第1章 特殊平行四边形—— 特殊平行四边形及尺规作图复习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

特殊平四及尺规作图复习 一．试题（共10小题） 1．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F． （1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：　 　 ，使得OE＝OF，并说明理由； （2）若OE＝OF，AB＝6，BC＝8，求EF的长． 2．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝BC，AD⊥DC于点D． （1）用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E，交AC于点O；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接AE，四边形ABCE是什么特殊的四边形？请加以证明； （3）连接OD，若AB＝3，BE＝4，求OD长． 3．如图，AC是菱形ABCD的一条对角线，点B在射线AE上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，∠CAB＝30°，求菱形ABCD的面积． 4．如图，△ABC为锐角三角形，AD平分∠BAC． （1）请用无刻度的直尺和圆规分别在AB，AC上取点E，F，使得DE∥AC，DF∥AB．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：四边形AEDF是菱形． 5．如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AE＝AD． （1）尺规作图（请用2B铅笔）：作∠DAE的平分线AF，交BC的延长线于点F，连接DF．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，回答以下问题： ①试判断四边形AEFD的形状，并说明理由． ②连接DE，若DE＝10，且四边形AEFD的周长为40，求矩形ABCD的面积． 6．如图，已知△ABC． （1）尺规作图：分别在AB、BC、AC边上取点D、E、F，使得四边形ADEF是菱形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若AD＝13，AE＝24，求四边形ADEF的面积． 7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE⊥BC于点E，连接OE，延长CB至点F，连接AF． （1）请你只添加一个条件，使得四边形AFED为矩形，你添加的条件是 　 　 ，并进行证明； （2）若CD＝10，OE＝6，求DE的长． 8．如图，在四边形ADBE中，对角线AB，ED相交于点F，且AF＝BF，EF＝DF，过点A作AC∥ED，交BD的延长线于点C，　 　 ． 请从“①AF＝EF；②AB＝AC”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）若，AE＝5，求线段DF的长． 9．如图，△ABC中，点D在CA的延长线上，且DA＝2AC，连接BD，CE为中线，延长CE交BD于点F．若∠D＝∠ABC，DF＝7，则BA＝　 　 ． 10．如图，在△ABC中，点D在AC上，点F是BD的中点，连接AF并延长交BC点E，BE：BC＝2：7，则AD：CD＝（　　） A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：7 特殊平四及尺规作图复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共1小题） 题号 10 答案 A 一．试题（共10小题） 1．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F． （1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：AO＝CO ，使得OE＝OF，并说明理由； （2）若OE＝OF，AB＝6，BC＝8，求EF的长． 【分析】（1）利用三角形全等可以说明； （2）根据勾股定理先求出AC的长度，再根据三角形全等得出AO＝CO＝5，然后根据三角函数得出关于EO的方程，最后即可求得EF． 【解答】解：（1）AO＝CO； 理由如下： ∵AD∥BC， ∴∠FAO＝∠ECO， ∵EF⊥AC， ∴∠AOF＝∠COE， 又∵AO＝CO， ∴△AOF≌COE（ASA）， ∴OE＝OF． （2）∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴AC10， ∵EF⊥AC， ∴∠AOF＝∠COE， ∵AD∥BC， ∴∠FAO＝∠ECO， 又∵EO＝FO， ∴△AOF≌COE（AAS）， ∴AO＝CO＝5， 在Rt△COE中，tan∠OCE， 在Rt△ACB中，tan∠ACB， ∴， ∴， ∴EF． 【点评】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、三角函数，解决本题的关键的是灵活运用这些知识点． 2．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝BC，AD⊥DC于点D． （1）用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E，交AC于点O；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接AE，四边形ABCE是什么特殊的四边形？请加以证明； （3）连接OD，若AB＝3，BE＝4，求OD长． 【分析】（1）利用基本作图作角平分线即可； （2）先推导BC＝CE，然后利用菱形的判定方法证明即可； （3）根据菱形的性质和勾股定理求出AO长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解题即可． 【解答】解：（1）如图，∠ABC的角平分线即为BE； （2）∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∵AB∥DC， ∴∠ABE＝∠BEC， ∴BC＝CE， ∵AB＝BC， ∴AB＝CE， ∴ABCE是菱形； （3）∵ABCE是菱形， ∴， ∴， ∵AD⊥DC， ∴． 【点评】本题考查基本作图—作角平分线，菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键． 3．如图，AC是菱形ABCD的一条对角线，点B在射线AE上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，∠CAB＝30°，求菱形ABCD的面积． 【分析】（1）根据菱形的性质作出图形即可； （2）根据菱形的性质和直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）如图所示； （2）设BD，AC交于O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝COAC＝3， ∵∠CAB＝30°， ∴BOAO＝3， ∴BD＝2BO＝6， ∴菱形ABCD的面积18． 【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，作图﹣基本作图，正确地作出图形是解题的关键． 4．如图，△ABC为锐角三角形，AD平分∠BAC． （1）请用无刻度的直尺和圆规分别在AB，AC上取点E，F，使得DE∥AC，DF∥AB．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：四边形AEDF是菱形． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可； （2）由（1）知 DE∥AF，AE∥DF，得到四边形AEDF为平行四边形．根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到∠EDA＝∠DAC．求得∠EAD＝∠EDA．根据菱形的判定定理得到结论． 【解答】（1）解：如图，点E，F即为所求作； （2）证明：由（1）知 DE∥AF，AE∥DF， ∴四边形AEDF为平行四边形． 又∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵DE∥AF， ∴∠EDA＝∠DAC． ∴∠EAD＝∠EDA． ∴AE＝DE． ∴平行四边形AEDF为菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的定义，作图﹣基本作图，正确地作出图形是解题的关键． 5．如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AE＝AD． （1）尺规作图（请用2B铅笔）：作∠DAE的平分线AF，交BC的延长线于点F，连接DF．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，回答以下问题： ①试判断四边形AEFD的形状，并说明理由． ②连接DE，若DE＝10，且四边形AEFD的周长为40，求矩形ABCD的面积． 【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可； （2）①根据矩形的性质和平行线的性质得出∠DAF＝∠AFE，结合角平分线的定义可得∠EFA＝∠EAF，则AE＝EF，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论； ②根据菱形周长为40，得出AD＝AE＝10，即可得AD＝AE＝DE，作EH⊥AD，根据等边三角形的性质得出DH＝5，勾股定理得出EH，即可求出矩形面积． 【解答】解：（1）作图如下；AF即为∠DAE平分线； （2）①四边形AEFD是菱形，理由如下： ∵AF平分∠DAE， ∴∠DAF＝∠FAE， 在矩形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAF＝∠EFA， ∴∠FAE＝∠EFA， ∴AE＝EF， ∵AD＝AE， ∴AE＝EF＝AD， ∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， 又∵AE＝EF， ∴平行四边形AEFD是菱形； ②∵菱形AEFD的周长为40， ∴AD＝AE＝10， ∵DE＝10， ∴AD＝AE＝DE， ∴△ADE是等边三角形， 如图，过点E作EH⊥AD于点H， ∴DHAD＝5， ∴EHDH＝5， ∴矩形ABCD的面积＝AD•EH＝10×550． 【点评】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 6．如图，已知△ABC． （1）尺规作图：分别在AB、BC、AC边上取点D、E、F，使得四边形ADEF是菱形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若AD＝13，AE＝24，求四边形ADEF的面积． 【分析】（1）作△ABC的角平分线AE，作线段AE的垂直平分线交AB于D，交AC于F，连接DE，EF，四边形ADEF即为所求； （2）根据勾股定理求出OD，然后根据菱形的性质和面积公式即可解决问题． 【解答】解：（1）D，E，F的位置如图所示； （2）由（1）知：四边形ADEF是菱形， ∴AE⊥DF，AOAE24＝12， ∵AD＝13， ∴OD5， ∴DF＝2OD＝10， ∴四边形ADEF的面积AE•DF24×10＝120． 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，尺规作图，掌握基本的尺规作图是本题的关键． 7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE⊥BC于点E，连接OE，延长CB至点F，连接AF． （1）请你只添加一个条件，使得四边形AFED为矩形，你添加的条件是 CE＝BF（答案不唯一）　 ，并进行证明； （2）若CD＝10，OE＝6，求DE的长． 【分析】（1）添加的条件为CE＝BF．证明四边形AFED是平行四边形，再由DE⊥BC即可求证； （2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE＝OD＝OB＝6，进而得BD＝12，利用勾股定理求出，得到AC＝2×8＝16，再利用菱形的面积即可求出DE的长． 【解答】解：（1）添加的条件为CE＝BF． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵CE＝BF， ∴CB＝EF， ∴AD＝EF， ∵AD∥EF， ∴四边形AFED是平行四边形， ∵DE⊥BC， ∴∠DEF＝90°， ∴四边形AFED是矩形， 故答案为：CE＝BF； （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，，，CD＝CB＝10， ∵DE⊥BC， ∴∠BED＝90°， ∵O为DB的中点， ∴OE＝OD＝OB＝6， ∴BD＝6+6＝12， ∵AC⊥BD， ∴∠COD＝90°， ∵CD＝10， ∴， ∴AC＝2×8＝16， ∵， ∴， ∴． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 8．如图，在四边形ADBE中，对角线AB，ED相交于点F，且AF＝BF，EF＝DF，过点A作AC∥ED，交BD的延长线于点C，　①　 ． 请从“①AF＝EF；②AB＝AC”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）若，AE＝5，求线段DF的长． 【分析】（1）先证明四边形ADBE是平行四边形，再证明AB＝DE，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形的性质得∠ADB＝90°，AE∥BD，再证明四边形ACDE是平行四边形，得CD＝AE＝5，AC＝DE，进而由锐角三角函数定义求出AD＝12，然后由勾股定理求出AC＝13，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵AF＝BF，EF＝DF， ∴四边形ADBE是平行四边形， ∵AF＝EF， ∴AF＝BF＝EF＝DF， ∴AF+BF＝EF+DF， 即AB＝DE， ∴平行四边形ADBE是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形ADBE是矩形， ∴∠ADB＝90°，AE∥BD， ∴∠ADC＝90°， ∵AC∥ED， ∴四边形ACDE是平行四边形， ∴CD＝AE＝5，AC＝DE， ∵， ∴ADCD＝12， ∴AC13， ∴DE＝13， ∴DFDE， 即线段DF的长为． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 9．如图，△ABC中，点D在CA的延长线上，且DA＝2AC，连接BD，CE为中线，延长CE交BD于点F．若∠D＝∠ABC，DF＝7，则BA＝　　 ． 【分析】由DA＝2AC，得DC＝3AC，再证明△BDC∽△ABC，得，可推导出BCAC，则，作BG∥CD交CF的延长线于点G，则△BEG∽△AEC，△BFG∽△DFC，因为BE＝AE，所以1，则BG＝ACDC，所以，则BFDF，可求得DB，则BADB，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵DA＝2AC， ∴DC＝AC+2AC＝3AC， ∵∠D＝∠ABC，∠DCB＝∠BCA， ∴△BDC∽△ABC， ∴， ∴BC2＝DC•AC＝3AC2， ∴BCAC， ∴， 作BG∥CD交CF的延长线于点G，则△BEG∽△AEC，△BFG∽△DFC， ∵CE是△ABC的中线， ∴BE＝AE， ∴1， ∴BG＝ACDC， ∴， ∴BFDF7， ∴DB＝DF+BF＝7， ∴BADB， 故答案为：． 【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、三角形的中线、二次根式的化简等知识，正确地作出所需要的辅助线并且证明BCAC是解题的关键． 10．如图，在△ABC中，点D在AC上，点F是BD的中点，连接AF并延长交BC点E，BE：BC＝2：7，则AD：CD＝（　　） A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：7 【分析】如图，过点D作DH∥AE交BC于H．利用平行线的方向的定理解决问题即可． 【解答】解：如图，过点D作DH∥AE交BC于H． ∵BF＝DF，FE∥DH， ∴BE＝EH， ∴BE：BC＝2：7， ∴EH：CH＝2：3， ∵AE∥DH， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查平行线等分线段定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用平行线分线段成比例定理解决问题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/23 17:19:42；用户：李也；邮箱：szw205@xyh.com；学号：37895403 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $