第6讲 基本不等式讲义-2026届高三数学一轮复习

第6讲　基本不等式 激活思维 1．(人A必一P48习题T1(1)改)已知x＞1，则x＋的最小值为(　C　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　因为x＞1，所以x－1＞0，所以x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时等号成立，此时x＋取得最小值3． 2．(人A必一P48习题T1(1)改)若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则实数a＝(　C　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 【解析】　当x＞2时，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x＞2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时x＝3，即a＝3． 3．(多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是(　BD　) A．≥ B．≤ C．≤ D．ab≤ 【解析】　对于A，由选项可知a与b同号，当a＞0且b＞0时，由基本不等式可知≥恒成立；当a＜0且b＜0时，＜0，＞0，该不等式不成立，故A错误．对于B，当a＋b＞0时，＞0，则2－2＝＝≤0恒成立，即≤恒成立；当a＋b≤0时，原不等式恒成立，故B正确．对于C，当a＋b＞0时，2ab－＝≤0，即2ab≤，≤恒成立；当a＋b＜0时，2ab－＝≤0，即2ab≤，≥，故C错误．对于D，由重要不等式可知，a，b∈R，ab≤恒成立，故D正确． 4．(人A必一P49习题T5改)已知x＞0，则2－3x－的最大值是__2－4__． 【解析】 因为x＞0，所以2－3x－＝2－≤2－2＝2－4，当且仅当3x＝，即x＝时等号成立． 5．(人A必一P48练习T2改)用一段长为 30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，当这个矩形与墙相对的一边长为__15__m时，菜园面积最大，最大面积是____m2． 【解析】 设矩形与墙相对的一边长为x m(0＜x＜18)，另一边长为y m，菜园面积为S m2，则x＋2y＝30，S＝xy＝x·2y≤2＝×＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时等号成立． 聚焦知识 1．基本不等式 基本不等式 基本不等式：≤(条件：一正二定三相等) (1) 基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0． (2) 等号成立的条件：当且仅当__a＝b__时取等号． (3) 其中____叫做正数a，b的算术平均数，____叫做正数a，b的几何平均数 利用基本不等式求最值 (1) x，y＞0，由x＋y≥2，知若积xy＝P(定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值__2__； (2) x，y＞0，由x＋y≥2，知若和x＋y＝S(定值)，则当x＝y时，积xy有最大值____ “1”的代换 已知a，x，b，y∈R，若ax＋by＝1，则有： ＋＝(ax＋by)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2 2．常用不等式链 如果a＞0，b＞0，则≤≤≤，当且仅当a＝b时等号成立，其中是a，b的调和平均数，是a，b的平方平均数． 举题说法 目标1 利用基本不等式求最值 视角1　直接求最值 例 1－1　(1) 函数y＝x的最大值为____． 【解析】　由1－x2≥0知－1≤x≤1．当0＜x＜1时，x＝≤＝，当且仅当x2＝1－x2，即x＝时等号成立；当x＝0或x＝±1时，x＝0；当－1＜x＜0时，x＜0．综上所述，x的最大值为． (2) 已知正实数a，b满足ab＝1，则a＋4b的最小值等于__4__． 【解析】　a＋4b≥2＝2＝4，当且仅当a＝4b，即a＝2，b＝时等号成立，则a＋4b的最小值为4． 视角2　配凑法求最值 例 1－2　(1) 若x＞，则x＋的最小值为____． 【解析】　因为x＞，所以3x－1＞0．由基本不等式可得x＋＝(3x－1)＋＋≥2＋＝，当且仅当＝时，即当x＝时等号成立．故x＋的最小值为． (2) 已知正实数a，b满足4a2＋b2＝2，则a·的最大值为____． 【解析】　a·＝·2a·≤·＝，当且仅当2a＝，即a＝，b＝时取等号． 变式 1－2　若x＜0，则的最大值是(　B　) A．2 B．－2 C．4 D．－4 【解析】　因为x＜0，所以1－x＞0，所以＝＝x－1＋＋2＝－＋2≤－2＋2＝－2，当且仅当1－x＝，即x＝－1时等号成立． 视角3　常值代换法求最值 例 1－3　(1) 已知a＞0，b＞0，且＋＝1，则a＋b的最小值为__25__． 【解析】　因为a＞0，b＞0，＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝1＋16＋＋≥17＋2＝17＋2×4＝25，当且仅当＝，即b2＝16a2时等号成立．联立解得故当a＝5，b＝20时，a＋b取得最小值25． (2) 已知a＞－2，b＞0，a＋2b＝3，则＋的最小值为(　B　) A．4 B．6 C．8 D．10 【解析】　因为a＞－2，b＞0，所以a＋2＞0．因为a＋2b＝3，所以(a＋2)＋2b＝5，所以＋＝＋＝＋＝＋＋＝5＋＝[(a＋2)＋2b]·＋＝＋＋4≥2＋4＝6，当且仅当即时等号成立，故＋的最小值为6． 变式 1－3　已知a，b＞0且a＋b＝3，则＋的最小值为____． 【解析】　因为a，b＞0且a＋b＝3，所以(a＋1)＋(b＋1)＝5，所以＋＝[(a＋1)＋(b＋1)]＝≥＝，当且仅当＝，即b＝，a＝时取等号，所以＋的最小值为． 视角4　消元法 例 1－4　若a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋1，则a＋8b的最小值为(　C　) A．15 B．8＋4 C．17 D．6＋4 【解析】　因为ab＝a＋b＋1，所以a(b－1)＝b＋1，其中b≠1，所以a＝．又因为a＞0，b＞0，所以b－1＞0，则a＋8b＝＋8b＝＋8b＋1＝＋8(b－1)＋9≥2＋9＝17，当且仅当＝8(b－1)，即b＝时等号成立，所以a＋8b的最小值为17． 变式 1－4　已知正实数x，y满足x2＋3xy－2＝0，则2x＋y的最小值为(　A　) A． B． C． D． 【解析】　因为正实数x，y满足x2＋3xy－2＝0，则y＝－，则2x＋y＝2x＋－＝＋≥2＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，所以2x＋y的最小值为． 视角5　因式分解双换元法 例 1－5　已知实数x，y满足x(x＋y)＝2＋2y2，则7x2－y2的最小值为____． 【解析】　已知实数x，y满足x(x＋y)＝2＋2y2，化为(x＋2y)(x－y)＝2．令x＋2y＝m，x－y＝n，则mn＝2，联立可得x＝，y＝，则7x2－y2＝7×－＝≥＝，当且仅当2m2＝，即m2＝3，n2＝时取等号． 目标2 基本不等式的综合应用 视角1　基本不等式常见变形及其应用 例 2－1　(2024·蚌埠四检)已知m＞0，n＞0，则下列选项中，能使m＋2n取得最小值18的为(　B　) A．mn＝32 B．m＋8n＝mn C．m2＋8n＝68 D．m2＋4n2＝162 【解答】 对于A，由m＞0，n＞0可知，m＋2n≥2＝16，当且仅当m＝2n时等号成立，最小值不是18，故A不正确；对于B，若m＋8n＝mn，两边除以mn得，＋＝1，则m＋2n＝(m＋2n)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当＝＝4，即m＝12，n＝3时等号成立，故m＋2n的最小值是18，故B正确；对于C，由m2＋8n＝68，得n＝－m2＋，故m＋2n＝m＋2＝－m2＋m＋17，由二次函数的性质可知，当m＝2时，m＋2n的最大值为18，故C不正确；对于D，m2＋4n2＝162，则当m＝3，n＝6时，m＋2n＝12＋3＜18，故m＋2n的最小值不是18，故D不正确． 视角2　利用基本不等式解恒成立问题 例 2－2　设k＞0，若关于x的不等式kx＋≥12在(1，＋∞)上恒成立，则k的最小值为__4__． 【解析】 原不等式变形为k(x－1)＋＋k≥12，则原问题转化成不等式k(x－1)＋≥12－k在(1，＋∞)上恒成立，所以只需12－k≤min即可．由基本不等式可知k(x－1)＋≥2＝4，当且仅当k(x－1)＝时等号成立，所以只需12－k≤4成立，即(＋6)(－2)≥0，所以k≥4，即kmin＝4． 总结提炼 分离参数是处理此类问题的首选方法，一般转化为基本不等式求最值或转化为求某个函数的最值问题． 变式 2－2　若正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋≥m2－3m恒成立，则实数m的取值范围是(　C　) A．(－4,1) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞) C．[－1,4] D．(－∞，－1]∪[4，＋∞) 【解析】 由正实数x，y满足＋＝1，得x＋＝＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝2，y＝8时等号成立，此时x＋取到最小值4．要使不等式x＋≥m2－3m恒成立，则m2－3m≤4，解得－1≤m≤4．所以实数m的取值范围是[－1,4]． 视角3　实际应用问题 例 2－3　经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(单位：千辆/h)与汽车的平均速度v(单位：km/h)之间的函数关系为y＝(v＞0)． (1) 在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(保留分数形式) 【解答】题得y＝＝≤＝，当且仅当v＝，即v＝30时等号成立，所以ymax＝(千辆/h)．所以当v＝30 km/h时，车流量最大，最大车流量为千辆/h． (2) 若要求在该时段内车流量超过10千辆/h，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 【解答】由条件得＞10，因为v2＋2v＋900＞0，所以整理得v2－68v＋900＜0，即(v－18)(v－50)＜0，解得18＜v＜50．若要求在该时段内车流量超过10千辆/h，则汽车的平均速度应大于18 km/h且小于50 km/h． 随堂内化 1．(2024·镇江期初)已知正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为(　D　) A．6 B．7 C．8 D．9 【解析】　因为正数a，b满足a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号． 2．(2024·嘉兴二模)若正数x，y满足x2－2xy＋2＝0，则x＋y的最小值是(　A　) A． B． C．2 D．2 【解析】　由x2－2xy＋2＝0可得y＝＋，所以x＋y＝x＋＋＝＋≥2＝，当且仅当＝，即x＝时等号成立，此时y＝＞0符合题意．所以x＋y的最小值为． 3．(多选)设正实数x，y满足2x＋y＝1，则(　BC　) A．xy的最大值是 B．＋的最小值为9 C．4x2＋y2的最小值为 D．＋的最大值为2 【解析】　已知正实数x，y满足2x＋y＝1，对于A，xy＝·2xy≤2＝，当且仅当2x＝y，即x＝，y＝时取等号，故A错误；对于B，＋＝(2x＋y)＝5＋＋≥5＋4＝9，当且仅当＝，即x＝y＝时取等号，故B正确；对于C,4x2＋y2≥＝，当且仅当2x＝y，即x＝，y＝时取等号，故C正确；对于D，(＋)2＝2x＋y＋2≤1＋1＝2，当且仅当＝时等号成立，故＋的最大值为，故D错误． 4．(多选)下列说法正确的是(　BD　) A．若x＜，则函数y＝2x＋的最小值为－1 B．若实数a，b，c满足a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝2，则＋的最小值是3 C．若实数a，b满足a＞0，b＞0，且2a＋b＋ab＝6，则2a＋b的最大值是4 D．若实数a，b满足a＞0，b＞0，且a＋b＝2，则＋的最小值是1 【解析】 对于A，当x＜时，y＝2x＋＝－＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当1－2x＝，即x＝0时取等号，即函数y＝2x＋的最大值为－1，故A错误；对于B，a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝2，则＋＝(a＋1＋b＋c)＝≥＝3，当且仅当＝，即a＝1，b＋c＝1时取等号，则＋的最小值是3，故B正确；对于C，a＞0，b＞0，且2a＋b＋ab＝6，所以6－(2a＋b)＝ab＝·2a·b≤2，即6－(2a＋b)≤，解得2a＋b≥4，当且仅当2a＝b＝2时取等号，故C错误；对于D，a＞0，b＞0，且a＋b＝2，令a＋1＝m＞1，b＋1＝n＞1，则m＋n＝4，所以＋＝＋＝m＋n＋＋－4＝＝≥＝1，当且仅当m＝n＝2，即a＝b＝1时取等号，故D正确． 配套热练 一、单项选择题 1．(2024·临汾三模)若0＜x＜1，则＋的最小值是(　D　) A．1　　 B．4　　 C．2＋2　　 D．3＋2 【解析】　因为0＜x＜1，所以1－x＞0，则＋＝·[x＋(1－x)]＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝，即x＝－1时等号成立，此时＋取得最小值3＋2． 2．(2024·漳州四检)设a＞0，b＞0，且a＋2b＝1，则log2a＋log2b的(　C　) A．最小值为－3 B．最小值为3 C．最大值为－3 D．最大值为3 【解析】　因为a＞0，b＞0，且a＋2b＝1，所以a＋2b≥2，即ab≤，当且仅当a＝2b＝时取等号，所以log2a＋log2b＝log2(ab)≤log2＝－3，即log2a＋log2b≤－3． 3．(2024·韶关二模)在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位：平方米)的计算公式是W＝(长＋4)×(宽＋4)，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10 000平方米，每平方米收费1元，则估算平整完这块场地所需的最少费用(单位：元)是(　C　) A．10 000 B．10 480 C．10 816 D．10 818 【解析】　设矩形场地的长为x米，则宽为米，W＝(x＋4)＝4x＋＋10 016≥2＋10 016＝10 816，当且仅当4x＝，即x＝100时等号成立．所以平整这块场地所需的最少费用为1×10 816＝10 816元． 4．(2024·扬州期末)若a＞b＞1，x＝ln，y＝(ln a＋ln b)，z＝，则(　D　) A．x＜z＜y B．y＜z＜x C．z＜x＜y D．z＜y＜x 【解析】　由x＝ln，y＝(ln a＋ln b)＝ln，z＝，而a＞b＞1，则ln a＞ln b＞0，所以(ln a＋ln b)＞，即y＞z，由＞，则ln＞ln，即x＞y．综上，z＜y＜x． 5．已知x＞0，y＞0，且＋＝，若x＋y＞m2＋3m恒成立，则实数m的取值范围是(　C　) A．(－4,6) B．(－3,0) C．(－4,1) D．(1,3) 【解析】　因为x＞0，y＞0，且＋＝，所以x＋2＋y＝(x＋2＋y)＝≥＝6，当且仅当＝，即y＝3，x＝1时取等号，所以x＋y≥4．因为x＋y＞m2＋3m恒成立，所以m2＋3m＜4，即(m－1)(m＋4)＜0，解得－4＜m＜1．所以实数m的取值范围是(－4,1)． 二、多项选择题 6．(2024·南京、盐城一模)已知x，y∈R，且12x＝3，12y＝4，则(ACD) A．y＞x B．x＋y＞1 C．xy＜ D．＋＜ 【解析】　因为12x＝3，所以x＝log123，同理y＝log124，因为f(x)＝log12x在(0，＋∞)上单调递增，故y＞x，故A正确；因为x＋y＝log1212＝1，故B错误；因为x＞0，y＞0，所以xy≤2＝，当且仅当x＝y时等号成立，而x＜y，故xy＜，故C正确；(＋)2＝x＋y＋2＝1＋2＜2，即＋＜，故D正确． 7．(2024·随州5月模拟)设正实数a，b满足a＋b＝1，则下列结论正确的是(ACD) A．＋有最小值4 B．有最小值 C．＋有最大值 D．a2＋b2有最小值 【解析】　对于A，因为正实数a，b满足a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，因此A正确；对于B，因为正实数a，b满足a＋b＝1，所以1＝a＋b≥2，所以≤，当且仅当a＝b＝时取等号，即有最大值，因此B不正确；对于C，因为正实数a，b满足a＋b＝1，所以≤＝＝，所以＋≤，当且仅当a＝b＝时取等号，因此C正确；对于D，因为正实数a，b满足a＋b＝1，所以≥＝，所以a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时取等号，因此D正确． 8．(2024·广州冲刺训练(一))已知a＜b＜c(a，b，c∈R)，且a＋2b＋3c＝0，则下列结论成立的是(　ABD　) A．a＋c＜0 B．＋＜－2 C．存在a，c使得a2－25c2＝0 D．＜－ 【解析】　对于A，由a＜b＜c及a＋2b＋3c＝0，得3a＋3c＜a＋2b＋3c＝0，所以a＋c＜0，A正确．对于B，由a＜b＜c及a＋2b＋3c＝0，得6a＜a＋2b＋3c＝0，所以a＜0．同理可得c＞0．又a＋c＜0，所以≠－1，所以＋＝－＜－2，B正确．对于C，由a＜b＜c及a＋2b＋3c＝0，得a＋2c＋3c＞0，所以a＋5c＞0，得c＞－＞0，所以c2＞，得a2－25c2＜0，C错误．对于D，由a＋2b＋3c＝0，得a＋c＝－2(b＋c)，所以＝＝＋＝－＋．因为a＋c＜0，c＞0，所以＜0，所以＜－，D正确． 三、填空题 9．已知a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为__6__． 【解析】　因为ab＝a＋b＋3≤(a＋b)2，所以(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，即(a＋b－6)(a＋b＋2)≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2．因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥6(当且仅当a＝b＝3时取等号)． 10．若a＞0，b＞0，a＋b＝9，则＋的最小值为__8__． 【解析】　＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当a＝6，b＝3时取等号，故＋的最小值为8． 11．若正实数x，y满足－y2＝1，则3x2－2xy的最小值是__6＋4__． 【解析】　－y2＝＝1，设则ab＝1且所以3x2－2xy＝3(a＋b)2－2(a＋b)·＝2a2＋4b2＋6ab≥4ab＋6ab＝6＋4，当且仅当2a2＝4b2时取等号． 四、解答题 12．(2025·宿迁期初调研)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋18，f(x)＞0的解集为(－3,2)． (1) 求f(x)的解析式； 【解答】 因为函数f(x)＝ax2＋bx＋18，f(x)＞0的解集为(－3,2)，所以方程ax2＋bx＋18＝0的两个根是－3,2，且a＜0，由韦达定理有⇒所以f(x)＝－3x2－3x＋18． (2) 当x＞－1时，求y＝的最大值． 【解答】 y＝＝＝－3·＝－3＝－3，由x＞－1，根据基本不等式有x＋1＋≥2，当且仅当x＋1＝，即x＝0时取等号，所以当x＝0时，ymax＝－3． 13．已知a，b为正实数，且4a2＋b2＝2． (1) 求ab的最大值及此时a，b的值； 【解答】 由不等式4a2＋b2≥4ab，解得ab≤，当且仅当2a＝b＝1时取等号，所以ab的最大值为，此时a＝，b＝1． (2) 求a的最大值及此时a，b的值． 【解答】 由4a2＋b2＝2，得4a2＋(1＋b2)＝3．由4a2＋(1＋b2)≥2＝4a，得a≤，当且仅当4a2＝1＋b2，即a＝，b＝时取等号，所以a的最大值为，此时a＝，b＝． 14．已知a＞1，b＞2． (1) 若(a－1)(b－2)＝4，求＋的最小值及此时a，b的值； 【解答】 因为a＞1，b＞2，所以a－1＞0，b－2＞0，所以＋≥2＝1，当且仅当a＝3，b＝4时等号成立，所以＋的最小值为1，此时a＝3，b＝4． (2) 若2a＋b＝6，求＋的最小值及此时a，b的值； 【解答】 由2a＋b＝6，得2(a－1)＋(b－2)＝2，所以(a－1)＋＝1，所以＋＝·＝＋＋≥，当且仅当即a＝3－，b＝2时等号成立，所以＋的最小值为，此时a＝3－，b＝2． (3) 若＋＝1，求＋的最小值及此时a，b的值． 【解答】 因为b＞2，由＋＝1，可得a＝，所以a－1＝，所以＋＝b－2＋＋1≥3，当且仅当a＝，b＝3时等号成立，所以＋的最小值为3，此时a＝，b＝3． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6讲　基本不等式 激活思维 1．(人A必一P48习题T1(1)改)已知x＞1，则x＋的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．(人A必一P48习题T1(1)改)若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则实数a＝(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 3．(多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是(　　) A．≥ B．≤ C．≤ D．ab≤ 4．(人A必一P49习题T5改)已知x＞0，则2－3x－的最大值是____． ． 5．(人A必一P48练习T2改)用一段长为 30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，当这个矩形与墙相对的一边长为____m时，菜园面积最大，最大面积是____m2． 聚焦知识 1．基本不等式 基本不等式 基本不等式：≤(条件：一正二定三相等) (1) 基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0． (2) 等号成立的条件：当且仅当____时取等号． (3) 其中___叫做正数a，b的算术平均数，___叫做正数a，b的几何平均数 利用基本不等式求最值 (1) x，y＞0，由x＋y≥2，知若积xy＝P(定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值____； (2) x，y＞0，由x＋y≥2，知若和x＋y＝S(定值)，则当x＝y时，积xy有最大值____ “1”的代换 已知a，x，b，y∈R，若ax＋by＝1，则有： ＋＝(ax＋by)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2 2．常用不等式链 如果a＞0，b＞0，则≤≤≤，当且仅当a＝b时等号成立，其中是a，b的调和平均数，是a，b的平方平均数． 举题说法 目标1 利用基本不等式求最值 视角1　直接求最值 例 1－1　(1) 函数y＝x的最大值为____． (2) 已知正实数a，b满足ab＝1，则a＋4b的最小值等于____． 视角2　配凑法求最值 例 1－2　(1) 若x＞，则x＋的最小值为____． (2) 已知正实数a，b满足4a2＋b2＝2，则a·的最大值为____． 变式 1－2　若x＜0，则的最大值是(　　) A．2 B．－2 C．4 D．－4 视角3　常值代换法求最值 例 1－3　(1) 已知a＞0，b＞0，且＋＝1，则a＋b的最小值为____． (2) 已知a＞－2，b＞0，a＋2b＝3，则＋的最小值为(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 变式 1－3　已知a，b＞0且a＋b＝3，则＋的最小值为____． 视角4　消元法 例 1－4　若a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋1，则a＋8b的最小值为(　　) A．15 B．8＋4 C．17 D．6＋4 变式 1－4　已知正实数x，y满足x2＋3xy－2＝0，则2x＋y的最小值为(　　) A． B． C． D． 视角5　因式分解双换元法 例 1－5　已知实数x，y满足x(x＋y)＝2＋2y2，则7x2－y2的最小值为____． 目标2 基本不等式的综合应用 视角1　基本不等式常见变形及其应用 例 2－1　(2024·蚌埠四检)已知m＞0，n＞0，则下列选项中，能使m＋2n取得最小值18的为(　　) A．mn＝32 B．m＋8n＝mn C．m2＋8n＝68 D．m2＋4n2＝162 视角2　利用基本不等式解恒成立问题 例 2－2　设k＞0，若关于x的不等式kx＋≥12在(1，＋∞)上恒成立，则k的最小值为____． 总结提炼 分离参数是处理此类问题的首选方法，一般转化为基本不等式求最值或转化为求某个函数的最值问题． 变式 2－2　若正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋≥m2－3m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－4,1) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞) C．[－1,4] D．(－∞，－1]∪[4，＋∞) 视角3　实际应用问题 例 2－3　经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(单位：千辆/h)与汽车的平均速度v(单位：km/h)之间的函数关系为y＝(v＞0)． (1) 在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(保留分数形式) (2) 若要求在该时段内车流量超过10千辆/h，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 随堂内化 1．(2024·镇江期初)已知正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 2．(2024·嘉兴二模)若正数x，y满足x2－2xy＋2＝0，则x＋y的最小值是(　　) A． B． C．2 D．2 3．(多选)设正实数x，y满足2x＋y＝1，则(　　) A．xy的最大值是 B．＋的最小值为9 C．4x2＋y2的最小值为 D．＋的最大值为2 4．(多选)下列说法正确的是(　　) A．若x＜，则函数y＝2x＋的最小值为－1 B．若实数a，b，c满足a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝2，则＋的最小值是3 C．若实数a，b满足a＞0，b＞0，且2a＋b＋ab＝6，则2a＋b的最大值是4 D．若实数a，b满足a＞0，b＞0，且a＋b＝2，则＋的最小值是1 配套热练 一、单项选择题 1．(2024·临汾三模)若0＜x＜1，则＋的最小值是(　　) A．1　　 B．4　　 C．2＋2　　 D．3＋2 2．(2024·漳州四检)设a＞0，b＞0，且a＋2b＝1，则log2a＋log2b的(　　) A．最小值为－3 B．最小值为3 C．最大值为－3 D．最大值为3 3．(2024·韶关二模)在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位：平方米)的计算公式是W＝(长＋4)×(宽＋4)，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10 000平方米，每平方米收费1元，则估算平整完这块场地所需的最少费用(单位：元)是(　　) A．10 000 B．10 480 C．10 816 D．10 818 4．(2024·扬州期末)若a＞b＞1，x＝ln，y＝(ln a＋ln b)，z＝，则(　　) A．x＜z＜y B．y＜z＜x C．z＜x＜y D．z＜y＜x 5．已知x＞0，y＞0，且＋＝，若x＋y＞m2＋3m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－4,6) B．(－3,0) C．(－4,1) D．(1,3) 二、多项选择题 6．(2024·南京、盐城一模)已知x，y∈R，且12x＝3，12y＝4，则( ) A．y＞x B．x＋y＞1 C．xy＜ D．＋＜ 7．(2024·随州5月模拟)设正实数a，b满足a＋b＝1，则下列结论正确的是( ) A．＋有最小值4 B．有最小值 C．＋有最大值 D．a2＋b2有最小值 8．(2024·广州冲刺训练(一))已知a＜b＜c(a，b，c∈R)，且a＋2b＋3c＝0，则下列结论成立的是(　　) A．a＋c＜0 B．＋＜－2 C．存在a，c使得a2－25c2＝0 D．＜－ 三、填空题 9．已知a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为____． 10．若a＞0，b＞0，a＋b＝9，则＋的最小值为____． 11．若正实数x，y满足－y2＝1，则3x2－2xy的最小值是____． 四、解答题 12．(2025·宿迁期初调研)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋18，f(x)＞0的解集为(－3,2)． (1) 求f(x)的解析式； (2) 当x＞－1时，求y＝的最大值． 13．已知a，b为正实数，且4a2＋b2＝2． (1) 求ab的最大值及此时a，b的值； (2) 求a的最大值及此时a，b的值． 14．已知a＞1，b＞2． (1) 若(a－1)(b－2)＝4，求＋的最小值及此时a，b的值； (2) 若2a＋b＝6，求＋的最小值及此时a，b的值； (3) 若＋＝1，求＋的最小值及此时a，b的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$