第01讲 三角形中的线段和角 （知识清单+5大题型+好题必刷）（讲义）-2025-2026学年八年级上册数学（苏科版2024）满分全攻略备课系列

第01讲 三角形中的线段和角 （知识清单+5大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 构成三角形的条件 题型二 三角形三边关系的应用 题型三 根据三角形中线求长度与面积 题型四 画三角形的高 题型五 与三角形的高有关的计算问题 知识清单 知识点1.三角形的三边关系1.三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边.我们可以从不同的角度理解，列表如下： 文字语音 表达方式 理论依据 图形 三角形的任意两边 之和大于第三边 a＋b>c，b＋c>a，a＋c>b 两点之 间，线 段最短 三角形的任意两边 之差小于第三边 a－b<c，b－c<a，a－c<b (a>b>c) 2.三角形三边关系的应用 (1)判断三条线段能否组成三角形； (2)已知三角形的两边长，确定第三边长(或周长)的取值 范围； (3)当三角形的边长用字母表示时，求字母的取值范围； (4)证明线段的不等关系； (5)化简含绝对值的式子. 特别解读 1. 三角形中的“两边”指任意两边，应用时常选取两条较小的边的和与第三边作比较，选取最大边与最小边的差与第三边作比较. 2. 已知三角形两边长分别为a，b(a>b)，根据三角形的三边关系可知，第三边长c的取值范围是a－b<c<a＋b. 例1 .一个三角形的两边长分别是2和9，则第三边可能是（   ） A．8 B．5 C．11 D．14 知识点2.三角形的边和角的关系 1. 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大. 可以简称为“大边对大角”. 证明如下： 如图1.1 -1 ，在△ABC中，AB>AC， 我们可以通过折纸的方式比较∠B 和∠C的大小. 把AC沿∠BAC的平分线AD翻折，如图1.1 -2， 因为AB>AC， 所以点C落在边AB上的点C′处. 所以∠AC′D＝∠C. 由∠AC′D＝∠B＋∠BDC′，可得∠AC′D>∠B， 所以∠C>∠B. 2. 在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大. 可以简称为“大角对大边”. 解题通法 利用“大边对大角”得出角的大小关系，再由不等式的传递性得到三个角的大小关系.同理可得三边的大小关系. 例2.在中，已知，那么 （大小比较）． 例3.如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 知识点3.三角形的中线、角平分线、高 1. 三角形的中线、角平分线和高是三角形的三种重要线段，它们是研究三角形的一些特征的基础，我们需要从不同的角度进行理解，列表如下： 三角形的中线 三角形的角平分线 三角形的高 文字 语言 在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫作三角形的中线 在三角形中，一个内角的平分线与这 个角的对边相交，这个角的顶点与交 点之间的线段叫作三角形的角平分线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高 特别解读 1. 三角形的中线把三角形分成的两个三角形的面积之间的关系和周长之间的关系： (1)两个三角形的面积相等； (2)两个三角形的周长的差等于原三角形另两边的差. 2.中线是一条线段，一个端点是顶点，另一个端点是中点. 3. 三角形三条高的位置 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三条高 的位置 三条高都在 三角形内部 有两条高恰好是三角形的两条直角边，还有一条高在三角形内部 钝角两边上的高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上，最长边上的高在三角形内部 例4．如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 例5．如图，，，依次是的高、中线和角平分线，下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 题型方法 【题型一】构成三角形的条件 【例1-1】以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A．2cm，4cm，6cm B．2cm，5cm，9cm C．7cm，8cm，cm D．6cm，6cm，cm 【例1-2】已知中，，，那么的长可能是（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 【举一反三】 1．三角形的两边长分别为和，下列长度的四条线段中能作为第三边的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，为了估计池塘两岸，之间的距离，明明在池塘一侧选取了一点，测得，，则池塘两岸之间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 3．若长度分别为4，5，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是 ．（写出一个即可） 【题型二】三角形三边关系的应用 【例2】等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（   ） A．17 B．22 C．13 D．17或22 【举一反三】 1．（八年级上·江苏无锡·期中）已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长是（　　） A．5 B．8 C．11 D．5或11 2．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）等腰三角形的周长为16厘米，腰长为厘米，底边长为厘米，其中的取值范围是 ． 3.（22-23八年级上·江苏徐州·阶段练习）已知中，，，则中线的取值范围是 ． 【题型三】根据三角形中线求长度与面积 【例3-1】如图，是的中线，，．若的周长为8，则的周长为 ． 【例3-2】如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．三角形的下列三种线段中，一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（    ） A．角平分线 B．中线 C．高 D．以上均不可以 2.如图，在中，，是的中线，若的周长比的周长大，则 ． 3.如图，三边的中线、、的公共点为，若，则图中阴影部分的面积是 ． 4．如图，是中边上的中线，，分别是，的中点．若的面积为6，则的面积为 ． 5.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15cm和6 cm两部分，这个等腰三角形的三边长为 6.如图，在中，，为边上的中线，且，求的长． 【题型四】画三角形的高 【例4】 下列四个图形中，BE不是△ABC的高线的图是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．如图，在ABC中，BC边上的高为（　　） A． B． C． D． 2．在画三角形的三条重要线段：角平分线、中线和高线时，不一定画在三角形内部的是 . 【题型五】与三角形的高有关的计算问题 【例5】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，，，，则长为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【举一反三】 1．如图， 在中， ， ， 于点 ， 且， 若点 在边上移动，则的最小值是（  ） A． B． C． D． 2．如图，在锐角三角形中，的面积， 平分交于点，若、分别是、上的动点，则的最小值为 3．（2023七年级下·江苏·专题练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 好题必刷 一、单选题 1．下列几组数中，不能作为三角形的三边长的是（　　） A．1，1，2 B．2，3，4 C．2，4，5 D．6，8，10 2．如果一个等腰三角形的周长为17cm，一边长为5cm，那么腰长为（   ） A．5cm B．6cm C．7cm D．5cm或6cm 3．设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4.已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长是（　　） A．5 B．8 C．11 D．5或11 5．（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 6．（2023·江苏南京·中考真题）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（  ） A．5 B．10 C．15 D．20 7．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则下列关于的面积与的面积的大小说法正确的是（   ）    A． B． C． D．无法比较 8.如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 9.如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得米，米，那么A，B间的距离不可能是（   ） A．40米 B．32米 C．13米 D．25米 10．（22-23七年级上·山东泰安·期末）等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为 和 两部分,则此三角形的底边长为 (    ) A． B． C．或 D．无法确定 11.数学课上，同学们开展折纸探究活动，以下是将三角形纸片折叠的示意图．图中点的位置表示点C经折叠后的对应位置，阴影部分表示三角形纸片经折叠后同部重叠的部分，点D是折痕所在直线与边的交点．那么线段一定是的中线的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 12．由“连接两点的线中，线段最短”这一性质可以得到三角形的三边有这样的性质 ．由它还可推出：三角形两边的差 ． 13．（江苏泰州·期末）三角形两边a=2，b=9，第三边c为为奇数，则此三角形周长为 ． 14．（江苏盐城·阶段练习）如图，BD是△ABC的中线，若△ABC的面积是20，则△BCD的面积是 ． 15．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）若等腰三角形的周长为12，其中一边长为2，则腰长为 ． 16.如图，在中，于点，点是边的中点，，，则的长为 ． 17．如图，的对角线相交于点． （1）若，，则的取值范围是 ． （2）若的面积为，则的面积为 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点在线段和射线上运动，当的面积是的面积的时，点的坐标为 ． 三、解答题 19．设的三边的长度均为自然数，且，请你分析以为三边长的三角形可能有哪些，并求出对应的值． 20．已知是的中线，的周长比的周长大，若的周长为，且，求和的长． 21．如图所示，已知三角形的面积为20，，，求阴影部分的面积． 22．如图，在三角形中，点是的中点． (1)作于点、于点（作出图形，不写作法）； (2)和有怎样的位置和数量关系？为什么？ 23．已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． (1)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； (2)在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围． 24．已知的三边长是． (1)若，且三角形的周长是小于的偶数，求的值； (2)化简． 25．如图，在中，点D是边上一点，连接，点P是的中点，连接并延长交于点E，若，． (1)设的面积为S，求的面积（用含S的式子表示）； (2)请判断与的数量关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 三角形中的线段和角 （知识清单+5大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 构成三角形的条件 题型二 三角形三边关系的应用 题型三 根据三角形中线求长度与面积 题型四 画三角形的高 题型五 与三角形的高有关的计算问题 知识清单 知识点1.三角形的三边关系1.三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边.我们可以从不同的角度理解，列表如下： 文字语音 表达方式 理论依据 图形 三角形的任意两边 之和大于第三边 a＋b>c，b＋c>a，a＋c>b 两点之 间，线 段最短 三角形的任意两边 之差小于第三边 a－b<c，b－c<a，a－c<b (a>b>c) 2.三角形三边关系的应用 (1)判断三条线段能否组成三角形； (2)已知三角形的两边长，确定第三边长(或周长)的取值 范围； (3)当三角形的边长用字母表示时，求字母的取值范围； (4)证明线段的不等关系； (5)化简含绝对值的式子. 特别解读 1. 三角形中的“两边”指任意两边，应用时常选取两条较小的边的和与第三边作比较，选取最大边与最小边的差与第三边作比较. 2. 已知三角形两边长分别为a，b(a>b)，根据三角形的三边关系可知，第三边长c的取值范围是a－b<c<a＋b. 例1 .一个三角形的两边长分别是2和9，则第三边可能是（   ） A．8 B．5 C．11 D．14 【答案】A 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系可得不等式，再解即可． 【详解】解：设第三边的长为， 由题意得：， ， 四个选项中，只A选项符合题意． 故选：A． 知识点2.三角形的边和角的关系 1. 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大. 可以简称为“大边对大角”. 证明如下： 如图1.1 -1 ，在△ABC中，AB>AC， 我们可以通过折纸的方式比较∠B 和∠C的大小. 把AC沿∠BAC的平分线AD翻折，如图1.1 -2， 因为AB>AC， 所以点C落在边AB上的点C′处. 所以∠AC′D＝∠C. 由∠AC′D＝∠B＋∠BDC′，可得∠AC′D>∠B， 所以∠C>∠B. 2. 在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大. 可以简称为“大角对大边”. 解题通法 利用“大边对大角”得出角的大小关系，再由不等式的传递性得到三个角的大小关系.同理可得三边的大小关系. 例2.在中，已知，那么 （大小比较）． 【答案】 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查比较三角形的内角度数的大小关系，根据大边对大角，比较角度之间的关系即可． 【详解】解：∵分别为的对边，且， ∴； 故答案为：． 例3.如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【答案】；在三角形中，大边对大角；对顶角相等；；；在三角形中，大角对大边 【知识点】大（小）边对大（小）角定理、不等式的性质 【分析】本题考查三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质，根据三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质解答即可． 【详解】证明：在中， （在三角形中，大边对大角） （对顶角相等） （在三角形中，大角对大边） 知识点3.三角形的中线、角平分线、高 1. 三角形的中线、角平分线和高是三角形的三种重要线段，它们是研究三角形的一些特征的基础，我们需要从不同的角度进行理解，列表如下： 三角形的中线 三角形的角平分线 三角形的高 文字 语言 在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫作三角形的中线 在三角形中，一个内角的平分线与这 个角的对边相交，这个角的顶点与交 点之间的线段叫作三角形的角平分线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高 特别解读 1. 三角形的中线把三角形分成的两个三角形的面积之间的关系和周长之间的关系： (1)两个三角形的面积相等； (2)两个三角形的周长的差等于原三角形另两边的差. 2.中线是一条线段，一个端点是顶点，另一个端点是中点. 3. 三角形三条高的位置 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三条高 的位置 三条高都在 三角形内部 有两条高恰好是三角形的两条直角边，还有一条高在三角形内部 钝角两边上的高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上，最长边上的高在三角形内部 例4．如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查的是三角形的高，根据高的定义，从三角形的一个顶点向对边引垂线，从顶点到垂足之间的线段是三角形的高． 【详解】解：由图可知，所对顶点为或， 在中，并没有由点向引垂线，所以排除点， 在中，由于为钝角三角形，所以边上的高在三角形外部，也就是过点向的延长线上引垂线，即线段． 故答案选：D． 例5．如图，，，依次是的高、中线和角平分线，下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了三角形的高、中线和角平分线的定义，根据各自的定义一一判定即可． 【详解】解：∵是中线， ∴，故A选项正确， ∵是的高， ∴，故B选项正确， ∵是角平分线， ∴，故D选项正确， ∵是中线，不是角平分线， ∴无法得出，故C选项无法得出， 故选：C 题型方法 【题型一】构成三角形的条件 【例1-1】以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A．2cm，4cm，6cm B．2cm，5cm，9cm C．7cm，8cm，cm D．6cm，6cm，cm 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了构成三角形的条件：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．据此即可求解. 【详解】解：A．，不能组成三角形，不符合题意； B．，不能组成三角形，不符合题意； C．，能组成三角形，符合题意； D．，不能组成三角形，不符合题意； 故选：C． 【例1-2】已知中，，，那么的长可能是（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 【答案】B 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：，， ，即， 故选：B． 【举一反三】 1．三角形的两边长分别为和，下列长度的四条线段中能作为第三边的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值． 【详解】解：，， 根据三角形的三边关系，得 第三边， ∴符合条件， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，解题的关键是熟记构成三角形的条件． 2．如图，为了估计池塘两岸，之间的距离，明明在池塘一侧选取了一点，测得，，则池塘两岸之间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形三边的关系求出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由三角形三边的关系可得， ∵，， ∴，即， ∴四个选项中，只有D选项中的符合题意， 故选：D． 3．若长度分别为4，5，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】2 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可． 【详解】解：由题意知：5﹣4＜a＜5+4，即1＜a＜9， 整数a可取2、3、4、5、6、7、8中的一个， 故答案为：2（答案不唯一）． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，能根据三角形的三边关系求出第三边a的取值范围是解答的关键． 【题型二】三角形三边关系的应用 【例2】等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（   ） A．17 B．22 C．13 D．17或22 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用； 分两种情况，结合三角形的三边关系定理进行求解即可． 【详解】解：当等腰三角形的边长为4，4，9时， ∵， ∴此情况不符合题意； 当等腰三角形的边长为4，9，9时，能构成三角形， 此时周长为， 故选：B． 【举一反三】 1．（八年级上·江苏无锡·期中）已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长是（　　） A．5 B．8 C．11 D．5或11 【答案】A 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】根据题意当腰为5或底边为5时，分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当腰长为5时，底边长为21﹣2×5＝11，三角形的三边长为5，5，11，不能构成三角形； 当底边长为5时，腰长为（21﹣5）÷2＝8，三角形的三边长为8，8，5，能构成等腰三角形； 所以等腰三角形的底边为5． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）等腰三角形的周长为16厘米，腰长为厘米，底边长为厘米，其中的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，解一元一次不等式组，三角形三边之间的关系． 根据三角形的周长公式结合等腰三角形的周长为16厘米，即可得出底边长关于腰长的式子，再由三角形的三边关系即可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出的取值范围． 【详解】解：依题意， 根据三边关系可得 解得： 故答案为：． 3.（22-23八年级上·江苏徐州·阶段练习）已知中，，，则中线的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】平行四边形性质和判定的应用、三角形三边关系的应用 【分析】延长至点，使，可证得四边形为平行四边形，根据三角形三边关系即可得到的取值范围． 【详解】如图所示，延长至点，使．    根据题意可知， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∴，即． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质、三角形的三边关系，根据题意构建辅助线是解题的关键． 【题型三】根据三角形中线求长度与面积 【例3-1】如图，是的中线，，．若的周长为8，则的周长为 ． 【答案】9 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的中线， ， 的周长为8， ， ， ， ， ． 故答案为：9 【点睛】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 【例3-2】如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形边中点，三角形面积，解决问题的关键是熟练掌握三角形中线的定义，等高（或底）的两个三角形面积之比等于底边（高）之比．因为点是的中点，所以的底是的底的一半，高等于的高，可得的面积等于的面积的一半；同理，、、分别是、的中点，可得的面积是面积的一半；利用三角形的等积变换可解答． 【详解】解：，，分别为边，，的中点， 的底是，的底是，即，而高相等， ， 是的中点， ， ， ， ， ，即阴影部分的面积为． 故选：C． 【举一反三】 1．三角形的下列三种线段中，一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（    ） A．角平分线 B．中线 C．高 D．以上均不可以 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】三角形的角平分线与中线重合时才能将三角形分成面积相等的两部分，三角形的高只有与中线重合时才能将三角形分成面积相等的两部分，三角形的中线将三角形的一条边平均分成2部分，以这2部分分别为底，分别求新三角形的面积，面积相等． 【详解】解：A.三角形的角平分线把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定，不符合题意； B.如图，三角形的中线AD把三角形分成两部分， ∵△ABD的面积为•BD•AE，△ACD面积为 •CD•AE； ∵AD为中线， ∴D为BC中点， ∴BD＝CD， ∴△ABD的面积等于△ACD的面积． ∴三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，符合题意． C.三角形的高把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定，不符合题意； D.明显不正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查中线，高，角平分线的意义，及中线，高在实际运算中的应用． 2.如图，在中，，是的中线，若的周长比的周长大，则 ． 【答案】/8厘米 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形中线以及周长，属于基础题，熟练掌握三角形中线性质是解题关键． 根据三角形中线得定义可得，根据三角形周长公式即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 3.如图，三边的中线、、的公共点为，若，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】9 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形中线的性质，重心的性质．要求图中阴影部分的面积，可以先求出两部分阴影的面积，即和的面积，再求和； 由题意可知点G是的重心，由三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得； 利用三角形重心的性质可得、，代入已知条件即可求出和的面积． 【详解】解：是的中线， ， 三边的中线、、的公共点为， 点G是的重心， ，， 图中阴影部分的面积， 故答案为：9． 4．如图，是中边上的中线，，分别是，的中点．若的面积为6，则的面积为 ． 【答案】48 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】由于F是的中点，，那么和可看作等底同高的两个三角形，根据三角形的面积公式，得出和的面积相等，进而得出的面积等于的面积的2倍，同理由于E是的中点，得出的面等于面积2倍，由于是边上的中线，得出的面积等于面积的2倍，代入求解即可． 【详解】∵F是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， 同理， 故答案为：48． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键． 5.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15cm和6 cm两部分，这个等腰三角形的三边长为 【答案】10 cm，10 cm，1 cm 【知识点】等腰三角形的定义、根据三角形中线求长度、三角形三边关系的应用 【分析】设AB＝AC＝2x，BC＝y，则AD＝CD＝x，根据腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15cm和6 cm两部分可知有两种情况，进而结合三角形的三边关系逐个求解即可． 【详解】解：设AB＝AC＝2x，BC＝y，则AD＝CD＝x， ∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成15和6两部分， ∴有两种情况： （1）当3x＝15，且x+ y＝6， 解得：x＝5，y＝1， ∴三边长分别为10cm，10 cm，1 cm； （2）当x+ y＝15且3x＝6时， 解得：x＝2，y＝13，此时腰长为4， 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，而4+4＝8＜13， 故这种情况不存在． ∴腰长只能是10cm． 故答案为：10cm，10 cm，1 cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形中线的定义以及三角形的三边关系，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键． 6.如图，在中，，为边上的中线，且，求的长． 【答案】． 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了中线的性质，中线是三角形中从某边的中点连向对角的顶点的线段．由中线的性质得，则，根据列式，即可求解． 【详解】解：∵，D为中点， ∴，则， ∵， ∴， 即． 【题型四】画三角形的高 【例4】 下列四个图形中，BE不是△ABC的高线的图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】画三角形的高 【分析】利用三角形的高的定义可得答案． 【详解】解：BE不是△ABC的高线的图是C， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形的高，关键是掌握从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 【举一反三】 1．如图，在ABC中，BC边上的高为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】画三角形的高 【分析】根据三角形的高的定义即可求出答案． 【详解】解：A、为AB边上的高，故错误； B、为BC边上的高，故正确； C、不是BC边上的高，故错误； D、为AC边上的高，故错误． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的高，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底，解题的关键是正确理解三角形的高的定义． 2．在画三角形的三条重要线段：角平分线、中线和高线时，不一定画在三角形内部的是 . 【答案】高线 【知识点】画三角形的高、三角形角平分线的定义 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义求解． 【详解】解：三角形的角平分线和中线都在三角形内部， 而锐角三角形的三条高在三角形内部， 直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部， 钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部． 故答案为：高线． 【点睛】考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 【题型五】与三角形的高有关的计算问题 【例5】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，，，，则长为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是求出长和三角形的面积．根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出的面积，求出面积，即可求出答案． 【详解】解：过作于，如图： 是的角平分线，， ， ， 的面积为36， 的面积为， ， ， ， 故选：B． 【举一反三】 1．如图， 在中， ， ， 于点 ， 且， 若点 在边上移动，则的最小值是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂线段最短、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了等面积法，垂线段最短，根据垂线段最短，得到时，最短，然后用等面积法即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 根据垂线段最短，得到时，最短， ∴， ∵， ，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：． 2．如图，在锐角三角形中，的面积， 平分交于点，若、分别是、上的动点，则的最小值为 【答案】 【知识点】垂线段最短、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查三角形中的最短路径，垂线段最短，三角形高的定义，过点作于点，解题的关键是理解的长度即为最小值． 【详解】解：过点作于点，交于点，过点作于， 平分，于点，于， ， 当点与重合，点与 重合时，的最小值． 三角形的面积为，， ， ． 即的最小值为． 故答案为：． 3．（2023七年级下·江苏·专题练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）10． 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 好题必刷 一、单选题 1．下列几组数中，不能作为三角形的三边长的是（　　） A．1，1，2 B．2，3，4 C．2，4，5 D．6，8，10 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得． 【详解】解：A、，不能作为三角形的三边长，则此项符合题意； B、，能作为三角形的三边长，则此项不符合题意； C、，能作为三角形的三边长，则此项不符合题意； D、，能作为三角形的三边长，则此项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 2．如果一个等腰三角形的周长为17cm，一边长为5cm，那么腰长为（   ） A．5cm B．6cm C．7cm D．5cm或6cm 【答案】D 【分析】此题分为两种情况：5cm是等腰三角形的底边长或5cm是等腰三角形的腰长，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形． 【详解】当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（17−5）÷2＝6（cm），能够组成三角形； 当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是17−5×2＝7（cm），能够组成三角形． 故该等腰三角形的腰长为：6cm或5cm． 故选：D． 【点睛】此题考查了等腰三角形的两腰相等的定义，三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 3．设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据绝对值和平方的非负性，得到关于、的方程组，再根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：， ，， ，， ， ， 故选：C． 4.已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长是（　　） A．5 B．8 C．11 D．5或11 【答案】A 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】根据题意当腰为5或底边为5时，分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当腰长为5时，底边长为21﹣2×5＝11，三角形的三边长为5，5，11，不能构成三角形； 当底边长为5时，腰长为（21﹣5）÷2＝8，三角形的三边长为8，8，5，能构成等腰三角形； 所以等腰三角形的底边为5． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 5．（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可． 【详解】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意； C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意； 故选：B． 6．（2023·江苏南京·中考真题）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（  ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】此题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，掌握相关知识是解题的关键．根据等腰三角形的定义及三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：等腰三角形的腰长为3， 等腰三角形的底长， 即等腰三角形的底长， 等腰三角形的周长， 故选：B． 7．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则下列关于的面积与的面积的大小说法正确的是（   ）    A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【知识点】利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．分别求出的面积和的面积，即可求解． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 8.如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断． 本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 【详解】∵是的中线， ∴，A说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，B说法正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，C说法正确，不符合题意； ∵， ∴，D说法错误，符合题意． 故选：D． 9.如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得米，米，那么A，B间的距离不可能是（   ） A．40米 B．32米 C．13米 D．25米 【答案】A 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理，根据三角形的三边关系定理得出不等式，即可得出选项． 【详解】解：设米， 根据题意，得， ∴， 观察各选项，选项A不符合， 故选：A． 10．（22-23七年级上·山东泰安·期末）等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为 和 两部分,则此三角形的底边长为 (    ) A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求长度、等腰三角形的定义、构成三角形的条件 【分析】根据题意作出图形，设，然后分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据等腰三角形的定义和三角形中线的性质得：． 可设， ∴． 由题意得： 或， 解得：或． 当时，即此时等腰三角形的三边为，，， ，符合三角形的三边关系， 此情况成立； 当时，即此时等腰三角形的三边为，，， ，符合三角形的三边关系， 此情况成立． 综上可知这个等腰三角形的底边长是或． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的定义，三角形中线的性质．利用分类讨论的思想是解题关键． 11.数学课上，同学们开展折纸探究活动，以下是将三角形纸片折叠的示意图．图中点的位置表示点C经折叠后的对应位置，阴影部分表示三角形纸片经折叠后同部重叠的部分，点D是折痕所在直线与边的交点．那么线段一定是的中线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求长度、折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质和中线的定义，根据此来逐一分析选项； 【详解】解： 折叠的性质是折叠前后的图形全等，对应边相等，点C的对应点在点B处，则点D为 的中点，故是的中线，则选项A正确； 由折叠可知， ​​，不能得出，所以无法判定是的中线，该选项B错误； 由折叠可知，且点落在上，此时也不能推出，因此不能确定是的中线，该选项C错误； 由折叠可知，点C与点A重合，无法判断出，故该选项D错误； 故选：A． 二、填空题 12．由“连接两点的线中，线段最短”这一性质可以得到三角形的三边有这样的性质 ．由它还可推出：三角形两边的差 ． 【答案】 三角形两边的和大于第三边 小于第三边 【分析】根据三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行求解即可． 【详解】解：由“连接两点的线中，线段最短”这一性质可以得到三角形的三边有这样的性质三角形两边的和大于第三边．由它还可推出：三角形两边的差小于第三边． 故答案为：角形两边的和大于第三边；小于第三边． 【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，解题的关键在于能够熟记三角形三边的关系． 13．（江苏泰州·期末）三角形两边a=2，b=9，第三边c为为奇数，则此三角形周长为 ． 【答案】20 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】根据三角形的三边关系可得：，即可求解． 【详解】根据三角形的三边关系得： ，即， ∵第三边c为为奇数， ∴ 取 ， ∴此三角形周长为 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，及三角形的周长的求法，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系，及三角形的周长的求法． 14．（江苏盐城·阶段练习）如图，BD是△ABC的中线，若△ABC的面积是20，则△BCD的面积是 ． 【答案】10 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可得S△ABD＝S△BCD，然后求解即可． 【详解】解：∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CD， ∴S△ABD＝S△BCD， ∵△ABC的面积是20，S△ABC＝S△BCD+S△ABD， ∴△BCD的面积＝S△ABC＝×20＝10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等是解题的关键． 15．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）若等腰三角形的周长为12，其中一边长为2，则腰长为 ． 【答案】5 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】要确定等腰三角形的另外两边长，可根据已知边的长，结合周长公式求解，由于长为2的边已知没有明确是腰还是底边，要分类进行讨论． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为12， ∴当2为腰时，它的底长，，不能构成等腰三角形； 当2为底时，它的腰长，能构成等腰三角形， 即腰长为5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判定是否能组成三角形． 16.如图，在中，于点，点是边的中点，，，则的长为 ． 【答案】6 【知识点】根据三角形中线求长度、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查三角形的面积、中线，根据三角形面积公式列关于的方程并求解，再由中点的定义计算的长即可．掌握三角形面积计算公式和中点的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是中线， ∴ 故答案为：6． 17．如图，的对角线相交于点． （1）若，，则的取值范围是 ． （2）若的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质以及三角形的三边关系， （1）根据平行四边形的性质得，，再利用三角形的三边关系可得结论； （2）根据平行四边形的性质可得答案； 解题的关键是掌握：平行四边形的对角线互相平分． 【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∴， 即， 故答案为：； （2）∵的面积为， ∴，， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 18．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点在线段和射线上运动，当的面积是的面积的时，点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】分三种情形点在线段上，点在线段上，点在点上方分别求解即可． 【详解】解： 如图，分以下三种情况讨论： 点在线段上，时，的面积等于面积的一半． 此时； 点在线段上，时，的面积等于面积的一半， 此时点； 点在点上方，由题意与关于点对称， ∴． 综上所述，点的坐标是：或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内中点坐标的求法、中线平分三角形的面积、中心对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题． 三、解答题 19．设的三边的长度均为自然数，且，请你分析以为三边长的三角形可能有哪些，并求出对应的值． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边．根据，得，根据三角形三边关系，求出，根据，求出，根据的长度均为自然数，得出c只能取5或6，然后得出答案即可． 【详解】解：由，得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的长度均为自然数， ∴c只能取5或6，从而 a 3 4 1 2 3 b 5 4 6 5 4 c 5 5 6 6 6 ∴共可组成5个三角形． 20．已知是的中线，的周长比的周长大，若的周长为，且，求和的长． 【答案】的长为，的长度为 【分析】此题考查了三角形中线的性质，二元一次方程组的应用，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质．首先根据三角形中线的概念得到，然后根据的周长比的周长大，得到，由的周长为，且，得到，联立方程组即可求解． 【详解】解：是中线， ， ， ， ， ，且， ， 联立， ， 答：三角形中的长为的长度为． 21．如图所示，已知三角形的面积为20，，，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线有关的面积，由边之间的关系得，，阴影部分的面积转化成的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设， ，， ，，， ， ， ， 解得∶， 故阴影部分的面积为． 22．如图，在三角形中，点是的中点． (1)作于点、于点（作出图形，不写作法）； (2)和有怎样的位置和数量关系？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)，，见解析 【分析】本题考查了作垂线，平行线的判定，三角形中线等分面积等知识点，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． （1）根据作垂线的方法即可作图； （2）根据同位角相等，两直线平行即可得到，再由中线等分面积得到，再由三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图，垂线即为所求： （2）解：，，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴． 23．已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． (1)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； (2)在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围． 【答案】(1)该三角形最短边的最小值4； (2) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、解不等式、解不等式组等知识点，掌握三角形的三边关系成为解题的关键． （1）设最短的边的长度为x，较长边的长度为，然后根据题意列不等式求得，然后根据三边长都是整数即可解答； （2）设，然后根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设最短的边的长度为x，较长边的长度为， 由题意可得：，解得：， ∵一个三角形的三边长都是整数， ∴该三角形最短边的最小值4； （2）解：设， 由题意可得：， 解得：． 24．已知的三边长是． (1)若，且三角形的周长是小于的偶数，求的值； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形三边关系、化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）由三角形三边关系结合三角形的周长是小于16的偶数，得出，即可得出答案； （2）由三角形三边关系得，再利用绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：的三边长是，， ，， ， 的周长是小于的偶数， ，即， ； （2）解：的三边三边长是a，b，c， ， 原式 ． 25．如图，在中，点D是边上一点，连接，点P是的中点，连接并延长交于点E，若，． (1)设的面积为S，求的面积（用含S的式子表示）； (2)请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键． （1）根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可； （2）连接，设，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将其它各三角形的面积表示出来，列关于、的等式，从而求出值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，即， ． （2）如图，连接． 设，则， 点是的中点， ， ， ， ， ，即， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$