上单调递增, 又h(1)=-1<0,h(e)=1->0, 则存在t1∈(1,e),使得h(t1)=0. 当t≤0时,令-|t+1|+1=0, 解得t=0或t=-2, 作出函数f(x)= 的大致图象,如图. 又f(x)-1=t, 则f(x)=t+1. 当t=0时,f(x)=1, 由y=f(x)的图象知,方程f(x)=1有2个根; 当t=-2时,f(x)=-1,由y=f(x)的图象知,方程f(x)=-1有2个根; 当t=t1,t1∈(1,e)时,f(x)=t1+1∈(2,e+1), 由y=f(x)的图象知,方程f(x)=t1+1有1个根. 综上所述,函数g(x)=f(f(x)-1)的零点个数为5. 二、由嵌套函数零点的情况求参数 【典例】2.(2025·郑州模拟)已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+(m-4)f(x)+2(2-m)=0有五个不同的实数根,则实数m的取值范围是(　　) A.[1,3) B.(0,2) C.[1,2) D.(0,1) 【答案】C 【解析】设h(x)=x-,x>0, 则h'(x)=1+>0, 则h(x)在(0,+∞)上单调递增,h(1)=0, 作出f(x)的大致图象如图所示. 令t=f(x),则t2+(m-4)t+2(2-m)=0, 则t1=2,t2=2-m. 由图可知,直线y=2与f(x)的图象有2个交点, 所以直线y=2-m与f(x)的图象必须有3个交点, 则0<2-m≤1,解得1≤m<2. 【变式训练】1.已知函数f(x)=其中e为自然对数的底数,则函数g(x)=3[f(x)]2-10f(x)+3的零点个数为(　　) A.4 B.5 C.6 D.3 【答案】A 【解析】当x≥0时,f(x)=4x3-6x2+1的导数为f'(x)=12x2-12x, 当0<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 可得f(x)在x=1处取得最小值,最小值为-1,且f(0)=1, 作出函数f(x)的图象, g(x)=3[f(x)]2-10f(x)+3, 可令g(t)=0,t=f(x), 可得3t2-10t+3=0, 解得t=3或, 当t=,即f(x)=时,g(x)有三个零点; 当t=3时,可得f(x)=3有一个实根, 即g(x)有一个零点, 综上,g(x)共有四个零点. 【变式训练】2.函数f(x)=若函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是　　　　.  【答案】[-1,+∞) 【解析】设t=f(x),令f(f(x))-a=0,则a=f(t).在同一坐标系内作y=a,y=f(t)的图象(如图). 当a≥-1时,y=a与y=f(t)的图象有两个交点. 设交点的横坐标为t1,t2(不妨设t2>t1), 则t1<-1,t2≥-1. 当t1<-1时,t1=f(x)有一解; 当t2≥-1时,t2=f(x)有两解. 综上,当a≥-1时,函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.函数f(x)=的零点的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】当x≤0时,令x2+2x-3=0, 则(x-1)(x+3)=0,解得x=1(舍去)或x=-3. 当x>0时,令ex-2=0,解得x=ln 2, 所以f(x)的零点个数为2. 2.(2025·河北部分重点高中模拟)已知函数f(x)=3x+x-6有一个零点x=x0,则x0∈(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题知f(x)在R上单调递增, ∵f=-<0,f(1)=-2<0,f=-, 又33->0,∴f>0, 由零点存在定理可知,在上存在x0使得f(x0)=0. 3.(2025·衡阳联考)f(x)=ex-x-2必存在零点的区间是(　　) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 【答案】C 【解析】令f(x)=ex-x-2=0,可得ex=x+2, 可知f(x)的零点即为y=ex与y=x+2图象交点的横坐标, 在同一坐标系内作出y=ex与y=x+2的大致图象,如图所示. 又f(-1)=-1<0,f(0)=-1<0,f(1)=e-3<0,f(2)=e2-4>0,f(3)=e3-5>0, 可知y=ex与y=x+2的图象在(1,2)内有交点,在(-1,0),(0,1)和(2,3)内均无交点, 所以f(x)在(1,2)内必存在零点. 4.(2025·青岛模拟)已知三个函数f(x)=x3+x-3,g(x)=22x+x-2,h(x)=ln x+x-5的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系为(　　) A.c>b>a B.a>c>b C.a>b>c D.c>a>b 【答案】D 【解析】因为y=x3,y=22x在R上为增函数, y=ln x在(0,+∞)上为增函数,所以由题知函数f(x),g(x),h(x)在各自定义域上都为增函数. 又f(1)=-1<0,f(2)=7>0,所以a∈(1,2); g(0)=-1<0,g(1)=3>0, 所以b∈(0,1);h(3)=ln 3-2<0,h(4)=ln 4-1>0, 所以c∈(3,4),所以c>a>b. 5.(2025·昆明诊断)已知函数f(x)=g(x)=f(x)-x-a.若g(x)有2个零点,则实数a的取值范围是(　　) A.[-1,0) B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.[1,+∞) 【答案】D 【解析】x>0时,f(x)=-x在(0,+∞)上单调递减,f(1)=0. 令g(x)=0可得f(x)=x+a,作出函数y=f(x)与函数y=x+a的大致图象如图所示. 由图可知,当a≥1时,函数y=f(x)与函数y=x+a的图象有2个交点,此时,函数y=g(x)有2个零点. 因此,实数a的取值范围是[1,+∞). 6.(2025·绍兴调研)已知p:函数f(x)=2x3+x-a在(1,2]内有零点,则p成立的一个必要不充分条件是(　　) A.3≤a<18 B.3<a<18 C.a<18 D.a≥3 【答案】D 【解析】函数f(x)=2x3+x-a在R上单调递增, 由函数f(x)=2x3+x-a在(1,2]内有零点, 得解得3<a≤18, 即p成立的充要条件是3<a≤18, 结合选项知,p成立的一个必要不充分条件是a≥3. 7.(2025·宿迁调研)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1,b∈R)的图象如图所示,则函数g(x)=ln x-bx+a的零点所在区间为(　　) A. B. C. D.(1,2) 【答案】B 【解析】由题图得,点(-1,0),(0,-1)在函数f(x)的图象上, 所以解得 所以g(x)=ln x+2x+, 其定义域为(0,+∞). 因为y=ln x,y=2x+均在(0,+∞)上单调递增, 所以g(x)=ln x+2x+在(0,+∞)上单调递增. g=ln++=-<0, g=ln +1+=-ln 2>0, 故gg<0, 又g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以函数g(x)只有1个零点且零点所在区间为. 8.(2025·广州调研)已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)=且f(x+2)=f(x),g(x)=,则方程f(x)=g(x)在区间[-5,1]上的所有实根之和为(　　) A.-8 B.-7 C.-6 D.0 【答案】B 【解析】由题意知g(x)===2+,其图象关于点(-2,2)对称. 函数f(x)的周期为2,则函数f(x),g(x)的部分图象如图所示, 由图可知函数f(x),g(x)在区间[-5,1]上的交点为A,B,C,易知点B的横坐标为-3, 若设C的横坐标为t(0<t<1), 则点A的横坐标为-4-t, 所以方程f(x)=g(x)在区间[-5,1]上的所有实数根之和为-3+(-4-t)+t=-7. 二、多选题 9.(2025·徐州质检)已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,它的部分函数值如表所示,则(　　) x 1 2 3 4 5 6 y 202.301 52.013 -10.581 3.273 -10.733 -156.314 A.f(x)在区间(2,3)上不一定单调 B.f(x)在区间(5,6)内可能存在零点 C.f(x)在区间(5,6)内一定不存在零点 D.f(x)至少有3个零点 【答案】ABD 【解析】由题表可知f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0, 所以f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0, 因为函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,所以函数f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)均存在零点, 即f(x)至少有3个零点,故D正确; 对于A,由于只知道f(2),f(3)的函数值, 故无法判断f(x)在区间(2,3)上的单调性,故A正确; 对于B,C,虽然f(5)<0,f(6)<0,但是函数f(x)在(5,6)内的取值情况未知, 所以函数f(x)在(5,6)内可能存在零点,故B正确,C错误.故选ABD. 10.下列函数在区间(-1,3)内存在唯一零点的是(　　) A.f(x)=x2-2x-8 B.f(x)=-2 C.f(x)=2x-1-1 D.f(x)=1-ln(x+2) 【答案】BCD 【解析】对于A,∵x2-2x-8=0的解为x=-2,x=4, ∴f(x)在区间(-1,3)内没有零点,故A错误; 对于B,∵f(x)=-2在[-1,+∞)上为增函数, 且f(-1)=-2<0,f(3)=8-2=6>0, 即f(-1)f(3)<0, ∴f(x)在区间(-1,3)内存在唯一零点,故B正确; 对于C,∵f(x)=-1在R上为增函数, 且f(-1)=-<0,f(3)=3>0, 即f(-1)f(3)<0, ∴f(x)在区间(-1,3)内存在唯一零点,故C正确; ∵f(x)=1-ln(x+2)在(-2,+∞)上为减函数,且f(-1)=1>0,f(3)=1-ln 5<0, 即f(-1)f(3)<0, ∴f(x)在区间(-1,3)内存在唯一零点,故D正确. 11.已知函数f(x)=|x2+3x+1|-a|x|,则下列结论正确的是(　　) A.若f(x)没有零点,则a∈(-∞,0) B.若f(x)恰有2个零点,则a∈(1,5) C.若f(x)恰有3个零点,则a=1或a=5 D.若f(x)恰有4个零点,则a∈(5,+∞) 【答案】AC 【解析】当x=0时,f(0)=1≠0, 所以x=0不是函数f(x)的零点; 当x≠0时,由f(x)=0, 即|x2+3x+1|-a|x|=0, 得a=,则f(x)的零点个数等于直线y=a与函数y=的图象的交点个数. 当x>0时,x+≥2=2, 当且仅当x=,即x=1时,等号成立,所以当x>0时,y=≥5; 当x<0时,x+=-≤-2=-2, 当且仅当-x=,即x=-1时,等号成立, 所以当x<0时,y=x++3≤1, 作出函数y=的大致图象(如图). 由图可知,若f(x)没有零点,则a∈(-∞,0),故A正确; 若f(x)恰有2个零点,则a∈{0}∪(1,5),故B不正确; 若f(x)恰有3个零点,则a=1或a=5,故C正确; 若f(x)恰有4个零点,则a∈(0,1)∪(5,+∞),故D不正确. 三、填空题 12.函数f(x)=·cos x的零点个数为　　　　.  【答案】6 【解析】令36-x2≥0, 解得-6≤x≤6, ∴f(x)的定义域为[-6,6]. 令f(x)=0得36-x2=0或cos x=0, 由36-x2=0得x=±6, 由cos x=0得x=+kπ,k∈Z, 又x∈[-6,6], ∴x为-,-,,. 故f(x)共有6个零点. 13.(2025·成都质检)已知定义域为R的偶函数f(x)的图象是连续不断的曲线,且f(x+2)+f(x)=f(1),f(x)在[0,2]上单调递增,则f(x)在区间[-100,100]上的零点个数为　　　　.  【答案】100 【解析】令x=-1,得f(1)+f(-1)=f(1),即f(-1)=0, 因为f(x)为偶函数,所以f(1)=0, 则f(x+2)+f(x)=f(1)=0, 则f(x+2)=-f(x), 所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 所以f(x)是以4为周期的函数. 因为f(x)在[0,2]上单调递增, 则f(x)在[-2,0]上单调递减, 所以f(x)在一个周期内有两个零点, 故f(x)在区间[-100,100]上的零点个数为50×2=100. 14.已知函数f(x)=若方程f(x)=a有三个不同的实数根x1,x2,x3,且x1<x2<x3,则的取值范围是　　　　.  【答案】(-1,0] 【解析】作出函数y=f(x)=的图象如图所示. 由x+=3可得x=, 由-|x|+3=2可得x=-1(正值舍去), 则-1<x1≤0,≤x2<1,1<x3≤. 由3+x1=x2+=x3+=a, 可得x3=,x1=x2+-3, 可得==x2+-3=a-3, 由图可得2<a≤3,则-1<a-3≤0, 故所求取值范围为(-1,0]. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 函数 第10节　函数与方程 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 函数的零点★★★☆☆ 考点2 函数零点存在定理★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 考点1 函数的零点 (1)概念:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系: 考点2 函数零点存在定理 (1)条件:①函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线;②f(a)·f(b)<0. (2)结论:函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解. 【名师点拨】 1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)=0的实根. 2.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件. 3.周期函数如果有零点,则必有无穷多个零点. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数f(x)=2x的零点为0.(　　) (2)图象连续的函数y=f(x)(x∈D)在区间(a,b)⊆D内有零点,则f(a)·f(b)<0.(　　) (3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.(　　) 2.(苏教必修一P253T8改编)函数f(x)=的零点个数为(　　) A.3 B.2 C.7 D.0 3.(北师大必修一P132T3(2)改编)函数f(x)=log2x+x-2的零点所在的区间为(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 4.(人教A必修一P156T13改编)若函数f(x)=2x+a在(-1,1)内存在一个零点,则a的取值范围是　　　　.  【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　函数零点所在区间的判断 【典例】1.(2025·东北师大附中模拟)方程log3x+x=2的根所在区间是(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 【典例】2.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间(　　) A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 【变式训练】1.根据表格中的数据可以判定方程ln x-x+2=0的一个根所在的区间为(　　) x 1 2 3 4 5 ln x 0 0.693 1.099 1.386 1.609 x-2 -1 0 1 2 3 A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 【变式训练】2.(2025·南昌调研)函数f(x)是函数y=3x的反函数,函数g(x)=f(x)+2x-6的零点为a,且a∈(n,n+1)(n∈N),则n=　　　　.  考点二　函数零点个数的判断 【典例】3.函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【典例】4.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,则方程f(x)=|log9x|的实根的个数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 【变式训练】3.(2025·海南质检)函数y=ex+x2+2x-1的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【变式训练】4.函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,当0≤x<2时,f(x)=x2-x,则函数y=f(x)的图象在区间[-3,3]上与x轴的交点个数为(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 考点三　函数零点的应用 角度1　根据零点个数求参数范围 【典例】5.(2025·北京朝阳区质检)设函数f(x)=x+(m∈R),则“-3<m≤0”是“f(x)在区间(-1,2)内有且仅有一个零点”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 角度2　根据零点范围求参数范围 【典例】6.已知函数f(x)=3x-.若存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.(-∞,0) D. 【变式训练】5.(2025·榆林模拟)已知函数f(x)=(x2-4x+m)(-m-1)恰有3个零点,则整数m的取值个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【变式训练】6.函数f(x)=2alog2x+a·4x+3在区间上有零点,则实数a的取值范围是(　　) A.a<- B.a<- C.-<a<- D.a<- 【知识拓展】嵌套函数的零点问题 函数的零点是命题的热点,常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点,通常先“换元解套”,设中间函数为t,通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数,借助函数的图象、性质求解. 一、判断嵌套函数的零点个数 【典例】1.(2025·漳州质检)已知函数f(x)=则函数g(x)=f(f(x)-1)的零点个数为(　　) A.3 B.5 C.6 D.8 二、由嵌套函数零点的情况求参数 【典例】2.(2025·郑州模拟)已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+(m-4)f(x)+2(2-m)=0有五个不同的实数根,则实数m的取值范围是(　　) A.[1,3) B.(0,2) C.[1,2) D.(0,1) 【变式训练】1.已知函数f(x)=其中e为自然对数的底数,则函数g(x)=3[f(x)]2-10f(x)+3的零点个数为(　　) A.4 B.5 C.6 D.3 【变式训练】2.函数f(x)=若函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是　　　　.  【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.函数f(x)=的零点的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 2.(2025·河北部分重点高中模拟)已知函数f(x)=3x+x-6有一个零点x=x0,则x0∈(　　) A. B. C. D. 3.(2025·衡阳联考)f(x)=ex-x-2必存在零点的区间是(　　) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 4.(2025·青岛模拟)已知三个函数f(x)=x3+x-3,g(x)=22x+x-2,h(x)=ln x+x-5的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系为(　　) A.c>b>a B.a>c>b C.a>b>c D.c>a>b 5.(2025·昆明诊断)已知函数f(x)=g(x)=f(x)-x-a.若g(x)有2个零点,则实数a的取值范围是(　　) A.[-1,0) B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.[1,+∞) 6.(2025·绍兴调研)已知p:函数f(x)=2x3+x-a在(1,2]内有零点,则p成立的一个必要不充分条件是(　　) A.3≤a<18 B.3<a<18 C.a<18 D.a≥3 7.(2025·宿迁调研)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1,b∈R)的图象如图所示,则函数g(x)=ln x-bx+a的零点所在区间为(　　) A. B. C. D.(1,2) 8.(2025·广州调研)已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)=且f(x+2)=f(x),g(x)=,则方程f(x)=g(x)在区间[-5,1]上的所有实根之和为(　　) A.-8 B.-7 C.-6 D.0 二、多选题 9.(2025·徐州质检)已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,它的部分函数值如表所示,则(　　) x 1 2 3 4 5 6 y 202.301 52.013 -10.581 3.273 -10.733 -156.314 A.f(x)在区间(2,3)上不一定单调 B.f(x)在区间(5,6)内可能存在零点 C.f(x)在区间(5,6)内一定不存在零点 D.f(x)至少有3个零点 10.下列函数在区间(-1,3)内存在唯一零点的是(　　) A.f(x)=x2-2x-8 B.f(x)=-2 C.f(x)=2x-1-1 D.f(x)=1-ln(x+2) 11.已知函数f(x)=|x2+3x+1|-a|x|,则下列结论正确的是(　　) A.若f(x)没有零点,则a∈(-∞,0) B.若f(x)恰有2个零点,则a∈(1,5) C.若f(x)恰有3个零点,则a=1或a=5 D.若f(x)恰有4个零点,则a∈(5,+∞) 三、填空题 12.函数f(x)=·cos x的零点个数为　　　　.  13.(2025·成都质检)已知定义域为R的偶函数f(x)的图象是连续不断的曲线,且f(x+2)+f(x)=f(1),f(x)在[0,2]上单调递增,则f(x)在区间[-100,100]上的零点个数为　　　　.  14.已知函数f(x)=若方程f(x)=a有三个不同的实数根x1,x2,x3,且x1<x2<x3,则的取值范围是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$