第二章 第7节 对数与对数函数（知识点梳理+限时挑战）-【精准备考】2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）

第二章 函数 第7节　对数与对数函数 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 对数的概念★★☆☆☆ 考点2 对数的性质、运算性质与换底公式★★★☆☆ 考点3 对数函数及其性质★★★☆☆ 考点4 反函数★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 考点1 对数的概念 如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 考点2 对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质 ①=N;②logaab=b(a>0,且a≠1). (2)对数的运算性质 如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)=logaM+logaN; ②loga=logaM-logaN; ③logaMn=nlogaM(n∈R). (3)换底公式:logab=(a>0,且a≠1,b>0,c>0,且c≠1). 考点3 对数函数及其性质 (1)概念:函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域:(0,+∞) 值域:R 当x=1时,y=0,即过定点(1,0) 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 考点4 反函数 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.它们的定义域和值域正好互换. 【名师点拨】 1.换底公式的两个重要结论 (1)logab=(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1). (2)lobn=logab(a>0,且a≠1;b>0;m,n∈R,且m≠0). 2.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(1,0),(a,1),. 3.对数函数的图象与底数大小的比较 如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,故0<c<d<1<a<b. 即在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y=log2(x+1)是对数函数.(　　) (2)函数y=ln与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.(　　) (3)当x>1时,若logax>logbx,则a<b.(　　) (4)函数y=log2x与y=lo的图象重合.(　　) 【答案】(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 【解析】(1)形如y=logax(a>0,且a≠1)为对数函数,故(1)错误. (3)若0<b<1<a,则当x>1时,logax>logbx,故(3)错误. 2.(北师大必修一P105【典例】4(1)改编)计算:log4+log23-log0.5=　　　　.  【答案】0 【解析】原式=log4+log49-log425 =log4=log41=0. 3.(人教B必修二P27【典例】2改编)已知log0.7(2m)<log0.7(m-1),则m的取值范围是　　　　.  【答案】(1,+∞) 【解析】因为y=log0.7x的定义域为(0,+∞),且是减函数,故2m>m-1>0,解得m>1. 4.(人教A必修一P141T13(1)改编)设a=log0.26,b=log0.36,c=log0.46,则a,b,c的大小关系为　　　　.  【答案】a>b>c 【解析】法一　如图,作出函数y1=log0.2x,y2=log0.3x,y3=log0.4x的图象, 由图可知,当x=6时,log0.26>log0.36>log0.46, 即a>b>c. 法二　易知0>log60.4>log60.3>log60.2, 所以<<, 即log0.46<log0.36<log0.26, 即a>b>c. 【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　对数的运算 【典例】1.(2025·丹东模拟)若2a=3,3b=5,5c=4,则log4(abc)=(　　) A.-2 B. C. D.1 【答案】B 【解析】由2a=3,3b=5,5c=4, 可得a=log23,b=log35,c=log54, 所以abc=log23×log35×log54 =××=2, 则log4(abc)=log42=. 【典例】2.计算:=　　　　.  【答案】1 【解析】原式= = ====1. 【思维建模】 1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.ab=N⇔b=logaN(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化. 【变式训练】1.计算:log535+2lo-log5-log514=　　　　.  【答案】2 【解析】原式=log535-log5-log514+lo()2 =log5+lo2=log5125-1=log553-1 =3-1=2. 【变式训练】2.已知lg 2=a,lg 3=b,用a,b表示log1815=　　　　.  【答案】 【解析】log1815== ==. 考点二　对数函数的图象及应用 【典例】3.(多选)(2025·青岛调研)已知ax=b-x,函数y=loga(-x)与y=bx的图象可能是(　　) 【答案】AB 【解析】因为ax=b-x,即ax=, 所以a=, 当a>1时,0<b<1, 指数函数y=bx在R上单调递减,且过点(0,1); 对数函数y=logax在(0,+∞)上单调递增,且过点(1,0), 将y=logax的图象关于y轴对称得到 y=loga(-x)的图象, 则y=loga(-x)在(-∞,0)上单调递减,且过点(-1,0),故A符合题意; 当0<a<1时,b>1, 同理可得,指数函数y=bx在R上单调递增,且过点(0,1), y=loga(-x)在(-∞,0)上单调递增,且过点(-1,0),故B符合题意. 【典例】4.已知函数f(x)=|log3x|,若a<b,且f(a)=f(b),则a+4b的取值范围是(　　) A.[2,+∞) B.(2,+∞) C.[5,+∞) D.(5,+∞) 【答案】D 【解析】画出f(x)=|log3x|的图象如图所示, 因为a<b, 且f(a)=f(b), 所以-log3a=log3b, 故=b,且0<a<1, 令y=a+4b,所以y=a+, 由对勾函数的性质可知y=a+在(0,1)上单调递减,故y=a+>1+=5, 故a+4b的取值范围是(5,+∞). 【思维建模】对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. 【变式训练】3.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是(　　) A.0<a-1<b<1 B.0<b<a-1<1 C.0<b-1<a<1 D.0<a-1<b-1<1 【答案】A 【解析】由函数图象可知,f(x)为增函数,故a>1. 函数图象与y轴的交点坐标为(0,logab), 由函数图象可知-1<logab<0,解得<b<1. 综上,0<<b<1. 【变式训练】4.若方程4x=logax在上有解,则实数a的取值范围为　　　　.  【答案】 【解析】若方程4x=logax在上有解,则函数y=4x和函数y=logax的图象在上有交点, 由图象知解得0<a≤. 考点三　对数函数的性质及应用 角度1　比较大小 【典例】5.(多选)(2025·南京、盐城模拟)已知x,y∈R,且12x=3,12y=4,则(　　) A.y>x B.x+y>1 C.xy< D.+< 【答案】ACD 【解析】∵12x=3,12y=4, ∴x=log123,y=log124. ∵y=log12x在(0,+∞)上单调递增, ∴y>x,故A正确; ∵x+y=log123+log124=log1212=1,∴B错误; ∵x>0,y>0,∴xy≤=, 当且仅当x=y时等号成立,而x<y, ∴xy<,∴C正确; ∵(+)2=x+y+2=1+2<2, 即+<,∴D正确. 角度2　解对数方程或不等式 【典例】6.已知函数f(x)=则不等式f((log2x)2-3)<4f(log2x)的解集为　　　　.  【答案】 【解析】当x≥0时,f(x)=2x2≥0,4f(x)=8x2=f(2x),且f(x)在[0,+∞)上单调递增. 当x<0时,f(x)=-2x2<0,4f(x)=-8x2=f(2x),且f(x)在(-∞,0)上单调递增. 所以f(x)在R上有4f(x)=f(2x),且函数f(x)是R上的增函数, 于是原不等式可化为(log2x)2-3<2log2x, 即(log2x)2-2log2x-3<0, 即(log2x+1)(log2x-3)<0, 得-1<log2x<3,解得<x<8. 角度3　对数函数性质的综合应用 【典例】7. (多选)(2025·泉州模拟)已知函数f(x)=lg,则(　　) A.f(x)的最小值为1 B.∃x∈R,f(1)+f(x)=2 C.f(log92)>f D.f>f 【答案】ACD 【解析】由题可得,f(x)=lg≥lg 10=1, 当且仅当x=时,f(x)取得最小值1,A正确; 因为当且仅当x=时,f(x)取得最小值1, 所以f(1)>1,所以f(1)+f(x)>2,B错误; 因为0<log92=<=, 所以>. =, 设g(x)=x2-x+=+10, 则g(x)的图象关于直线x=对称, g(log92)>g>0, 又y=lg x在定义域上是增函数, 所以f(log92)>f,C正确; 因为90.1=30.2>30.18>1, 所以90.1->30.18->, 又f(x)在上单调递增, 所以f>f,D正确. 【思维建模】利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 【变式训练】5.(2025·衡阳质检)已知a=log21.8,b=log43.6,c=,则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 【答案】C 【解析】由=log2<log21.8=log2<log2=log43.6,可得c<a<b. 【变式训练】6.(2025·银川调研)已知函数f(x)=ln(e+x)-ln(e-x),则f(x)是(　　) A.奇函数,且在(0,e)上单调递增 B.奇函数,且在(0,e)上单调递减 C.偶函数,且在(0,e)上单调递增 D.偶函数,且在(0,e)上单调递减 【答案】A 【解析】若函数f(x)=ln(e+x)-ln(e-x)有意义,则 解得-e<x<e,即函数f(x)的定义域为(-e,e). 因为f(-x)=ln(e-x)-ln(e+x)=-[ln(e+x)-ln(e-x)]=-f(x), 所以函数f(x)是奇函数. 函数f(x)=ln(e+x)-ln(e-x) =ln=ln, 令u=-1+,-e<x<e, 因为函数u=-1+在(0,e)上单调递增, 函数y=ln u在定义域上是增函数, 所以函数f(x)在(0,e)上单调递增. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.(2025·杭州质检)已知x,y∈R+,若3x=4y且2x=ay,则a=(　　) A.2log32 B.log32 C.2log23 D.4log32 【答案】D 【解析】由3x=4y>0,得ln 3x=ln 4y, 即xln 3=yln 4, 又2x=ay,故ln 3=yln 4, 则a==2log34=4log32. 2.(2025·重庆诊断)设函数f(x)=lg(x2+1),则使得f(2x-1)>f(x+1)成立的x的取值范围为(　　) A.(0,2) B.(2,+∞) C.(-∞,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞) 【答案】D 【解析】易知f(x)为偶函数, 且在(0,+∞)上单调递增, 因为f(2x-1)>f(x+1), 所以|2x-1|>|x+1|, 则|2x-1|2>|x+1|2, 即4x2+1-4x>x2+1+2x, 所以3x2-6x>0,所以x<0或x>2. 3.若0.8<0.8<0,则x1与x2的关系正确的是(　　) A.0<x2<x1<1 B.0<x1<x2<1 C.1<x1<x2 D.1<x2<x1 【答案】C 【解析】因为0.8<0.8<0, 所以log0.8x2<log0.8x1<0=log0.81, 又因为y=log0.8x在(0,+∞)上单调递减, 所以1<x1<x2. 4.在同一平面直角坐标系中,函数y=loga(-x),y=(a>0且a≠1)的图象可能是(　　) 【答案】C 【解析】因为函数y=loga(-x)的图象与函数y=logax的图象关于y轴对称, 所以函数y=loga(-x)的图象恒过定点(-1,0),故A,B错误; 当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上单调递增,所以函数y=loga(-x)在(-∞,0)上单调递减, 而y=(a>1)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,故D错误,C正确. 5.(2025·通化模拟)设a=log0.14,b=log504,则(　　) A.2ab<2(a+b)<ab B.2ab<a+b<4ab C.ab<a+b<2ab D.2ab<a+b<ab 【答案】D 【解析】因为a=log0.14,b=log504, 所以a<0,b>0,所以ab<0, +=log40.1+log450=log45∈(1,2), 即1<+<2,所以2ab<a+b<ab. 6.(2025·常州质测)设函数f(x)=lo在区间[1,+∞)上单调递减,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,1] B.[0,1] C.(-1,1] D.[1,+∞) 【答案】C 【解析】f(x)=lo在[1,+∞)上单调递减, 根据复合函数的单调性可得y=x+在[1,+∞)上单调递增. 当a>0时,y=x+在[,+∞)上单调递增, 则≤1,所以0<a≤1; 当a=0时,y=x满足题意; 当a<0时,y=x+在(0,+∞)上单调递增, 满足在[1,+∞)上单调递增, 又x+>0,则1+>0, 解得a>-1,所以-1<a<0. 综上,-1<a≤1. 7.已知a>0,且a≠1,则函数y=loga的图象一定经过(　　) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 【答案】D 【解析】当x=0时,y=loga=-1. 当0<a<1时,函数图象经过第二、三、四象限; 当a>1时,函数图象经过第一、三、四象限. 所以函数y=loga的图象一定经过第三、四象限. 8.若不等式(x-1)2<logax(a>0且a≠1)在x∈(1,2]内恒成立,则实数a的取值范围为(　　) A.(1,2] B.(1,2) C.(1,] D.(,2) 【答案】B 【解析】若0<a<1,此时x∈(1,2],logax<0, 而(x-1)2>0, 故(x-1)2<logax无解; 若a>1,此时x∈(1,2],logax>0, 而(x-1)2>0, 令f(x)=logax,g(x)=(x-1)2, 画出函数f(x)与g(x)的图象,如图, 若不等式(x-1)2<logax在x∈(1,2]内恒成立, 则loga2>1,解得a∈(1,2). 二、多选题 9.函数f(x)=loga|x-1|(a>0,且a≠1)在(0,1)上是减函数,那么(　　) A.f(x)在(1,+∞)上单调递增且无最大值 B.f(x)在(1,+∞)上单调递减且无最小值 C.f(x)在定义域内是偶函数 D.f(x)的图象关于直线x=1对称. 【答案】AD 【解析】因为函数f(x)=loga|x-1|在(0,1)上是减函数, 所以f(x)=loga(1-x)在(0,1)上为减函数, 而y=1-x是减函数,故a>1, 所以当x>1时,f(x)=loga(x-1), 而y=x-1是增函数,且a>1, 则f(x)在(1,+∞)上单调递增且无最大值,故A正确,B错误; 又f(-x)=loga|-x-1|=loga|x+1|≠f(x),故C错误; 因为f(2-x)=loga|2-x-1|=loga|x-1|=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,故D正确. 10.已知函数f(x)= 若x1<x2<x3<x4,且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则下列结论正确的是(　　) A.x1+x2=-4 B.x3x4=1 C.1<x4<4 D.0<x1x2x3x4≤2 【答案】AB 【解析】函数f(x)=的图象如图所示, 设f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=t, 则0<t<4, 则直线y=t与函数y=f(x)图象的4个交点横坐标分别为x1,x2,x3,x4. 对于A,函数y=-x2-4x的图象关于直线x=-2对称,则x1+x2=-4,故A正确; 对于B,由图象可知|log2x3|=|log2x4|, 且0<x3<1<x4, 所以-log2x3=log2x4,即log2(x3x4)=0, 所以x3x4=1,故B正确; 对于C,由图象可知log2x4∈(0,4), 则1<x4<16,故C错误; 对于D,由图象可知-4<x1<-2, 当x≤0时,f(x)=-x2-4x=-(x+2)2+4, 所以x1x2x3x4=x1(-4-x1)=--4x1=-(x1+2)2+4=f(x1)∈(0,4),故D错误. 11.(2025·河南名校联考)已知正数x,y,z满足5x=9y=15z,则(　　) A.xz+2yz-2xy=0 B.5x<9y<15z C.xy<2z2 D.9x+2y<16z 【答案】AB 【解析】依题意,设5x=9y=15z=t,t>1, 则xlogt5=ylogt9=zlogt15=1, 则x=,y=,z=. 对于A,xz+2yz-2xy=xyz=xyz(logt9+2logt5-2logt15)=xyzlogt=0,A正确; 对于B,==lo95, 而==×<<1, 则lo95<1,则5x<9y; ===lo153, 而==<1, 则lo153<1,则9y<15z, 所以5x<9y<15z,B正确; 对于C,由选项A知,+-=0, 得z=, 则xy-2z2=xy-2 =xy·=>0, 即xy>2z2,C错误; 对于D,9x+2y-16z=9x+2y-==>0, 因此9x+2y>16z,D错误. 三、填空题 12.(2025·1月八省联考)已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,则a=　　　　.  【答案】e 【解析】由f(ln 2)f(ln 4)=aln 2aln 4=aln 2+ln 4=aln 8=8,得a=e. 13.函数f(x)=log2·log(2x)的最小值为　　　　.  【答案】- 【解析】依题意得f(x)=log2x·(2+2log2x)=(log2x)2+log2x=-≥-, 当log2x=-,即x=时等号成立, 所以函数f(x)的最小值为-. 14.(2025·曲靖质测)如图,在第一象限内,矩形ABCD的三个顶点A,B,C分别在函数y=logx,y=,y=的图象上,且矩形的边分别与两坐标轴平行,若A点的纵坐标是2,则D点的坐标是　　　　.  【答案】 【解析】由题意,知A点在函数y=logx的图象上, 所以2=logx,x=, 故A点坐标为,因为B在函数y=的图象上,AB∥x轴, 所以2=,x=8, 因为C在函数y=的图象上, BC∥y轴,所以y==, 则C点坐标为, 所以D点的坐标是. 四、解答题 15.已知函数f(x)=log2(1+x),g(x)=log2(1-x). (1)求函数f(x)-g(x)的定义域; (2)判断函数f(x)-g(x)的奇偶性,并说明理由; (3)求使得不等式f(x)-g(x)>1成立的x的取值范围. 【解析】 (1)由题意,得解得-1<x<1, 所以函数f(x)-g(x)的定义域是(-1,1). (2)函数f(x)-g(x)是奇函数.理由如下: 因为函数f(x)-g(x)的定义域是(-1,1), 所以其定义域关于原点对称. 又因为f(-x)-g(-x)=log2(1-x)-log2(1+x)=-[log2(1+x)-log2(1-x)]=-[f(x)-g(x)], 所以函数f(x)-g(x)是奇函数. (3)因为f(x)-g(x)>1, 即log2(1+x)-log2(1-x)>1, 所以log2>1=log22. 所以解得<x<1. 所以使得不等式f(x)-g(x)>1成立的x的取值范围是. 16.已知函数f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x. (1)当x∈[1,4]时,求函数h(x)=[f(x)+1]·g(x)的值域; (2)如果对任意的x∈[1,4],不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立,求实数k的取值范围. 【解析】 (1)h(x)=(4-2log2x)log2x=2-2(log2x-1)2. 因为x∈[1,4],所以log2x∈[0,2], 故函数h(x)的值域为[0,2]. (2)由f(x2)·f()>k·g(x), 得(3-4log2x)(3-log2x)>k·log2x, 令t=log2x, 因为x∈[1,4],所以t=log2x∈[0,2], 所以(3-4t)(3-t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立, ①当t=0时,k∈R; ②当t∈(0,2]时,k<恒成立, 即k<4t+-15, 因为4t+≥12,当且仅当4t=, 即t=时取等号, 所以4t+-15的最小值为-3. 所以k<-3. 综上,实数k的取值范围为(-∞,-3). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 函数 第7节　对数与对数函数 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 对数的概念★★☆☆☆ 考点2 对数的性质、运算性质与换底公式★★★☆☆ 考点3 对数函数及其性质★★★☆☆ 考点4 反函数★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 考点1 对数的概念 如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 考点2 对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质 ①=N;②logaab=b(a>0,且a≠1). (2)对数的运算性质 如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)=logaM+logaN; ②loga=logaM-logaN; ③logaMn=nlogaM(n∈R). (3)换底公式:logab=(a>0,且a≠1,b>0,c>0,且c≠1). 考点3 对数函数及其性质 (1)概念:函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域:(0,+∞) 值域:R 当x=1时,y=0,即过定点(1,0) 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 考点4 反函数 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.它们的定义域和值域正好互换. 【名师点拨】 1.换底公式的两个重要结论 (1)logab=(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1). (2)lobn=logab(a>0,且a≠1;b>0;m,n∈R,且m≠0). 2.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(1,0),(a,1),. 3.对数函数的图象与底数大小的比较 如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,故0<c<d<1<a<b. 即在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y=log2(x+1)是对数函数.(　　) (2)函数y=ln与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.(　　) (3)当x>1时,若logax>logbx,则a<b.(　　) (4)函数y=log2x与y=lo的图象重合.(　　) 2.(北师大必修一P105【典例】4(1)改编)计算:log4+log23-log0.5=　　　　.  3.(人教B必修二P27【典例】2改编)已知log0.7(2m)<log0.7(m-1),则m的取值范围是　　　　.  4.(人教A必修一P141T13(1)改编)设a=log0.26,b=log0.36,c=log0.46,则a,b,c的大小关系为　　　　.  【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　对数的运算 【典例】1.(2025·丹东模拟)若2a=3,3b=5,5c=4,则log4(abc)=(　　) A.-2 B. C. D.1 【典例】2.计算:=　　　　.  【变式训练】1.计算:log535+2lo-log5-log514=　　　　.  【变式训练】2.已知lg 2=a,lg 3=b,用a,b表示log1815=　　　　.  考点二　对数函数的图象及应用 【典例】3.(多选)(2025·青岛调研)已知ax=b-x,函数y=loga(-x)与y=bx的图象可能是(　　) 【典例】4.已知函数f(x)=|log3x|,若a<b,且f(a)=f(b),则a+4b的取值范围是(　　) A.[2,+∞) B.(2,+∞) C.[5,+∞) D.(5,+∞) 【变式训练】3.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是(　　) A.0<a-1<b<1 B.0<b<a-1<1 C.0<b-1<a<1 D.0<a-1<b-1<1 【变式训练】4.若方程4x=logax在上有解,则实数a的取值范围为　　　　.  考点三　对数函数的性质及应用 角度1　比较大小 【典例】5.(多选)(2025·南京、盐城模拟)已知x,y∈R,且12x=3,12y=4,则(　　) A.y>x B.x+y>1 C.xy< D.+< 角度2　解对数方程或不等式 【典例】6.已知函数f(x)=则不等式f((log2x)2-3)<4f(log2x)的解集为　　　　.  角度3　对数函数性质的综合应用 【典例】7. (多选)(2025·泉州模拟)已知函数f(x)=lg,则(　　) A.f(x)的最小值为1 B.∃x∈R,f(1)+f(x)=2 C.f(log92)>f D.f>f 【变式训练】5.(2025·衡阳质检)已知a=log21.8,b=log43.6,c=,则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 【变式训练】6.(2025·银川调研)已知函数f(x)=ln(e+x)-ln(e-x),则f(x)是(　　) A.奇函数,且在(0,e)上单调递增 B.奇函数,且在(0,e)上单调递减 C.偶函数,且在(0,e)上单调递增 D.偶函数,且在(0,e)上单调递减 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.(2025·杭州质检)已知x,y∈R+,若3x=4y且2x=ay,则a=(　　) A.2log32 B.log32 C.2log23 D.4log32 2.(2025·重庆诊断)设函数f(x)=lg(x2+1),则使得f(2x-1)>f(x+1)成立的x的取值范围为(　　) A.(0,2) B.(2,+∞) C.(-∞,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞) 3.若0.8<0.8<0,则x1与x2的关系正确的是(　　) A.0<x2<x1<1 B.0<x1<x2<1 C.1<x1<x2 D.1<x2<x1 4.在同一平面直角坐标系中,函数y=loga(-x),y=(a>0且a≠1)的图象可能是(　　) 5.(2025·通化模拟)设a=log0.14,b=log504,则(　　) A.2ab<2(a+b)<ab B.2ab<a+b<4ab C.ab<a+b<2ab D.2ab<a+b<ab 6.(2025·常州质测)设函数f(x)=lo在区间[1,+∞)上单调递减,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,1] B.[0,1] C.(-1,1] D.[1,+∞) 7.已知a>0,且a≠1,则函数y=loga的图象一定经过(　　) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 8.若不等式(x-1)2<logax(a>0且a≠1)在x∈(1,2]内恒成立,则实数a的取值范围为(　　) A.(1,2] B.(1,2) C.(1,] D.(,2) 二、多选题 9.函数f(x)=loga|x-1|(a>0,且a≠1)在(0,1)上是减函数,那么(　　) A.f(x)在(1,+∞)上单调递增且无最大值 B.f(x)在(1,+∞)上单调递减且无最小值 C.f(x)在定义域内是偶函数 D.f(x)的图象关于直线x=1对称. 10.已知函数f(x)= 若x1<x2<x3<x4,且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则下列结论正确的是(　　) A.x1+x2=-4 B.x3x4=1 C.1<x4<4 D.0<x1x2x3x4≤2 11.(2025·河南名校联考)已知正数x,y,z满足5x=9y=15z,则(　　) A.xz+2yz-2xy=0 B.5x<9y<15z C.xy<2z2 D.9x+2y<16z 三、填空题 12.(2025·1月八省联考)已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,则a=　　　　.  13.函数f(x)=log2·log(2x)的最小值为　　　　.  14.(2025·曲靖质测)如图,在第一象限内,矩形ABCD的三个顶点A,B,C分别在函数y=logx,y=,y=的图象上,且矩形的边分别与两坐标轴平行,若A点的纵坐标是2,则D点的坐标是　　　　.  四、解答题 15.已知函数f(x)=log2(1+x),g(x)=log2(1-x). (1)求函数f(x)-g(x)的定义域; (2)判断函数f(x)-g(x)的奇偶性,并说明理由; (3)求使得不等式f(x)-g(x)>1成立的x的取值范围. 16.已知函数f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x. (1)当x∈[1,4]时,求函数h(x)=[f(x)+1]·g(x)的值域; (2)如果对任意的x∈[1,4],不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立,求实数k的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$