1.1三角形中的线段和角（第1课时 三角形的边和角）（教学课件）数学苏科版2024八年级上册

1.1 三角形中的线段和角 第1课时 三角形的边和角 第一章 三角形 学 习 目 标 1 2 3 探索并证明“三角形的任意两边之和大于第三边.” 探索并证明“在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大，较大的角所对的边也比较大.” 利用三角形三边关系、边角关系，解决一些与线段或角度有关的计算或证明问题，逐步提高推理能力. 情境引入 为什么有很多建筑物的结构用三角形？ 三角形具备哪些独特性质呢？ 操作观察 1. 在方格纸中画出可以和给定三角形重合的三角形. 如何确定三角形的形状和大小？ 操作观察 2. 你能画出以下列长度的线段为边的三角形吗？试一试. (1) 4，4，4；(2) 3，5，7；(3) 3，4，5. (1) (2) (3) 上面画出的三角形是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形？ 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形 三角形的三边具有什么性质？三角形的边与角之间有什么关系呢？ 新知探究 能否画出以下列长度的线段为边的三角形？为什么？ 2 3 6 (1) (2) 3 4 7 不能 不能 三角形任意两边之和大于第三边. 新知探究 如何证明三角形任意两边之和大于第三边呢？ 证明：∵BA＋AC是连接B，C两点的折线长度， BC是连接B，C两点的线段长度， ∴ BA＋AC＞BC (两点之间的所有连线中，线段最短). 同理，AC＋CB＞AB，AB＋BC＞AC. B C A 新知归纳 三角形的任意两边之和大于第三边. B C A 符号语言： 在△ABC中， BA＋AC＞BC，AC＋CB＞AB，AB＋BC＞AC. 新知探究 讨论：三角形的任意两边之差与第三边有什么关系？你能证明吗？ B C A 已知：如图，△ABC， 求证：AB－AC＜BC. 证明：在△ABC中，∵AC＋BC＞AB (三角形任意两边之和大于第三边)， ∴ AC＋BC－AC＞AB－AC (不等式的基本性质). ∴ BC＞AB－AC， 即AB－AC＜BC. 三角形的任意两边之差小于第三边. 新知应用 1. 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1) 1，4，7；(2) 3，5，8；(3) 5，6，9. 解：(1)因为1＋4＝5＜7，所以不能构成三角形； (2)因为3＋5＝8，所以不能构成三角形； (3)因为5＋6＝11＞9，所以能构成三角形. 方法总结 判断三条线段能否组成三角形的方法： 1. 判断三条线段长度的大小关系； 2. 求两条较短线段的长度的和. 若大于最长线段的长度，则可以组成三角形； 若小于或等于最长线段的长度，则不可以组成三角形. 新知应用 2. 若三角形的两边长分别是2和7，第三边长为奇数，求第三边的长. 解：设第三边的长为x， 根据两边之和大于第三边，得2＋7＞x且2＋x＞7， 解得 5＜x＜9。 因为它是奇数，所以x只能取7. 三角形第三边的取值范围是: <第三边<两边之和. 典例分析 例1 如图，在△ABC中，点D在边BC上. 求证：AC＋CB＞AD＋DB. 在△ACD中，AC＋CD＞AD (三角形两边之和大于第三边). ∴AC＋CD＋DB＞AD＋DB (不等式的性质). 即AC＋CB＞AD＋DB. B C A D 证明： 新知探究 B C A 我们可以通过折纸的方式比较∠B和∠C的大小. 把AC沿∠A的平分线AD翻折，如图， ∵ AB＞AC，所以点C落在边AB上的点C′处. ∴∠AC′D＝∠C. ∵ ∠AC′D＝∠B＋∠BDC′， ∴∠AC′D＞∠B， ∴∠C＞∠B. 在△ABC中，已知AB＞AC，∠B和∠C哪个更大？ D C′ 新知巩固 反过来，在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大吗？ B C A 已知：△ABC，∠C＞∠B， 求证：AB＞AC. 证明：假设AB≤AC，则∠C≤∠B. 与∠C＞∠B矛盾，假设不成立. 所以AB＞AC. 新知归纳 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大，较大的角所对的边也比较大. 典例分析 例2 如图，在△ABC中，AB＜AC. (1) 比较∠B，∠C的大小，并说明理由； 解：(1) ∠B＞∠C. ∵AC＞AB (已知) ∴∠B＞∠C (在同一三角形中，较大的 边所对的角也比较大). B C A H 典例分析 例2 如图，在△ABC中，AB＜AC. (2) 若AH⊥BC，比较∠BAH与∠CAH的大小，并说明理由. B C A H 解：(2) ∠BAH＜∠CAH. ∵AH⊥BC， ∴∠AHB＝∠AHC＝90°. ∴∠BAH＋∠B＝90°， ∠CAH＋∠C＝90°. ∵∠B＞∠C， ∴∠BAH＜∠CAH. 新知巩固 1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，比较AB和BC的大小，并说明理由. 证明：∵在△ABC中，∠C＝90°， ∴∠C＞∠A ∴ AB＞BC (在同一三角形中，较大的角所 对的边也比较大) C A B 新知巩固 2. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D在BC上，比较AC和AD的大小，并说明理由. B C A D 证明：∵∠ADC是Rt△ABD的一个外角， ∴∠ADC＞90°. ∵∠C是Rt△ABC的一个内角， ∴∠C＜90°. ∴ ∠ADC＞∠C. ∴ AC＞AD(在同一三角形中，较大的角所对的边也比较大) 思维提升 例3 如图，P是△ABC内的一点，连接PA，PB. 求证：AP＋BP＜AC＋BC. B C A P 证明：延长AP交BC于点D. 在△ACD中，AC＋CD＞AD， ∴AC＋CD＋BD＞AD＋BD，即AC＋BC＞AD＋BD. 在△BDP中，BD＋DP＞BP. ∴BD＋DP＋AP＞BP＋AP，即BD＋AD＞BP＋AP. ∴AC＋BC ＞AP＋BP. 即AP＋BP＜AC＋BC. D 课堂小结 三角形的边和角 三角形三边关系 三角形边角关系 三角形任意两边之和＞第三边 三角形任意两边之差＜第三边 大边对大角 大角对大边 $$