第一章 第2节　常用逻辑用语（知识点梳理+限时挑战）-【精准备考】2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）

第一章集合与常用逻辑用语、不等式 第2节　常用逻辑用语 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 充分条件、必要条件与充要条件的概念★★☆☆☆ 考点2 全称量词与存在量词★★☆☆☆ 考点3 全称量词命题和存在量词命题★★☆☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 考点1 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 考点2 全称量词与存在量词 (1)全称量词:短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示. (2)存在量词:短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示. 考点3 全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中的任意一个x,有p(x)成立 存在M中的元素x,p(x)成立 简记 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,p(x) 否定 ∃x∈M, ¬p(x) ∀x∈M, ¬p(x) 【解题技巧】 1.会区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇏A),与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇏B)两者的不同. 2.p是q的充分不必要条件,等价于¬q是¬p的充分不必要条件. 3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”. 4.命题p和¬p的真假性相反,若判断一个命题的真假有困难,可判断此命题否定的真假. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)至少有一个三角形的内角和为π是全称量词命题.(　　) (2)写全称量词命题的否定时,全称量词变为存在量词.(　　) (3)当p是q的充分条件时,q是p的必要条件.(　　) (4)若已知p:x>1和q:x≥1,则p是q的充分不必要条件.(　　) 【答案】(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 【解析】(1)错误,至少有一个三角形的内角和为π是存在量词命题. 2.(人教A必修一P22习题1.4T2改编)命题“三角形是等边三角形”是命题“三角形是等腰三角形”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由“三角形是等边三角形”可得到“该三角形一定是等腰三角形”,但反之不成立. 3.(人教A必修一P30【典例】4(3)改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是　　　　.  【答案】任意一个偶数都不是素数 4.(人教B必修一P28T4改编)“∀x∈[a,+∞),x2≥1”是真命题,则实数a的取值范围是　　　　.  【答案】[1,+∞) 【解析】∵x2≥1,即x≥1或x≤-1,且原命题是真命题,∴a的取值范围是a≥1. 【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　 考点1　充分、必要条件的判定 【典例】1.(2024·天津卷)设a,b∈R,则“a3=b3”是“3a=3b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由于函数y=x3和y=3x都是定义域R上的单调递增, 因此a3=b3,3a=3b均与a=b等价, 从而a3=b3是3a=3b的充要条件. 【典例】2.(多选)ab+b-a-1=0的一个充分不必要条件可以是(　　) A.a=-1 B.a=b C.b=1 D.ab=1 【答案】AC 【解析】由ab+b-a-1=0,可得(a+1)(b-1)=0,解得a=-1或b=1,故选AC. 【思维建模】充分、必要条件的两种判定方法: (1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法:根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断,多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 【变式训练】1.(2025·东北师大附中质检)已知p:<1,q:x2+x-6>0,则p是q的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由<1得x>1或x<0, 不妨设集合A=(-∞,0)∪(1,+∞). 由x2+x-6>0得x<-3或x>2,不妨设集合B=(-∞,-3)∪(2,+∞). 因为B⫋A,所以p推不出q,而q能推出p, 所以p是q的必要不充分条件.故选C. 【变式训练】2.在等比数列{an}中,“a1>0,且公比q>1”是“{an}为递增数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当a1>0,且q>1时, 有an+1-an=a1qn-a1qn-1=a1qn-1(q-1)>0, 所以an+1>an(n∈N*),即{an}为递增数列; 当{an}为递增数列时, 即对一切n∈N*,有an+1>an恒成立, 所以an+1-an=a1qn-1(q-1)>0, 但a1<0且0<q<1时,上式也成立,显然无法得出a1>0,且q>1. 则“a1>0,且公比q>1”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件. 考点2　充分、必要条件的应用 【典例】3.(2025·西安模拟)若“x2-5x+4<0”是“a-1<x<a+1”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是(　　) A.(2,3) B.[2,3] C.(-2,3] D.[-2,3] 【答案】B 【解析】由x2-5x+4<0,解得1<x<4. 因为“x2-5x+4<0”是“a-1<x<a+1”的必要不充分条件, 所以(a-1,a+1)是(1,4)的真子集, 所以 解得2≤a≤3. 经验证,端点值满足条件, 故实数a的取值范围为[2,3]. 【思维建模】充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意: (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 【变式训练】3.(2025·甘孜州模拟)设p:log2(x-1)<m,q:>1.若p是q的充分不必要条件,则m的取值范围是(　　) A.(-∞,0] B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.(-∞,-1] 【答案】A 【解析】由log2(x-1)<m,得0<x-1<2m, 即1<x<2m+1. 由>1,得0<x<2. 若p是q的充分不必要条件,则2m+1≤2, 解得m≤0.故选A. 考点3　全称量词与存在量词 角度1　含量词命题的否定及真假判断 【典例】4.(2025·邵阳联考)命题“∃x∈R,x2-4x+6<0” 的否定为(　　) A.∃x∈R,x2-4x+6>0 B.∃x∈R,x2-4x+6≤0 C.∀x∈R,x2-4x+6<0 D.∀x∈R,x2-4x+6≥0 【答案】D 【解析】“∃x∈R,x2-4x+6<0”的否定为“∀x∈R,x2-4x+6≥0”. 【典例】5.(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x.则(　　) A.p和q都是真命题 B. ¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D. ¬p和¬q都是真命题 【答案】B 【解析】在命题p中,当x=-1时,|x+1|=0, 所以命题p为假命题, ¬p为真命题. 在命题q中,因为立方根等于本身的实数有-1,0,1,所以∃x>0,使得x3=x, 所以命题q为真命题, ¬q为假命题, 所以¬p和q都是真命题. 角度2　含量词命题的应用 【典例】6. (2024·河南百校联考)已知p:∀x∈[-1,2],x2-2x+a<0;q:∃x∈R,x2-4x+a=0.若p为假命题,q为真命题,则a的取值范围为(　　) A.[-3,4] B.(-3,4] C.(-∞,-3) D.[4,+∞) 【答案】A 【解析】由题意知,p:∀x∈[-1,2],x2-2x+a<0为假命题, 则¬p:∃x∈[-1,2],x2-2x+a≥0为真命题, 当x∈[-1,2]时,y=x2-2x+a的图象的对称轴方程为x=1, 此时其最大值为(-1)2+2+a=3+a,则3+a≥0,解得a≥-3. 又q:∃x∈R,x2-4x+a=0为真命题, 即Δ=16-4a≥0,解得a≤4. 综上,a的取值范围为[-3,4]. 【思维建模】 1.含量词命题的否定,一是要改写量词,二是要否定结论. 2.判定全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;要判定存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题,只要在限定集合内找到一个x,使p(x)成立即可. 3.由命题真假求参数的范围,一是直接由命题的含义,利用函数的最值求参数的范围;二是利用等价命题,即p与¬p的关系,转化成¬p的真假求参数的范围. 【变式训练】4.(多选)(2025·深圳质检)下列命题中,为真命题的有(　　) A.∀x>0,x+≥2 B.∃x<0,x+>-2 C.∀x>0,≥ D.∃x<0,≤- 【答案】AD 【解析】对于A,利用基本不等式可得∀x>0,x+≥2=2, 当且仅当x=1时,等号成立,故A正确; 对于B,对于∀x<0,-x>0,x+=-≤-2=-2, 当且仅当x=-1时,等号成立, 故命题∃x<0,x+>-2为假命题,故B错误; 对于C,易知对于∀x>0, =≤=, 当且仅当x=1时,等号成立,故C错误; 对于D,易知当x=-1时,=-, 即∃x<0,≤-,故D正确. 【变式训练】5.(多选)已知命题p:∀x∈[0,1],不等式2x-2≥m2-3m恒成立,命题q:∃x∈[1,3],不等式x2-ax+4≤0,则下列说法正确的是(　　) A.命题p的否定是“∃x∈[0,1],不等式2x-2<m2-3m” B.命题q的否定是“∀x∈[1,3],不等式x2-ax+4≥0” C.当命题p为真命题时,1≤m≤2 D.当命题q为假命题时,a<4 【答案】ACD 【解析】命题p的否定是“∃x∈[0,1], 不等式2x-2<m2-3m”,故A正确; 命题q的否定是“∀x∈[1,3], 不等式x2-ax+4>0”,故B错误; 若命题p为真命题, 则当x∈[0,1]时,(2x-2)min≥m2-3m, 即m2-3m+2≤0,解得1≤m≤2,故C正确; 若命题q为假命题,则∀x∈[1,3], 不等式x2-ax+4>0为真命题, 即a<x+在x∈[1,3]时恒成立, 因为x+≥2=4, 当且仅当x=,即x=2时取等号,所以a<4,故D正确. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.命题“∃x>0,sin x-x≤0”的否定为(　　) A.∀x≤0,sin x-x>0 B.∃x>0,sin x-x≤0 C.∀x>0,sin x-x>0 D.∃x≤0,sin x-x>0 【答案】C 【解析】由题意知命题“∃x>0,sin x-x≤0”为存在量词命题,其否定为全称量词命题, 即∀x>0,sin x-x>0. 2.已知命题:“∀x∈R,方程x2+4x+a=0有解”是真命题,则实数a的取值范围是(　　) A.a<4 B.a≤4 C.a>4 D.a≥4 【答案】B 【解析】“∀x∈R,方程x2+4x+a=0有解”是真命题, 故Δ=16-4a≥0,解得a≤4. 3.“a>b>0”是“>1”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由a>b>0,得>1,反之不成立, 如a=-2,b=-1, 满足>1,但是不满足a>b>0, 故“a>b>0”是“>1”的充分不必要条件. 4.(2023·天津卷)已知a,b∈R,则“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若a2=b2,则a=±b,当a=-b≠0时, 有a2+b2=2a2,2ab=-2a2, 即a2+b2≠2ab,所以由a2=b2⇏a2+b2=2ab; 若a2+b2=2ab,则有a2+b2-2ab=0, 即(a-b)2=0,所以a=b,则有a2=b2, 即a2+b2=2ab⇒a2=b2. 所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件. 5.当命题“若p,则q”为真命题,则“由p可以推出q”,即一旦p成立,q就成立,p是q成立的充分条件.也可以这样说,若q不成立,那么p一定不成立,q对p成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话:“世之奇伟、瑰怪,非常之观,常在于险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析,“有志”是“能至”的(　　) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立, 所以“能至”是“有志”的充分条件,“有志”是“能至”的必要条件. 6.已知命题p:∃x∈R,ax2+2ax-4≥0为假命题,则实数a的取值范围是(　　) A.-4<a<0 B.-4≤a<0 C.-4<a≤0 D.-4≤a≤0 【答案】C 【解析】命题p:∃x∈R,ax2+2ax-4≥0为假命题, 即命题¬p:∀x∈R,ax2+2ax-4<0为真命题, 当a=0时,-4<0恒成立,符合题意; 当a≠0时,则a<0且Δ=(2a)2+16a<0, 即-4<a<0. 综上可知,-4<a≤0. 7.设p:关于x的不等式x2+ax+1>0对一切x∈R恒成立,q:对数函数y=log(4-3a)x在(0,+∞)上单调递减,那么p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若关于x的不等式x2+ax+1>0对一切x∈R恒成立, 则Δ=a2-4<0,即-2<a<2; 若对数函数y=log(4-3a)x在(0,+∞)上单调递减,则0<4-3a<1,即1<a<. ∵⫋(-2,2), ∴p是q的必要不充分条件. 8.设p:0<ln(x-2)≤ln 3,q:(x-2m)(x-2m-3)≤0.若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为0<ln(x-2)≤ln 3, 所以1<x-2≤3,即3<x≤5, 因为(x-2m)(x-2m-3)≤0, 所以2m≤x≤2m+3, 因为p是q的充分不必要条件,所以(3,5]是[2m,2m+3]的真子集, 所以解得1≤m≤, 经验证,端点值满足条件, 故实数a的取值范围是,故选C. 二、多选题 9.下列命题的否定是假命题的是(　　) A.∃m∈N,∈N B.菱形都是平行四边形 C.∃a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0没有实数根 D.平面四边形ABCD的内角和等于360° 【答案】ABD 【解析】由于原命题和其否定的真假完全相反, 所以题干中“下列命题的否定是假命题”等价于“下列命题是真命题”, 对于A,当m=0时,=1∈N,则A中命题为真命题,故A符合题意; 选项B显然符合题意; 对于C,因为Δ=a2+4>0恒成立,所以不存在a∈R,使得一元二次方程x2-ax-1=0没有实数根,故C不符合题意; 选项D显然符合题意.故选ABD. 10.已知幂函数f(x)=(4m-1)xm,则下列选项中,能使得f(a)>f(b)成立的一个充分不必要条件是(　　) A. 0<< B.a2>b2 C.ln a>ln b D.2a>2b 【答案】AC 【解析】由题设知4m-1=1,可得m=, 故f(x)=, 所以要使f(a)>f(b),则>,即a>b≥0. 0<<⇔a>b>0,A符合题意; ln a>ln b⇔a>b>0,C符合题意; B,D选项中a,b均有可能为负数,B,D不符合题意. 11.(2025·温州模拟)下列选项中,与“>1”互为充要条件的是(　　) A.x<1 B.log0.5x2>log0.5x C.<3x D.|x(x-1)|=x(1-x) 【答案】BC 【解析】由>1,得-1>0,即>0,x(x-1)<0,解得0<x<1. 对于A,“x<1”是“>1”的必要不充分条件,故A错误; 对于B,由log0.5x2>log0.5x,得0<x2<x,故x(x-1)<0,解得0<x<1,故B正确; 对于C,由<3x,得x2<x,解得0<x<1,故C正确; 对于D,|x(x-1)|=x(1-x),则x(1-x)≥0,解得0≤x≤1,故D错误. 三、填空题 12.(2025·沈阳质测)“sin x=1”的一个充分不必要条件是　　　　.  【答案】x=(答案不唯一) 【解析】当x=时,sin x=1, 由sin x=1可得x=+2kπ,k∈Z,故“sin x=1”的一个充分不必要条件是“x=”. 13.(2025·南昌质测)已知p:-3≤x≤1,q:x≤a(a为实数).若q的一个充分不必要条件是p,则实数a的取值范围是　　　　.  【答案】[1,+∞) 【解析】因为q的一个充分不必要条件是p, 所以[-3,1]是(-∞,a]的一个真子集,则a≥1, 即实数a的取值范围是[1,+∞). 14.为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题,只要证明:　　　　　　.  【答案】存在一个素数不是奇数 【解析】因为命题“所有的素数都是奇数”是假命题,则命题“存在一个素数不是奇数”为真命题,所以为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题,只要证明存在一个素数不是奇数. 四、解答题 15.求证:关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0. 【证明】①必要性:因为方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个正根和一个负根, 所以Δ=b2-4ac>0,x1x2=<0(x1,x2为方程的两根),所以ac<0. ②充分性:由ac<0可推得Δ=b2-4ac>0及x1x2=<0(x1,x2为方程的两根),所以方程ax2+bx+c=0有两个相异实根,且两根异号,即方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根. 综上所述,关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0. 16.已知p:|4x-3|≤1,q:x2-4ax+3a-1≤0. (1)是否存在实数a,使得p是q的充要条件?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由. (2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 【解析】(1)不存在. 理由如下:由|4x-3|≤1,得-1≤4x-3≤1, 故≤x≤1, 即p:≤x≤1. 假设存在a,使得p是q的充要条件, 则不等式x2-4ax+3a-1≤0的解集为, 所以x1=,x2=1是方程x2-4ax+3a-1=0的两个根, 故此方程组无解, 故假设不成立, 所以不存在实数a,使得p是q的充要条件. (2)若p是q的充分不必要条件, 则集合为不等式x2-4ax+3a-1≤0的解集的真子集. 令f(x)=x2-4ax+3a-1, 则由二次函数的图象性质可得 即 解得故0≤a≤. 当a=0时,x2-4ax+3a-1≤0⇔x2-1≤0,解得-1≤x≤1,满足题意; 当a=时,x2-4ax+3a-1≤0⇔x2-3x+≤0, 解得≤x≤,满足题意. 所以实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章集合与常用逻辑用语、不等式 第2节　常用逻辑用语 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 充分条件、必要条件与充要条件的概念★★☆☆☆ 考点2 全称量词与存在量词★★☆☆☆ 考点3 全称量词命题和存在量词命题★★☆☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 考点1 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 考点2 全称量词与存在量词 (1)全称量词:短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示. (2)存在量词:短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示. 考点3 全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中的任意一个x,有p(x)成立 存在M中的元素x,p(x)成立 简记 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,p(x) 否定 ∃x∈M, ¬p(x) ∀x∈M, ¬p(x) 【解题技巧】 1.会区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇏A),与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇏B)两者的不同. 2.p是q的充分不必要条件,等价于¬q是¬p的充分不必要条件. 3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”. 4.命题p和¬p的真假性相反,若判断一个命题的真假有困难,可判断此命题否定的真假. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)至少有一个三角形的内角和为π是全称量词命题.(　　) (2)写全称量词命题的否定时,全称量词变为存在量词.(　　) (3)当p是q的充分条件时,q是p的必要条件.(　　) (4)若已知p:x>1和q:x≥1,则p是q的充分不必要条件.(　　) 2.(人教A必修一P22习题1.4T2改编)命题“三角形是等边三角形”是命题“三角形是等腰三角形”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(人教A必修一P30【典例】4(3)改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是　　　　.  4.(人教B必修一P28T4改编)“∀x∈[a,+∞),x2≥1”是真命题,则实数a的取值范围是　　　　.  【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　 考点1　充分、必要条件的判定 【典例】1.(2024·天津卷)设a,b∈R,则“a3=b3”是“3a=3b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【典例】2.(多选)ab+b-a-1=0的一个充分不必要条件可以是(　　) A.a=-1 B.a=b C.b=1 D.ab=1 【变式训练】1.(2025·东北师大附中质检)已知p:<1,q:x2+x-6>0,则p是q的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【变式训练】2.在等比数列{an}中,“a1>0,且公比q>1”是“{an}为递增数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点2　充分、必要条件的应用 【典例】3.(2025·西安模拟)若“x2-5x+4<0”是“a-1<x<a+1”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是(　　) A.(2,3) B.[2,3] C.(-2,3] D.[-2,3] 【变式训练】3.(2025·甘孜州模拟)设p:log2(x-1)<m,q:>1.若p是q的充分不必要条件,则m的取值范围是(　　) A.(-∞,0] B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.(-∞,-1] 考点3　全称量词与存在量词 角度1　含量词命题的否定及真假判断 【典例】4.(2025·邵阳联考)命题“∃x∈R,x2-4x+6<0” 的否定为(　　) A.∃x∈R,x2-4x+6>0 B.∃x∈R,x2-4x+6≤0 C.∀x∈R,x2-4x+6<0 D.∀x∈R,x2-4x+6≥0 【典例】5.(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x.则(　　) A.p和q都是真命题 B. ¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D. ¬p和¬q都是真命题 角度2　含量词命题的应用 【典例】6. (2024·河南百校联考)已知p:∀x∈[-1,2],x2-2x+a<0;q:∃x∈R,x2-4x+a=0.若p为假命题,q为真命题,则a的取值范围为(　　) A.[-3,4] B.(-3,4] C.(-∞,-3) D.[4,+∞) 【变式训练】4.(多选)(2025·深圳质检)下列命题中,为真命题的有(　　) A.∀x>0,x+≥2 B.∃x<0,x+>-2 C.∀x>0,≥ D.∃x<0,≤- 【变式训练】5.(多选)已知命题p:∀x∈[0,1],不等式2x-2≥m2-3m恒成立,命题q:∃x∈[1,3],不等式x2-ax+4≤0,则下列说法正确的是(　　) A.命题p的否定是“∃x∈[0,1],不等式2x-2<m2-3m” B.命题q的否定是“∀x∈[1,3],不等式x2-ax+4≥0” C.当命题p为真命题时,1≤m≤2 D.当命题q为假命题时,a<4 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.命题“∃x>0,sin x-x≤0”的否定为(　　) A.∀x≤0,sin x-x>0 B.∃x>0,sin x-x≤0 C.∀x>0,sin x-x>0 D.∃x≤0,sin x-x>0 2.已知命题:“∀x∈R,方程x2+4x+a=0有解”是真命题,则实数a的取值范围是(　　) A.a<4 B.a≤4 C.a>4 D.a≥4 3.“a>b>0”是“>1”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2023·天津卷)已知a,b∈R,则“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.当命题“若p,则q”为真命题,则“由p可以推出q”,即一旦p成立,q就成立,p是q成立的充分条件.也可以这样说,若q不成立,那么p一定不成立,q对p成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话:“世之奇伟、瑰怪,非常之观,常在于险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析,“有志”是“能至”的(　　) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知命题p:∃x∈R,ax2+2ax-4≥0为假命题,则实数a的取值范围是(　　) A.-4<a<0 B.-4≤a<0 C.-4<a≤0 D.-4≤a≤0 7.设p:关于x的不等式x2+ax+1>0对一切x∈R恒成立,q:对数函数y=log(4-3a)x在(0,+∞)上单调递减,那么p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 8.设p:0<ln(x-2)≤ln 3,q:(x-2m)(x-2m-3)≤0.若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 二、多选题 9.下列命题的否定是假命题的是(　　) A.∃m∈N,∈N B.菱形都是平行四边形 C.∃a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0没有实数根 D.平面四边形ABCD的内角和等于360° 10.已知幂函数f(x)=(4m-1)xm,则下列选项中,能使得f(a)>f(b)成立的一个充分不必要条件是(　　) A. 0<< B.a2>b2 C.ln a>ln b D.2a>2b 11.(2025·温州模拟)下列选项中,与“>1”互为充要条件的是(　　) A.x<1 B.log0.5x2>log0.5x C.<3x D.|x(x-1)|=x(1-x) 三、填空题 12.(2025·沈阳质测)“sin x=1”的一个充分不必要条件是　　　　.  13.(2025·南昌质测)已知p:-3≤x≤1,q:x≤a(a为实数).若q的一个充分不必要条件是p,则实数a的取值范围是　　　　.  14.为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题,只要证明:　　　　　　.  四、解答题 15.求证:关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0. 16.已知p:|4x-3|≤1,q:x2-4ax+3a-1≤0. (1)是否存在实数a,使得p是q的充要条件?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由. (2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$