第二章 第2节 单调性与最大(小)值（知识点梳理+限时挑战）-【精准备考】2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）

第二章 函数 第2节　单调性与最大(小)值 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 函数的单调性★★☆☆☆ 考点2 函数的最值★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 考点1 函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I,如果∀x1,x2∈D 当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递减,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象 是上升的 自左向右看图象 是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. 考点2 函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I,都有f(x)≤M; (2)∃x0∈I,使得f(x0)=M (1)∀x∈I,都有f(x)≥M; (2)∃x0∈I,使得f(x0)=M 结论 M为最大值 M为最小值 【名师点拨】 1.有关单调性的常用结论 在公共定义域内,增函数+增函数=增函数;减函数+减函数=减函数;增函数-减函数=增函数;减函数-增函数=减函数. 2.函数y=f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y=-f(x),y=的单调性相反. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)对于函数y=f(x),若f(1)<f(3),则f(x)为增函数.(　　) (2)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).(　　) (3)函数y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(　　) (4)对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,x2∈D,且x1≠x2有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数f(x)在区间D上是增函数.(　　) 2.(人教A必修一P86T7改编)函数f(x)=的单调递增区间是　　　　.  3.(人教B必修一P140T2(1)改编)函数f(x)=(x∈[-2,-1]),则f(x)的最小值为　　　　,最大值为　　　　.  4.(苏教必修一P122T4改编)函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)<f(2a),则实数a的取值范围是　　　　.  【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　函数的单调性(区间) 【典例】1.函数y=的单调递减区间是　　　　.  【典例】2.试讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性. 【变式训练】1.下列函数在R上为增函数的是(　　) A.y=x2 B.y=x C.y=- D.y= 【变式训练】2.(2025·西安模拟)已知函数f(x)=|x2-5x+6|,则函数f(x)的单调递增区间是(　　) A. B. C.和(3,+∞) D.(-∞,2)和 考点二　求函数的最值(值域) 【典例】2.(多选)下列函数中,值域正确的是(　　) A.当x∈[0,3)时,函数y=x2-2x+3的值域为[2,6) B.函数y=的值域为R C.函数y=2x-的值域为 D.函数y=+的值域为[,+∞) 【变式训练】3.(2025·北京怀柔模拟)已知函数f(x)=,则对任意实数x,函数f(x)的值域是(　　) A.(0,2) B.(0,2] C.[0,2) D.[0,2] 【变式训练】4.对于任意实数a,b,定义min{a,b}= 设函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是　　　　.  考点三　函数单调性的应用 角度1　比较大小 【典例】3.已知f(x)=2x-,a=f(),b=f(),c=f(),则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 角度2　解函数不等式 【典例】4.已知函数f(x)=ln x+2x,若f(x2-4)<2,则实数x的取值范围是　　　　.  角度3　求参数的取值范围 【典例】5.(2025·保定调研)已知a>0,且a≠1,函数f(x)= 在R上单调,则a的取值范围是(　　) A.(1,+∞) B. C. D. 【变式训练】5.(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) 【变式训练】6.已知函数f(x)=若f(3-a2)<f(2a),则实数a的取值范围是　　　　.  一、求复合函数的单调区间 【典例】1.已知函数f(x)=x2-2x-3,g(x)=f(5-x2),试求g(x)的单调区间. 二、由复合函数的单调性求参数 【典例】2.设f(x)=x2+1,g(x)=f(f(x)),F(x)=g(x)-λf(x).问是否存在实数λ,使F(x)在区间上单调递减且在区间上单调递增?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. 【变式训练】1.已知函数f(x)在R上是增函数,则下列说法正确的是(　　) A.y=-f(x)在R上是减函数 B.y=在R上是减函数 C.y=[f(x)]2在R上是增函数 D.y=af(x)(a为实数)在R上是增函数 【变式训练】2.已知函数f(x)是R上的减函数,若f(ax2-2x)在(1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是　　　　.  【限时训练】（限时：60分钟）　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单选题 1.下列函数中,在区间(0,1)上单调递增的是(　　) A.y=-x2+1 B.y= C.y= D.y=3-x 2.)已知函数f(x)=-x2+ax+1在(2,6)上不单调,则a的取值范围是(　　) A.(2,6) B.(-∞,2]∪[6,+∞) C.(4,12) D.(-∞,4]∪[12,+∞) 3.若函数f(x)=(m-1)x+1在R上是增函数,则f(m)与f(1)的大小关系是(　　) A.f(m)<f(1) B.f(m)>f(1) C.f(m)≤f(1) D.f(m)≥f(1) 4.(2025·南京质检)若定义在R上的函数f(x)满足f(x)=3f(|x|)+x2-2x,则f(x)的单调递增区间为(　　) A.(-∞,-10]和[0,1] B.(-∞,-5]和[0,1] C.[-10,0]和[1,+∞) D.[-5,0]和[1,+∞) 5.已知函数f(x)=(t>0)是区间(0,+∞)上的增函数,则实数t的取值范围是(　　) A.{1} B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.[1,+∞) 6.已知函数y=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围是(　　) A.[1,+∞) B.[0,2] C.(-∞,2] D.[1,2] 7.如果函数y=f(x)在区间I上是减函数,且函数y=在区间I上是增函数,那么称函数y=f(x)是区间I上的“可变函数”,区间I叫作“可变区间”.若函数f(x)=x2-4x+2是区间I上的“可变函数”,则“可变区间”I为(　　) A.(-∞,-]和[,2] 　B.[,2] C.(0,] 　D.[1,] 8.(2024·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)=(x+a)ln(x+b).若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为(　　) A. B. C. D.1 二、多选题 9.下列说法中,正确的是(　　) A.若对任意x1,x2∈I,当x1<x2时,>0,则y=f(x)在I上单调递增 B.函数y=x2在R上是增函数 C.函数y=-在定义域上是增函数 D.函数y=的单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞) 10.已知函数f(x)=在区间(-2,+∞)上单调递增,则a,b的取值可以是(　　) A.a=-1,b=2 B.a=2,b=1 C.a=1,b> D.0<a≤1,b=2 11.(2025·杭州调研)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)>0,g(x)>0,f(x)是减函数,g(x)是增函数,则下列说法正确的有(　　) A.g(x)+f(x)是增函数 B.f(x)-g(x)是减函数 C.f(x)g(x)是增函数 D.是减函数 三、填空题 12.函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)<f(2a),则实数a的取值范围是　　　　.  13.设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递增区间是　　　　.  14.已知命题p:“若f(x)<f(4)对任意的x∈(0,4)都成立,则f(x)在(0,4)上单调递增”.能说明命题p为假命题的一个函数是　　　　　　.  四、解答题 15.给定函数f(x)=,g(x)=-x2+4x+1,x∈R. (1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象; (2)∀x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的最大者,记为M(x)=max{f(x),g(x)},试判断M(x)在区间(-∞,a]上的单调性. 16.已知定义在R上的函数f(x)满足:①f(x+y)=f(x)+f(y)+1,②当x>0时,f(x)>-1. (1)求f(0)的值,并证明f(x)在R上是增函数; (2)若f(1)=1,解关于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x)>4. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 函数 第2节　单调性与最大(小)值 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 函数的单调性★★☆☆☆ 考点2 函数的最值★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 考点1 函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I,如果∀x1,x2∈D 当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递减,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象 是上升的 自左向右看图象 是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. 考点2 函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I,都有f(x)≤M; (2)∃x0∈I,使得f(x0)=M (1)∀x∈I,都有f(x)≥M; (2)∃x0∈I,使得f(x0)=M 结论 M为最大值 M为最小值 【名师点拨】 1.有关单调性的常用结论 在公共定义域内,增函数+增函数=增函数;减函数+减函数=减函数;增函数-减函数=增函数;减函数-增函数=减函数. 2.函数y=f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y=-f(x),y=的单调性相反. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)对于函数y=f(x),若f(1)<f(3),则f(x)为增函数.(　　) (2)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).(　　) (3)函数y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(　　) (4)对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,x2∈D,且x1≠x2有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数f(x)在区间D上是增函数.(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 【解析】(1)错误,应对任意的x1<x2, 都有f(x1)<f(x2)成立才可以. (2)错误,反【典例】:f(x)=x在[1,+∞)上为增函数,但f(x)=x的单调递增区间是(-∞,+∞). (3)错误,此单调区间不能用“∪”连接,故单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞). 2.(人教A必修一P86T7改编)函数f(x)=的单调递增区间是　　　　.  【答案】[2,+∞) 【解析】由题意可知x2-2x≥0,解得x≤0或x≥2, 所以函数f(x)的定义域为(-∞,0]∪[2,+∞), 设y=,u=x2-2x,二次函数u=x2-2x的单调递增区间是(1,+∞),单调递减区间是(-∞,1), 所以f(x)的单调递增区间是[2,+∞). 3.(人教B必修一P140T2(1)改编)函数f(x)=(x∈[-2,-1]),则f(x)的最小值为　　　　,最大值为　　　　.  【答案】1　4 【解析】由于f(x)=在[-2,-1]上单调递增, 故f(x)的最大值为f(-1)=4, 最小值为f(-2)=1. 4.(苏教必修一P122T4改编)函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)<f(2a),则实数a的取值范围是　　　　.  【答案】[-1,1) 【解析】由条件知解得-1≤a<1. 【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　函数的单调性(区间) 【典例】1.函数y=的单调递减区间是　　　　.  【答案】(-∞,-6] 【解析】由题意,要使函数y=有意义,需满足x2+2x-24≥0, 解得x≤-6或x≥4, 又由t=x2+2x-24在(-∞,-6]上单调递减,在[4,+∞)上单调递增, 结合复合函数的单调性的判定方法, 可得函数y=的单调递减区间是(-∞,-6]. 【典例】2.试讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性. 【解析】法一　设-1<x1<x2<1, f(x)=a=a, 则f(x1)-f(x2)=a-a =, 由于-1<x1<x2<1, 所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0, 故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递减; 当a<0时,f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递增. 法二　f'(x)= ==-. 当a>0时,f'(x)<0,函数f(x)在(-1,1)上单调递减; 当a<0时,f'(x)>0,函数f(x)在(-1,1)上单调递增. 【思维建模】 1.求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间. 2.(1)函数单调性的判断方法:①定义法;②图象法;③利用已知函数的单调性;④导数法. (2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则. 易错警示：函数在两个不同的区间上单调性相同,一般要分开写,用“,”连接,不要用“∪”. 【变式训练】1.下列函数在R上为增函数的是(　　) A.y=x2 B.y=x C.y=- D.y= 【答案】B 【解析】y=x2在(-∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故A错误; y=x在R上为增函数,故B正确; y=-在[0,+∞)上单调递减,故C错误; y=在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递减,故D错误. 【变式训练】2.(2025·西安模拟)已知函数f(x)=|x2-5x+6|,则函数f(x)的单调递增区间是(　　) A. B. C.和(3,+∞) D.(-∞,2)和 【答案】C 【解析】因为函数y=x2-5x+6的图象的对称轴为直线x=, 由x2-5x+6=0可得x=2或x=3, 作出函数f(x)=|x2-5x+6|的大致图象如图所示. 由图可知,函数f(x)的单调递增区间为和(3,+∞). 考点二　求函数的最值(值域) 【典例】2.(多选)下列函数中,值域正确的是(　　) A.当x∈[0,3)时,函数y=x2-2x+3的值域为[2,6) B.函数y=的值域为R C.函数y=2x-的值域为 D.函数y=+的值域为[,+∞) 【答案】ACD 【解析】对于A,y=x2-2x+3=(x-1)2+2, 由x∈[0,3),再结合函数的图象(如图①所示),可得函数的值域为[2,6). 对于B(分离常数法), y===2+, 显然≠0,∴y≠2. 故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞). 对于C(换元法),设t=, 则x=t2+1,且t≥0, ∴y=2(t2+1)-t=2+, 由t≥0,再结合函数的图象(如图②所示), 可得函数的值域为. 对于D,函数的定义域为[1,+∞), ∵y=与y=在[1,+∞)上均单调递增, ∴y=+在[1,+∞)上为增函数, ∴当x=1时,ymin=, 即函数的值域为[,+∞). 【思维建模】求函数值域(最值)的几种方法 (1)配方法:主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题. (2)单调性法:利用函数的单调性,再根据所给定义域来确定函数的值域. (3)数形结合法. (4)换元法:引进一个(几个)新的量来代替原来的量,实行这种“变量代换”. (5)分离常数法:分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法,把函数分离成一个常数和一个分式和的形式. 【变式训练】3.(2025·北京怀柔模拟)已知函数f(x)=,则对任意实数x,函数f(x)的值域是(　　) A.(0,2) B.(0,2] C.[0,2) D.[0,2] 【答案】C 【解析】法一　依题意,f(x)==2-, 显然2x2+1≥1,则0<≤2, 于是0≤2-<2,所以函数f(x)的值域是[0,2). 法二(换元法)　令t=2x2,t≥0, g(t)=(t≥0). 当t=0时,g(t)=0. 当t≠0时,g(t)=, 因为t>0,所以1+>1,0<<1, 所以g(t)=∈(0,2). 综上,g(t)∈[0,2),即f(x)的值域为[0,2). 【变式训练】4.对于任意实数a,b,定义min{a,b}= 设函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是　　　　.  【答案】1 【解析】法一(数形结合法) 在同一坐标系中,作函数f(x),g(x)的图象, 依题意,h(x)的图象为如图所示的实线部分. 易知点A(2,1)为图象的最高点, 因此h(x)的最大值为h(2)=1. 法二(单调性法) 依题意,h(x)= 当0<x≤2时,h(x)=log2x是增函数; 当x>2时,h(x)=3-x是减函数, 因此h(x)在x=2时取得最大值h(2)=1. 考点三　函数单调性的应用 角度1　比较大小 【典例】3.已知f(x)=2x-,a=f(),b=f(),c=f(),则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 【答案】D 【解析】易知f(x)=2x-在(1,+∞)上单调递增, 又>>>1, 故f()>f()>f(),即c>b>a. 角度2　解函数不等式 【典例】4.已知函数f(x)=ln x+2x,若f(x2-4)<2,则实数x的取值范围是　　　　.  【答案】(-,-2)∪(2,) 【解析】因为函数f(x)=ln x+2x在定义域(0,+∞)上单调递增,且f(1)=ln 1+2=2, 所以由f(x2-4)<2,得f(x2-4)<f(1), 所以0<x2-4<1, 解得-<x<-2或2<x<. 角度3　求参数的取值范围 【典例】5.(2025·保定调研)已知a>0,且a≠1,函数f(x)= 在R上单调,则a的取值范围是(　　) A.(1,+∞) B. C. D. 【答案】D 【解析】因为函数f(x)在R上单调,由函数解析式可得函数f(x)在R上单调递增不满足题意, 故f(x)在R上单调递减, 所以解得≤a<1. 【思维建模】 1.比较函数值的大小时,先转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决. 2.求解函数不等式时,由条件脱去“f”,转化为自变量间的大小关系,应注意函数的定义域. 3.利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降,再结合图象求解.对于分段函数,要注意衔接点的取值. 【变式训练】5.(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) 【答案】B 【解析】因为函数f(x)在R上单调递增, 且当x<0时,f(x)=-x2-2ax-a, 所以f(x)=-x2-2ax-a在(-∞,0)上单调递增,所以-a≥0,即a≤0; 当x≥0时,f(x)=ex+ln(x+1), 所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增. 若函数f(x)在R上单调递增, 则-a≤f(0)=1,即a≥-1. 综上,实数a的取值范围是[-1,0].故选B. 【变式训练】6.已知函数f(x)=若f(3-a2)<f(2a),则实数a的取值范围是　　　　.  【答案】(-3,1) 【解析】根据所给的分段函数,画出图象如图. 已知函数在整个定义域上是单调递减的, 由f(3-a2)<f(2a)可知,3-a2>2a, 解得-3<a<1. 【知识拓展】复合函数的单调性 1.复合函数单调性判定原则:同增异减. 2.设复合函数y=f[g(x)],A是y=f[g(x)]定义域的某个区间,B是u=g(x)的值域; (1)若u=g(x)在A上是增(或减)函数,y=f(u)在B上也是增(或减)函数,则函数y=f[g(x)]在A上是增函数; (2)若u=g(x)在A上是增(或减)函数,而y=f(u)在B上是减(或增)函数,则函数y=f[g(x)]在A上是减函数. 一、求复合函数的单调区间 【典例】1.已知函数f(x)=x2-2x-3,g(x)=f(5-x2),试求g(x)的单调区间. 【解析】令u(x)=5-x2,则u(x)在(-∞,0]上单调递增,在[0,+∞)上单调递减,且u(0)=5. f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增. 即u(x)的单调性是以“0”为界来划分的,f(x)的单调性是以“1”为界来划分的,由此可确定g(x)的单调性. 令5-x2=1,则x=±2. x (-∞,-2] [-2,0] [0,2] [2,+∞) u(x)=5-x2 增 增 减 减 u (-∞,1] [1,5] [1,5] (-∞,1] f(u) 减 增 增 减 f(5-x2) 减 增 减 增 所以函数g(x)的单调递减区间是(-∞,-2],[0,2],单调递增区间是[-2,0],[2,+∞). 二、由复合函数的单调性求参数 【典例】2.设f(x)=x2+1,g(x)=f(f(x)),F(x)=g(x)-λf(x).问是否存在实数λ,使F(x)在区间上单调递减且在区间上单调递增?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. 【解析】假设存在满足条件的实数λ, 则由f(x)=x2+1,g(x)=f(f(x)), 得g(x)=(x2+1)2+1. ∴F(x)=g(x)-λf(x)=x4+(2-λ)x2+2-λ. 令t=x2,则t=x2在(-∞,0)上单调递减, 且当x∈时,t>; 当x∈时,0<t<. 故若F(x)在上单调递减,在上单调递增, 则函数φ(t)=t2+(2-λ)t+2-λ在上单调递增,在上单调递减. ∴函数φ(t)=t2+(2-λ)t+2-λ的图象的对称轴t=为直线t=, 即=,则λ=3. 故存在满足条件的实数λ(λ=3),使F(x)在区间上单调递减且在区间上单调递增. 【变式训练】1.已知函数f(x)在R上是增函数,则下列说法正确的是(　　) A.y=-f(x)在R上是减函数 B.y=在R上是减函数 C.y=[f(x)]2在R上是增函数 D.y=af(x)(a为实数)在R上是增函数 【答案】A 【解析】A中,∵函数f(x)在R上是增函数, ∴y=-f(x)在R上是减函数,故A正确. B中,函数f(x)在R上是增函数,但y=在R上不一定是减函数,如f(x)=x在R上是增函数,但y==在R上不是减函数,故排除B. C中,函数f(x)在R上是增函数,但y=[f(x)]2在R上不一定是增函数,如f(x)=x在R上是增函数,但y=[f(x)]2=x2在R上不是增函数,故排除C. D中,函数f(x)在R上是增函数,但y=af(x)(a为实数)在R上不一定是增函数,【典例】如f(x)=x在R上是增函数,但f(x)=-2x在R上不是增函数,故排除D. 【变式训练】2.已知函数f(x)是R上的减函数,若f(ax2-2x)在(1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是　　　　.  【答案】(-∞,0] 【解析】由题意知函数y=ax2-2x在(1,+∞)上单调递减,故或a=0,解得a≤0. 【限时训练】（限时：60分钟）　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单选题 1.下列函数中,在区间(0,1)上单调递增的是(　　) A.y=-x2+1 B.y= C.y= D.y=3-x 【答案】B 【解析】y=-x2+1在区间(0,1)上单调递减,故A不符合题意; y=是[0,+∞)上的增函数,所以在区间(0,1)上单调递增,故B符合题意; y=在(0,+∞)上单调递减,所以在区间(0,1)上单调递减,故C不符合题意; y=3-x在区间(0,1)上单调递减,故D不符合题意. 2.)已知函数f(x)=-x2+ax+1在(2,6)上不单调,则a的取值范围是(　　) A.(2,6) B.(-∞,2]∪[6,+∞) C.(4,12) D.(-∞,4]∪[12,+∞) 【答案】C 【解析】f(x)=-+1+, 由题意得2<<6,解得4<a<12.故选C. 3.若函数f(x)=(m-1)x+1在R上是增函数,则f(m)与f(1)的大小关系是(　　) A.f(m)<f(1) B.f(m)>f(1) C.f(m)≤f(1) D.f(m)≥f(1) 【答案】B 【解析】因为f(x)=(m-1)x+1在R上是增函数,所以m>1,故f(m)>f(1). 4.(2025·南京质检)若定义在R上的函数f(x)满足f(x)=3f(|x|)+x2-2x,则f(x)的单调递增区间为(　　) A.(-∞,-10]和[0,1] B.(-∞,-5]和[0,1] C.[-10,0]和[1,+∞) D.[-5,0]和[1,+∞) 【答案】B 【解析】当x≥0时,f(x)=3f(x)+x2-2x, 则f(x)=-x2+x, ∴f(x)在[0,1]上单调递增; 当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-x2-x, ∴f(x)=3f(-x)+x2-2x=-x2-3x+x2-2x=-x2-5x, ∴f(x)在(-∞,-5]上单调递增. 综上所述,f(x)的单调递增区间为(-∞,-5]和[0,1].故选B. 5.已知函数f(x)=(t>0)是区间(0,+∞)上的增函数,则实数t的取值范围是(　　) A.{1} B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.[1,+∞) 【答案】D 【解析】∵f(x)=(t>0)是区间(0,+∞)上的增函数,∴∴t≥1. 6.已知函数y=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围是(　　) A.[1,+∞) B.[0,2] C.(-∞,2] D.[1,2] 【答案】D 【解析】令y=f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2. 易知当x=1时,f(x)取得最小值f(1)=2. 因为f(0)=3,且函数f(x)在[0,m]上有最大值3,最小值2, 由二次函数图象的对称性,知f(2)=f(0)=3, 所以1≤m≤2,即实数m的取值范围是[1,2]. 7.如果函数y=f(x)在区间I上是减函数,且函数y=在区间I上是增函数,那么称函数y=f(x)是区间I上的“可变函数”,区间I叫作“可变区间”.若函数f(x)=x2-4x+2是区间I上的“可变函数”,则“可变区间”I为(　　) A.(-∞,-]和[,2] 　B.[,2] C.(0,] 　D.[1,] 【答案】A 【解析】因为函数f(x)=x2-4x+2图象的对称轴为直线x=2, 所以函数y=f(x)在区间(-∞,2]上是减函数, 又当x≤2且x≠0时,=x+-4, 令g(x)=x+-4(x≤2且x≠0), 则g(x)在(-∞,-]和[,2]上单调递增, 故f(x)的“可变区间”I为(-∞,-]和[,2]. 8.(2024·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)=(x+a)ln(x+b).若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为(　　) A. B. C. D.1 【答案】C 【解析】由f(x)≥0及y=x+a,y=ln(x+b)单调递增, 可得x+a与ln(x+b)同正、同负或同为零, 所以当ln(x+b)=0时,x+a=0, 即所以b=a+1, 则a2+b2=a2+(a+1)2=2+≥,故选C. 二、多选题 9.下列说法中,正确的是(　　) A.若对任意x1,x2∈I,当x1<x2时,>0,则y=f(x)在I上单调递增 B.函数y=x2在R上是增函数 C.函数y=-在定义域上是增函数 D.函数y=的单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞) 【答案】AD 【解析】对于A,若对任意x1,x2∈I,当x1<x2时,>0, 则有f(x1)<f(x2),由函数单调性的定义可知y=f(x)在I上单调递增,故A正确; 对于B,由二次函数的性质可知,y=x2在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故B错误; 对于C,由反比【典例】函数单调性可知,y=-在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增,故C错误; 对于D,由反比【典例】函数单调性可知,y=的单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞),故D正确. 10.已知函数f(x)=在区间(-2,+∞)上单调递增,则a,b的取值可以是(　　) A.a=-1,b=2 B.a=2,b=1 C.a=1,b> D.0<a≤1,b=2 【答案】CD 【解析】根据题意, f(x)===+,其定义域为. 若函数f(x)=在区间(-2,+∞)上单调递增,必有-≤-2,3-<0, 即0<a≤1且>3, 据此分析选项C,D符合. 11.(2025·杭州调研)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)>0,g(x)>0,f(x)是减函数,g(x)是增函数,则下列说法正确的有(　　) A.g(x)+f(x)是增函数 B.f(x)-g(x)是减函数 C.f(x)g(x)是增函数 D.是减函数 【答案】BD 【解析】对于A,若g(x)=2x,f(x)=, 则g(1)+f(1)=,g(-1)+f(-1)=, 故g(x)+f(x)不一定为增函数,A错误; 而f(x)g(x)=1不是增函数,C错误; 对于B,因为g(x)是增函数, 所以-g(x)为减函数. 又f(x)是减函数,所以f(x)-g(x)=f(x)+(-g(x))为减函数,B正确; 对于D,因为g(x)是增函数,且g(x)>0, 所以>0且单调递减. 又f(x)>0,且f(x)为减函数, 所以=f(x)×为减函数,D正确. 三、填空题 12.函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)<f(2a),则实数a的取值范围是　　　　.  【答案】[-1,1) 【解析】依题意得⇒-1≤a<1. 所以实数a的取值范围是[-1,1). 13.设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递增区间是　　　　.  【答案】(-∞,0),(1,+∞) 【解析】由题意知g(x)= 该函数图象如图所示, 其单调递增区间是(-∞,0),(1,+∞). 14.已知命题p:“若f(x)<f(4)对任意的x∈(0,4)都成立,则f(x)在(0,4)上单调递增”.能说明命题p为假命题的一个函数是　　　　　　.  【答案】f(x)=(x-1)2,x∈(0,4)(答案不唯一,如f(x)=只要满足题意即可) 【解析】由题意知,f(x)=(x-1)2,x∈(0,4), 则函数f(x)的图象在(0,4)上先单调递减再单调递增, 当x=1时,函数值最小,且f(x)<f(4),满足题意, 所以函数f(x)=(x-1)2,x∈(0,4)可以说明命题p为假命题. 四、解答题 15.给定函数f(x)=,g(x)=-x2+4x+1,x∈R. (1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象; (2)∀x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的最大者,记为M(x)=max{f(x),g(x)},试判断M(x)在区间(-∞,a]上的单调性. 【解析】(1)f(x),g(x)的图象如图所示. (2)由(1)及M(x)的定义得,M(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减, 所以当a≤0时,M(x)在(-∞,a]上单调递减; 当0<a≤2时,M(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,a]上单调递增; 当a>2时,M(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,2]上单调递增,在[2,a]上单调递减. 16.已知定义在R上的函数f(x)满足:①f(x+y)=f(x)+f(y)+1,②当x>0时,f(x)>-1. (1)求f(0)的值,并证明f(x)在R上是增函数; (2)若f(1)=1,解关于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x)>4. 【解析】(1)令x=y=0,得f(0)=-1; 在R上任取x1,x2,且令x1>x2, 则x1-x2>0,f(x1-x2)>-1. 又f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)+f(x2)+1>f(x2), 所以函数f(x)在R上是增函数. (2)由f(1)=1,得f(2)=3,f(3)=5. 由f(x2+2x)+f(1-x)>4, 得f(x2+x+1)>4+1=f(3), 又由(1)知函数f(x)在R上是增函数, 故x2+x+1>3, 解得x<-2或x>1, 故原不等式的解集为{x|x<-2或x>1}. 学科网（北京）股份有限公司 $$