专题02 特殊平行四边形的平移、翻折与旋转三类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版九年级上册

专题02 特殊平行四边形的平移、翻折与旋转三类综合题型 目录 典例详解 类型一、四边形平移综合问题 类型二、四边形旋转综合问题 类型三、四边形翻折综合问题 压轴专练 类型一、四边形平移问题 例1-1．如图，正方形，点、分别在、上． (1)如图1，当时． ①求证：； ②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：； (2)如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)． 【分析】（1）①如图1，可证得四边形是平行四边形，进而可证，即可证得结论； ②在上截取，如图2，则是等腰直角三角形，，由，利用全等三角形性质和正方形性质即可得出结论； （2）如图3，过点作交于点，则四边形是平行四边形，作，交延长线于，利用证明，设，则，运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：①过点作，交的延长线于点， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②在上截取，如图2， 则是等腰直角三角形，， 由（1）知，， ， ，， ， ， ， ， 即； （2）解：如图3，过点作交于点， 则四边形是平行四边形， ，， ，，， ， ， 作，交延长线于， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，掌握正方形性质，等腰直角三角形判定和性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形判定和性质，勾股定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 例1-2（最值问题）．综合与探究 问题情境： 如图，在正方形中，，，分别是，，边上的点，连接，．若，判断与之间的数量关系．老师在课堂上给出如下分析：将沿方向平移到，连接．根据平移的性质，可判断四边形是平行四边形，再证明，得到，继而得到． 尝试初探： （1）老师提出该问题的变式问题：将正方形改为菱形，，如图，，，分别是，，边上的点，连接与交于点．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 通过探究发现，可以利用平移这一手段，将有些条件集中在一起来解决问题． 迁移应用： （2）如图3，在中，点，分别在，边上，且，，交于点，．判断与的大小关系，并说明理由． 拓展探究： （3）如图4，在正方形中，点，分别在，边上，过点作于点，交边于点，连接，．若，，请直接写出的最小值． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）的最小值为4 【分析】（1）将线段沿方向平移得到线段，点，分别与点，对应，连接， 则．设与交于点．证明为等边三角形．得．，进而证明．得．从而即可得解； ． （2）将线段沿方向平移得到线段，点，分别与点，对应，连接，． 由平移的性质，得．则四边形为平行四边形，．从而为等边三角形．．从而分①若点，，共线，②若点，，不共线，讨论求解即可； （3）线段沿方向平移得到线段，则，，连接交于点，则，即．当，，三点共线时（即点在点的位置时），取得最小值．过点作的垂线，分别交，的延长线于点，，则．由问题情境可得，则．，证是等腰直角三角形．进而得从而即可得解． 【详解】解：（1）． 理由：如解图，将线段沿方向平移得到线段，点，分别与点，对应，连接， 则．设与交于点． ． ． ∵四边形为菱形， ． ， 为等边三角形． ．， ． ． ∵， ． ． ． （）． 理由：如解图，将线段沿方向平移得到线段，点，分别与点，对应，连接，． 由平移的性质，得． ∴四边形为平行四边形，． ． 为等边三角形． ． 分以下两种情况讨论： ①若点，，共线，则，即． ∵四边形为平行四边形， ． ． ∴点，，不共线． ∴该情况不存在． ②若点，，不共线，则，即． 综上所述，与的大小关系为． （）的最小值为． 如图，线段沿方向平移得到线段，则，，连接交于点，则，即．当，，三点共线时（即点在点的位置时），取得最小值．过点作的垂线，分别交，的延长线于点，，则． 由问题情境可得， ∴． ， ． 由勾股定理，得 ∵，， 是等腰直角三角形． ． 的最小值为． 【点睛】本题考查了勾股定理，平移的性质，等边三角形的判定及性质，两点之间，线段最短，正方形的判定及性质，菱形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 变式1．正方形是所有四边形中性质最为丰富的，尤其是对角线，相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角，如果我们把两个正方形按照一定的方式放在一起，会发现一些很有趣的结论．已知正方形，E是对角线上一点，连接，过E作交于F，以为邻边作矩形，连． (1)如图1所示，①若，则 ； ②求证：矩形是正方形； (2)①将（1）中的正方形顶点E沿着平移，顶点F落在延长线上时，如图2所示，试探究的数量关系，并说明理由； ②继续平移，当顶点E落在延长线上时，如图3所示，请直接写出的数量关系． 【答案】(1)①；②详见解析 (2)①；② 【分析】本题考查正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． （1）①直接利用勾股定理定理求解即可；②过点作，，证明，得到，即可得证； （2）①证明，得到，根据，即可得出结论；②同①法证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵正方形，， ∴，， ∴； 故答案为：； ②过点作，， ∴， ∵正方形， ∴平分， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）①，证明如下： 由（1）知：矩形是正方形； ∴， ∵正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②同①法可得：，， ∴， ∵， ∴． 变式2．如图，在矩形中，，，把边沿对角线所在直线平移，移动后点A，B的对应点分别为点，，连接，．    (1)连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由； (2)在（1）的基础上，若与边交于点P，过点P作，交于点M，交边于点Q，求证：； (3)当四边形的面积为60时，直接写出边平移的距离． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)见解析 (3)20或30 【分析】（1）由矩形和平移的性质可证明四边形是平行四边形，再结合，可证得四边形是菱形； （2）由，结合（1）可得，四边形是平行四边形，则，，即可证得结论； （3）由矩形的性质，结合勾股定理得，过点作，则，求得，连接，由平移可知，可知，求得，分两种情况：当在线段上时，当在线段的延长线上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 在矩形中，，， 由平移可知，，， ∴，，则四边形是平行四边形， ∵，即：， ∴四边形是菱形； （2）证明：由（1）可知四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （3）在矩形中，，， 则， 过点作，则， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， 连接，由平移可知， ∴， ∴， 当在线段上时，，    当在线段的延长线上时，，    综上，边平移的距离为20或30． 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定及性质，平移的性质，勾股定理，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 变式3．数学课上，张老师出示了一个问题：在菱形中，连接，可在直线上平移，得到，的平分线交射线于点． (1)小芳想，当点在的沿长线上时，如图1，线段和线段之间会有怎样的数量关系呢？请你作出判断：_______（填“”，“”或“”） (2)当点在线段上时，如图2，小琳同学对线段和线段之间的数量关系作出了判断：． ①小迪认为在图2中，不用添画辅助线，可以证明出小琳的结论； ②小芮觉得可以添画如图3的辅助线，构造全等三角形来证明小琳的结论； 请你选择用小迪或小芮的思路，写出一种证明过程． (3)小怡突发奇想：点在线段上，若，，当是等腰三角形时，请直接写出平移的距离． 【答案】(1) (2)见解析 (3)1；； 【分析】（1）根据菱形的性质得出，，，根据平移得出，，根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，即可证明，得出结论； （2）①根据菱形的性质得出，，，根据平移得出，，根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，即可证明，得出结论； ②证明，得出，证明，得出； （3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形， ∴，，， 根据平移可得：，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； （2）证明：①∵四边形为菱形， ∴，，， 根据平移可得：，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； ②∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵菱形中， ∴， 根据平移可知：， ∴， 即， 根据①得：， ∴， ∴， ∴； （3）解：菱形中，， 根据平移可知：，， 当时，如图所示： 根据解析（2）可知：， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 根据解析（2）可知：， 设，则， ∴， 解得：， 即； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 根据解析（2）可知：， 设，则， ∴， 解得：， 即； 综上分析可知：的长度为：1；；． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平移的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质． 类型二、四边形旋转问题 例2-1．【感知】如图①，在矩形中，点O是边的中点，连接．保持矩形不动，将绕着点O顺时针旋转一定的角度得到，点A、D、C的对应点分别为点E、F、G，连接．若旋转角的大小为，且，则的周长为______； 【探究】如图②，在图①中的的旋转过程中，当线段与线段相交于点M（点M不与点A、B、F、G重合）时，连接，其他条件不变．求证：； 【拓展】在图①中的的整个旋转过程中（旋转角小于180°），当点F落在矩形的对称轴上，且，时，线段与线段相交于点M，直接写出线段的长度． 【答案】【感知】：6；【探究】：见解析；【拓展】：的长度为或 【分析】【感知】利用旋转的性质、等边三角形的判定与性质即可求解； 【探究】连接交于点H，由折叠的性质及点O是边的中点，得，从而可证明，有，则得垂直平分，由三角形中位线的性质即可证明； 【拓展】分两种情况：当点F落在的垂直平分线上时，则易得四边形是矩形，则；当点F落在的垂直平分线上时，过O作于点H，则可得都是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】【感知】解：∵点O是边的中点，， ∴； 由旋转的性质得：， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为； 故答案为：6． 【探究】证明：连接交于点H，如图； 由题意得，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴垂直平分，即点是的中点； ∵点O是边的中点， ∴是的中位线， ∴； 【拓展】解：当点F落在的垂直平分线上时， ∵点O是边的中点， ∴， ∴； 由旋转知， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 当点F落在的垂直平分线上时， 则分别是的中点， ∴； 如图，过O作于点H， 则四边形是矩形， ∴，； ∵， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形，且，； ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 由勾股定理得． 综上，的长度为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，注意分类讨论，所涉及的知识点较多，灵活应用是解题的关键． 例2-2．【问题情境】如图1，点E为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点A逆时针方向旋转α度（），点B，E的对应点分别为点，． 【问题解决】 (1)如图2，在旋转的过程中，点落在了上，此时的长为______； (2)若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长； (3)在直角三角形绕点A逆时针方向旋转过程中，线段长度的最小值为______，最大值为______． 【答案】(1) (2)①正方形，理由见解析；② (3)， 【分析】（1）由勾股定理得，再由正方形的性质得，然后由旋转的性质得，即可求解； （2）①由旋转的性质得，，，再证四边形是矩形，即可得出结论； ②过点C作于点G，证，得，，则，再由勾股定理求解即可； （3）的最小值就是初始位置时的长度；当落在的延长线上时，，最长，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， 故答案为：； （2）解：①四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质得：，，， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； ②过点C作于点G，如图3所示： 则， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵点E不会在线段上， ∴的最小值就是初始位置时的长度， 当落在的延长线上时，，最长， 故答案为：，． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识． 变式2-1 综合与实践课上，同学们以“正方形的旋转”为主题开展数学活动． 【操作判断】将正方形绕正方形的顶点A旋转． （1）如图1，当点D在上时． ①连接，判断B，E，F三点共线吗？试证明你的结论： ②若，，连接，，求出的面积； 【探究应用】（2）如图2，当点E落在上时，连接，． ①下列说法正确的有__________；（填出所有正确的选项） A．点F一定在直线上            B． C．                    D． ②与的数量关系是__________．（直接填空，不用说理） 【答案】（1）①B，E，F三点共线，证明见解析；②；（2）①ABD；② 【分析】（1）①连接．由正方形的性质得到，，，进而得到，可证得，得到，则，得证点B，E，F三点共线． ②连接，过点E作于点M，作于点N，得到四边形是矩形，由勾股定理求得，根据的面积求得，进而有，即可求出的面积． （2）①①连接，，证明，得到，，则，由得到，从而点F一定在直线上．故A正确．因为，故，故B正确．设交于点L，交于点T，证明，，由随的增大而减小，得到与不一定相等，进而可说明与不一定相等，故C错误．过点E作于点P，交于点Q，，证明，得到，从而．故D正确． ②由，得到，则，而，则，所以． 【详解】解：（1）①连接． ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴B，E，F三点共线． ②连接，过点E作于点M，作于点N， ， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，，， ∴， ， ∵，即， ∴， ∴在中，， ∴在矩形中，， ∴． （2）①连接，， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ， ∴在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D，F，C三点共线， ∴点F一定在直线上．故A正确． 由（1）得， ∴， ∴， ∴．故B正确． 设交于点L，交于点T， ∵，，且， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴随的增大而减小，即与不一定相等， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等， ∵， ∴与不一定相等，故C错误． 过点E作于点P，交于点Q， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴．故D正确． 故答案为：ABD． ②∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 变式2-2．【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①，②，理由见解析；（2），证明见解析；（3）或． 【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质即可得到，从而可得；②由①的结论及勾股定理即可得到三线段间的数量关系； （2）由矩形的性质可证明，则有；再由矩形的性质及线段垂直平分线的性质可得；在中，由勾股定理及等量代换可得 ； （3）分两种情况：点E在边上；点E在延长线上；由（2）的结论及勾股定理即可解决． 【详解】（1）解：①∵四边形、四边形均为正方形， ∴，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ②在中，， 而，， ∴； （2）解：三线段间的数量关系为：； 证明如下： ∵四边形、四边形均为矩形，矩形的中心为O， ∴，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得：， ∴； （3）解：①当点E在边上时； 由（2）的结论知：； 另一方面，在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； ②当点E在延长线上时，如图； 把补成矩形，延长交延长线于点P，连接， 与（2）证法相同，同样有， 另一方面，在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形的综合，考查了矩形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，旋转的性质等知识，证明三角形全等是问题的关键． 变式2-3．如图，正方形、正方形，连接，取的中点H，连接、． (1)【尝试探究】如图1，当点D落在上时，则______； (2)【深入探究】如图2，将正方形绕着点C旋转至点F落在的延长线上．求证：； (3)【拓展应用】如图3，继续将正方形绕着点C旋转，连接交于点P，连接，若点P为的中点，的面积为2，则线段的长为______． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据四边形、是正方形，得出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明； （2）在上截取，连接，根据是中点，得出，再结合四边形、是正方形，得出，证明，根据全等三角形的性质得出，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明； （3）延长至，使，连接，连接延长交于点，证明，再证出，即可得出、是等腰直角三角形，证出，过C作于点L，证明，证出，根据，即可解答； 【详解】（1）解：连接，，如图所示： ∵四边形、是正方形， ， ， ∵是中点， ， 即； （2）证明：在上截取，连接，如图所示： ∵是中点， ， ∴， ， ∵四边形、是正方形， ， ， ， ， ， 即； （3）解：延长至，使，连接，连接，并延长交于点， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵四边形、是正方形， ． ， ，     ， ， ， ， ， ∴、是等腰直角三角形， ， 过C作于点L， 是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出辅助线． 类型三、四边形翻折问题 例3-1．综合与实践 在矩形中，，，将沿翻折，使顶点落在点处． 【初步探究】 （1）如图①，若点在线段上，点恰好落在对角线上，则的长为________________； 【深入思考】 （2）若点在射线上，点在矩形外，且满足，在图②中用无刻度的直尺和圆规作出折痕（不写作法，保留痕迹），并求的长； 【拓展提升】 （3）若点在线段上，点是线段的三等分点，现将沿翻折，点对应点为点，且、、三点共线，求的长． 【答案】（1）；（2）作图见解析，；（3）或 【分析】（1）先根据勾股定理得：，再由折叠的性质得，再根据即可得出答案； （2）先作的垂直平分线，再以为圆心为半径画弧交的垂直平分线于点E，连接，易得，最后作的角平分线交射线于点Q即可；设的垂直平分线交于点F，交于点G，连接，易求，利用勾股定理求出，得到，证明，得到，设，则，由，建立方程求解即可； （3）延长到，连接，使得是正方形，延长交于点H，连接，求出，，证明，推出，得到三点共线，分和两种情况讨论，利用勾股定理建立方程，求出，再根据，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，，， 由勾股定理得： ∵点E落在对角线上， 由折叠的性质得 ∴； （2）解：如图所示为所求， 设的垂直平分线交于点F，交于点G，连接， ∵垂直平分，， ∴，， ∵， ∴四边形都是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴，即， 解得：， ∴； （3）延长到，连接，使得是正方形，延长交于点H，连接，则，， 由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， 如图，当时，则，， 设，则， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 当时，如图，则，， 设，则， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形中的折叠问题，线段垂直平分线的尺规作图，矩形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正方形的性质，垂直平分线的性质，尺规作线段的垂直平分线，解题的关键是熟练掌握相关性质，作出图形，数形结合，并注意分类讨论． 例3-2（最值问题）．（）四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】 （1）如图1，小明将沿翻折得到，点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点F，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为________； 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点F，请你猜想线段，，之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 （3）在（2）的翻折过程中，正方形的边长为9． ①如图3，若线段恰好经过点D，，求的长， ②如图4，若F为中点，连接，，直接写出的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）①2；② 【分析】（1）由“十字架”模型可证，进而得解； （2）先证，再利用“十字架”模型构造全等，过点G作，易证，进而得解； （3）①过点D作，先证四边形是平行四边形，得，再分别利用勾股定理表示出，从而建立方程求解即可； ②构造平行四边形，可得，易证，可得，过K作于点K，且，证，得到，所以，当且仅当H、E、F依次共线时，取等，据此求解即可． 【详解】（1）如图， 由题可知垂直平分， ∴， 在正方形中，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． （2）； 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵翻折， ∴， ∴， 过点G作，垂足为点N， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． （3）①设， ∵正方形的边长为9，， ∴，，， 过点D作，垂足为H，交线段于点P，连接，． ∵四边形沿所在直线翻折得到四边形，线段经过点D， ∴D，P关于直线对称，， ∴垂直平分， ∴， ∵由（2）得，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴根据勾股定理，， 在中，， ∴根据勾股定理，， 又∵， ∴， 解得， 答：的长为2． ②如图，过A作交于点K， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过K作于点K，且， ∴， ∴， ∴， ∴，当且仅当H、E、F依次共线时，取等， 过H作，交延长线于点H，则四边形是矩形， ∴，， ∵F是中点， ∴， ∴， 由（2）中方法可证，∴， ∴， 在中，， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 变式3-1．在正方形中经常会出现翻折等变换，可通过、等全等条件构造两个三角形全等．如图1，正方形中，E是边上一点，将折叠至位置，延长交边于点F，可证出． (1)如图2，点M、N分别在正方形的边、边上，将正方形沿折叠，点C对应点E落在边上，点B对应点为点F，线段交边于点G，若，证明：． (2)如图2，在（1）条件下连接，则 ． (3)如图3，M为正方形边中点，将沿折叠至，连接，作交延长线于点H，若求线段长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，根据余角的性质证明，根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，证明，得出，根据，即可得出答案； （3）过点A作于点E，延长，，交于点F，延长，交于点G，连接，证明，得出，，证明，得出，证明，得出，，根据勾股定理求出，根据，即可得出，最后求出x的值即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， 根据折叠可知：垂直平分，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：过点A作于点E，延长，，交于点F，延长，交于点G，连接，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 变式3-2．如图1，长方形中，，点E是射线上一个动点，连接，将沿直线翻折得到． (1)若，则的度数是_____________； (2)若， ①在图（2）中用无刻度的直尺和圆规作出点F（不写作法，保留痕迹）． ②求此时线段的长度． (3)设直线与线段交于点G，P、O分别是线段上的两个动点，当的面积为6时，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)①见解析；②或15 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得，由折叠可得，进而可以解决问题； （2）①作的垂直平分线，以点A为圆心，的长为半径作弧分别交的垂直平分线于点，即为所求； ②由①作图过程和翻折的性质，设，分为当F在下方时和当F在上方时，两种情况分别求解即可解决问题； （3）作于点，由，平分，得，所以，所以的最小值即为的最小值，当，，三点共线时，最小即为的值，此时与重合，与重合，与重合，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ， ， 由折叠可知：， 故答案为：； （2）解：①如图2，点即为所求； ②当F在下方时，如图， 由①作图可知：四边形是矩形， ，， ， ， ， 由折叠可知：， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 线段的长度为； 当F在上方时，如图， 由①作图可知：四边形是矩形， ，， ， ， ， 由折叠可知：， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 线段的长度为15； 综上所述，或15； （3）解：如图3，作于点， 的面积为6， ， ， ， 、分别是线段、上的两个动点， 时，最短， ，平分， ， ， 的最小值即为的最小值， 当，，三点共线时，最小即为的值， 此时与重合，与重合，与重合， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义和性质，垂线段最短、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键． 变式3-3．【操作】如图， 矩形纸片中，， 点在上，点在上，，将纸片沿翻折，使顶点落在矩形内，对应点为，的延长线交直线于点，再将纸片的另一部分翻折，使顶点落在直线上，对应点为，折痕为， 猜想，之间的位置关系为__________; 【探究】如图，将矩形纸片纸片任意翻折，折痕（在上，在上），使顶点落在矩形内，对应点为，的延长线交直线于点，再将纸片的另一部分翻折，使顶点的对应点落在直线上，折痕为．   若，求证：； 当，，， 时，直接写出的长. 【答案】操作； 探究：见解析；． 【分析】操作：由矩形的性质可得，则，由折叠可知，，于是得到，进而得到，由内错角相等，两直线平行即可证明； 探究：由矩形的性质可得，，则，由折叠可知，，于是，可得即可证明； 当时，过点作于点，则，，，易得，于是可得，则． 【详解】操作：解：， 理由如下： 四边形为矩形， ， ， 根据折叠的性质可得：，， ， ， ， ； 探究：解：四边形为矩形， ，， ， 由折叠的性质可得：，， ， ， 在和中， ； ； 如下图所示，过点作于点， ，，， ，，， 根据折叠的性质可得， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ， ． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，解决本题的关键是正确理解题意，学会利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题关键． 1．综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (2)【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；理由见解析 (2)；理由见解析 (3)；理由见解析 【分析】（1）由旋转的性质和正方形的性质，先证，，三线共线，再证，进而证明，推出，可得； （2）在上取，连接，依次证明，，可得； （3）将绕点逆时针旋转得，先证，，三点共线，由（1）同理可得，进而可得． 【详解】（1）解：，理由如下： 由旋转的性质，可知，，，， 又正方形中，， ， ，，三线共线， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）解：，理由如下： 如图，在上取，连接， 在正方形中，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （3）解：,理由如下： 如图，将绕点逆时针旋转得， ，，， ， ， ，，三点共线， 由（1）同理可得， ． 【点睛】本题考查的知识点是旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题关键是熟练运用“半角模型”，正确作出辅助线． 2．在正方形旁，正方形如图（1）放置，其中、、在同一条直线上． (1)是中点，求证：； (2)如图（2），将正方形逆旋转（），连接、． ①若，，则的值为 ； ②如图（3）若是中点，连接，交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①40；②见解析 【分析】（1）连接，可得出是直角三角形，进一步得出结论； （2）①连接，设与交于点O，可证得，从而得出，进而得出，根据勾股定理可得出结果； ②延长至点P，使得，连接交于点Q，证明，得，然后证明，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：如图（1），连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 同理， ∴， 在中， ∵点H是的中点， ∴； （2）①解：如图（2），连接，设与交于点O， ∵四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：40； ②证明：如图（3），延长至点P，使得，连接交于点Q， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 3．如图，四边形是菱形，是线段的中点，是射线上一动点，连接是直线上两点（点位于点右侧），将直线绕点旋转后经过点，且． (1)【操作判断】 求的度数； (2)【问题探究】 如图①，若点在线段上，连接，若，求的长； (3)【拓展延伸】 如图②，若点在射线上（不与点重合），连接．探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)或 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，菱形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过构造全等三角形，利用菱形性质和角度关系进行推理计算． （1）通过旋转性质得，结合，从而求出度数； （2）在直线上截取（点不与点重合），连接，利用菱形性质，证明，结合已知边长和线段长度求； （3）需要分情况讨论，情况一：点在线段上；情况二：点在延长线上．分别画出图形，构造全等三角形，通过线段等量转化即可求解． 【详解】（1）解：∵将直线绕点旋转后经过点， ， ， ； （2）如图，在直线上截取（点不与点重合），连接， ∵将直线绕点旋转后经过点， ， ， ， ， ， ， ∵四边形是菱形， ， ， 又， ， ， ， ， ， ∴在中，， ， ∴在中，， ， ∴的长为3； （3）或， 理由如下： （1）当点在线段上时， 如图，在直线上截取（点不与点重合），连接， ∵将直线绕点旋转后经过点， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形为菱形， ， 又∵， ， ∴， ∵， ∴； （2）当点在延长线上时， 如图，在直线上截取（点不与点重合），连接， ∵将直线绕点旋转后经过点， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形为菱形， ， 又∵， ， ， ， ， 综上所述，之间的数量关系为或． 4．【实践探究】 数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． (1)【问题发现】 ①线段，之间的数量关系是__________，线段，之间的数量关系是__________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是_________． (2)【类比迁移】 如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． (3)【拓展应用】如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请求出线段的长． 【答案】(1)①；；② (2)，证明见解析 (3)的长为或 【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质即可得到，从而可得； ②由①的结论及勾股定理即可得到三线段间的数量关系； （2）由矩形的性质可证明，则有；再由矩形的性质及线段垂直平分线的性质可得；在中，由勾股定理及等量代换可得 ； （3）分两种情况：点E在边上；点E在延长线上；由（2）的结论及勾股定理即可解决． 【详解】（1）解：①∵四边形、四边形均为正方形， ∴，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：；； ②在中，， 而，， ∴， 故答案为：； （2）解：线段间的数量关系为：； 证明如下： ∵四边形、四边形均为矩形，矩形的中心为O， ∴，， ， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴垂直平分， ∴； 在中，由勾股定理得：， ∴； （3）解：①当点E在边上时； 由（2）的结论知：； ∵在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； ②如图，当点E在延长线上时，把补成矩形，延长交延长线于点P，连接， 由（2）的结论知：； 在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形的综合，考查了矩形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，旋转的性质等知识，证明三角形全等是问题的关键． 5．如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、．    (1)求证：四边形是菱形． (2)如图，矩形纸片，翻折和，使和落在对角线上，且点和点落在同一点上，折痕分别是和，若四边形面积为，则矩形纸片的面积为______（直接写出答案）． (3)如图，矩形纸片沿着折叠，使得点与点重合，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，推出四边形是平行四边形，再结合即可得证； （2）根据矩形的性质得到，，根据折叠的性质得到，，，，求得，， （3）设，则，根据勾股定理得到，根据平行线的性质得到，求得，作于，得到，，最后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ，， 又， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是矩形， ，， 翻折和，使和落在对角线上，且点和点落在同一点上，折痕分别是和， ，， ，，，， ，， 四边形是菱形， ， ； （3）解：设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， ， ， ， ， 作于，   ，， ， 在中，由勾股定理得， 解得：． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 6．（1）如图，在正方形中，E为直线上一点，将沿直线翻折，得到，延长交直线于点F，求证：；    （2）如图，在四边形中，，，E为直线上一点，将沿直线翻折，得到，延长交直线于点F，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明结论；若不成立，请说明理由；    （3）如图，在（1）的条件下，连接，平分交于点H，若，直接写出的值为___________． 【答案】（1）证明见解析；（2）结论仍成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）连接，根据正方形的性质与折叠证明，即可得证； （2）连接，过点A作于点M，作于点N，由三角形的翻折得到，，从而得到，根据四边形的内角和与同角的补角想到得到，从而证得，因此得到，，进而证明，得到，根据线段的和即可证明（1）中结论成立； （3）设，则，设正方形的边长为b，则，，，，， 在中，根据勾股定理可推出．过点H作于点P，作于点Q，根据平分得到，根据，可求出，证明，根据勾股定理在中，求得，进而即可解答． 【详解】解：（1）连接，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿直线翻折，得到， ∴，， ∴， ， ∴在和中 ， ∴， ∴． （2）结论仍成立，理由如下： 连接，过点A作于点M，作于点N，    ∴ ∵将沿直线翻折，得到， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴，， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴， 即； （3）设，则， 设正方形的边长为b，则， ∴， ， ∵将沿直线翻折，得到， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴在中，， 即， 整理得， ∵， ∴，即． ∵在正方形中，， ∴． 过点H作于点P，作于点Q，    ∵平分， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的判定，四边形的内角和，同角的补角相等．综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 7．在矩形中，，点E是射线上一个动点，连接并延长交射线于点F，将沿直线翻折到，延长与直线交于点M． (1)求证：； (2)当点E是边的中点时，求的长； (3)当时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据矩形和折叠的性质易证，即得出； （2）连接，易证，得出．设，则，，再根据勾股定理列方程求解即可； （3）分类讨论：①当点F在B点上方时和②当点F在B点下方时，分别根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵将沿直线翻折到， ∴． ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图． ∵点E是边的中点， ∴． 在和中，， ∴， ∴． 设，则，． 在中，， ∴， 解得：， ∴； （3）解：分类讨论：①当点F在B点上方时，如图， 设，则， 根据（1）可得， 在中，， ∴， 解得：， ∴； ②当点F在B点下方时，如图， ∴． 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 综上可知的长为或． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形全等的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，折叠的性质等知识，利用勾股定理列方程求解是解题关键． 8．如图，是四边形的对角线，边在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为，连接、． (1)如图1，四边形是正方形时，作，垂足为O，连接、．判断、之间的数量关系和位置关系，并证明； (2)如图2，四边形是菱形时，设，点O在上，且．判断与的数量关系，写出推理过程，并用含有的代数式表示； (3)在（2）的条件下，若，，当四边形是菱形时（如图3），请直接写出线段平移的距离为　　　　． 【答案】(1)，，证明见解析 (2)，理由见解析， (3) 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，，证出，则可得出结论； （2）证明，得出，，则可得出结论； （3）过点作于点，于点，则四边形是矩形，得出，由勾股定理求出的长，则可得出答案． 【详解】（1）解：，． 证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ； （2）， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， 即， ， ， ； （3）过点作于点，于点，则四边形是矩形， ， 由题意知四边形和四边形是菱形， ，，， ， ， 设， ，， ， ， ， ， 线段平移的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，平移的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 特殊平行四边形的平移、翻折与旋转三类综合题型 目录 典例详解 类型一、四边形平移综合问题 类型二、四边形旋转综合问题 类型三、四边形翻折综合问题 压轴专练 类型一、四边形平移问题 例1-1．如图，正方形，点、分别在、上． (1)如图1，当时． ①求证：； ②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：； (2)如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长． 例1-2（最值问题）．综合与探究 问题情境： 如图，在正方形中，，，分别是，，边上的点，连接，．若，判断与之间的数量关系．老师在课堂上给出如下分析：将沿方向平移到，连接．根据平移的性质，可判断四边形是平行四边形，再证明，得到，继而得到． 尝试初探： （1）老师提出该问题的变式问题：将正方形改为菱形，，如图，，，分别是，，边上的点，连接与交于点．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 通过探究发现，可以利用平移这一手段，将有些条件集中在一起来解决问题． 迁移应用： （2）如图3，在中，点，分别在，边上，且，，交于点，．判断与的大小关系，并说明理由． 拓展探究： （3）如图4，在正方形中，点，分别在，边上，过点作于点，交边于点，连接，．若，，请直接写出的最小值． 变式1．正方形是所有四边形中性质最为丰富的，尤其是对角线，相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角，如果我们把两个正方形按照一定的方式放在一起，会发现一些很有趣的结论．已知正方形，E是对角线上一点，连接，过E作交于F，以为邻边作矩形，连． (1)如图1所示，①若，则 ； ②求证：矩形是正方形； (2)①将（1）中的正方形顶点E沿着平移，顶点F落在延长线上时，如图2所示，试探究的数量关系，并说明理由； ②继续平移，当顶点E落在延长线上时，如图3所示，请直接写出的数量关系． 变式2．如图，在矩形中，，，把边沿对角线所在直线平移，移动后点A，B的对应点分别为点，，连接，．    (1)连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由； (2)在（1）的基础上，若与边交于点P，过点P作，交于点M，交边于点Q，求证：； (3)当四边形的面积为60时，直接写出边平移的距离． 变式3．数学课上，张老师出示了一个问题：在菱形中，连接，可在直线上平移，得到，的平分线交射线于点． (1)小芳想，当点在的沿长线上时，如图1，线段和线段之间会有怎样的数量关系呢？请你作出判断：_______（填“”，“”或“”） (2)当点在线段上时，如图2，小琳同学对线段和线段之间的数量关系作出了判断：． ①小迪认为在图2中，不用添画辅助线，可以证明出小琳的结论； ②小芮觉得可以添画如图3的辅助线，构造全等三角形来证明小琳的结论； 请你选择用小迪或小芮的思路，写出一种证明过程． (3)小怡突发奇想：点在线段上，若，，当是等腰三角形时，请直接写出平移的距离． 类型二、四边形旋转问题 例2-1．【感知】如图①，在矩形中，点O是边的中点，连接．保持矩形不动，将绕着点O顺时针旋转一定的角度得到，点A、D、C的对应点分别为点E、F、G，连接．若旋转角的大小为，且，则的周长为______； 【探究】如图②，在图①中的的旋转过程中，当线段与线段相交于点M（点M不与点A、B、F、G重合）时，连接，其他条件不变．求证：； 【拓展】在图①中的的整个旋转过程中（旋转角小于180°），当点F落在矩形的对称轴上，且，时，线段与线段相交于点M，直接写出线段的长度． 例2-2．【问题情境】如图1，点E为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点A逆时针方向旋转α度（），点B，E的对应点分别为点，． 【问题解决】 (1)如图2，在旋转的过程中，点落在了上，此时的长为______； (2)若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长； (3)在直角三角形绕点A逆时针方向旋转过程中，线段长度的最小值为______，最大值为______． 变式2-1 综合与实践课上，同学们以“正方形的旋转”为主题开展数学活动． 【操作判断】将正方形绕正方形的顶点A旋转． （1）如图1，当点D在上时． ①连接，判断B，E，F三点共线吗？试证明你的结论： ②若，，连接，，求出的面积； 【探究应用】（2）如图2，当点E落在上时，连接，． ①下列说法正确的有__________；（填出所有正确的选项） A．点F一定在直线上            B． C．                    D． ②与的数量关系是__________．（直接填空，不用说理） 变式2-2．【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 变式2-3．如图，正方形、正方形，连接，取的中点H，连接、． (1)【尝试探究】如图1，当点D落在上时，则______； (2)【深入探究】如图2，将正方形绕着点C旋转至点F落在的延长线上．求证：； (3)【拓展应用】如图3，继续将正方形绕着点C旋转，连接交于点P，连接，若点P为的中点，的面积为2，则线段的长为______． 类型三、四边形翻折问题 例3-1．综合与实践 在矩形中，，，将沿翻折，使顶点落在点处． 【初步探究】 （1）如图①，若点在线段上，点恰好落在对角线上，则的长为________________； 【深入思考】 （2）若点在射线上，点在矩形外，且满足，在图②中用无刻度的直尺和圆规作出折痕（不写作法，保留痕迹），并求的长； 【拓展提升】 （3）若点在线段上，点是线段的三等分点，现将沿翻折，点对应点为点，且、、三点共线，求的长． 例3-2（最值问题）．（）四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】 （1）如图1，小明将沿翻折得到，点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点F，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为________； 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点F，请你猜想线段，，之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 （3）在（2）的翻折过程中，正方形的边长为9． ①如图3，若线段恰好经过点D，，求的长， ②如图4，若F为中点，连接，，直接写出的最小值． 变式3-1．在正方形中经常会出现翻折等变换，可通过、等全等条件构造两个三角形全等．如图1，正方形中，E是边上一点，将折叠至位置，延长交边于点F，可证出． (1)如图2，点M、N分别在正方形的边、边上，将正方形沿折叠，点C对应点E落在边上，点B对应点为点F，线段交边于点G，若，证明：． (2)如图2，在（1）条件下连接，则 ． (3)如图3，M为正方形边中点，将沿折叠至，连接，作交延长线于点H，若求线段长． 变式3-2．如图1，长方形中，，点E是射线上一个动点，连接，将沿直线翻折得到． (1)若，则的度数是_____________； (2)若， ①在图（2）中用无刻度的直尺和圆规作出点F（不写作法，保留痕迹）． ②求此时线段的长度． (3)设直线与线段交于点G，P、O分别是线段上的两个动点，当的面积为6时，请直接写出的最小值． 变式3-3．【操作】如图， 矩形纸片中，， 点在上，点在上，，将纸片沿翻折，使顶点落在矩形内，对应点为，的延长线交直线于点，再将纸片的另一部分翻折，使顶点落在直线上，对应点为，折痕为， 猜想，之间的位置关系为__________; 【探究】如图，将矩形纸片纸片任意翻折，折痕（在上，在上），使顶点落在矩形内，对应点为，的延长线交直线于点，再将纸片的另一部分翻折，使顶点的对应点落在直线上，折痕为．   若，求证：； 当，，， 时，直接写出的长. 1．综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (2)【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 2．在正方形旁，正方形如图（1）放置，其中、、在同一条直线上． (1)是中点，求证：； (2)如图（2），将正方形逆旋转（），连接、． ①若，，则的值为 ； ②如图（3）若是中点，连接，交于点，求证：． 3．如图，四边形是菱形，是线段的中点，是射线上一动点，连接是直线上两点（点位于点右侧），将直线绕点旋转后经过点，且． (1)【操作判断】 求的度数； (2)【问题探究】 如图①，若点在线段上，连接，若，求的长； (3)【拓展延伸】 如图②，若点在射线上（不与点重合），连接．探究线段之间的数量关系，并说明理由． 4．【实践探究】 数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． (1)【问题发现】 ①线段，之间的数量关系是__________，线段，之间的数量关系是__________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是_________． (2)【类比迁移】 如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． (3)【拓展应用】如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请求出线段的长． 5．如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、．    (1)求证：四边形是菱形． (2)如图，矩形纸片，翻折和，使和落在对角线上，且点和点落在同一点上，折痕分别是和，若四边形面积为，则矩形纸片的面积为______（直接写出答案）． (3)如图，矩形纸片沿着折叠，使得点与点重合，若，，求的长． 6．（1）如图，在正方形中，E为直线上一点，将沿直线翻折，得到，延长交直线于点F，求证：；    （2）如图，在四边形中，，，E为直线上一点，将沿直线翻折，得到，延长交直线于点F，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明结论；若不成立，请说明理由；    （3）如图，在（1）的条件下，连接，平分交于点H，若，直接写出的值为___________． 7．在矩形中，，点E是射线上一个动点，连接并延长交射线于点F，将沿直线翻折到，延长与直线交于点M． (1)求证：； (2)当点E是边的中点时，求的长； (3)当时，直接写出的长． 8．如图，是四边形的对角线，边在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为，连接、． (1)如图1，四边形是正方形时，作，垂足为O，连接、．判断、之间的数量关系和位置关系，并证明； (2)如图2，四边形是菱形时，设，点O在上，且．判断与的数量关系，写出推理过程，并用含有的代数式表示； (3)在（2）的条件下，若，，当四边形是菱形时（如图3），请直接写出线段平移的距离为　　　　． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$