第二章 第6节 指数与指数函数（知识点梳理+限时挑战）-【精准备考】2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）

第二章 函数 第6节　指数与指数函数 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 根式的概念及性质★★☆☆☆ 考点2 分数指数幂 ★★★☆☆ 考点3 实数指数幂的运算性质 ★★★☆☆ 考点4 指数函数的概念★★★☆☆ 考点5 指数函数的图象与性质★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 考点1 根式的概念及性质 (1)概念:式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数. (2)性质:①负数没有偶次方根. ②0的任何次方根都是0,记作=0. ③()n=a(n∈N*,且n>1). ④=a(n为大于1的奇数). ⑤=|a|=(n为大于1的偶数). 考点2 分数指数幂 规定:正数的正分数指数幂的意义是=(a>0,m,n∈N*,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是=(a>0,m,n∈N*,且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义. 考点3 实数指数幂的运算性质 aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈R. 考点4 指数函数的概念 函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R. 考点5 指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0,+∞) 性质 过定点(0,1),即x=0时,y=1 当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1 当x<0时,y>1; 当x>0时,0<y<1 在(-∞,+∞)上是增函数 在(-∞,+∞)上是减函数 y=ax与y=的图象关于y轴对称 【名师点拨】 1.画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),. 2.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分a>1与0<a<1来研究. 3.如图所示是指数函数 (1)y=ax,(2)y=bx, (3)y=cx,(4)y=dx的图象,则c>d>1>a>b>0. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y=2x-1是指数函数.(　　) (2)函数y=(a>1)的值域是(0,+∞).(　　) (3)2-3>2-4.(　　) (4)若am<an(a>0,且a≠1),则m<n.(　　) 2.(苏教必修一P165T5改编)(多选)若函数y=ax(a>0,a≠1)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差为,则实数a的值为(　　) A.2 B. C. D. 3.(人教B必修二P13练习A T2改编)已知a=0.750.1,b=1.012.7,c=1.013.5,则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b 4.(人教A必修一P110T8改编)已知+=3,则a+a-1=　　　　;a2+a-2=　　　　.  【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　指数幂的运算 【典例】1.化简: (1)÷×; (2)(0.008 1-×[81-0.25+]-10×0.02. 【变式训练】1.(多选)已知a+a-1=3,则下列选项正确的是(　　) A.a2+a-2=7 B.-=±1 C.+=± D.+=2 【变式训练】2.+-2×(-2) -1++3=　　　　.  考点二　指数函数的图象及应用 【典例】2.(多选)已知a>0,则函数f(x)=ax-2a的图象可能是(　　) 【典例】3.(多选)(2025·石家庄调研)点M(x1,y1)在函数y=ex的图象上,当x1∈[0,1)时,的值可能等于(　　) A.-1 B.-2 C.-3 D.0 【变式训练】3.(多选)已知实数a,b满足等式3a=6b,则下列可能成立的关系式为(　　) A.a=b B.0<b<a C.a<b<0 D.0<a<b 【变式训练】4.(2025·深圳质检)若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个交点,则a的取值范围是　　　　.  考点三　指数函数的性质及应用 角度1　比较大小 【典例】4.已知a=,b=,c=,则(　　) A.c<a<b B.b<c<a C.b<a<c D.c<b<a 角度2　解指数方程或不等式 【典例】5.已知y=4x-3·2x+3的值域为[1,7],则x的取值范围是(　　) A.[2,4] B.(-∞,0) C.(0,1)∪[2,4] D.(-∞,0]∪[1,2] 【典例】6.(2025·武汉质检)已知p:ax<1(a>1),q:-x<2,则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 角度3　指数函数性质的综合应用 【典例】7.已知函数f(x)=(a为常数,且a≠0,a∈R),且f(x)是奇函数. (1)求a的值; (2)若∀x∈[1,2],都有f(2x)-mf(x)≥0成立,求实数m的取值范围. 【变式训练】5.(多选)若4m-4n<5-m-5-n,则下列关系正确的是(　　) A.m<n B.n-3>m-3 C.< D.3-n<3-m 【变式训练】6.(多选)(2025·临沂模拟)已知函数f(x)=+a(a∈R),则(　　) A.f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞) B.f(x)的值域为R C.当a=1时,f(x)为奇函数 D.当a=2时,f(-x)+f(x)=2 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.下列结论中,正确的是(　　) A.若a>0,则·=a B.若m8=2,则m=± C.若a+a-1=3,则+=± D.=2-π 2.(2025·重庆诊断)已知f(x)=为奇函数,则f(1)=(　　) A. B.- C.2 D.-2 3.已知函数f(x)=ax-a(a>1),则函数f(x)的图象不经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.(2025·盐城调研)已知函数f(x)=,则f(x)的单调递增区间为(　　) A. B. C. D. 5.已知a=31.2,b=1.20,c=,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a<c<b B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a 6.(2025·北京房山区质检)生态环境保护是功在当代,利在千秋的事业,良好的生态环境既是自然财富,也是经济财富,关系经济社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放,已知过滤过程中污染物的残留数量P(单位:毫米/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的函数关系为P=P0·e-kt(t≥0),其中k为常数,k>0,P0为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时,若前9小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%,则再继续过滤3小时,废气中污染物的残留量约为原污染物的(参考数据:≈0.585)(　　) A.12% B.10% C.9% D.6% 7.(2025·西安模拟)已知函数f(x)=,则下列结论不正确的是(　　) A.函数f(x)的定义域为R B.函数f(x)的值域为(-1,1) C.函数f(x)是奇函数 D.函数f(x)为减函数 8.(2025·长沙模拟)已知x∈(1,2),a=,b=(2x)2,c=,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.c>a>b 二、多选题 9.下列化简中正确的有(　　) A.()-1·(a-2= B.(y)a·(4y-a)=4x C.[(1-)2-(1+) -1+(1+)0=3-2 D.2a3·(-5)÷(4)=- 10.已知函数f(x)=a·+b的图象经过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,则下列说法正确的是(　　) A.a+b=0 B.若f(x)=f(y),且x≠y,则x+y=0 C.若x<y<0,则f(x)<f(y) D.f(x)的值域为[0,2) 11.已知函数f(x)=m-是定义域为R的奇函数,则下列说法正确的是(　　) A.m= B.函数f(x)在R上的最大值为 C.函数f(x)是减函数 D.存在实数n,使得关于x的方程f(x)-n=0有两个不相等的实数根 三、填空题 12.化简(a>0,b>0)的结果是　　　　.  14.(2025·河南名校大联考)已知函数f(x)满足f(x)=f(x+4),当x∈[-1,3)时,f(x)=2x+a,且f(2 027)=4,则当x∈[-7,-3)时,不等式f(x)>的解集为　　　　.  四、解答题 15.已知定义域为R的函数f(x)=ax-(k-1)·a-x(a>0,且a≠1)是奇函数. (1)求实数k的值; (2)若f(1)<0,判断函数f(x)的单调性,若f(m2-2)+f(m)>0,求实数m的取值范围. 16.已知f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且f(x)+g(x)=21-x. (1)求f(x),g(x)的解析式; (2)若对任意的x∈R,f(x)≥恒成立, 求实数n的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 函数 第6节　指数与指数函数 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 根式的概念及性质★★☆☆☆ 考点2 分数指数幂 ★★★☆☆ 考点3 实数指数幂的运算性质 ★★★☆☆ 考点4 指数函数的概念★★★☆☆ 考点5 指数函数的图象与性质★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 考点1 根式的概念及性质 (1)概念:式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数. (2)性质:①负数没有偶次方根. ②0的任何次方根都是0,记作=0. ③()n=a(n∈N*,且n>1). ④=a(n为大于1的奇数). ⑤=|a|=(n为大于1的偶数). 考点2 分数指数幂 规定:正数的正分数指数幂的意义是=(a>0,m,n∈N*,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是=(a>0,m,n∈N*,且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义. 考点3 实数指数幂的运算性质 aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈R. 考点4 指数函数的概念 函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R. 考点5 指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0,+∞) 性质 过定点(0,1),即x=0时,y=1 当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1 当x<0时,y>1; 当x>0时,0<y<1 在(-∞,+∞)上是增函数 在(-∞,+∞)上是减函数 y=ax与y=的图象关于y轴对称 【名师点拨】 1.画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),. 2.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分a>1与0<a<1来研究. 3.如图所示是指数函数 (1)y=ax,(2)y=bx, (3)y=cx,(4)y=dx的图象,则c>d>1>a>b>0. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y=2x-1是指数函数.(　　) (2)函数y=(a>1)的值域是(0,+∞).(　　) (3)2-3>2-4.(　　) (4)若am<an(a>0,且a≠1),则m<n.(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 【解析】(1)由于指数函数解析式为y=ax(a>0,且a≠1),故y=2x-1不是指数函数,(1)错误. (2)由于x2+1≥1,又a>1,∴≥a. 故y=(a>1)的值域是[a,+∞),(2)错误. (4)m与n的大小关系与a的取值有关,(4)错误. 2.(苏教必修一P165T5改编)(多选)若函数y=ax(a>0,a≠1)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差为,则实数a的值为(　　) A.2 B. C. D. 【答案】CD 【解析】当a>1时,y=ax在[0,1]上单调递增, 此时f(1)-f(0)=a-a0=a-1=, 解得a=; 当0<a<1时,y=ax在[0,1]上单调递减, 此时f(0)-f(1)=a0-a=1-a=, 解得a=. 所以实数a的值为或,故选CD. 3.(人教B必修二P13练习A T2改编)已知a=0.750.1,b=1.012.7,c=1.013.5,则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b 【答案】C 【解析】因为函数y=1.01x在(-∞,+∞)上是增函数,且3.5>2.7,故1.013.5>1.012.7>1>0.750.1,即c>b>a. 4.(人教A必修一P110T8改编)已知+=3,则a+a-1=　　　　;a2+a-2=　　　　.  【答案】7　47 【解析】由+=3,得a+a-1+2=9, 即a+a-1=7,则a2+a-2+2=49, 即a2+a-2=47. 【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　指数幂的运算 【典例】1.化简: (1)÷×; (2)(0.008 1-×[81-0.25+]-10×0.02. 【解析】 (1)原式=÷× =××=××=a. (2)原式=-(3×1)-1×[3-1+]-10×[(0.3)3 =-×-10×0.3 =--3=0. 【思维建模】 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意: (1)必须同底数幂相乘,指数才能相加. (2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 【变式训练】1.(多选)已知a+a-1=3,则下列选项正确的是(　　) A.a2+a-2=7 B.-=±1 C.+=± D.+=2 【答案】ABD 【解析】将a+a-1=3两边平方,得 (a+a-1)2=a2+2+a-2=9, 所以a2+a-2=7,故A正确; 因为(-)2=a-2+a-1=3-2=1,,的大小不确定, 所以-=±1,故B正确; 因为(+)2=a+2+a-1=3+2=5, 又因为>0,>0,所以+=,故C错误; 由立方和公式,可得+=()3+()3=(+)(a-1+a-1)=×(3-1)=2,故D正确. 【变式训练】2.+-2×(-2) -1++3=　　　　.  【答案】1 【解析】+-2×(-2) -1++3 =+-2×+1+ =+-(+2)+1+ =1. 考点二　指数函数的图象及应用 【典例】2.(多选)已知a>0,则函数f(x)=ax-2a的图象可能是(　　) 【答案】AD 【解析】当x=1时,f(1)=a-2a=-a<0,排除B,C; 当a=2时,f(x)=2x-4,此时函数对应的图象可能为A; 当a=时,f(x)=-1,此时函数对应的图象可能为D.故选AD. 【典例】3.(多选)(2025·石家庄调研)点M(x1,y1)在函数y=ex的图象上,当x1∈[0,1)时,的值可能等于(　　) A.-1 B.-2 C.-3 D.0 【答案】BC 【解析】表示过点M(x1,y1)与点A(1,-1)的直线的斜率k. M(x1,y1)是y=ex在x∈[0,1)图象上的动点, 如图,B(1,e),则k∈(-∞,-2],只有B,C满足. 【思维建模】 1.对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 2.有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解. 【变式训练】3.(多选)已知实数a,b满足等式3a=6b,则下列可能成立的关系式为(　　) A.a=b B.0<b<a C.a<b<0 D.0<a<b 【答案】ABC 【解析】由题意,在同一平面直角坐标系内分别画出函数y=3x和y=6x的图象,如图所示, 由图象知,当a=b=0时,3a=6b=1,故A正确; 作出直线y=k,当k>1时,若3a=6b=k,则0<b<a,故B正确; 作出直线y=m,当0<m<1时,若3a=6b=m,则a<b<0,故C正确; 当0<a<b时,易得2b>1,则3a<3b<2b·3b=6b,故D错误. 【变式训练】4.(2025·深圳质检)若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个交点,则a的取值范围是　　　　.  【答案】 【解析】y=|ax-1|的图象是由y=ax的图象先向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象翻折到x轴上方,保持x轴上及其上方的图象不变得到的. 当a>1时,如图1,两图象只有一个交点,不符合题意; 当0<a<1时,如图2,要使两个图象有两个交点,则0<2a<1,即0<a<. 综上可知,a的取值范围是. 考点三　指数函数的性质及应用 角度1　比较大小 【典例】4.已知a=,b=,c=,则(　　) A.c<a<b B.b<c<a C.b<a<c D.c<b<a 【答案】D 【解析】法一　因为a,b,c都大于0, 所以可以同时进行乘方运算, 将分数指数幂化成整数指数幂. a12=()12==38, b12=()12==29, c12=()12==44=28, 很明显,b>c,a>c, 又a12=38=34×34=812=6 561,b12=29=512,所以c<b<a. 法二　通过观察,b与c可化成同底数的指数式,我们先比较b与c,c==(22=, 因为>,所以由函数y=2x在R上单调递增可得,>,即b>c. 下面我们比较a与b, a==(32=,b==(23=, 由指数函数与幂函数性质可得<<,所以b<a. 综上,c<b<a. 角度2　解指数方程或不等式 【典例】5.已知y=4x-3·2x+3的值域为[1,7],则x的取值范围是(　　) A.[2,4] B.(-∞,0) C.(0,1)∪[2,4] D.(-∞,0]∪[1,2] 【答案】D 【解析】∵y=4x-3·2x+3的值域为[1,7], ∴1≤4x-3·2x+3≤7,且2x>0, ∴0<2x≤1或2≤2x≤4, ∴x≤0或1≤x≤2. 【典例】6.(2025·武汉质检)已知p:ax<1(a>1),q:-x<2,则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】∵ax<1,当a>1时,y=ax是增函数, ∴p:{x|x<0}. 对于不等式2x+1<x+2, 作出函数y=2x+1与y=x+2的图象,如图所示. 由图象可知,不等式2x+1<x+2的解集为{x|-1<x<0}, ∴q:{x|-1<x<0}. 又∵{x|-1<x<0}⫋{x|x<0}, ∴p是q的必要不充分条件. 角度3　指数函数性质的综合应用 【典例】7.已知函数f(x)=(a为常数,且a≠0,a∈R),且f(x)是奇函数. (1)求a的值; (2)若∀x∈[1,2],都有f(2x)-mf(x)≥0成立,求实数m的取值范围. 【解析】(1)f(x)=×2x+, 因为f(x)是奇函数, 所以f(-x)=-f(x), 所以×+2x=-, 所以=0, 即+1=0,解得a=-1. (2)因为f(x)=-2x,x∈[1,2], 所以-22x≥m, 所以m≥+2x,x∈[1,2], 令t=2x,t∈[2,4], 由于y=t+在[2,4]上单调递增, 所以m≥4+=, 则实数m的取值范围是. 【思维建模】 1.比较指数式的大小的方法是:(1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小;(2)不能化成同底数的,一般引入“0或1”等中间量比较大小. 2.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化. 3.涉及指数函数的综合问题,首先要掌握指数函数相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 易错警示：在研究指数型函数的单调性时,当底数a与“1”的大小关系不确定时,要分类讨论. 【变式训练】5.(多选)若4m-4n<5-m-5-n,则下列关系正确的是(　　) A.m<n B.n-3>m-3 C.< D.3-n<3-m 【答案】ACD 【解析】由4m-4n<5-m-5-n得4m-5-m<4n-5-n, 令f(x)=4x-5-x,则f(m)<f(n). 因为函数y=4x,y=-5-x在R上都是增函数, 所以f(x)在R上是增函数,所以m<n,故A正确; 当m=1,n=2时,=n-3<m-3=1,故B错误; 因为函数y=在R上单调递增, 所以由m<n得<,故C正确; 因为函数y=3-x在R上单调递减, 所以由m<n得3-n<3-m,故D正确. 【变式训练】6.(多选)(2025·临沂模拟)已知函数f(x)=+a(a∈R),则(　　) A.f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞) B.f(x)的值域为R C.当a=1时,f(x)为奇函数 D.当a=2时,f(-x)+f(x)=2 【答案】ACD 【解析】对于函数f(x)=+a(a∈R), 令2x -1≠0,解得x≠0,所以f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),故A正确; 当x>0时,2x>1,2x -1>0,>0, 所以+a>a; 当x<0时,0<2x <1,-1<2x -1<0,<-2,所以+a<-2+a, 综上可得,f(x)的值域为(-∞,-2+a)∪(a,+∞),故B错误; 当a=1时,f(x)=+1=, 定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), f(-x)==-=-f(x), 所以f(x)=+1为奇函数,故C正确; 当a=2时,f(x)=+2=+1, 则f(x)+f(-x)=+1++1=2, 故D正确. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.下列结论中,正确的是(　　) A.若a>0,则·=a B.若m8=2,则m=± C.若a+a-1=3,则+=± D.=2-π 【答案】B 【解析】对于A,根据分数指数幂的运算法则, 可得·==, 当a=1时,=a; 当a≠1时,≠a,故A错误; 对于B,m8=2,故m=±,故B正确; 对于C,a+=3,则=a+a-1+2=3+2=5, 因为a>0,所以+=,故C错误; 对于D,=|2-π|=π-2,故D错误. 2.(2025·重庆诊断)已知f(x)=为奇函数,则f(1)=(　　) A. B.- C.2 D.-2 【答案】A 【解析】由题意可知f(x)+f(-x)=+=+==0, 所以2x-2-x+ax=0,所以x-(-x+ax)=0, 解得a=2,所以f(x)=,故f(1)==. 3.已知函数f(x)=ax-a(a>1),则函数f(x)的图象不经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B 【解析】y=ax(a>1)是增函数,经过点(0,1), 因为a>1, 所以函数f(x)的图象需由函数y=ax(a>1)的图象向下平移超过1个单位长度得到, 所以函数f(x)=ax-a的图象如图所示. 故函数f(x)的图象不经过第二象限. 4.(2025·盐城调研)已知函数f(x)=,则f(x)的单调递增区间为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】函数f(x)=的定义域为R, 令u=x2-3x+1,y=3u. 因为y=3u在R上单调递增, u=x2-3x+1的单调递增区间为, 所以f(x)的单调递增区间为. 5.已知a=31.2,b=1.20,c=,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a<c<b B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a 【答案】D 【解析】因为b=1.20=1,c==30.9, 且y=3x为增函数,1.2>0.9>0, 所以31.2>30.9>30=1,即a>c>b. 6.(2025·北京房山区质检)生态环境保护是功在当代,利在千秋的事业,良好的生态环境既是自然财富,也是经济财富,关系经济社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放,已知过滤过程中污染物的残留数量P(单位:毫米/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的函数关系为P=P0·e-kt(t≥0),其中k为常数,k>0,P0为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时,若前9小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%,则再继续过滤3小时,废气中污染物的残留量约为原污染物的(参考数据:≈0.585)(　　) A.12% B.10% C.9% D.6% 【答案】A 【解析】因为前9小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%, 所以P0·e-9k=P0, 即e-9k=,所以e-3k=. 再继续过滤3小时,废气中污染物的残留量约为P0·e-12k=P0×(e-3k)4 =P0×≈×0.585×P0≈12%P0. 7.(2025·西安模拟)已知函数f(x)=,则下列结论不正确的是(　　) A.函数f(x)的定义域为R B.函数f(x)的值域为(-1,1) C.函数f(x)是奇函数 D.函数f(x)为减函数 【答案】D 【解析】因为ex>0,所以ex+1>0, 所以函数f(x)的定义域为R,故A正确; f(x)==1-, 由ex>0⇒ex+1>1⇒0<<1⇒ -2<-<0⇒-1<1-<1, 所以函数f(x)的值域为(-1,1),故B正确; 因为f(-x)== ==-f(x), 所以函数f(x)是奇函数,故C正确; 因为函数y=ex+1是增函数, 所以y=ex+1>1, 所以函数y=是减函数, 所以函数y=-是增函数, 故f(x)==1-是增函数,故D不正确. 8.(2025·长沙模拟)已知x∈(1,2),a=,b=(2x)2,c=,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.c>a>b 【答案】B 【解析】因为a=,b=(2x)2=22x,c=,所以只需比较x2,2x,2x在x∈(1,2)时的大小即可.令y1=x2,y2=2x,y3=2x,在同一平面直角坐标系中作出这三个函数在(1,2)上的图象,如图所示, 由图可知,当x∈(1,2)时,2x>2x>x2. 又函数f(t)=2t在R上是增函数, 所以22x>>,即b>c>a. 二、多选题 9.下列化简中正确的有(　　) A.()-1·(a-2= B.(y)a·(4y-a)=4x C.[(1-)2-(1+) -1+(1+)0=3-2 D.2a3·(-5)÷(4)=- 【答案】ABD 【解析】对于A,() -1·(a-2==,故正确; 对于B,(y)a·(4y-a)=4·ya-a=4xy0=4x,故正确; 对于C,[(1-)2-(1+) -1+(1+)0=(-1-+1=-1-(-1)+1=1,故错误; 对于D,2a3·(-5)÷(4)= [2×(-5)÷4]=-,故正确.故选ABD. 10.已知函数f(x)=a·+b的图象经过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,则下列说法正确的是(　　) A.a+b=0 B.若f(x)=f(y),且x≠y,则x+y=0 C.若x<y<0,则f(x)<f(y) D.f(x)的值域为[0,2) 【答案】ABD 【解析】∵函数f(x)=a·+b的图象过原点, ∴a+b=0,即b=-a,f(x)=a·-a, 且f(x)的图象无限接近直线y=2,但又不与该直线相交, ∴b=2,a=-2,f(x)=-2·+2,故A正确; 由于f(x)为偶函数,故若f(x)=f(y),且x≠y,则x=-y,即x+y=0,故B正确; 由于在(-∞,0)上,f(x)=2-2·2x单调递减, 故若x<y<0,则f(x)>f(y),故C错误; ∵∈(0,1], ∴f(x)=-2·+2∈[0,2),故D正确. 11.已知函数f(x)=m-是定义域为R的奇函数,则下列说法正确的是(　　) A.m= B.函数f(x)在R上的最大值为 C.函数f(x)是减函数 D.存在实数n,使得关于x的方程f(x)-n=0有两个不相等的实数根 【答案】AC 【解析】因为函数f(x)=m-是定义域为R的奇函数,所以f(0)=m-=0, 解得m=,此时f(x)=-, 则f(-x)=-=- =-=-1+ =-=-f(x),符合题意,故A正确; 又f(x)=-=-=-, 因为ex>0,所以ex+1>1,则0<<1, 所以-<f(x)<, 即f(x)∈,故B错误; 因为y=ex是增函数,y=ex>0, 且y=在(0,+∞)上单调递减, 所以f(x)=-是减函数,故C正确; 因为f(x)是减函数, 所以y=f(x)与y=n最多有1个交点, 故f(x)-n=0最多有一个实数根, 即不存在实数n,使得关于x的方程f(x)-n=0有两个不相等的实数根,故D错误. 三、填空题 12.化简(a>0,b>0)的结果是　　　　.  【答案】 【解析】= ==ab-1=. 13.已知0≤x≤2,则函数y=-3×2x+5的最大值为　　　　.  【答案】 【解析】设2x=t,0≤x≤2,则1≤t≤4, y=-3×2x+5=t2-3t+5 =(t-3)2+, 故当t=1,即x=0时,函数有最大值. 14.(2025·河南名校大联考)已知函数f(x)满足f(x)=f(x+4),当x∈[-1,3)时,f(x)=2x+a,且f(2 027)=4,则当x∈[-7,-3)时,不等式f(x)>的解集为　　　　.  【答案】[-7,-5]∪(-4,-3) 【解析】由f(x)=f(x+4)知,函数f(x)是周期为4的周期函数, 所以f(2 027)=f(-1)=+a=4,得a=, 所以当x∈[-1,3)时,f(x)=2x+. 当x∈[-7,-5)时,x+8∈[1,3), 则f(x)=f(x+8)=2x+8+>, 解得x>-8,所以x∈[-7,-5); 当x∈[-5,-3)时,x+4∈[-1,1), 则f(x)=f(x+4)=2x+4+>, 解得x>-4,所以x∈(-4,-3). 综上可得,当x∈[-7,3)时,不等式f(x)>的解集为[-7,-5)∪(-4,-3). 四、解答题 15.已知定义域为R的函数f(x)=ax-(k-1)·a-x(a>0,且a≠1)是奇函数. (1)求实数k的值; (2)若f(1)<0,判断函数f(x)的单调性,若f(m2-2)+f(m)>0,求实数m的取值范围. 【解析】(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数, ∴f(0)=a0-(k-1)a0=1-(k-1)=0, ∴k=2, 经检验k=2符合题意,所以k=2. (2)由(1)知,f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1), ∵f(1)<0,即a-<0, 又a>0,且a≠1,∴0<a<1, 而y=ax在R上单调递减,y=-a-x在R上单调递减, 故由单调性的性质可判断f(x)=ax-a-x在R上单调递减, 不等式f(m2-2)+f(m)>0可化为 f(m2-2)>f(-m), ∴m2-2<-m,即m2+m-2<0, 解得-2<m<1, ∴实数m的取值范围是(-2,1). 16.已知f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且f(x)+g(x)=21-x. (1)求f(x),g(x)的解析式; (2)若对任意的x∈R,f(x)≥恒成立, 求实数n的取值范围. 【解析】(1)因为f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且有f(x)+g(x)=21-x, 所以f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=21+x, 所以 则f(x)=2x+2-x,g(x)=2-x-2x. (2)因为f(x)=2x+2-x≥2=2, 当且仅当2x=2-x,即x=0时,等号成立, 所以f(x)min=2. 所以对任意的x∈R,f(x)≥恒成立, 即2≥,则n2-2n-2≤1, 即n2-2n-3≤0,解得-1≤n≤3, 所以实数n的取值范围为[-1,3]. 学科网（北京）股份有限公司 $$