第八章 第5节 椭圆（第二课时）（知识点梳理+限时挑战）讲义-【精准备考】2026年高考数学一轮复习（新高考通用）

第八章　平面解析几何 第5节 椭圆（第二课时） 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 知识点1　椭圆的定义★★★☆☆ 知识点2　椭圆的标准方程和几何性质★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时训练挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 第二课时 【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　 考向一 直线与椭圆的位置关系——自主练透 1.若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　) A．m>1 B．m>0 C．0<m<5且m≠1 D．m≥1且m≠5 【变式训练】 　(2025·广东部分学校入学考试)已知直线l：y＝x－3与椭圆C：＋＝1相交，则C的长轴长的取值范围是________. 考向二 椭圆弦的问题——多维探究 角度1　弦长问题 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4. (1)求椭圆的方程； (2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程． [引申]本例中|AB|的最小值为________. 【变式训练】 　(2024·陕西宝鸡二模)已知点B是圆C：(x－1)2＋y2＝16上的任意一点，点F(－1,0)，线段BF的垂直平分线交BC于点P. (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)直线l：y＝2x＋m与E交于点M，N，且|MN|＝，求m的值． 角度2　中点弦问题 1.已知椭圆＋y2＝1. (1)若点P，则以P为中点的椭圆的弦所在直线的方程为____________. (2)斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为____________. (3)过点M(2,1)的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程为____________. 【变式训练】 　(2025·江苏南通如皋中学测试)已知直线x－4y＋9＝0与椭圆＋＝1(0<b<4)相交于A，B两点，椭圆的两个焦点是F1，F2，线段AB的中点为C(－1,2)，则△CF1F2的面积为(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 考向三 直线与椭圆的综合问题 1.(2024·安徽A10联盟联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点到右顶点的距离为，点M在C上，且点M到右焦点距离的最大值为3，过点P(0,2)且不与x轴垂直的直线l与C交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)记O为坐标原点，求△AOB面积的最大值． 【变式训练】 (2025·浙江名校新高考研究联盟联考)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，M为线段OA的中点，P为椭圆上动点，且△MPB面积的最大值为. (1)求椭圆E的方程； (2)延长PM交椭圆于Q，若·＝6，求直线PQ的方程． 【知识拓展】 与椭圆相关的创新应用问题 1.(2024·江西九校联考)如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P(当成质点)篮球的影子是椭圆，篮球的接触点(切点)就是影子椭圆的焦点，点P到桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A，影子椭圆的右顶点到A点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e＝________. 【变式训练】 (2025·河南鹤壁高中月考)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1 000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则e2＝(　　) A． B．7－2 C．3－2 D．3－5 【限时训练】（限时：60分钟） 【基础必刷题】 一、单选题 1．(2025·福建泉州适应性练习)椭圆C：x2＋2y2＝1，其右焦点为F，若直线l过点F与C交于A，B，则|AB|最小值为(　　) A． B．1 C． D．2 2．(2024·福建三明一中月考)焦距为2，并且截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为(　　) A．x2＋＝1 B．x2＋3y2＝1 C．＋＝1 D．x2＋＝1或＋y2＝1 3．(2024·浙江杭金湖四校联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F2，过右焦点作x轴垂线交椭圆于B、C两点，连接BO并延长交AC于点M，若M为AC的中点，则椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 4．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　) A．2 B． C． D． 5．(2024·安徽江淮十校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1，过左焦点F1作倾斜角为的直线交椭圆于A，B两点，且＝3，则椭圆C的离心率为(　　) A． B． C． D． 6．(2024·贵州名校协作体联考)已知椭圆C：＋＝1的左右焦点分别为F1，F2，点M在直线l：x＋y－4＝0上运动，则·的最小值为(　　) A．7 B．9 C．13 D．15 7．(2025·江苏扬州高邮月考)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若M(1，－1)且＋＝2，则E的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 8．(2025·江西抚州联考)已知椭圆T：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，过F且斜率为1的直线l与T交于A，B两点，若线段AB的中点M在直线x＋2y＝0上，则T的离心率为(　　) A． B． C． D． 二、多选题 9．(2025·广东大湾区调研)若某等腰直角三角形的其中两个顶点恰为椭圆C的两个焦点，另一个顶点在C上，则C的离心率可能为(　　) A． B． C．－1 D． 10．如图所示，用一个与圆柱底面成θ角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，θ＝，则下列说法正确的是(　　) A．椭圆的长轴长等于4 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的标准方程可以是＋＝1 D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4－2 11．(2025·河北沧州联考)已知椭圆C：＋＝1的焦点分别为F1(0,2)，F2(0，－2)，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点P为线段MN的中点，则下列说法正确的是(　　) A．m2＝6 B．椭圆C的离心率为 C．直线l的方程为3x＋y－2＝0 D．△F2MN的周长为4 12．(2025·四川大数据精准教学联盟联考)已知椭圆E：＋＝1的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2过点F1的直线与椭圆相交于P，Q两点，则(　　) A．|F1F2|＝1 B．|PQ|≤4 C．当F2，P，Q不共线时，△F2PQ的周长为8 D．设点P到直线x＝－4的距离为d，则d＝2|PF1| 三、解答题 13．(2024·河南模拟预测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(，)为椭圆C上一点，且△PF1F2的面积为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若倾斜角为的直线l与C相交于两个不同的点A，B，求|AB|的最大值． 14．(2025·四川巴中诊断)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，点M在椭圆C上，且·＝－. (1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆C的右焦点为F，过点F斜率不为0的直线l交椭圆C于P，Q两点，记直线MP与直线MQ的斜率分别为k1，k2，当k1＋k2＝0时，求△MPQ的面积． 【巩固必刷题】 1．(2024·河北邢台五校质检联盟期中)已知椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A、B，P为C上异于A、B的一点，直线PA，PB与直线x＝4分别交于M、N两点，则|MN|的最小值为(　　) A． B．7 C． D．6 2．(2024·江苏淮安淮阴中学期中)若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为(　　) A．1 B．－1 C．－ D．以上都不对 3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，以F2为圆心，F1F2为半径的圆与椭圆C交于M，N两点，若|OM|＝|MF1|，则椭圆C的离心率为(　　) A．－1 B．2－ C．－1 D．2－ 4．(2025·河南许昌中学月考)已知椭圆C的两个焦点坐标分别是F1(－2,0)，F2(2,0)，且经过点P. (1)求C的标准方程； (2)已知直线l与PF2平行，且与C有且只有一个公共点，求l的方程． 5．(2025·湖北“宜荆荆恩”联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点M，且离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，且|FA|＝2|FB|，求l的方程． 【尖子拔高题】(2023·四川内江零模)已知A，B是椭圆C：＋y2＝1上的两点． (1)若直线AB的斜率为1，求|AB|的最大值； (2)线段AB的垂直平分线与x轴交于点N(t,0)，求t的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章　平面解析几何 第5节 椭圆（第二课时） 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 知识点1　椭圆的定义★★★☆☆ 知识点2　椭圆的标准方程和几何性质★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时训练挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 第二课时 【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　 考向一 直线与椭圆的位置关系——自主练透 1.若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　) A．m>1 B．m>0 C．0<m<5且m≠1 D．m≥1且m≠5 【答案】D 【解析】解法一：由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)， 所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上， 则0<≤1且m≠5， 故m≥1且m≠5.故选D. 解法二：由 消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0. 由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立， 即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立， ∴即m≥1， 又m≠5，∴m≥1且m≠5. 故选D. 【名师点拨】 1．判断直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数． 其步骤为： →联立直线方程和椭圆方程 →消元，化简整理得到关于x(或y)的一元二次方程 2．对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点． 【变式训练】 　(2025·广东部分学校入学考试)已知直线l：y＝x－3与椭圆C：＋＝1相交，则C的长轴长的取值范围是________. 【答案】 【解析】将y＝x－3代入＋＝1，得5x2－6x＋9－4m＝0，则Δ＝36－20(9－4m)>0，解得m>.因为C的长轴长为2＝4，所以C的长轴长的取值范围是. 考向二 椭圆弦的问题——多维探究 角度1　弦长问题 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4. (1)求椭圆的方程； (2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程． 【解析】(1)由题意知e＝＝，又2a＝4，即a＝2， ∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3， 所以椭圆的方程为＋＝1. (2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件； ②当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则直线CD的方程为y＝－(x－1)． 将直线AB的方程代入椭圆方程中，消去y并整理，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 所以|AB|＝|x1－x2| ＝· ＝. 同理，|CD|＝， 所以|AB|＋|CD|＝＋ ＝＝，解得k＝±1， 所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0. [引申]本例中|AB|的最小值为________. 【答案】3 【解析】当AB⊥x轴时，将x＝1代入椭圆方程得y＝±，∴|AB|＝3，当AB不垂直x轴时，由例知|AB|＝3＋>3，∴|AB|的最小值为3. 【名师点拨】直线被圆锥曲线截得弦长的求法 1．当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． 2．“设而不求”，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解． 当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长|AB|＝＝·|x1－x2|＝·|y1－y2|(k≠0)． 提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．过焦点的椭圆的弦中，垂直长轴的弦(通径)最短，为. 【变式训练】 　(2024·陕西宝鸡二模)已知点B是圆C：(x－1)2＋y2＝16上的任意一点，点F(－1,0)，线段BF的垂直平分线交BC于点P. (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)直线l：y＝2x＋m与E交于点M，N，且|MN|＝，求m的值． 【解析】(1)由条件可得|PC|＋|PF|＝|PC|＋|PB|＝|BC|＝4>|FC|＝2， 所以动点P的轨迹E是以F，C为焦点的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)， 所以2a＝4,2c＝2， 所以a＝2，c＝1，b＝， 所以方程为＋＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立可得19x2＋16mx＋4m2－12＝0， 所以由Δ＝256m2－76(4m2－12)>0， 得m∈(－，)， x1＋x2＝－，x1x2＝， 因为|MN|＝＝＝， 所以可解得m＝±1. 角度2　中点弦问题 1.已知椭圆＋y2＝1. (1)若点P，则以P为中点的椭圆的弦所在直线的方程为____________. (2)斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为____________. (3)过点M(2,1)的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程为____________. 【答案】(1)2x＋4y－3＝0　(2)x＋4y＝0，y∈　(3)x2－2x＋2y2－2y＝0(x＋y－1<0) 【解析】(1)设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为M(x0，y0)，则有＋y＝1，＋y＝1. 两式作差，得＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0. ∵x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝kAB， 代入后求得kAB＝－＝－， ∴所求方程为y－＝－，即2x＋4y－3＝0. (2)解法一：由题意k＝＝－＝－＝2，即x0＋4y0＝0， ∴所求轨迹方程为x＋4y＝0，y∈. 解法二：设弦的方程为y＝2x＋b. 由得9x2＋8bx＋2b2－2＝0， ∴Δ＝(8b)2－36(2b2－2)>0，即－3<b<3， x＝＝－，y＝2x＋b＝. ∴所求轨迹方程为x＋4y＝0，y∈. (3)由＝－＝－＝k＝ 得所求轨迹方程为x2－2x＋2y2－2y＝0， (包含在椭圆内部的部分) 由即 故所求轨迹方程为x2－2x＋2y2－2y＝0(x＋y－1<0)． 【名师点拨】圆锥曲线“中点弦”问题的解法 1．点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和直线l斜率的关系求得． 2．根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解．注意不要忽略对判别式的讨论． 【变式训练】 　(2025·江苏南通如皋中学测试)已知直线x－4y＋9＝0与椭圆＋＝1(0<b<4)相交于A，B两点，椭圆的两个焦点是F1，F2，线段AB的中点为C(－1,2)，则△CF1F2的面积为(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 【答案】B 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题可知＝，x1＋x2＝－2，y1＋y2＝4， 则所以＝－， 即＝，解得b2＝8， 所以c2＝a2－b2＝16－8＝8，则c＝2， 所以S△CF1F2＝×2c×2＝4，故选B. 考向三 直线与椭圆的综合问题 1.(2024·安徽A10联盟联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点到右顶点的距离为，点M在C上，且点M到右焦点距离的最大值为3，过点P(0,2)且不与x轴垂直的直线l与C交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)记O为坐标原点，求△AOB面积的最大值． 【解析】(1)由题意得，解得a2＝4，b2＝3，故C的方程为＋＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y＝kx＋2， 联立 整理得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0. 由Δ>0得k2>， 且x1＋x2＝－，x1x2＝， ∴S△AOB＝S△POB－S△POA＝|OP||x1－x2|＝|x1－x2| ＝＝ ＝. 令t＝>0，故4k2＝＋1， 故S△AOB＝＝≤， 当且仅当t＝，即t＝2，k＝±时等号成立， 故△AOB面积的最大值为. 【名师点拨】 题目给出直线l过定点P，一般设出直线l的方程，利用弦长公式求出|AB|，利用点到直线的距离公式求三角形AB边上的高，从而可求得三角形面积，建立函数模型求最值． 注意到|OP|为定值，用“割补法”表示三角形面积可简化运算． 【变式训练】 (2025·浙江名校新高考研究联盟联考)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，M为线段OA的中点，P为椭圆上动点，且△MPB面积的最大值为. (1)求椭圆E的方程； (2)延长PM交椭圆于Q，若·＝6，求直线PQ的方程． 【解析】(1)由条件得e＝＝，即a＝2c， 则OM＝a＝c， (S△BMP)max＝b(a＋c)＝c2＝， 解得a＝2，b＝，c＝1， 所以椭圆E的方程为＋＝1. (2)由题意可知：A(－2,0)，B(2,0)， 则M(－1,0)，且直线OQ与椭圆必相交， ①若直线PQ的斜率不存在， 可知PQ：x＝－1， 联立方程 解得y＝±， 不妨取P，Q， 则＝，＝， 可得·＝9－＝≠6，不合题意； ②若直线PQ的斜率存在，设直线， PQ：y＝k(x＋1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)， 与椭圆联列方程得 消去y得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0， 可得x1＋x2＝－，x1x2＝， 则·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝(x1－2)(x2－2)＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋(k2－2)(x1＋x2)＋4＋k2＝－＋4＋k2＝＝6，即k2＝6，解得k＝± 所以直线PQ的方程为y＝±(x＋1)； 综上所述：直线PQ的方程为y＝±(x＋1)． 【知识拓展】 与椭圆相关的创新应用问题 1.(2024·江西九校联考)如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P(当成质点)篮球的影子是椭圆，篮球的接触点(切点)就是影子椭圆的焦点，点P到桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A，影子椭圆的右顶点到A点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e＝________. 【答案】 【解析】以A为坐标原点建立平面直角坐标系， 由题意可知，|NQ|＝a＋c，|QR|＝a－c，由题意可得P(0,4)，R(－3,0)，则PR：4x－3y＋12＝0，kPR＝，设M(n,1)，Q(n,0)，则M到PR的距离d＝＝1，解得n＝－1(舍去)，n＝－，则|QR|＝－3＝＝a－c，又设PN：kx－y＋4＝0，由d＝＝1，得45k2－84k＋32＝0.∴kPR·kPN＝，则kPN＝，得xN＝－，∴2a＝－3＝，则a＝，故得c＝.∴椭圆的离心率e＝＝. 【变式训练】 (2025·河南鹤壁高中月考)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1 000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则e2＝(　　) A． B．7－2 C．3－2 D．3－5 【答案】D 【解析】因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，由图可知，椭圆的短半轴长b＝2，如图，DH＝HC＝AH＝2，∴AD⊥DC，∴DC＝AD＝2，又∠ABD＝60°，∴BD＝＝，∴2a＝BC＝2＋，∴a＝＋，∴e2＝＝1－＝1－2＝3－5.故选D. 【限时训练】（限时：60分钟） 【基础必刷题】 一、单选题 1．(2025·福建泉州适应性练习)椭圆C：x2＋2y2＝1，其右焦点为F，若直线l过点F与C交于A，B，则|AB|最小值为(　　) A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】要使|AB|最小，即为l和焦点F在的轴垂直的直线截得的线段长．右焦点为，直线为x＝，联立此直线和椭圆解得交点的纵坐标为±，故|AB|最小值为1.故选B. 2．(2024·福建三明一中月考)焦距为2，并且截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为(　　) A．x2＋＝1 B．x2＋3y2＝1 C．＋＝1 D．x2＋＝1或＋y2＝1 【答案】A 【解析】设椭圆方程为＋＝1，m>0，n>0，m≠n， 直线y＝2x－1与椭圆相交的两点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知x1＋x2＝， 所以y1＋y2＝(2x1－1)＋(2x2－1)＝2(x1＋x2)－2＝2×－2＝－， 又两式相减得＋＝0， 整理得＝－，所以2＝＝，即n＝3m. 又c＝＝，由解得 故椭圆的标准方程为x2＋＝1.故选A． 3．(2024·浙江杭金湖四校联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F2，过右焦点作x轴垂线交椭圆于B、C两点，连接BO并延长交AC于点M，若M为AC的中点，则椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当x＝c时，＋＝1，∴y＝±， ∴A(－a,0)，B，C，O(0,0)， 故M， ∴＝，＝， 又∥，所以·－c＝0，∴a＝2c，∴e＝.故选A． 4．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　) A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t， 由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0， 则x1＋x2＝－t，x1x2＝. ∴|AB|＝|x1－x2| ＝· ＝·＝·， 当t＝0时，|AB|max＝.故选C． 5．(2024·安徽江淮十校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1，过左焦点F1作倾斜角为的直线交椭圆于A，B两点，且＝3，则椭圆C的离心率为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设F1(－c,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点F1倾斜角为的直线方程为x＝y－c，由得(a2＋3b2)y2－2b2cy－b4＝0， 所以y1＋y2＝，y1y2＝－，① 因为＝3，所以y1＝－3y2，② 由①②得＝，所以a2＋3b2＝9c2， 联立得a2＝3c2，e2＝⇒e＝.故选C． 6．(2024·贵州名校协作体联考)已知椭圆C：＋＝1的左右焦点分别为F1，F2，点M在直线l：x＋y－4＝0上运动，则·的最小值为(　　) A．7 B．9 C．13 D．15 【答案】A 【解析】由椭圆C：＋＝1可得F1(－1,0)，F2(1,0)，点M在直线l：x＋y－4＝0上运动，设M(x，－x＋4)，则·＝(－1－x，x－4)·(1－x，x－4)＝x2－1＋(x－4)2＝2x2－8x＋15＝2(x－2)2＋7，当x＝2时，2(x－2)2＋7取到最小值7，即·的最小值为7，故选A． 7．(2025·江苏扬州高邮月考)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若M(1，－1)且＋＝2，则E的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 【答案】D 【解析】因为右焦点F(3,0)，故a2＝b2＋9， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＋＝2可知M是AB的中点， ∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，且＋＝1，＋＝1， 两式相减得＋＝0， ∴kAB＝＝－＝－＝＝＝kFM＝， ∴a2＝2b2＝b2＋9，∴b2＝9，a2＝18， 故椭圆E方程为＋＝1，故选D. 8．(2025·江西抚州联考)已知椭圆T：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，过F且斜率为1的直线l与T交于A，B两点，若线段AB的中点M在直线x＋2y＝0上，则T的离心率为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y＝x－c，由题意可知，线段AB的中点M是直线l与直线x＋2y＝0的交点，联立解得M，另一方面．联立得(a2＋b2)x2－2a2cx＋a2c2－a2b2＝0.易知Δ>0，由韦达定理得x1＋x2＝＝c，解得a2＝2b2，所以a2＝2(a2－c2)．故离心率e＝＝.故选D. 二、多选题 9．(2025·广东大湾区调研)若某等腰直角三角形的其中两个顶点恰为椭圆C的两个焦点，另一个顶点在C上，则C的离心率可能为(　　) A． B． C．－1 D． 【答案】BC 【解析】在等腰直角△ABC中，在不影响离心率的情况下不妨设∠A＝，AB＝AC＝k，k>0，且椭圆焦点位于x轴上，当椭圆以B，C为焦点时，根据椭圆和等腰直角三角形对称性知点A为椭圆上顶点，则2a＝2k，a＝k；2c＝k，c＝k，离心率e＝＝＝.当椭圆以A，C或A，B为焦点时，2a＝k＋k＝(1＋)k，a＝，2c＝k，c＝，离心率e＝＝＝－1，综上，椭圆的离心率为或－1.故选BC． 10．如图所示，用一个与圆柱底面成θ角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，θ＝，则下列说法正确的是(　　) A．椭圆的长轴长等于4 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的标准方程可以是＋＝1 D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4－2 【答案】BCD 【解析】设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，则由截面与圆柱底面成锐二面角θ＝得：2a＝＝8，解得a＝4，A不正确；显然b＝2，则c＝＝2，离心率e＝＝，B正确；当以椭圆长轴所在直线为x轴，短轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程为＋＝1，C正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c＝4－2，D正确．故选BCD. 11．(2025·河北沧州联考)已知椭圆C：＋＝1的焦点分别为F1(0,2)，F2(0，－2)，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点P为线段MN的中点，则下列说法正确的是(　　) A．m2＝6 B．椭圆C的离心率为 C．直线l的方程为3x＋y－2＝0 D．△F2MN的周长为4 【答案】AC 【解析】根据题意，因为焦点在y轴上，所以m2－2＝4，则m2＝6，故选项A正确；椭圆C的离心率为e＝＝＝，故选项B不正确；根据点差法的结论可得kl·kOP＝－＝－3，所以kl＝－3，所以直线l的方程为y－＝－3，即3x＋y－2＝0，故选项C正确；因为直线l过F1，所以△F2MN的周长为4a＝4，故选项D不正确，故选AC． 12．(2025·四川大数据精准教学联盟联考)已知椭圆E：＋＝1的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2过点F1的直线与椭圆相交于P，Q两点，则(　　) A．|F1F2|＝1 B．|PQ|≤4 C．当F2，P，Q不共线时，△F2PQ的周长为8 D．设点P到直线x＝－4的距离为d，则d＝2|PF1| 【答案】BCD 【解析】由题意知：a＝2，b＝，∴c＝＝1， ∴|F1F2|＝2c＝2，A错误； ∵PQ为椭圆C的焦点弦，∴|PQ|≤2a＝4，B正确； ∵|PF1|＋|PF2|＝|QF1|＋|QF2|＝2a＝4， ∴△F2PQ的周长为|PQ|＋|PF2|＋|QF2|＝|PF1|＋|PF2|＋|QF1|＋|QF2|＝8，C正确； 作PM垂直于直线x＝－4，垂足为M， 设P(x0，y0)，则d＝|PM|＝|x0＋4|，∵F1(－1,0)， ∴|PF1|＝＝＝＝＝|x0＋2|， ∴2|PF1|＝|x0＋4|，∴d＝2|PF1|，D正确．故选BCD. 三、解答题 13．(2024·河南模拟预测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(，)为椭圆C上一点，且△PF1F2的面积为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若倾斜角为的直线l与C相交于两个不同的点A，B，求|AB|的最大值． 【解析】(1)由题意可得 解得 故椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)k＝tan ＝1，故可设lAB：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立消去y可得4x2＋6tx＋3t2－12＝0， Δ＝36t2－16(3t2－12)＝12(16－t2)>0，即－4<t<4， x1＋x2＝＝－，x1x2＝， 则|AB|＝·＝· ＝·＝， 则当t＝0时，|AB|有最大值，且其最大值为＝2. 14．(2025·四川巴中诊断)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，点M在椭圆C上，且·＝－. (1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆C的右焦点为F，过点F斜率不为0的直线l交椭圆C于P，Q两点，记直线MP与直线MQ的斜率分别为k1，k2，当k1＋k2＝0时，求△MPQ的面积． 【解析】(1)由题意知A1(－a,0)，A2(a,0)， 又M，则＝，＝， ∴(－a－1)(a－1)＋2＝－，解得a＝2(负值舍去)， 由M在椭圆C上及a＝2得＋＝1， 解得b2＝3， ∴椭圆C的方程为＋＝1. (2)由(1)知，右焦点为F(1,0)， 据题意设直线l的方程为x＝my＋1(m≠0)，P(my1＋1，y1)，Q(my2＋1，y2)， 则k1＝＝，k2＝＝， 于是由k1＋k2＝0得＋＝0， 化简得4y1y2＝3(y1＋y2)(*) 由消去x整理得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0， Δ＝(6m)2＋36(3m2＋4)＝144(m2＋1)>0， y1＋y2＝－，y1y2＝－， 代入(*)式得－＝－， 解得m＝2， ∴直线l的方程为x－2y－1＝0， 解法一：Δ＝144(22＋1)＝720，y1＋y2＝－，y1y2＝－， |PQ|＝|y1－y2|＝＝， 又点M到直线l的距离d＝＝， ∴S△MPQ＝|PQ|d＝××＝. 解法二：由题意可知S△MPQ＝S△MPF＋S△MQF＝|MF|(|xP|＋|xQ|)＝(|xP|＋|xQ|)， 将x－2y－1＝0代入3x2＋4y2－12＝0消去y得4x2＋2x－11＝0， ∴Δ＝22－4×4×(－11)＝180>0， xP＋xQ＝－，xPxQ＝－<0， ∴S△MPQ＝(|xP|＋|xQ|)＝|xP－xQ| ＝＝×＝. 注：也可直接解出xP，xQ求解． 【巩固必刷题】 1．(2024·河北邢台五校质检联盟期中)已知椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A、B，P为C上异于A、B的一点，直线PA，PB与直线x＝4分别交于M、N两点，则|MN|的最小值为(　　) A． B．7 C． D．6 【答案】D 【解析】设P(x0，y0)，则＋＝1，易知A(－2，0)，B(2,0)，直线PA和直线PB的斜率之积kPA·kPB＝·＝＝－，设直线PA的方程为y＝k(x＋2)，则M(4,6k)，直线PB的方程为y＝－(x－2)，则N，所以|MN|＝≥2＝6.当且仅当k＝±时，等号成立，故选D. 2．(2024·江苏淮安淮阴中学期中)若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为(　　) A．1 B．－1 C．－ D．以上都不对 【答案】C 【解析】设直线y＝k(x－2)，代入椭圆方程消去y得(4＋k2)x2－4k2x＋4k2－4＝0，令Δ＝16k4－4(4＋k2)(4k2－4)＝0，解得k＝±，由图可知，直线与椭圆相切时k取得最值，所以kmin＝－，即的最小值为－.故选C． 3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，以F2为圆心，F1F2为半径的圆与椭圆C交于M，N两点，若|OM|＝|MF1|，则椭圆C的离心率为(　　) A．－1 B．2－ C．－1 D．2－ 【答案】B 【解析】由题意得，|F1F2|＝|MF2|＝2c，由椭圆定义得|MF1|＋|MF2|＝2a，故|MF1|＝|OM|＝2a－2c，∵|F1F2|＝|MF2|，|OM|＝|MF1|，∴∠F2MF1＝∠F2F1M＝∠MF1O，∴△MF1O与△F2MF1相似，∴＝，即＝，整理得c2－4ac＋2c2＝0，故e2－4e＋2＝0，解得e＝2±，由0<e<1得，e＝2－，即椭圆C的离心率为2－.故选B. 4．(2025·河南许昌中学月考)已知椭圆C的两个焦点坐标分别是F1(－2,0)，F2(2,0)，且经过点P. (1)求C的标准方程； (2)已知直线l与PF2平行，且与C有且只有一个公共点，求l的方程． 【解析】(1)由于椭圆C的焦点在x轴上， 所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由椭圆的定义知， c＝2,2a＝＋＝2， 可得a＝，所以b2＝a2－c2＝10－4＝6， 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)已知l∥PF2，所以kl＝kPF2＝＝3， 设直线l方程为y＝3x＋m， 由方程组消去y， 得48x2＋30mx＋5m2－30＝0， 该方程的判别式 Δ＝900m2－4×48×(5m2－30)＝－60(m2－96)， 由Δ＝－60(m2－96)＝0，得m＝±4， 此时l与C有且只有一个公共点，所以l的方程为：y＝3x±4. 5．(2025·湖北“宜荆荆恩”联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点M，且离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，且|FA|＝2|FB|，求l的方程． 【解析】(1)联立 得a2＝4，b2＝3， 故所求椭圆的方程为C：＋＝1. (2)如图：易知F(1,0)． ①当l斜率为0时，|FA|＝3|FB|或|FB|＝3|FA|，不符合题意． ②当l斜率不为0时设l：x＝my＋1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 消去x得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0. 所以y1＋y2＝，y1·y2＝， 由|FA|＝2|FB|得y1＝－2y2，代入以上两式消去y1，y2得m＝±. 故l：x＝±y＋1，化为一般方程为x±2y－＝0. 【尖子拔高题】(2023·四川内江零模)已知A，B是椭圆C：＋y2＝1上的两点． (1)若直线AB的斜率为1，求|AB|的最大值； (2)线段AB的垂直平分线与x轴交于点N(t,0)，求t的取值范围． 【解析】(1)设直线AB的方程为y＝x＋m， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程得4x2＋6mx＋3m2－3＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝， Δ＝48－12m2>0， 所以|AB|＝ ＝＝≤. 当m＝0(满足Δ>0)时，|AB|取得最大值. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)， 第一种情况，若直线AB平行于x轴，则线段AB的垂直平分线为y轴，即t＝0， 第二种情况，若直线AB不平行于x轴， 又因为线段AB的垂直平分线与x轴相交，所以直线AB不平行于y轴，即x1≠x2， 由两式相减整理得 ·＝－，　① 因为M(x0，y0)是AB的中点， 所以2x0＝x1＋x2,2y0＝y1＋y2， 因为MN⊥AB， 所以kAB＝＝－＝， 所以①变形为·＝－，化简得t＝x0， 其中－<x0<0或0<x0<， 所以－<t<0或0<t<， 综上两种情况，t的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$