第八章 第4节 圆与圆的位置关系　圆的综合应用（知识点梳理+限时挑战）讲义-【精准备考】2026年高考数学一轮复习（新高考通用）

第八章　平面解析几何 第4节 圆与圆的位置关系　圆的综合应用 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 知识点 圆与圆的位置关系★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时训练挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 知识点 圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)． 　方法 位置关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 公切线 条数 外离 d>r1＋r2 无解 4 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 3 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解 2 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 1 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 0 【名师点拨】 1．当两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，相交(切)时，两圆方程相减可得公共弦(内公切线)所在的直线方程．(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0； 两圆相交时，两圆连心线垂直平分公共弦；两圆相切时，两圆连心线必过切点． 2．(1)直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半l满足关系式r2＝d2＋2. (2)过圆内一点的最长的弦是直径，最短的是垂直这点与圆心连线的弦． 【随堂训练】 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　) (2)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(　　) (3)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(　　) (4)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．(　　) 题组二　走进教材 2．(选择性必修1P98T3)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________. 3．(选择性必修1P98T10)经过点M(3，－1)，且与圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0相切于点N(1,2)的圆的方程为____________. 题组三　走向高考 4．(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线l：x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC的面积为”的m的一个值________. 5．(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A．2　　　 B．3 C．4　　　 D．2 【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　 考向一 圆与圆的位置关系——自主练透 1．(2024·广东广州二模)若直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝与圆O(　　) A．外切 　 B．相交 C．内切 D．没有公共点 2．(多选题)(2024·湖北A9高中联盟期中联考)已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，下列说法正确的是(　　) A．两圆有两条公切线 B．两圆的公共弦所在的直线方程为y＝2x＋2 C．点E在圆O上，点F在圆M上，|EF|的最大值为＋3 D．圆O上有2个点到直线x＋y＋2＝0的距离为 3．(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________________. 【变式训练】1.本例2中两圆的公共弦长为________. 【变式训练】2.(多选题)(2024·广东六校联考)已知圆O：x2＋y2＝4和圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4，P，Q分别是圆O，圆C上的动点，则下列说法错误的是(　　) A．圆O与圆C相交 B．|PQ|的取值范围是[3－4,3＋4] C．x－y＝2是圆O与圆C的一条公切线 D．过点Q作圆O的两条切线，切点分别为M，N，则存在点Q，使得∠MQN＝90° 考向二 弦长、弦的中点问题——多维探究 角度1　弦长问题 1．(2025·河南郑州阶段测试)已知圆C的圆心是直线x＋y＋1＝0与直线x－y－1＝0的交点，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为(　　) A．x2＋(y＋1)2＝18 B．x2＋(y－1)2＝3 C．(x－1)2＋y2＝18 D．(x－1)2＋y2＝3 2．(2024·江苏南京六校联合调研)已知直线l：λx－y－λ＋1＝0和圆C：x2＋y2－4y＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A．2 B． C．4 D．2 [引申]本例中|AB|最小时AB的方程为________. 角度2　弦的中点问题 3.(2024·湖北云学新高考联盟联考)若点A、B在圆C1：(x－2)2＋y2＝3上运动，|AB|＝2，P为AB的中点．Q点在圆C2：(x＋2)2＋y2＝1上运动，则|PQ|的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】 1．(角度1)(2025·青海名校联盟联考)已知直线l：x＋y－2＝0与圆M：x2＋y2－4x－4y＋a＝0交于A，B两点，且|AB|＝4，则a＝(　　) A．4 B．－4 C．2 D．－2 2．(角度2)(2024·山东临沂联考)已知A，B为圆O：x2＋y2＝1上的两点，|AB|＝，M为AB的中点，则M到直线l：x－y＋2＝0距离的最小值为________. 考向三 与圆有关的轨迹问题——师生共研 1．(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　) A．＋＝1(y>0) B．＋＝1(y>0) C．＋＝1(y>0) D．＋＝1(y>0) 2．已知点P(4,0)，A，B是圆x2＋y2＝36上两动点，且满足∠APB＝90°，则矩形APBQ顶点Q的轨迹方程为____________. 【变式训练】 1．(2024·青海西宁期中)已知A(－1,0)，B(1,0)，C为平面内的一个动点，且满足|AC|＝|BC|，则点C的轨迹方程为________________. 2．如图所示，已知圆O：x2＋y2＝4与y轴的正方向交于A点，点B在直线y＝2上运动，过点B作圆O的切线，切点为C，则AC的中点P的轨迹方程为____________；△ABC的垂心H的轨迹方程为____________. 考向四 圆的综合应用——师生共研 1.(2024·辽宁辽东南适应性联考)已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线3x＋4y－8＝0相切． (1)求圆C的标准方程； (2)直线l：y＝kx＋2与圆C交于A，B两点． ①求k的取值范围； ②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值． 【知识拓展】 “隐形圆”问题 1．(2024·云南联考)在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，若直线l：y＝kx＋3上存在点M，使得|MA|＝2|MO|，则k的取值范围为(　　) A．[－，] B．(－∞，－]∪[，＋∞) C． D．∪ 2．(2025·江苏南京外国语学校调研)已知M是圆C：x2＋y2＝1上一个动点，且直线l1：mx－ny－3m＋n＝0与直线l2：nx＋my－3m－n＝0(m，n∈R，m2＋n2≠0)相交于点P，则|PM|的取值范围是(　　) A．[－1,2＋1] B．[－1,3＋1] C．[－1,2＋1] D．[－1,3＋1] 【变式训练】 　(2025·江苏盐城调研)已知点P(2，t)，Q(2，－t)(t>0)，若圆C：(x＋2)2＋(y－3)2＝1上存在点M，使得∠PMQ＝90°，则实数t的取值范围是(　　) A．[4,6] B．(4,6) C．(0,4]∪[6，＋∞) D．(0,4)∪(6，＋∞) 【限时训练】（限时：60分钟） 【基础必刷题】 一、单选题 1．(2024·河北唐山二模)已知圆C1：x2＋y2－2x＝0，圆C2：(x－3)2＋(y－1)2＝4，则C1与C2的位置关系是(　　) A．外切 B．内切 C．相交 D．外离 2．(2025·北京师大附中开学考试)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则常数m＝(　　) A．±2 B．± C．± D．±3 3．(2024·河南部分省示范性高中联考)已知直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝4相交于M，N两点，若|MN|＝，则|k|＝(　　) A． B．1 C． D．2 4．(2024·安徽六校教育研究会联考)已知A(－1,0)，B(2,0)，若动点M满足|MB|＝2|MA|，直线l：x＋y－2＝0与x轴、y轴分别交于两点P，Q，则△MPQ的面积的最小值为(　　) A．4＋2 B．4 C．2 D．4－2 5．(2024·广西示范性贵州期中联考)已知圆C1：x2＋y2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，则下列说法正确的是(　　) A．圆C1与圆C2公共弦所在直线的方程为3x＋4y－5＝0 B．圆C1与圆C2有两条公切线 C．x＝－1是圆C1与圆C2的一条公切线 D．圆C1与圆C2上均恰有两点到直线3x＋4y－5＝0的距离为2 6．(2024·福建龙岩适应性考试)已知圆C：(x－5)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)，A(－6,0)，B(0,8)，若圆C上存在点P使得PA⊥PB，则r的取值范围为(　　) A．(0,5] B．[5,15] C．[10,15] D．[15，＋∞) 7．(2024·广东南粤名校联考)直线x＋y·2cos θ＝0被圆x2＋y2＋2x＋2＝0截得的弦长最大值为(　　) A． B． C．2 D． 8．(2025·浙江杭州开学模拟)已知圆O1：x2＋(y－m)2＝4上动弦AB的长为2，若圆O2：x2＋y2＝9上存在点P恰为线段AB的中点，则实数m的取值范围是(　　) A．[2,4] B．[1,3] C．[－4，－2]∪[2,4] D．[－3，－1]∪[1,3] 二、多选题 9．(2025·江苏盐城学情调研)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，△ABC满足|AC|＝|BC|，顶点A(1,0)、B(－1,2)，且其“欧拉线”与圆M：(x－3)2＋y2＝r2相切，则下列结论正确的是(　　) A．△ABC的“欧拉线”方程为y＝x－1 B．圆M上存在三个点到直线x－y－1＝0的距离为 C．若点(x，y)在圆M上，则的最小值是－ D．若圆M与圆x2＋(y－a)2＝2有公共点，则a∈[－3,3] 10．(2025·贵州贵阳七校联考)已知直线l：kx＋y＋2k－1＝0与圆C：x2＋y2－6y－7＝0相交于A，B两点，下列说法正确的是(　　) A．直线l恒过某一定点 B．k＝1时，|AB|最大 C．|AB|的最小值为4 D．当k＝2时，对任意λ∈R，曲线x2＋y2＋2λx＋(λ－6)y＋3λ－7＝0过直线l与圆C的交点 11．(2025·江苏南京六校联合体调研)已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，以下四个命题表述正确的是(　　) A．若圆C1：x2＋y2－10x－8y＋m＝0与圆C恰有3条公切线，则m＝16 B．圆C2：x2＋y2＋2y＝0与圆C的公共弦所在直线为2x＋y＝0 C．直线l：(2m＋1)x＋(3m＋2)y－5m－3＝0与圆C恒有两个公共点 D．点P为y轴上一个动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，且A，B的中点为M，若定点N(5,3)，则|MN|的最大值为6 三、填空题 12．(2025·四川德阳诊断)已知两点M(－1,0)，N(1,0)，若直线x－y＋m＝0上存在唯一点P满足·＝0，则实数m的值为________. 13．(2024·山东青岛调研)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，直线l过P(3,4)．若直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2，写出满足上面条件的一条直线l的方程________. 14．(2024·四川成都名校联考)圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2＋2x－2y＝0的公共弦长为________. 四、解答题 15．(2023·辽宁大边滨城高中联盟期中)一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，求此圆的方程． 【巩固必刷题】 1．(2025·河北石家庄质检)若点P在曲线x2＋y2＝|x|＋|y|上运动，则点P到直线x＋y＋2＝0的距离的最大值为(　　) A．2 B．2 C． D．4 2．(2025·东北三校联考)已知圆C：x2＋y2＋2ay＝0(a>0)截直线x－y＝0所得的弦长为2，则圆C与圆C′：(x－1)2＋(y＋1)2＝1的位置关系是(　　) A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 3．(2024·河南焦作期中)已知点A(－3,0)，B(3,0)，若在直线l上有唯一点P满足PA⊥PB，且有唯一点Q满足|QA|＝2|QB|，则符合条件的l有(　　) A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 4．(多选题)(2024·湖南名校联考)若圆C1：x2＋y2＝1和C2：x2＋y2－2ax－2ay－5＝0(a>0)有且仅有一条公切线l，则下列结论正确的是(　　) A．圆C1与圆C2内切 B．a＝1 C．公切线l的方程为2x－2y＋＝0 D．公切线l的方程为x＋y＋2＝0 5．(2025·湖北云学名校联盟调研)已知圆C：x2＋y2－4y＋3＝0，过直线l：y＝x上的动点M作圆C的切线，切点分别为P，Q. (1)当∠PMQ＝时，求出点M的坐标； (2)经过M，P，C三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标； (3)求线段PQ的中点N的轨迹方程． 【尖子拔高题】(2024·河南洛阳期中)已知动点E与两定点A，B(5,5)的距离之比为. (1)求动点E的轨迹C的方程； (2)过点P(2,2)作两条直线分别与轨迹C相交于M，N两点，若直线PM与PN的斜率之积为1，试问线段MN的中点是否在定直线上，若在定直线上，请求出直线的方程；若不在定直线上，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章　平面解析几何 第4节 圆与圆的位置关系　圆的综合应用 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 知识点 圆与圆的位置关系★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时训练挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 知识点 圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)． 　方法 位置关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 公切线 条数 外离 d>r1＋r2 无解 4 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 3 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解 2 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 1 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 0 【名师点拨】 1．当两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，相交(切)时，两圆方程相减可得公共弦(内公切线)所在的直线方程．(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0； 两圆相交时，两圆连心线垂直平分公共弦；两圆相切时，两圆连心线必过切点． 2．(1)直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半l满足关系式r2＝d2＋2. (2)过圆内一点的最长的弦是直径，最短的是垂直这点与圆心连线的弦． 【随堂训练】 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　) (2)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(　　) (3)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(　　) (4)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 题组二　走进教材 2．(选择性必修1P98T3)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________. 【答案】 【解析】圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝()2， 又圆心(1,2)到直线l的距离为， ∴|AB|＝2＝. 3．(选择性必修1P98T10)经过点M(3，－1)，且与圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0相切于点N(1,2)的圆的方程为____________. 【答案】2＋2＝ 【解析】圆C的方程化成(x＋1)2＋(y－3)2＝5，得圆心C(－1,3)，半径是，直线CN的方程为x＋2y－5＝0，线段MN的中点坐标是，kMN＝－，线段MN的垂直平分线的方程是y－＝(x－2)，即4x－6y－5＝0，联立x＋2y－5＝0与4x－6y－5＝0，解得所求圆的圆心F，又因为|FN|2＝2＋2＝，所以，所求圆的方程是2＋2＝. 题组三　走向高考 4．(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线l：x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC的面积为”的m的一个值________. 【答案】2 【解析】设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得|AB|＝2，所以 S△ABC＝×d×2＝，解得d＝或d＝，由d＝＝，所以＝或＝，解得m＝±2或m＝±. 5．(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A．2　　　 B．3 C．4　　　 D．2 【答案】C 【解析】因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，c＝2b－a，代入直线方程ax＋by＋c＝0， 得ax＋by＋2b－a＝0， 即a(x－1)＋b(y＋2)＝0， 令得 故直线恒过(1，－2)，设P(1，－2)， 圆化为标准方程得：C：x2＋(y＋2)2＝5， 设圆心为C，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC⊥AB时，|AB|最小， |PC|＝1，|AC|＝|r|＝， 此时|AB|＝2|AP|＝2＝2＝4.故选C． 【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　 考向一 圆与圆的位置关系——自主练透 1．(2024·广东广州二模)若直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝与圆O(　　) A．外切 　 B．相交 C．内切 D．没有公共点 【答案】B 【解析】直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆心O(0,0)到直线ax＋by＝1的距离等于圆O的半径r1＝1.即d＝＝1，得a2＋b2＝1.圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝的圆心坐标为C：(a，b)，半径为r2＝，∴|r1－r2|<|OC|<r1＋r2(或其圆心在圆O上)，所以两圆相交．故选B. 2．(多选题)(2024·湖北A9高中联盟期中联考)已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，下列说法正确的是(　　) A．两圆有两条公切线 B．两圆的公共弦所在的直线方程为y＝2x＋2 C．点E在圆O上，点F在圆M上，|EF|的最大值为＋3 D．圆O上有2个点到直线x＋y＋2＝0的距离为 【答案】ACD 【解析】由圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0得．(x＋2)2＋(y－1)2＝1，圆心M(－2,1)，半径为1，则1＝2－1<|OM|＝<2＋1＝3，故两圆相交，故两圆有两条公切线，故A正确；将两圆的方程作差得4x－2y＝－8即y＝2x＋4，所以直线AB的方程为y＝2x＋4，故B不正确；|EF|max＝|OM|＋2＋1＝＋3，故C正确；圆心O(0,0)到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，而圆的半径为2，显然2－<，故只有一条与x＋y＋2＝0平行且距离为的直线与圆相交，故圆O上有2个点到直线x＋y＋2＝0的距离为，故D正确．故选ACD. 3．(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________________. 【答案】y＝－x＋或y＝x－或x＝－1(写出其中一个即可) 【解析】解法一：圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为O1(3,4)，半径为4，两圆圆心距为＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图，当切线为l时，因为kOO1＝，所以kl＝－，设方程为y＝－x＋t(t>0)， 由原点O到l的距离d＝＝1，解得t＝， 所以l的方程为y＝－x＋； 当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0， 其中p>0，k<0， 由题意解得 所以m的方程为y＝x－； 当切线为n时，易知切线n的方程为x＝－1. 解法二：切线l的求法同解法1；当切线为m时，设两切点分别为A、B，作OC⊥O1B于C，则tan∠O1OC＝， ∴km＝＝， 设直线m的方程为7x－24y＋c＝0，则＝1， 解得c＝－25或25(舍去)．∴切线m的方程为7x－24y－25＝0；又∠O1OC与∠O1Ox互余，根据图形对称性可知切线n的倾斜角为，显然切线n的方程为x＝－1. 【变式训练】1.本例2中两圆的公共弦长为________. 【答案】 【解析】在圆O：x2＋y2＝4中，O到公共弦2x－y＋4＝0的距离d＝，∴公共弦长为2＝. 【名师点拨】如何处理两圆的位置关系 判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心距与两圆半径和、差之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交(内切、外切)，则两圆公共弦(外公切线、内公切线)所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．公共弦长问题在一个圆中求解． 【变式训练】2.(多选题)(2024·广东六校联考)已知圆O：x2＋y2＝4和圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4，P，Q分别是圆O，圆C上的动点，则下列说法错误的是(　　) A．圆O与圆C相交 B．|PQ|的取值范围是[3－4,3＋4] C．x－y＝2是圆O与圆C的一条公切线 D．过点Q作圆O的两条切线，切点分别为M，N，则存在点Q，使得∠MQN＝90° 【答案】AC 【解析】由题意可得，圆O的圆心为O(0,0)，半径r1＝2，圆C的圆心C(3,3)，半径r2＝2，因为两圆圆心距|OC|＝3>2＋2＝r1＋r2，所以两圆外离，故A错误；|PQ|的最大值等于|OC|＋r1＋r2＝3＋4，最小值为|OC|－r1－r2＝3－4，故B正确；显然直线x－y＝2与直线OC平行，因为两圆的半径相等，则外公切线与圆心连线平行，由直线OC：y＝x，设外公切线为y＝x＋t，则两平行线间的距离为2，即＝2，∴t＝±2，故y＝x±2，故C错误；对于D选项，易知当∠MQN＝90°时，四边形OMQN为正方形，故当|QO|＝2时，∠MQN＝90°，故D正确．故选AC． 考向二 弦长、弦的中点问题——多维探究 角度1　弦长问题 1．(2025·河南郑州阶段测试)已知圆C的圆心是直线x＋y＋1＝0与直线x－y－1＝0的交点，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为(　　) A．x2＋(y＋1)2＝18 B．x2＋(y－1)2＝3 C．(x－1)2＋y2＝18 D．(x－1)2＋y2＝3 【答案】A 【解析】直线x＋y＋1＝0与直线x－y－1＝0的交点为(0，－1)，所以圆心为C(0，－1)，设半径为r，由题意得2＋32＝r2，即解得r2＝18，故圆C为x2＋(y＋1)2＝18.故选A． 2．(2024·江苏南京六校联合调研)已知直线l：λx－y－λ＋1＝0和圆C：x2＋y2－4y＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A．2 B． C．4 D．2 【答案】D 【解析】直线l：λ(x－1)－y＋1＝0过定点P(1,1)，显然P在圆内，则直线l与圆必有两交点，因为圆心C(0,2)到直线l的距离d≤＝，所以|AB|＝2≥2.故选D. [引申]本例中|AB|最小时AB的方程为________. 【答案】x－y＝0 【解析】|AB|最小时P为AB的中点，且kAB＝－＝1，∴AB的方程为y－1＝x－1，即x－y＝0. 角度2　弦的中点问题 3.(2024·湖北云学新高考联盟联考)若点A、B在圆C1：(x－2)2＋y2＝3上运动，|AB|＝2，P为AB的中点．Q点在圆C2：(x＋2)2＋y2＝1上运动，则|PQ|的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】∵点A、B在圆C1：(x－2)2＋y2＝3上运动，|AB|＝2，∴AB中点P到圆心C1(2,0)的距离为＝1，由圆的定义可知，点P的运动轨迹为以C1(2,0)为圆心，半径为1的圆(x－2)2＋y2＝1， 又∵Q点在圆C2：(x＋2)2＋y2＝1， ∴|PQ|的最小值为|C1C2|－1－1＝2.故选B. 【名师点拨】弦长的求法 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·. 注：①过圆C内定点P的弦中，以P为中点的弦最短；最长的弦是直径． ②遇弦的中点，注意垂直关系的应用． 【变式训练】 1．(角度1)(2025·青海名校联盟联考)已知直线l：x＋y－2＝0与圆M：x2＋y2－4x－4y＋a＝0交于A，B两点，且|AB|＝4，则a＝(　　) A．4 B．－4 C．2 D．－2 【答案】D 【解析】由题意知圆M的圆心为M(2,2)，半径r＝，圆心M到直线l的距离d＝＝.所以()2＋(2)2＝8－a，即8－a＝10，解得a＝－2.故选D. 2．(角度2)(2024·山东临沂联考)已知A，B为圆O：x2＋y2＝1上的两点，|AB|＝，M为AB的中点，则M到直线l：x－y＋2＝0距离的最小值为________. 【答案】 【解析】由垂径定理可知2＝，∴|OM|＝，∴M的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，O到l的距离d＝＝1，∴M到直线l距离的最小值为d－＝. 考向三 与圆有关的轨迹问题——师生共研 1．(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　) A．＋＝1(y>0) B．＋＝1(y>0) C．＋＝1(y>0) D．＋＝1(y>0) 【答案】A 【解析】设点M(x，y)，则P(x，y0)，P′(x,0)，因为M为PP′的中点，所以y0＝2y，即P(x,2y)，又P在圆x2＋y2＝16(y>0)上，所以x2＋4y2＝16(y>0)，即＋＝1(y>0)，即点M的轨迹方程为＋＝1(y>0)．故选A． 2．已知点P(4,0)，A，B是圆x2＋y2＝36上两动点，且满足∠APB＝90°，则矩形APBQ顶点Q的轨迹方程为____________. 【答案】x2＋y2＝56 【解析】连接AB，PQ，设AB与PQ交于点M，如图所示．因为四边形APBQ为矩形，所以M为AB，PQ的中点，连接OM.则OM⊥AB， 设M(xM，yM)，由此可得 |AM|2＝|OA|2－|OM|2＝36－(x＋y)．① 又在Rt△APB中， 有|AM|＝|PM|＝.② 由①②得x＋y－4xM－10＝0， 故点M的轨迹是圆． 因为点M是PQ的中点，设Q(x，y)， 则xM＝，yM＝，代入点M的轨迹方程中得， 2＋2－4×－10＝0，整理得点Q的轨迹方程x2＋y2＝56. 【名师点拨】求与圆有关的轨迹问题的常用方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)代入法(相关点法)：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 【变式训练】 1．(2024·青海西宁期中)已知A(－1,0)，B(1,0)，C为平面内的一个动点，且满足|AC|＝|BC|，则点C的轨迹方程为________________. 【答案】x2＋y2－6x＋1＝0 【解析】依题意，设C(x，y)，由|AC|＝|BC|，得＝×，即(x＋1)2＋y2＝2[(x－1)2＋y2]，整理得点C的轨迹方程为x2＋y2－6x＋1＝0. 2．如图所示，已知圆O：x2＋y2＝4与y轴的正方向交于A点，点B在直线y＝2上运动，过点B作圆O的切线，切点为C，则AC的中点P的轨迹方程为____________；△ABC的垂心H的轨迹方程为____________. 【答案】x2＋(y－1)2＝1(x≠0)　x2＋(y－2)2＝4(x≠0) 【解析】由P为AC的中点知OP⊥AC，∴点P的轨迹是以OA为直径的圆(去掉A、O两点)，其方程为x2＋(y－1)2＝1(x≠0)． 设H(x，y)，C(x′，y′)，连接AH，CH， 则AH⊥BC，CH⊥AB，BC是圆O切线，OC⊥BC， ∴OC∥AH，CH∥OA，OA＝OC， ∴四边形AOCH是菱形． ∴|CH|＝|AO|＝2，得 又C(x′，y′)，满足(x′)2＋(y′)2＝4， 所以x2＋(y－2)2＝4(x≠0)，即为点H的轨迹方程． 考向四 圆的综合应用——师生共研 1.(2024·辽宁辽东南适应性联考)已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线3x＋4y－8＝0相切． (1)求圆C的标准方程； (2)直线l：y＝kx＋2与圆C交于A，B两点． ①求k的取值范围； ②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值． 【解析】(1)由题意，设圆心为C(a,0)(a>0)，因为圆C过原点，所以半径r＝a， 又圆C与直线3x＋4y－8＝0相切，所以圆心C到直线的距离d＝＝a⇒a＝1(负值舍去)，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)①将直线l代入圆的方程可得(k2＋1)x2＋(4k－2)x＋4＝0，因为有两个交点， 所以Δ＝(4k－2)2－16(k2＋1)>0⇒k<－，即k的取值范围是. ②证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系： 所以kOA＋kOB＝＋＝＋＝＋2k＝＋2k＝1. 即直线OA，OB斜率之和为定值． 【知识拓展】 “隐形圆”问题 1．(2024·云南联考)在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，若直线l：y＝kx＋3上存在点M，使得|MA|＝2|MO|，则k的取值范围为(　　) A．[－，] B．(－∞，－]∪[，＋∞) C． D．∪ 【答案】B 【解析】设M(x，y)，由|MA|＝2|MO|，可得＝2，整理得x2＋(y＋1)2＝4，则直线l：y＝kx＋3与圆x2＋(y＋1)2＝4有公共点，则≤2，即k2≥3，解得k≤－或k≥.故选B. 2．(2025·江苏南京外国语学校调研)已知M是圆C：x2＋y2＝1上一个动点，且直线l1：mx－ny－3m＋n＝0与直线l2：nx＋my－3m－n＝0(m，n∈R，m2＋n2≠0)相交于点P，则|PM|的取值范围是(　　) A．[－1,2＋1] B．[－1,3＋1] C．[－1,2＋1] D．[－1,3＋1] 【答案】B 【解析】依题意，直线l1：m(x－3)－n(y－1)＝0恒过定点A(3,1)，直线l2：n(x－1)＋m(y－3)＝0恒过定点B(1,3)，显然直线l1⊥l2，因此，直线l1与l2交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆，其方程为：(x－2)2＋(y－2)2＝2，圆心N(2,2)，半径r2＝，而圆C的圆心C(0,0)，半径r1＝1，如图：|NC|＝2>r1＋r2，两圆外离，由圆的几何性质得：|PM|min＝|NC|－r1－r2＝－1，|PM|max＝|NC|＋r1＋r2＝3＋1，所以|PM|的取值范围是：[－1,3＋1]．故选B. 【名师点拨】 有些题中没有明确给出圆，而是隐藏在题设中，可通过分析、转化发现圆——隐形圆，从而利用圆的性质求解，以简化运算，常见的“隐形圆”类型： (1)利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆； (2)动点P对两定点A，B张角是90°(kPA·kPB＝－1)确定隐形圆； (3)两定点A，B，动点P满足·＝λ确定隐形圆； (4)两定点A，B，动点P满足|PA|2＋|PB|2是定值确定隐形圆； (5)两定点A，B，动点P满足|PA|＝λ|PB|(λ>0，λ≠1)确定隐形圆(阿波罗尼斯圆)； (6)由圆周角的性质确定隐形圆． 【变式训练】 　(2025·江苏盐城调研)已知点P(2，t)，Q(2，－t)(t>0)，若圆C：(x＋2)2＋(y－3)2＝1上存在点M，使得∠PMQ＝90°，则实数t的取值范围是(　　) A．[4,6] B．(4,6) C．(0,4]∪[6，＋∞) D．(0,4)∪(6，＋∞) 【答案】A 【解析】由题意，点P(2，t)，Q(2，－t)(t>0)，可得以PQ为直径的圆的方程为(x－2)2＋y2＝t2，则圆心C1(2,0)，半径R＝t，又由圆C：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，可得圆心C(－2,3)，半径r＝1，两圆的圆心距为|CC1|＝＝5，要使得圆C：(x＋2)2＋(y－3)2＝1上存在点M，使得∠PMQ＝90°，即两圆存在公共点，则满足即解得4≤t≤6，所以实数t的取值范围是[4,6]．故选A． 【限时训练】（限时：60分钟） 【基础必刷题】 一、单选题 1．(2024·河北唐山二模)已知圆C1：x2＋y2－2x＝0，圆C2：(x－3)2＋(y－1)2＝4，则C1与C2的位置关系是(　　) A．外切 B．内切 C．相交 D．外离 【答案】C 【解析】圆C1的圆心为(1,0)，r1＝1，圆C2的圆心为(3,1)，r2＝2，所以|r2－r1|<|C1C2|＝＝<r2＋r1，所以圆C1与C2的位置关系是相交．故选C． 2．(2025·北京师大附中开学考试)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则常数m＝(　　) A．±2 B．± C．± D．±3 【答案】C 【解析】直线l过定点P(0，m)，显然当k＝0时l被圆截得的弦长最短，∴2＝2，解得m＝±，故选C． 3．(2024·河南部分省示范性高中联考)已知直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝4相交于M，N两点，若|MN|＝，则|k|＝(　　) A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】设坐标原点O到直线kx－y＋1＝0的距离为d，则d＝＝.设线段MN的中点为P，则MN⊥OP，根据勾股定理，有4＝|OM|2＝|OP|2＋|PM|2＝d2＋|MN|2.由|MN|＝，得4＝d2＋|MN|2＝＋，故＝，解得k2＝1，故|k|＝1.故选B. 4．(2024·安徽六校教育研究会联考)已知A(－1,0)，B(2,0)，若动点M满足|MB|＝2|MA|，直线l：x＋y－2＝0与x轴、y轴分别交于两点P，Q，则△MPQ的面积的最小值为(　　) A．4＋2 B．4 C．2 D．4－2 【答案】D 【解析】设M(x，y)，由|MB|＝2|MA|可得(x－2)2＋y2＝4(x＋1)2＋4y2， 化简可得(x＋2)2＋y2＝4，故动点M的轨迹为圆心为(－2,0)，半径为r＝2的圆，圆心(－2,0)到l：x＋y－2＝0的距离为＝2，故圆上的点到直线l：x＋y－2＝0的最小距离为2－r＝2－2，由于P(2,0)，Q(0,2)，所以|PQ|＝2，故△MPQ的面积的最小值为×2×(2－2)＝4－2，故选D. 5．(2024·广西示范性贵州期中联考)已知圆C1：x2＋y2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，则下列说法正确的是(　　) A．圆C1与圆C2公共弦所在直线的方程为3x＋4y－5＝0 B．圆C1与圆C2有两条公切线 C．x＝－1是圆C1与圆C2的一条公切线 D．圆C1与圆C2上均恰有两点到直线3x＋4y－5＝0的距离为2 【答案】C 【解析】由条件可得：圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1；圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为C2(3,4)，半径r2＝4.∵|C1C2|＝＝5＝r1＋r2，∴圆C1与圆C2外切，A，B错误；圆心C1(0,0)到直线x＝－1的距离d1＝|0－(－1)|＝1＝r1；圆心为C2(3,4)到直线x＝－1的距离d2＝|3－(－1)|＝4＝r2，所以x＝－1是圆C1与圆C2的一条公切线，C正确；圆心C1(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d3＝＝1＝r1，所以圆C1：x2＋y2＝1上有且仅有一点到直线的距离为2，D错误． 6．(2024·福建龙岩适应性考试)已知圆C：(x－5)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)，A(－6,0)，B(0,8)，若圆C上存在点P使得PA⊥PB，则r的取值范围为(　　) A．(0,5] B．[5,15] C．[10,15] D．[15，＋∞) 【答案】B 【解析】如图，由PA⊥PB可知点P的轨迹是以AB为直径的圆，设为圆M，因A(－6,0)，B(0,8)，故圆M：(x＋3)2＋(y－4)2＝25.依题意知圆M与圆C至少有一个公共点．因C(5，－2)，M(－3,4)，则|CM|＝＝10，由|r－5|≤|CM|≤5＋r，解得5≤r≤15.故选B. 7．(2024·广东南粤名校联考)直线x＋y·2cos θ＝0被圆x2＋y2＋2x＋2＝0截得的弦长最大值为(　　) A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】将圆的方程化为标准式可得(x＋)2＋y2＝1，即可知圆心(－，0)，半径r＝1；根据弦长公式可知，当圆心到直线距离最小时，截得的弦长最大，易知圆心(－，0)到直线x＋y·2cos θ＝0的距离为d＝≥，当cos2θ＝1时，取等号．此时弦长为2＝2＝.故选A． 8．(2025·浙江杭州开学模拟)已知圆O1：x2＋(y－m)2＝4上动弦AB的长为2，若圆O2：x2＋y2＝9上存在点P恰为线段AB的中点，则实数m的取值范围是(　　) A．[2,4] B．[1,3] C．[－4，－2]∪[2,4] D．[－3，－1]∪[1,3] 【答案】C 【解析】动弦AB中点的轨迹方程为O：x2＋(y－m)2＝1，又由题意知圆O与圆O2有公共点，∴2≤|OO2|≤4，即2≤|m|≤4，∴2≤m≤4或－4≤m≤－2.故选C． 二、多选题 9．(2025·江苏盐城学情调研)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，△ABC满足|AC|＝|BC|，顶点A(1,0)、B(－1,2)，且其“欧拉线”与圆M：(x－3)2＋y2＝r2相切，则下列结论正确的是(　　) A．△ABC的“欧拉线”方程为y＝x－1 B．圆M上存在三个点到直线x－y－1＝0的距离为 C．若点(x，y)在圆M上，则的最小值是－ D．若圆M与圆x2＋(y－a)2＝2有公共点，则a∈[－3,3] 【答案】BD 【解析】因为|AC|＝|BC|，所以△ABC是等腰三角形，由三线合一得：△ABC的外心、重心、垂心均在底边上的中线或高线上，设△ABC的欧拉线为l，则l过AB的中点，且与直线AB垂直，由A(1,0)、B(－1,2)可得：AB的中点C，即C(0,1)，kAB＝＝－1，所以kl＝1，故l的方程为：y－1＝x，即y＝x＋1，A错误；因为l与圆M：(x－3)2＋y2＝r2相切，故r＝＝2，又圆心到x－y－1＝0的距离d1＝＝，所以圆M上存在三个点到直线x－y－1＝0的距离为，B正确；点(x，y)在圆M上，表示圆上的点与(－1,0)的连线的斜率，当连线与圆相切且位于圆的下方时(如图)，此时k<0，最小，设直线m：y＝k(x＋1)，由＝2，解得k＝±1，因为k<0，所以k＝－1，即的最小值是－1，C错误； 圆x2＋(y－a)2＝2的圆心坐标为(0，a)，半径r1＝，则≤≤3，解得a∈[－3,3]，D正确．故选BD. 10．(2025·贵州贵阳七校联考)已知直线l：kx＋y＋2k－1＝0与圆C：x2＋y2－6y－7＝0相交于A，B两点，下列说法正确的是(　　) A．直线l恒过某一定点 B．k＝1时，|AB|最大 C．|AB|的最小值为4 D．当k＝2时，对任意λ∈R，曲线x2＋y2＋2λx＋(λ－6)y＋3λ－7＝0过直线l与圆C的交点 【答案】ACD 【解析】直线l：kx＋y＋2k－1＝0，整理为k(x＋2)＋y－1＝0，不管k为何值，直线l始终过点D(－2,1)，A正确；D(－2,1)在圆C内，当l过圆C的圆心时，|AB|取得最大值，为直径．当k＝1时，直线l的方程x＋y＋1＝0，不过圆心，B错误；圆心与定点(－2,1)连线垂直于直线l时，此时圆心到直线l的距离最大dmax＝＝2，所以最短弦长|AB|＝2＝4，C正确；当k＝2时，直线l：2x＋y＋3＝0，曲线x2＋y2＋2λx＋(λ－6)y＋3λ－7＝0，即x2＋y2－6y－7＋λ(2x＋y＋3)＝0，显然该曲线过直线l与圆C的交点．故选ACD. 11．(2025·江苏南京六校联合体调研)已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，以下四个命题表述正确的是(　　) A．若圆C1：x2＋y2－10x－8y＋m＝0与圆C恰有3条公切线，则m＝16 B．圆C2：x2＋y2＋2y＝0与圆C的公共弦所在直线为2x＋y＝0 C．直线l：(2m＋1)x＋(3m＋2)y－5m－3＝0与圆C恒有两个公共点 D．点P为y轴上一个动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，且A，B的中点为M，若定点N(5,3)，则|MN|的最大值为6 【答案】BCD 【解析】C1：(x－5)2＋(y－4)2＝41－m，由圆C1与圆C有3条公切线知两圆外切，∴＝2＋，解得m＝32，∴A错误；由圆C与圆C2的方程相减即得公共弦的方程2x＋y＝0，∴B正确；∵l：x＋2y－3＋m(2x＋3y－5)＝0，由知直线l过定点Q(1,1)，显然点Q在圆C内，∴直线l与圆C相交，∴C正确；由M为AB的中点知CM⊥AB，∴点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(y≠0)，其圆心H(1,0)，半径为1，∴|MN|的最大值为|HN|＋1＝5＋1＝6，∴D正确．故选BCD. 三、填空题 12．(2025·四川德阳诊断)已知两点M(－1,0)，N(1,0)，若直线x－y＋m＝0上存在唯一点P满足·＝0，则实数m的值为________. 【答案】± 【解析】设点P(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，由·＝0，得x2＋y2＝1，因此点P在以原点为圆心，1为半径的圆上，显然直线x－y＋m＝0与此圆相切，则＝1，解得m＝±，所以实数m的值为±. 13．(2024·山东青岛调研)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，直线l过P(3,4)．若直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2，写出满足上面条件的一条直线l的方程________. 【答案】x＝3(写出x＝3或15x－8y－13＝0中的一个即可) 【解析】圆C：x2＋y2－4x＝0的圆心为(2,0)，半径为r＝2，当直线l无斜率时，此时l：x＝3，圆心(2,0)到l：x＝3的距离为1，由|AB|＝2，r＝2可知圆心到直线的距离为＝1，故l：x＝3满足要求，当直线l有斜率时，设直线方程为y＝k(x－3)＋4，故圆心到直线的距离为＝1＝，解得k＝，所以直线方程为15x－8y－13＝0. 14．(2024·四川成都名校联考)圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2＋2x－2y＝0的公共弦长为________. 【答案】 【解析】由已知圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2＋2x－2y＝0公共弦所在直线方程为4x－2y＝0，即2x－y＝0，因为圆x2＋y2－2x＝0圆心为(1,0)，半径r＝1所以d＝＝，弦长为2＝2＝. 四、解答题 15．(2023·辽宁大边滨城高中联盟期中)一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，求此圆的方程． 【解析】解法一：∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上， 且与y轴相切， ∴设所求圆的圆心为C (3a，a)，半径为r＝3|a|. 又圆在直线y＝x上截得的弦长为2， 圆心C(3a，a)到直线y＝x的距离为d＝＝|a|. 又d2＋()2＝r2. ∴2a2＋7＝9a2，∴a＝±1. 故所求圆的方程为 (x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9. 解法二：设所求的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为. ∴r2＝2＋()2. 即2r2＝(a－b)2＋14.① 由于所求的圆与y轴相切，∴r2＝a2.② 又因为所求圆心在直线x－3y＝0上， ∴a－3b＝0.③ 联立①②③，解得 a＝3，b＝1，r2＝9或a＝－3，b＝－1，r2＝9. 故所求的圆的方程是 (x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9. 解法三：设所求的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 圆心为，半径为. 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0. 由圆与y轴相切，得Δ＝0，即E2＝4F.④ 又圆心到直线x－y＝0的距离为，由已知，得2＋()2＝r2， 即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．⑤ 又圆心在直线x－3y＝0上， ∴D－3E＝0.⑥ 联立④⑤⑥，解得 D＝－6，E＝－2，F＝1或D＝6，E＝2，F＝1. 故所求圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0 或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0，即(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9. 【巩固必刷题】 1．(2025·河北石家庄质检)若点P在曲线x2＋y2＝|x|＋|y|上运动，则点P到直线x＋y＋2＝0的距离的最大值为(　　) A．2 B．2 C． D．4 【答案】A 【解析】当x≥0，y≥0时，x2＋y2＝|x|＋|y|⇔2＋2＝2(x≥0，y≥0)， 依次讨论x，y的符号知曲线由分别以正方形ABCD的四边为直径的半圆弧组成，如图，所求距离最大值为到直线的距离与之和，即＋＝2.故选A． 2．(2025·东北三校联考)已知圆C：x2＋y2＋2ay＝0(a>0)截直线x－y＝0所得的弦长为2，则圆C与圆C′：(x－1)2＋(y＋1)2＝1的位置关系是(　　) A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【解析】圆C的圆心为(0，－a)，半径为a，其圆心到直线x－y＝0的距离为＝，所截得的弦长为2＝a＝2，解得a＝2，所以C：x2＋(y＋2)2＝4，C的圆心为(0，－2)，半径为r1＝2；又C′的圆心为(1，－1)，半径为r2＝1，|CC′|＝＝，可得|r1－r2|<|CC′|<r1＋r2，则两圆的位置关系是相交，故选C． 3．(2024·河南焦作期中)已知点A(－3,0)，B(3,0)，若在直线l上有唯一点P满足PA⊥PB，且有唯一点Q满足|QA|＝2|QB|，则符合条件的l有(　　) A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】C 【解析】若PA⊥PB，则P在以AB为直径的圆上，对应方程为x2＋y2＝9，令Q(x，y)，由题设有(x＋3)2＋y2＝4(x－3)2＋4y2，整理得(x－5)2＋y2＝16，所以直线l与圆x2＋y2＝9、(x－5)2＋y2＝16均有且只有一个交点，即直线与两圆都相切，又两圆圆心距离为5，半径之和为7，故两圆相交，它们的公切线有2条，所以符合条件的l有2条．故选C． 4．(多选题)(2024·湖南名校联考)若圆C1：x2＋y2＝1和C2：x2＋y2－2ax－2ay－5＝0(a>0)有且仅有一条公切线l，则下列结论正确的是(　　) A．圆C1与圆C2内切 B．a＝1 C．公切线l的方程为2x－2y＋＝0 D．公切线l的方程为x＋y＋2＝0 【答案】ABD 【解析】圆C1与圆C2有且仅有一条公切线l，两圆相切．圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0,0)，半径为r＝1，圆C2：x2＋y2－2ax－2ay－5＝0(a>0)，即(x－a)2＋(y－a)2＝4a2＋5，圆心C2(a，a)，半径为R＝>r.将C1(0,0)代入方程x2＋y2－2ax－2ay－5＝0左边得－5<0，则圆心C1(0,0)在圆C2内，故两圆不可能外切，所以C1与C2内切，故A正确；圆C2，(x－a)2＋(y－a)2＝4a2＋5，由圆C1与C2内切，所以|C1C2|＝＝－1，由a>0，即2a＋1＝，解得a＝1，故B正确；C1：x2＋y2－1＝0①；C2：x2＋y2－2x－2y－5＝0②，两圆方程作差得2x＋2y＋4＝0，即x＋y＋2＝0.故C错误，D正确．故选ABD. 5．(2025·湖北云学名校联盟调研)已知圆C：x2＋y2－4y＋3＝0，过直线l：y＝x上的动点M作圆C的切线，切点分别为P，Q. (1)当∠PMQ＝时，求出点M的坐标； (2)经过M，P，C三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标； (3)求线段PQ的中点N的轨迹方程． 【解析】(1)直线l的方程为x－2y＝0，点M在直线l上，设M(2m，m)， 因为∠PMQ＝， 由对称性可知∠CMP＝30°， 由题CP＝1，所以MC＝2， 所以(2m)2＋(m－2)2＝4， 解之得：m＝0，m＝ 故所求点M的坐标为(0,0)或. (2)设M(2m，m)，则MC的中点E，因为MP是圆C的切线， 所以经过C，P，M三点的圆是以E为圆心，以ME为半径的圆，故圆E方程为： (x－m)2＋2＝m2＋2 化简得：x2＋y2－2y－m(2x＋y－2)＝0，此式是关于m的恒等式， 故解得或 所以经过C，P，M三点的圆必过定点(0,2)或. (3)由 可得PQ：2mx＋(m－2)y＋3－2m＝0， 即m(2x＋y－2)－2y＋3＝0， 由可得PQ过定点R. 因为N为圆E的弦PQ的中点，所以MN⊥PQ， 即MN⊥RN， 故点N在以MR为直径的圆上， 点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y＋3＝0. 【尖子拔高题】(2024·河南洛阳期中)已知动点E与两定点A，B(5,5)的距离之比为. (1)求动点E的轨迹C的方程； (2)过点P(2,2)作两条直线分别与轨迹C相交于M，N两点，若直线PM与PN的斜率之积为1，试问线段MN的中点是否在定直线上，若在定直线上，请求出直线的方程；若不在定直线上，请说明理由． 【解析】(1)设点E的坐标为(x，y)，由题意知＝， 即＝， 平方整理得x2＋y2＝8， 即动点E的轨迹C的方程为x2＋y2＝8. (2)设直线PM的方程为y＝k(x－2)＋2， 代入x2＋y2＝8， 整理得(1＋k2)x2＋(4k－4k2)x＋4k2－8k－4＝0， 因为点P，M都在圆上x2＋y2＝8上， 所以2xM＝，即xM＝， 此时yM＝k(xM－2)＋2＝k＋2＝. 因为直线PM与PN的斜率之积为1， 同理可得xN＝＝， yN＝＝. 设MN的中点为G，此时 xG＝＝，yG＝＝， 则xG＝yG. 故线段MN的中点在定直线y＝x上． 学科网（北京）股份有限公司 $$