专题05 代数式求值的四类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版2024七年级上册

专题05 代数式求值的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、整体法代换求值 类型二、降幂思想求值 类型三、利用绝对值、倒数、相反数性质求值 类型四、新定义问题 压轴专练 类型一、整体法代换求值 例1-1．若时，，则时，（    ） A． B．12 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，解决本题的关键是利用整体思想． 把时，代入到得，再由当时，进行求解即可． 【详解】解：∵当时，， ∴， ∴， ∴当时，， 故选：D． 例1-2．已知 ，那么代数式的是（　　） A． B．0 C．3 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值．熟练掌握整体代入法求代数式的值是解决问题的关键． 根据已知条件推出式子与的值，代入计算即得． 【详解】解：∵， ∴， 即，， ∴． 故选：D． 变式1-1．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体思想是解题的关键．由已知条件得出，再将要求的代数式变形为，然后代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 变式1-2．若，，则的值为 ． 【答案】35 【分析】本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键，把所求代数式整理成已知条件的形式，然后代入数据计算即可得解． 【详解】解：，， ． 故答案为：35． 变式1-3．请阅读材料： 代数式的值为8，求代数式的值． 【阅读理解】 小明在做作业时采用的方法如下： 由题意得，则有， ． 所以代数式的值为2． 【方法运用】 (1)若，则代数式的值为______； (2)若代数式的值为5，求代数式的值； (3)已知，的值为最大的负整数，求的值． 【答案】(1)4 (2)0 (3)19 【分析】本题考查代数式求值，掌握整体思想，是解题的关键： （1）利用整体代入法进行求解即可； （2）根据，得到，再利用整体代入法进行求解即可； （3）根据的值为最大的负整数，得到，将代数式展开，利用整体代入法求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）由题意，得：， ∴， ∴； （3）∵的值为最大的负整数， ∴， 又∵， ∴ ． 类型二、降幂思想求值 例2．已知m为方程的一个根，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式的变形．根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后利用降次的方法对原式进行化简即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为： ． 变式2-1．若，则代数式 ． 【答案】13 【分析】本题考查了代数式求值，解题的关键是整体代入．由，可得，，将所求式子化简为，再整体代入即可． 【详解】解：∵，则， ∴，， ∴ ； 故答案为：13． 变式2-2．若，则 ． 【答案】 【分析】由变形可得，，把化为整理化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ 故答案为：2022 【点睛】本题考查了代数式的整体代入求值问题，灵活把所求的代数式变形是解题的关键． 变式2-3．已知 ，那么代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质进行计算即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 类型三、利用绝对值、相反数、导数性质求值 例3．已知互为相反数，互为倒数，m的绝对值是2023．求的值． 【答案】2020或 【分析】本题考查了相反数，倒数，绝对值的意义，以及求代数式的值，先根据相反数，倒数，绝对值的意义求出，，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵互为相反数，互为倒数，m的绝对值是2023， ∴，，， 当时， ． 当时， ． 综上可知，的值为2020或． 变式3-1．已知和互为相反数，是绝对值最小的数，是的倒数，是的绝对值，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据相反数、绝对值、倒数的定义以及代数式求值等知识点求解即可． 【详解】解：因为和互为相反数，是绝对值最小的数，是的倒数，是的绝对值， 所以，                         所以． 【点睛】本题考查了相反数、绝对值、倒数的定义以及代数式求值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 变式3-2．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2，求的值 【答案】1或5 【分析】本题考查的是相反数，倒数，绝对值的含义，求解代数式的值，根据题意可得，，，再分情况代入计算即可． 【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2 ∴，，， 当时，原式；     当时，原式； 综上，所求的值为1或5 变式3-3．有理数a，b分别是最大的负整数和最小的正整数，c和d互为倒数，，且，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查代数式的求值，熟练掌握相反数的性质、倒数的性质以及绝对值是解题的关键．有理数a是最大的负整数得，，b是最小的正整数得，，由倒数的性质得：，根据绝对值的意义且可得，，代入中即可得出答案． 【详解】解：因为有理数a，b分别是最大的负整数和最小的正整数，c和d互为倒数，，且， 所以，，，， 所以． 类型四、新定义问题 例4．我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数m、n、p，总满足，则称这个数列为理想数列． (1)若数列2，，a，，b，…，是理想数列，则　　，　　； (2)若数列x，，4，…，是理想数列，求代数式的值． (3)若数列…，m，n，p，q…，是理想数列，且，求代数式的值． 【答案】(1)5，； (2)； (3)． 【分析】（1）根据理想数列的定义代入计算即可； （2）根据理想数列的定义代入计算，求出，再整体代入整式计算即可； （3）m，n，p，q，是理想数列，所以，，求出， 结合得，结合问题变形为或，代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：5，； （2）由题意可知： ， 即， ； （3）m，n，p，q，…，是理想数列， ， ， ， ， ， ， ， 即或， ． 【点睛】本题考查了新定义下的有理数的运算和整式的化简求值；正确理解新定义、根据所求整式整体代入求值是解题的关键． 变式4-1．对于有理数，我们给出如下定义：若满足，则称为“和谐有理数对”，记为．例如：，数对是“和谐有理数对”． (1)数对，其中是“和谐有理数对”的是_________； (2)若是“和谐有理数对”，求的值； (3)若是“和谐有理数对”，则________(填“是”或“不是”)“和谐有理数对”，说明你的理由． 【答案】(1) (2)7 (3)是，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算和新定义，代数式求值； （1）先分别求出各组数据中的和的值，然后根据已知条件中的新定义解析判断即可； （2）先根据新定义，列出关于的等式，求出的值，再利用整体代入求出答案即可； （3）先根据已知条件和新定义，求出关于，的等式，然后再求出当，时，和，进行判断即可． 【详解】（1）解：当，时， ，， ， 是“和谐有理数对”； 当，时， ， 不是“和谐有理数对”； 当，时， ， 是“和谐有理数对”； 故答案为：． （2）是“和谐有理数对”， ， ， ， ， ； （3）是“和谐有理数对”，理由如下： ，是和谐有理数对， ， 当，时， ，， 是“和谐有理数对”， 故答案为：是． 变式4-2．将n个0或1排列在一起组成了一个数组，记为，其中，都取0或1，称A是一个n元完美数组（且n为整数）． 例如：都是2元完美数组，都是4元完美数组，但不是任何完美数组．定义以下两个新运算： 新运算1：对于x和y，， 新运算2：对于任意两个n元完美数组和， ，例如对于3元完美数组和， 有． (1)在中是3元完美数组的为：___________； (2)设，则________； (3)已知完美数组求出所有4元完美数组N，使得; (4)对于m个不同的2024元完美数组中任意两个完美数组P、Q，都有，则m的最大值为___________． 【答案】(1) (2)2 (3) (4)2025 【分析】本题结合新定义运算考查了有理数的运算，关键在于阅读理解新运算的含义，灵活运用有理数的运算技能技巧，逐步提高符合意识素养． （1）根据元完美数组的定义判断即可； （2）依据新运算定义进行计算即可； （3）依据新运算定义，尝试使得的计算结果即可； （4）根据新运算定义，则可知数组，中对应位置不能同时为1，由数组，的任意性可知：完美数组中元素最多只能有一个1，即可推出的最大可能值是． 【详解】（1）解：在中不是完美数组，是4元完美数组， 所以3元完美数组的有：，故答案为：； （2）解：∵，， ； 故答案为：2； （3）解：， 当时，，当时，，当时，， 综上即或0， ，， ∵， 或 或 或 ； （4）解：∵， 、中对应位置的元不能同时为1， 每个数组有个元，1可以出现在个位置，或者全部为0， 的最大值为 故答案为：2025． 1．当时，代数式的值为2026，则当时，的值为（    ） A．2024 B． C．2025 D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体思想是解题关键．将代入可得，再将代入计算即可得． 【详解】解：∵当时，代数式的值为2026， ∴， ∴， ∴当时， ， 故选：B． 2．若，，为整数，且，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的意义．根据题意，得到，或，，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵、、都为整数，且满足， ∴，或，； 当，时，； 当，时，； 综上：的值为1， 故选：B． 3．已知是2025个由1和组成的数，且满足，则的值为（　　） A．2025 B．4000 C．4025 D．4050 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，根据题意，可知1的个数比的个数多25个，进而得到-1的个数为1000个，进而得到的值为1000个，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：1的个数比的个数多25个， 的个数为， ， ． 故选B． 4．已知，则的值为 ． 【答案】392 【分析】本题考查了代数式求值．解题的关键在于将代入原式，求出相关代数式的值． 先令，即可求出①；再令，得到②，可得，最后令，可得，由此即可求得的值，继而可求解． 【详解】解：令，得：①； 令，得②， 得：， 即， 令，得， 则， ∴， 故答案为：392． 5．如果与互为相反数，，那么的值是 ． 【答案】2026或 【分析】此题主要考查了绝对值和相反数、代数式求值．直接利用绝对值的性质以及相反数的定义得出，，再分和代入代数式计算得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数，， ∴，， 当时， ， 当时， 故答案为：2026或 6．已知m为方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求职，根据一元二次方程的解的定义把代入方程得到，然后根据等式的性质易得的值，代入原式即可解答，解题关键是运用整体代入思想进行解题． 【详解】解： 根据题意得， ． 故答案为：． 7．已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为3，那么 ． 【答案】或 【分析】由题意可得，，，进而可得或，然后将上述式子的值或字母的值代入求值即可． 【详解】解：由题意可得：，，， 或， 当时， ； 当时， ； 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相反数的应用，倒数，绝对值的意义，代数式求值，含乘方的有理数混合运算等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 8．已知一列数的和，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式加减混合运算和代数式求值，重点在观察式子特征，能够相互联系起来，先将所有式子相加，从而出现求得k值，再代入求出结果，根据结果结合题目进行分析即可． 【详解】解： = = ， ∴2024个k相加等于0，则， 则， ∴，， ∴． 故答案为：． 9．若，则 ， ． 【答案】 5 【分析】分别取、、，求出代数式的值，然后相加减，计算即可得到答案． 【详解】解：当时，代入， 得， 当时，代入， 得， 当时，代入， 得， 得：， ， ， 得：， ， ， ，， 故答案为：，5． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，根据系数特点取的三个特殊值进行计算是解题的关键． 10．已知，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握整体代入的思想是解题的关键；根据题意可知，整理，即可求解； 【详解】解：根据题意可得； ； 故答案为：． 11．已知，求整式的值. 【答案】119 【分析】先观察已知代数式中都含有ab项，而所求代数式中没有ab项，则将第一个等式两边乘以4，第二个等式两边乘以3，两个等式相加可把含ab的项消去，即可求解. 【详解】解：∵①， ∴①得：， ∵②， ∴②得：， ①+②得：， 所以，整式的值为119. 故答案为119. 【点睛】本题考查了代数式求值，技巧性较高.由于不容易求出a、b的值，故可考虑等量转换的方法. 12．数学上，我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为， 例：，请根据阅读理解上述材料解答下列各题： (1)___________； (2)计算：； (3)已知实数a，b满足行列式，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查的是新定义情境下的有理数的混合运算，整式的加减，代数式的求值，解题的关键是理解新定义的运算法则． （1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义求解即可； （3）根据新定义可得，再代入求值即可得解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ． 13．阅读材料 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．比如．由此，若我们把看成一个整体，当成字母“x”，则． 迁移应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是_________； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了合并同类项，代数式求值，利用整体代入思想解题是关键． （1）仿照材料，把看成一个整体，即可合并； （2）将整体代入计算即可； （3）先去括号，再添括号，根据 ，得到，然后整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ； （3）解：， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 代数式求值的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、整体法代换求值 类型二、降幂思想求值 类型三、利用绝对值、倒数、相反数性质求值 类型四、新定义问题 压轴专练 类型一、整体法代换求值 例1-1．若时，，则时，（    ） A． B．12 C． D． 例1-2．已知 ，那么代数式的是（　　） A． B．0 C．3 D．9 变式1-1．若，则 ． 变式1-2．若，，则的值为 ． 变式1-3．请阅读材料： 代数式的值为8，求代数式的值． 【阅读理解】 小明在做作业时采用的方法如下： 由题意得，则有， ． 所以代数式的值为2． 【方法运用】 (1)若，则代数式的值为______； (2)若代数式的值为5，求代数式的值； (3)已知，的值为最大的负整数，求的值． 类型二、降幂思想求值 例2．已知m为方程的一个根，那么的值为 ． 变式2-1．若，则代数式 ． 变式2-2．若，则 ． 变式2-3．已知 ，那么代数式的值是 ． 类型三、利用绝对值、相反数、导数性质求值 例3．已知互为相反数，互为倒数，m的绝对值是2023．求的值． 变式3-1．已知和互为相反数，是绝对值最小的数，是的倒数，是的绝对值，求代数式的值． 变式3-2．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2，求的值 变式3-3．有理数a，b分别是最大的负整数和最小的正整数，c和d互为倒数，，且，求的值． 类型四、新定义问题 例4．我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数m、n、p，总满足，则称这个数列为理想数列． (1)若数列2，，a，，b，…，是理想数列，则　　，　　； (2)若数列x，，4，…，是理想数列，求代数式的值． (3)若数列…，m，n，p，q…，是理想数列，且，求代数式的值． 变式4-1．对于有理数，我们给出如下定义：若满足，则称为“和谐有理数对”，记为．例如：，数对是“和谐有理数对”． (1)数对，其中是“和谐有理数对”的是_________； (2)若是“和谐有理数对”，求的值； (3)若是“和谐有理数对”，则________(填“是”或“不是”)“和谐有理数对”，说明你的理由． 变式4-2．将n个0或1排列在一起组成了一个数组，记为，其中，都取0或1，称A是一个n元完美数组（且n为整数）． 例如：都是2元完美数组，都是4元完美数组，但不是任何完美数组．定义以下两个新运算： 新运算1：对于x和y，， 新运算2：对于任意两个n元完美数组和， ，例如对于3元完美数组和， 有． (1)在中是3元完美数组的为：___________； (2)设，则________； (3)已知完美数组求出所有4元完美数组N，使得; (4)对于m个不同的2024元完美数组中任意两个完美数组P、Q，都有，则m的最大值为___________． 1．当时，代数式的值为2026，则当时，的值为（    ） A．2024 B． C．2025 D． 2．若，，为整数，且，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．2024 3．已知是2025个由1和组成的数，且满足，则的值为（　　） A．2025 B．4000 C．4025 D．4050 4．已知，则的值为 ． 5．如果与互为相反数，，那么的值是 ． 6．已知m为方程的一个根，则代数式的值为 ． 7．已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为3，那么 ． 8．已知一列数的和，且，则 ． 9．若，则 ， ． 10．已知，则代数式 ． 11．已知，求整式的值. 12．数学上，我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为， 例：，请根据阅读理解上述材料解答下列各题： (1)___________； (2)计算：； (3)已知实数a，b满足行列式，求代数式的值． 13．阅读材料 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．比如．由此，若我们把看成一个整体，当成字母“x”，则． 迁移应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是_________； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$