专题03 特殊平行四边形动点问题的三类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版九年级上册

专题03 特殊平行四边形动点问题的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、菱形中的动点综合问题 类型二、矩形中的动点综合问题 类型三、正方形中的动点综合问题 压轴专练 类型一、菱形中的动点问题 例1-1．如图，矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为，运动时间为（且）． (1)若、分别是、的中点，则以、、、为顶点的四边形是______． (2)在（1）的条件下，当为何值时，以、、、为顶点的四边形为矩形？ (3)若、分别是折线，上的动点，分别从、开始，与、相同的速度同时出发，当为何值时，以、、、为顶点的四边形为菱形？请直接写出的值． 【答案】(1)平行四边形 (2)或 (3) 【分析】本题考查了特殊四边形的判定、性质及综合应用，勾股定理，，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的性质、判定． （1）由“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”来判定； （2）由“对角线相等的平行四边形是矩形”判定四边形为矩形时的取值； （3）首先，当四边形为菱形时，则，利用勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，作图如下： ∵四边形是矩形， ，，，， ，， 、分别是、的中点， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形 （2）解：如图所示，连接，由（1）可知四边形是平行四边形， ∵点、分别是矩形的边、的中点， ， ∴当时，四边形是矩形，分两种情况： 第一种情况：，， 解得：； 第二种情况：， 解得： 综上所述：当为秒或秒时，四边形为矩形； （3）如图所示，连接、， ∵如果四边形是菱形时， ， ， 则，，， 又在中，，， ， 根据可得：， 解得： 当秒时，四边形为菱形； 例1-2 （最值问题）如图，在菱形中，，对角线，点是边的中点，点是对角线上的一个动点，连接、．则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定， 连接，根据两点之间线段最短可知的最小值为，再结合菱形的性质得，然后根据勾股定理得，可得，结合等腰三角形的性质得，，接下来根据勾股定理得，此题可解． 【详解】解：如图，连接， 作点P关于直线的对称点，则，点是的中点， ∴． 根据两点之间线段最短，可知的最小值为， ∵四边形是菱形， ∴， 根据勾股定理，得， ∴． ∵点是的中点， ∴，． 在中，． 所以的最小值为． 故答案为：． 变式1-1．如图，菱形中，点为角线上一个动点，点为的中点，连接，设的长为，为，如图为关于变化的图象，则该图象最低点时的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，函数图象的动点问题，等边三角形的性质等，如图，连接，交于，可得，即得，可知当三点在同一直线上时，取最小值，的最小值为线段的长，由图可得当时，，设，则，可得，即得，得到，进而由可得和为等边三角形，过点作交延长线于点，可得，利用直角三角形的性质和勾股定理求出即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，交于， ∵在菱形中点和点关于对称， ∴， ∴， 当三点在同一直线上时，取最小值，的最小值为线段的长， 如图，当时，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 由图知，， ∴和为等边三角形， 如图，过点作交延长线于点，则， ∵，∴， ∴， ∴在中，，∴， ∴，， 在中，， 即图象最低点的纵坐标是， 故答案为：． 变式1-2．如图，菱形的边长为，，点为菱形内一动点，连接，，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】取中点K，连接，过D作交的延长线于N，判定，推出，得到，由含30度角的直角三角形的性质得到，，由勾股定理求出，由三角形三边关系定理得到，即可得到的最小值． 【详解】解：取中点K，连接，过D作交的延长线于N， ∴， ∵H是中点， ∴， ∵四边形是边长为4的菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，含30度角的直角三角形，关键是判定，推出，由三角形三边关系定理得到． 变式1-3．将两个全等的直角三角形如图摆放，其中，，，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，点到达终点后点也停止运动，设点运动时间为（秒）： (1)当时，求的长； (2)是否存在的值，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)是否存在的值，使得与互相平分？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)不存在，见解析 【分析】（1）先根据勾股定理求出，再根据运动速度，求出，最后求出结果即可； （2）根据菱形的性质，得出，且，然后列出方程，解方程即可； （3）根据与互相平分时，，列出方程，解方程得出答案，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：在中，∵，， ∴由勾股定理得：，∴， ∵点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，∴，当时，，∴． （2）解：存在；理由： 依题意，若以，，，为顶点的四边形是菱形，则满足，且 即，解得， 当时，， ∴当时，以，，，为顶点的四边形是菱形； （3）解：不存在；理由： 若与互相平分，则在的左侧，且四边形为平行四边形， ∴，即， 解得， 由（1）知， ∴不存在的值，使得与互相平分． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 类型二、矩形中的动点问题 例2-1．如图，在中，，过点D作，垂足为E．动点P从点A出发沿方向以的速度向点D运动；同时，动点Q从点C出发，以的速度沿射线运动，当点P到达点D时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为． (1)当时，求t的值； (2)当时，求出t的值，并判断此时四边形是什么特殊的四边形？说明理由． 【答案】(1)； (2)，四边形是矩形，理由见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意得，，求出，四边形是平行四边形，推出，得到，求解即可； （2）先求出，因此，得出，得到，进一步求出，得到，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过Q作于F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， 在中，， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是矩形． 例2-2（最值问题）．如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接，首先证明，由全等三角形的性质可得，再由轴对称的性质可得，易知，当点三点共线时，取最小值，即取最小值，然后证明四边形为矩形，结合矩形的性质以及勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接， ∵四边形为矩形，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， 当点三点共线时，取最小值，即取最小值， 此时∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴此时，即的最小值为． 故答案为：． 变式2-1．如图，在四边形中，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设点，运动的时间为 (1)边的长度为___________，的取值范围为___________． (2)从运动开始，当取何值时，四边形为矩形？ (3)从运动开始，当取何值时，？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）作辅助线，构建矩形，利用勾股定理可得的长，根据两动点，运动路程和速度可得的取值范围； （2）根据矩形的性质可得，列方程即可求解； （3）根据列方程可得时；由；根据，可得，可得出结论； 【详解】（1）解：如图，过点作于，则， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得：； 点从点出发，以的速度向点运动，， 点运动到的时间为：， 同理得：点运动到点的时间为：， ； 故答案为：，； （2）解：如图所示当是矩形时 ， ， 解得：； （3）解：如图，过点作于，过点作于， 当时， ， ， ， 四边形矩形， ， ，即， ， 如图，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， ， ， 即当时，，此时； 综上所述，当或时，； 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形、矩形、勾股定理，直角三角形的性质等知识，利用分类讨论和数形结合是解题的关键 变式2-2．如图1，在中，，．为的外角的平分线，，垂足为点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作一个菱形，使为菱形的一条对角线（保留作图痕迹，不要求写作法）． (2)如图2，点为线段上一动点，连接，交于点． ①在不添加其它线的前提下，请添加一个条件：______，使得四边形为矩形，并说明理由； ②当平分时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①（答案不唯一），理由见解析；②或 【分析】（1）分别以点B，C为圆心，为半径画弧，两弧交于点P即为所求； （2）①添加的条件为，由三角形外角的性质和角平分线得到，推出，然后得到，最后结合即可证明出四边形为矩形； ②如图所示，过点A作交于点H，首先证明出四边形为矩形，求出，勾股定理求出，然后求出，勾股定理求出，然后分两种情况讨论：当点F在线段上时和当点F在线段上时，分别求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； 由题意得， ∴四边形是菱形； （2）①添加的条件为 理由：∵为的外角的平分线， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵，即 ∴ 又∵ ∴四边形为矩形； ②如图所示，过点A作交于点H， 由①得 ∴四边形为矩形 ∴ ∵， ∴ ∴ 当平分时，即 由①得 ∴ ∴ ∴ ∴ ②如图所示，当点F在线段上时， ∴ ∴四边形的面积； 如图所示，当点F在线段上时， ∴ ∴四边形的面积； 综上所述，四边形的面积为或． 【点睛】此题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，等角对等边，三线合一等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 类型三、正方形中的动点问题 例3-1．如图1，在中，点D在的延长线上，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的平分线于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、，当点运动到何处时，四边形是矩形，并说明理由； (3)在（2）的前提下满足时，四边形是正方形？（直接写出答案，无需证明） 【答案】(1)见解析 (2)当点O在边上运动到中点时，四边形是矩形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的性质得到，，根据平行线得到，，从而利用等腰三角形说明，从而得到结论； （2）当O为中点时，结合(1)可得四边形为平行四边形，然后根据得出矩形； （3）当时，可得，对角线互相垂直的矩形是正方形． 【详解】（1）解： 平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ． （2）解：当点O在边上运动到中点时，四边形是矩形． ，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ，即， 四边形是矩形． （3）解：在（2）前提下，当的时，四边形是正方形． ，， ， 矩形是正方形． 【点睛】本题综合考查了平行线性质，等腰三角形的判定，平行四边形、矩形、正方形的性质与判定等知识，熟练掌握它们的性质和判定是解决问题的关键． 例3-2（最值问题）．如图，在正方形中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边上移动，连接和交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动．若，则线段的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质．先证，推出，取中点O，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可得，根据两点之间线段最短，得C、P、O三点共线时线段的值最小． 【详解】解：∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边上移动， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 取中点O，连接，如图， ∵， ∴， 根据两点之间线段最短，得C、P、O三点共线时线段的值最小， 在中，，， 根据勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 变式3-1．如图，已知矩形，P是上一动点，M、N、E分别是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请问当P运动到何处时，四边形是菱形；为什么？ (3)在（2）的条件下，当与满足什么数量关系时，四边形为正方形．（请直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)当P是的中点时，四边形是菱形，理由见解析 (3)当时，四边形是正方形，理由见解析 【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明； （2）当P是的中点时，证明，得到，进而可证明四边形是菱形； （3）四边形是正方形的话，必需为，故只需，进而得到即可． 【详解】（1）证明：、、分别是、、的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：当P是的中点时，四边形是菱形， 理由如下： 当P是的中点时，即， ∵四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ， ， 、、分别是、、的中点， ，， ， 四边形是菱形； （3）解：当时，四边形是正方形． 理由：∵，P是的中点， ∴，又， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查了三角形的中位线性质，平行四边形的判定，菱形的判定定理以及正方形的判定定理和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，熟知特殊四边形的判定与性质是解题的关键． 变式3-2．如图，正方形的边长为3，E，F是对角线上的两个动点，且，连接，，则的长为________，周长的最小值为________． 【答案】； 【分析】连接，，以，为邻边作平行四边形，即可推出，则当G，F，C在同一直线上时，的最小值等于的长，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， 以，为邻边作平行四边形， 则，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当G，F，C在同一直线上时，的最小值等于的长， 在中，， 在中，， ∴的最小值等于， 又∵， ∴周长的最小值为， 故答案为：；． 【点睛】本题考查轴对称-最短问题，正方形的性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质、全等三角形的性质与判定等知识，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 变式3-3．如图，四边形为正方形，射线上有一动点（不与点重合），点，关于直线对称，连接．当是等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】根据题意分三种情况画出图形并进行讨论，第一种情况是当；第二种情况是当；第三种情况是当，画出图形，利用对称的性质，等边三角形的判定和性质，即可求解． 【详解】解：①如图，当，且点E在线段上时，过点F作的垂线，分别交于点M，N，    由对称的性质知，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当，且点E在线段的延长线上时，过点F作的垂线，分别交于点M，N，    同理，为等边三角形， ∴， ∴， ∴； ③如图3，当，则点F在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上，    同理，为等边三角形， ∴， 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等，解题关键是能够根据题意画出分情况讨论的图形，并结合等腰三角形的性质等进行解答． 1．如图，在菱形中，E，F分别是边，上的动点，连接，，P，Q分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】由三角形中位线定理可得，则当有最小值时，有最小值，即当时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可求的最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵P，Q分别为，的中点， ， 当有最小值时，有最小值， 当时，根据垂线段最短，有最小值， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ， ∴， 解得：， ， ∵四边形是菱形，， ， ， ∴， 的最小值为， 的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，菱形的性质，勾股定理解直角三角形，垂线段最短，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练求解． 2．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为，下列说法错误的是（   ） A．当时，四边形ABQP是矩形 B．当时，四边形PQCD是平行四边形 C． D．当时，四边形PQCD是菱形 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质，勾股定理．根据的值，分别计算出相关线段的长度，进而根据平行四边形，矩形，以及菱形的性质进行判断A,B,D，C选项，过点作于点，先求得，再根据勾股定理计算即可求解． 【详解】根据题意得：，， ，，， ，， 在四边形中，，， A. 当时，, ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形，故A正确，不符合题意； B. 当时，， ∴ 又，则 ∴四边形是平行四边形，故B正确，不符合题意； C. 如图，过点作于点 ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∴ 在中，，故C正确，不符合题意 D. 当时，,, ∴则四边形不是菱形，故D选项错误，符合题意， 故选：D． 3．如图，在菱形中，，对角线相交于点O，，P是线段上的动点，连接，以线段为一边向下作等边，连接，则长度的最小值为 ． 【答案】2 【分析】连接DQ，根据菱形的性质说明是等边三角形，， 再根据“边角边”证明，可得然后说明当时，OQ最小，作，最后根据直角三角形的性质得出答案. 【详解】解：如图，连接DQ， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴是等边三角形，， ∴，即. ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴. 所以点在直线DQ上运动，故当时，OQ最小， 过点作， 在中，， ∴， 所以长度的最小值是2． 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，含直角三角形的性质，作出辅助线确定最小值是解题的关键． 4．如图，正方形的边长为4，点和分别为边和的中点，点在上， 交于，且，点和分别是和上的动点，且．当时，线段的长度为 ． 【答案】 【分析】首先求出，然后证明出四边形，，，是矩形，得到，然后设，则，勾股定理表示出，，然后根据列方程求解即可． 【详解】∵正方形的边长为4，点和分别为边和的中点， ∴ ∵交于，且， ∴四边形，，，是矩形， ∴ ∴， ∴设，则 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴． ∴当时，线段的长度为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 5．菱形中，F是对角线上一动点，E为射线上一动点，． (1)如图1，点E在点D右边，当时，与的大小关系为________；________度． (2)如图2，若点B，E，F三点共线，且于E，四边形和面积分别记为，，，求． (3)如图3，若，求当________度时，的最小，最小值是________． 【答案】(1)=，116 (2) (3)75； 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判断和性质，勾股定理等知识点，构造得到是解题的关键． （1）根据菱形的性质得出和关于对称，便可得出两个三角形的面积关系；根据三角形外角的性质得到，进而得到，然后由通过等量代换即可解答． （2）先通过勾股定理求出的长，连接，对称性得到，设设，则：，在中，由勾股定理求出的长度，进而求出，再根据对称性得出，即可解答． （3）通过构造得到，再由B、E、G三点共线时确定最小时点E的位置，然后由为等腰直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：∵菱形， ∴和关于对称， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即． ∴． 故答案为：=；116． （2）解：在中，， 如图：连接， 由对称性可知：， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴， 由（1）可知，． ∴． （3）解：如图：过点D作，截取，连接． ∵菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形，即， ∵菱形， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 由于B、G两点为定点，E为动点，当点E在线段上时，最小，即最小． ∵， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当最小时，． 故答案为：75；． 6．已知，如图，为坐标原点，在四边形中，，，，，点是的中点，动点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒． (1)填空：______；______（用含的式子表示）； (2)当运动______秒，四边形是平行四边形； (3)在直线上是否存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)在线段上有一点，且，四边形的最小周长是______． 【答案】(1)， (2) (3)时，；时,；时， (4) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理、轴对称的性质以及坐标系的相关知识，掌握平行四边形的性质是解答本题的关键． （1）根据点的坐标先求出、，根据运动求出长即可； （2）根据四边形是平行四边形得到，根求出时间t即可； （3）根据点在直线上，点在线段上，即可知O、D、Q、P四点为顶点的菱形有两条边为和，分为点在点的右边，点在点左侧且在线段上，点在点左侧且在延长线上三种情况，根据菱形的性质列方程解答即可； （4）作点关于直线的对称点将点向左平移个单位得到点，连接，交于点，点向右个单位得到点，此时， 四边形的周长最小，根据勾股定理求出长即可． 【详解】（1）解：∵，， ， 由运动知， ， 故答案为：，； （2）解：∵点是的中点， ， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得， ∴当值为时， 四边形是平行四边形. 故答案为： ； （3）解：分三种情况： ①当点在点的右边时，如下图， ∵四边形是菱形， ∴， ∴在中， 由勾股定理得： ， ∴，解得， ∴； ②当点在点左侧且在线段上时，如图， 同理①得， 即， 解得 ∴； ③当点在点左侧且在延长线上时，如图， 同理①求出， 即， 解得 ； 综上，时，；时，；时，； （4）解：作点关于直线的对称点，将点向左平移个单位得到点，连接，交于点，点向右个单位得到点，此时， 四边形的周长最小， 理由： ， ∴四边形的周长 由点的坐标得，， ∴四边形的周长最小值为， 故答案为：． 7．如图1，在菱形中，，，，分别是，边上的高． (1)请直接写出的长度是______； (2)如图2，动点P，Q分别从D，B同时出发，点P由运动，点Q由运动．当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．在运动过程中： ①若点P的运动速度为每秒，点Q为每秒，当运动时间为时，点P在边上，点Q在边上，且B，D，P，Q构成的四边形是平行四边形，求t的值； ②若点P的运动速度为每秒，点Q为每秒，当运动时间为时，B、D、P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求y与x的函数解析式． 【答案】(1)40 (2)①；② 【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分可得，再利用勾股定理列式求出，然后根据计算即可得解； （2）①根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列出方程求解即可；②根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列方程整理即可； 【详解】（1）解：设与交于点， 四边形是菱形， ，且与互相平分， 则， 在中，根据勾股定理， ，， ． 则． （2）解：①四边形是菱形， ， ， 即， 解得． 在中，． 同理可得． ， 点在边上，点在边上，且四边形是平行四边形， 所以． 点的运动速度为每秒，运动时间为秒， 则； 点的运动速度为每秒，运动时间为秒， 则． ， 移项可得， 即， 解得． B，D，P，Q构成的四边形是平行四边形，t的值是； ②点P的运动速度为每秒，点Q为每秒，当运动时间为时，B、D、P，Q为顶点的四边形为平行四边形，有以下三种情况： 如图，当点在上，点在上时， ，， ， ， ， ； 当点在上时，点在上时， ，， ，， ， ； 当点在上，点在上时， ，， ，， ， ； 综上所述， 点P的运动速度为每秒，点Q为每秒，当运动时间为时，B、D、P，Q为顶点的四边形为平行四边形时，． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，综合性较强，难度较大．熟练掌握菱形的性质是正确解答此题的关键． 8．如图，在中，对角线相交于点O，若E，F是上两动点，分别从A、C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为． (1)如图，四边形是平行四边形吗？说明理由； (2)若，当运动时间t为何值时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形？ 【答案】(1)是平行四边形，理由见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质以及分类讨论思想是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，再证明，然后由平行四边形的判定定理即可证明结论； （2）由题意可知，，当时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形，分两种情况，①点E在上，点F在上，②点F在上，点E在上，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E、F两动点、C两点以相同的速度向C， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． （2）解：由题意可知，， ∵四边形是平行四边形， ∴时， 当以D、E、B、F为顶点构成四边形，则需分两种情况： ①点E在上，点F在上，则， ∴，解得：； ②点F在上，点E在上，则， ∴，解得：； 综上所述，当运动时间t为或时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形． 9．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． (1)用含有的代数式表示：______，______，______； (2)当为何值时，四边形是矩形？ (3)四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)四边形不能成为菱形，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式，矩形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，掌握矩形的判定和性质以及菱形的性质是解题的关键． （）由题意得，，进而即可求解； （）由矩形的性质可得，进而即可求解； （）由菱形的性质可得，即得，可得，过点作于， 则四边形是矩形， 可得， ，即得，由勾股定理得，即可判断求解； 【详解】（1）解：由题意得，，， ∵，， ∴，， 故答案为：，，； （2）解：∵在四边形中，，， ∴当时，四边形是矩形， ∴， 解得， 即当时，四边形是矩形； （3）解：四边形不能成为菱形，理由如下： 若四边形是菱形，则， ∴， 解得， ∴， 过点作于，则四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∴， ∴四边形不能成为菱形． 10．如图，正方形中，，有一动点从点出发沿、、以每秒个单位长度的速度移动．以为原点，射线方向为轴正方向，射线为轴正方向建立直角坐标系．问： (1)当点移动的时间秒和秒时，分别写出点的坐标； (2)当点移动的时间为秒时，试用含的代数式表示的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形的面积计算，分类讨论动点的轨迹，熟练掌握分类讨论思想是解题关键． （1）根据题意建立以为原点的平面直角坐标系，根据正方形的性质，可得各个顶点的坐标，先求出当秒和秒时点的路程，得点在上或在上，即可求解； （2）可分成三种情况讨论：①当时，点在上，；②当时，点在上，；③当时，点在上，，即可求解． 【详解】（1）解：如图， 四边形是正方形，且， ，轴，轴，轴轴， ，，，， 当秒时，点走的路程， ， 点在上， ， 点； 当秒时，点走的路程， ， 点在上， ， 点． 综上所述，当点移动的时间秒时，坐标为，当点移动的时间秒时，坐标为． （2）解：可分成三种情况讨论： ①如图，当时，点在上， ， ； ②如图，当时，点在上， 过点作， ， 四边形是矩形， ， ； ③如图，当时，点在上， ， ， ． 综上所述，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 特殊平行四边形动点问题的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、菱形中的动点综合问题 类型二、矩形中的动点综合问题 类型三、正方形中的动点综合问题 压轴专练 类型一、菱形中的动点问题 例1-1．如图，矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为，运动时间为（且）． (1)若、分别是、的中点，则以、、、为顶点的四边形是______． (2)在（1）的条件下，当为何值时，以、、、为顶点的四边形为矩形？ (3)若、分别是折线，上的动点，分别从、开始，与、相同的速度同时出发，当为何值时，以、、、为顶点的四边形为菱形？请直接写出的值． 例1-2 （最值问题）如图，在菱形中，，对角线，点是边的中点，点是对角线上的一个动点，连接、．则的最小值是 ． 变式1-1．如图，菱形中，点为角线上一个动点，点为的中点，连接，设的长为，为，如图为关于变化的图象，则该图象最低点时的纵坐标为 ． 变式1-2．如图，菱形的边长为，，点为菱形内一动点，连接，，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 变式1-3．将两个全等的直角三角形如图摆放，其中，，，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，点到达终点后点也停止运动，设点运动时间为（秒）： (1)当时，求的长； (2)是否存在的值，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)是否存在的值，使得与互相平分？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 类型二、矩形中的动点问题 例2-1．如图，在中，，过点D作，垂足为E．动点P从点A出发沿方向以的速度向点D运动；同时，动点Q从点C出发，以的速度沿射线运动，当点P到达点D时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为． (1)当时，求t的值； (2)当时，求出t的值，并判断此时四边形是什么特殊的四边形？说明理由． 例2-2（最值问题）．如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为 ． 变式2-1．如图，在四边形中，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设点，运动的时间为 (1)边的长度为___________，的取值范围为___________． (2)从运动开始，当取何值时，四边形为矩形？ (3)从运动开始，当取何值时，？ 变式2-2．如图1，在中，，．为的外角的平分线，，垂足为点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作一个菱形，使为菱形的一条对角线（保留作图痕迹，不要求写作法）． (2)如图2，点为线段上一动点，连接，交于点． ①在不添加其它线的前提下，请添加一个条件：______，使得四边形为矩形，并说明理由； ②当平分时，求四边形的面积． 类型三、正方形中的动点问题 例3-1．如图1，在中，点D在的延长线上，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的平分线于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、，当点运动到何处时，四边形是矩形，并说明理由； (3)在（2）的前提下满足时，四边形是正方形？（直接写出答案，无需证明） 例3-2（最值问题）．如图，在正方形中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边上移动，连接和交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动．若，则线段的最小值是 ． 变式3-1．如图，已知矩形，P是上一动点，M、N、E分别是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请问当P运动到何处时，四边形是菱形；为什么？ (3)在（2）的条件下，当与满足什么数量关系时，四边形为正方形．（请直接写出结果） 变式3-2．如图，正方形的边长为3，E，F是对角线上的两个动点，且，连接，，则的长为________，周长的最小值为________． 变式3-3．如图，四边形为正方形，射线上有一动点（不与点重合），点，关于直线对称，连接．当是等腰三角形时，的度数为 ． 1．如图，在菱形中，E，F分别是边，上的动点，连接，，P，Q分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 2．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为，下列说法错误的是（   ） A．当时，四边形ABQP是矩形 B．当时，四边形PQCD是平行四边形 C． D．当时，四边形PQCD是菱形 3．如图，在菱形中，，对角线相交于点O，，P是线段上的动点，连接，以线段为一边向下作等边，连接，则长度的最小值为 ． 4．如图，正方形的边长为4，点和分别为边和的中点，点在上， 交于，且，点和分别是和上的动点，且．当时，线段的长度为 ． 5．菱形中，F是对角线上一动点，E为射线上一动点，． (1)如图1，点E在点D右边，当时，与的大小关系为________；________度． (2)如图2，若点B，E，F三点共线，且于E，四边形和面积分别记为，，，求． (3)如图3，若，求当________度时，的最小，最小值是________． 6．已知，如图，为坐标原点，在四边形中，，，，，点是的中点，动点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒． (1)填空：______；______（用含的式子表示）； (2)当运动______秒，四边形是平行四边形； (3)在直线上是否存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)在线段上有一点，且，四边形的最小周长是______． 7．如图1，在菱形中，，，，分别是，边上的高． (1)请直接写出的长度是______； (2)如图2，动点P，Q分别从D，B同时出发，点P由运动，点Q由运动．当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．在运动过程中： ①若点P的运动速度为每秒，点Q为每秒，当运动时间为时，点P在边上，点Q在边上，且B，D，P，Q构成的四边形是平行四边形，求t的值； ②若点P的运动速度为每秒，点Q为每秒，当运动时间为时，B、D、P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求y与x的函数解析式． 8．如图，在中，对角线相交于点O，若E，F是上两动点，分别从A、C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为． (1)如图，四边形是平行四边形吗？说明理由； (2)若，当运动时间t为何值时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形？ 9．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． (1)用含有的代数式表示：______，______，______； (2)当为何值时，四边形是矩形？ (3)四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 10．如图，正方形中，，有一动点从点出发沿、、以每秒个单位长度的速度移动．以为原点，射线方向为轴正方向，射线为轴正方向建立直角坐标系．问： (1)当点移动的时间秒和秒时，分别写出点的坐标； (2)当点移动的时间为秒时，试用含的代数式表示的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$