专题04 勾股定理实际应用的三类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版2024八年级上册

专题04 勾股定理实际应用的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、勾股定理解决最短路径问题 类型二、勾股定理解决网格问题 类型三、勾股定理解决行程问题 类型四、勾股定理解决梯子滑落问题 压轴专练 类型一、勾股定理解决最短路径问题 例．如图，是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高都分别为，，．和是这个台阶上两个相对的点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先画出台阶的平面展开图，可知是长方形，长为，宽为，根据两点之间，线段最短，可得蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程是线段的长，利用勾股定理求出的长即可求解，找出蚂蚁沿台阶面爬行的最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， ∵两点之间，线段最短 ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程是线段的长， ∴， ∴， 故选：． 变式1-1．如图，在一个长为，宽为的长方形木板上，放着一根长方体木块，木块较长的棱和木板的宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发到达边中点需要走的最短路程为（    ）． A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理与最短路径问题，将木块展开，然后根据两点之间线段最短利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，将木块展开， 由题意，得：展开后长方形的长为，， 则：蚂蚁从点出发到达边中点需要走的最短路程为； 故选B． 变式1-2．棱长分别为，的两个正方体如图放置，点A，B，C在同一直线上，顶点E在棱BF上，点P是棱DK的靠近点D的三等分点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面展开最短问题．求出两种展开图的值，比较即可判断． 【详解】解：如图，，有两种展开方法： 方法一：， 方法二：． 故需要爬行的最短距离是． 故选：D． 变式1-3．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为（杯壁厚度不计）（   ） A． B．25 C． D．13 【答案】D 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，将杯子侧面展开，如图：延长至，使，作于，连接交于，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，延长至，使，作于，连接交于，    ∴，，， ∵底面周长为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴最短距离为． 故选：D． 变式1-4．如图1，在棱长为的立方体纸盒的顶点处有一只蚂蚁，在另一顶点处有一粒糖． (1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点处，如图所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？ (2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为，，的长方体纸盒（如图3），其他条件不变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程． 【答案】(1)甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短； (2)蚂蚁经过的路程最短路程为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，最短路径，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）分别计算每个人设计的路线的长度，对结果进行比较即可； （2）把纸盒分别沿着长、宽、高所在的棱展开，根据勾股定理计算每种情况对应的线段长度，对结果进行比较即可． 【详解】（1）解：∵纸盒是棱长为的立方体， ∴甲设计的爬行路线长为， 乙设计的爬行路线长为， 丙设计的爬行路线长为， ∵， ∴甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短， 答：甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短． （2）解：∵两点之间线段最短， ∴不考虑沿着棱爬行的情况， 如图所示， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， ∵， ∴蚂蚁沿爬行，经过的路程最短，最短路程为， 答：蚂蚁经过的路程最短路程为． 类型二、勾股定理解决网格问题 例2．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的正方形网格图形中，，均是格点． （1）线段的长等于 ； （2）点是这个网格图形中的格点，连接，，且满足．在如图所示的网格中，画出 点的位置，在所有满足条件的中，边的长的最大值是 ． 【答案】 、、、、 【分析】此题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，圆周角定理，圆的性质等，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． （1）运用勾股定理即可求得答案； （2）在边上取点，使，连接，，可证得，进而可得是等腰直角三角形，再作的外接圆可得出符合条件的点，再运用圆的性质可知当为直径时最长，利用勾股定理可求得答案． 【详解】解：（1）如图1，在中，，，， ． 故答案为：； （2）如图2，在边上取点，使，连接，， ，， ， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 作的外接圆交网格于、、、， 根据圆周角定理可得：， 根据题意得到点的轨迹为圆弧，当为直径时最长，即点位于点处时，最长， 在中，． 故答案为：；． 变式2-1．如图是边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点均在格点上． (1)直接写出的形状； (2)仅用无刻度的直尺画图（画图结果用实线，画图过程用虚线）； ①在图（1）中的上画点，连接，使； ②在图（1）中的上画点，连接，使； ③在图（2）中的上画点，使． 【答案】(1)直角三角形； (2)①作图见详解；②作图见详解；③作图见详解； 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判断即可； （2）①作线段BC的垂直平分线交AB于点D，点D即为所求； ②设AC的垂直平分线交AC于点R，在RC或RA上，截取RE=或，连接DE，DE'即可； ③取格点T，连接AT交BC于点G，点G即为所求． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， ∴△ABC是直角三角形 ； （2）如图（1）中，点D即为所求； 如图（1）中，点E或点，即为所求； 如图（2）中，点G即为所求； 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，勾股定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 变式2-2．在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积． (1)的面积为______． (2)若的三边、、长分别为，，，请在图的正方形网格中画出相应的，并求出的面积为______． (3)在中，，、，以为边向外作（与在异侧），使为等腰直角三角形，则线段的长为______． 【答案】(1)； (2)图见解析，； (3)或或．． 【分析】本题考查网格问题，解题的关键是掌握割补法求三角形面积，以及勾股定理，结合图形进行求解． （1）利用割补法求的面积即可； （2）利用割补法求的面积即可； （3）画出符合题意的三种图形，运用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）解：如图：将填补成梯形， 则． 故答案为：； （2）解：如图所示： 同（1）中的方法，将填补成梯形， ∴． 故答案为：； （3）解：∵，、， ∴，即是直角三角形， 根据与在异侧，可得第一种情况：如图， 结合网格由勾股定理可得：，， ∴， ∴． 第二种情况：如图， 结合网格由勾股定理可得：，， ∴， ∴， ∴． 第三种情况：如图， 结合网格由勾股定理可得：，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或或． 变式2-3．问题背景：在中，三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将的面积直接填写在横线上： ； 思维拓展： （2）我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为，，，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并求出它的面积． 探索创新： （3）若三边的长分别为（，，且），试运用构图法求出这三角形的面积． 【答案】（1）；（2）画图见解析，；（3）构图见解析， 【分析】本题主要考查了勾股定理及作图的知识，解答本题关键是仔细理解问题背景，熟练掌握勾股定理，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答． （1）利用割补法求解可得； （2）在网格中利用勾股定理分别作出边长为、、的首尾相接的三条线段，再利用割补法求解可得； （3）在网格中构建边长为和的矩形，同理作出边长为、，的三角形，最后同理可得这个三角形的面积． 【详解】解：（1）的面积为， 故答案为：； （2）如图，，，， 由图可得：； 故答案为：； （3）构造所示，， ， ， ∴． 类型三、勾股定理解决行程问题 例3．在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里．    (1)求点A与点B之间的距离； (2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）． 【答案】(1)海里 (2)最多能收到29次信号 【分析】（1）由题意易得是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离； （2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里，分别求得的长，可求得此时轮船过时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数； 【详解】（1）由题意，得：； ∴； ∵； ∴海里； （2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里．    ∵； ∴； ∵； ∴； ∵； ∴； 则信号次数为（次）． 答：最多能收到29次信号． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的判定等知识，涉及路程、速度、时间的关系，熟练掌握勾股定理是关键． 变式4-1．如图，在港口A的正东3海里有一艘搜救艇B，正南4海里有一艘搜救艇D，东偏南方向有一艘轮船C． (1)若B与C的距离为12海里，D与C的距离为13海里，求点D到直线BC的距离； (2)当轮船C航行到点D的正东方向时，恰好在点B的东南方向．此时，轮船由于机械故障无法前行，只好请求救援．若两艘搜救艇速度一样，救援指挥部应派遣哪艘搜救艇前往救援能更快到达轮船出事点？ 【答案】(1)点D到直线BC的距离为BD的长度，即5海里 (2)派遣轮船B前往救援能更快到达轮船出事点 【分析】（1）先由勾股定理可得BD=5，再由勾股定理逆定理可得△BDC是直角三角形，知∠CBD=90°，则点D到直线BC的距离是5海里； （2）正确画图，计算CD和BC的长，哪条路程小，就用哪个搜救艇． 【详解】（1）解∶如图，连接BD， 依题意可得，AD⊥AB， 根据勾股定理可得∶BD＝．. ∵BD＝5，BC＝12，DC＝13， 根据勾股定理的逆定理可得∶BD2＋BC2＝CD2， ∴BD⊥BC，. ∴点D到直线BC的距离为BD的长度，即5海里． （2）解：如图，过点B作BE⊥CD于点E． 依题意可得，四边形ABED是矩形，故BE＝4，DE＝3． ∵点C在点B的东南方向， ∴∠CBE＝45°， 又∵BE⊥CD，∠BEC＝90°， ∴∠BCE＝45°， ∴BE＝EC＝4， ∴DC＝DE＋EC＝7． ∵BE⊥CD，根据勾股定理可得∶BC＝． ∵≈1.414， ∴4≈5.656＜7． 当两艘搜救艇速度一样时，派遣轮船B前往救援能更快到达轮船出事点． 【点睛】本题考查的是勾股定理及方向角，掌握勾股定理、方向角的概念是解题的关键． 变式4-2．如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时． (1)求港口A到海岛B的距离； (2)B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？（结果保留一位小数） 【答案】(1) (2)乙船 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答此题的关键是构造直角三角形，利用解直角三角形的相关知识解答． （1）作于点D，构造两个直角三角形并解直角三角形，用表示出和，利用和之间的关系列出方程求解； （2）分别求得两船看见灯塔的时间，然后比较即可． 【详解】（1）解：过点B作于点D， 在中，，设，则， 在中，， 则，， 由得， 解得， ， 答：港口A到海岛B的距离为海里； （2）解：甲船看见灯塔所用时间：小时， 乙船看见灯塔所用时间：小时， 所以乙船先看见灯塔． 变式4-3．如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向，距离小岛40海里的点A处，它沿着点A的南偏东的方向航行． (1)渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？ (2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处立即出发以每小时30海里速度赶到C处进行救援，问救援队能否在2小时内到达C处进行救援？请说明理由． 【答案】(1)海里； (2)能，理由见解析． 【分析】（1）过B点作AC的垂线BD交AC于点D，则AD为所求，根据已知条件得到即可解答； （2）在中，根据勾股定理求出，再根据救援速度求出救援时间，最后与2小时进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：过B点作AC的垂线BD交AC于点D， 由题意可知：，， ∴，(海里) ， ∵垂线段最短，AC上的D点距离B点最近，AD即为所求， ∴渔船航行海里时，距离小岛B最近． （2）解：能，理由如下： ∵海里，海里， ∴在中，根据勾股定理，(海里)， ∵救援队的速度为每小时30海里， ∴救援时间为：(时)， ∵， ∴救援队能在2小时内到达C处进行救援． 【点睛】本题考查了解非直角三角形，以及解直角三角形的应用中的方向角问题，勾股定理，解题的关键是理解题意，并正确作出辅助线进行求解． 类型四、勾股定理解决梯子滑落问题 例4．消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【详解】解：由题意可知，，点、、三点共线， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 答：这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为． 变式4-1．如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面A处，另一端在地面B处，墙角记为点C． (1)若米，米． ①竹竿的顶端A沿墙下滑1米，那么点B将向外移动多少米？ ②竹竿的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，请求出移动的距离（保留根号）． (2)若，则顶端A下滑的距离与底端B外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端A下滑的距离与底端B外移的距离的大小． 【答案】(1)①米；②竹竿的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等，理由见解析 (2)不可能相等，顶端A下滑的距离大于底端B外移的距离． 【分析】（1）先根据勾股定理可得AC=6米，①根据题意得：，可得到米，由勾股定理可得的长，即可求解；②设从A处沿墙下滑的距离为x米，点B也向外移动的距离为x米，根据勾股定理，列出方程，即可求解； （2）设AC=BC=a，从A处沿墙下滑的距离为m米，点B向外移动的距离为n米，则，根据勾股定理，列出方程，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∠C=90°，米， ∴米， ①根据题意得：， ∴米， ∴米， ∴米， 即点B将向外移动米； ②竹竿的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等，理由如下： 设从A处沿墙下滑的距离为x米，点B也向外移动的距离为x米，根据题意得： ， 解得：（舍去）， ∴从A处沿墙下滑的距离为3.5米时，点B也向外移动的距离为3.5米， 即竹竿的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等； （2）解：不可能相等，理由如下： 设AC=BC=a，从A处沿墙下滑的距离为m米，点B向外移动的距离为n米，则，根据题意得： ， 整理得：， 即， ∵a、m、n都为正数， ∴，即． ∴顶端A下滑的距离大于底端B外移的距离． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 变式4-2．课本原题呈现： 一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米． （1）这个梯子的顶端距底而有多高? （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗? 解决问题： (1)请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面_______米；（2）问中，梯子的底部_______在水平方向也滑动4米（填会或不会）； (2)在原题中，若保持梯子底端不动，将梯子再次斜靠到原题当中的墙体的对面，且与之平行的另一面墙上，梯子的顶端到地面的距离为15米，求这两面墙之间的距离． (3)将原题中的条件“云梯长25米”改变为“云梯顶端距底面20米”，将“梯子底端离墙7米”改变为“梯子的顶端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米”，请求出此梯子的长度是多少米？ 【答案】(1)24；不会 (2)27米 (3)25米 【分析】此题考查勾股定理的实际应用． （1）直接利用勾股定理求得直角边的长即可；首先求得的长，然后利用勾股定理求得线段的长，最后求得线段的长即可； （2）由勾股定理得出米，再由即可得出答案； （3）先由题意得米，设米，则米，再根据列关于a的等式方程，解方程得出a，再由勾股定理得出即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，米，米，米， ∴， ∴， ∴， ， ∴梯子底部不会在水平方向也滑动4米；故答案为：24；不会； （2）解：由题意可得，，，米，米，米， ∴， ∴米， ∴米，∴这两面墙之间的距离为27米； （3）解：由题意得，米，米，米， ∴米， 设米，则米， 又∵， ∴，即，解得：， ∴米， ∴梯子的长度是25米 1．如图，长方体的底面是边长为6的正方形，高，若棱的中点处有一只蚂蚁，要沿着长方体的外表面爬到顶点处，则它需要爬行的最短路程是（    ） A．10 B． C．12 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，勾股定理，熟练掌握该方法是本题解题的关键．根据长方体的展开图，利用勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图， ； 如图， ； ∵， ∴需要爬行的最短路径长为10， 故选：A． 2．如图．长方体的底面是边长2cm的正方形，高为6cm．如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达B，那么所用细线最短需要 cm． 【答案】 【分析】如果从点如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，相当于直角三角形的两条直角边分别是8和3，再根据勾股定理求出斜边长即可． 【详解】解：将长方体的侧面沿展开，取的中点，取的中点，连接，，则为所求的最短细线长， ，， ， ， ， ∴所用细线最短长度是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面展开最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出图形是解此题的关键，用了数形结合思想． 3．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程． 【答案】 【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，解答中涉及勾股定理，将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，长度变为半圆周长， ∴，则， 连接， 在长方形中，，， 由勾股定理，得， ∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走的路程． 故答案为：． 4．综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型 抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为米 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 【答案】(1)米 (2)小明同学应该再放出8米线 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）如图，过点作于点，利用勾股定理求解，再进一步解答即可； （2）如图，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接，利用勾股定理求解，进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，米，米， 由勾股定理，得（米）， 则（米）． （2）解：如图，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接， 则（米）． 由勾股定理，得（米）， 故（米）． 答：小明同学应该再放出8米线． 5.【阅读理解】如图，将两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，再将这四个直角三角形无重叠无空隙地拼接在一起，就得到一个面积为的较大正方形．这个较大正方形的边长为_______． 【拓展应用】 （1）图是由个边长为的小正方形组成的图形，请你剪拼成一个大正方形（最多剪四次），并在的正方形网格中画出你剪拼成的图形，并适当的标记说明你是如何剪拼的； （2）如图，两个正方形纸片的面积分别为，，请用这两个小正方形拼剪构造一个大正方形（最多剪两次），请画出拼剪后的图形； 【答案】阅读理解：；拓展应用：（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了图形的剪拼、勾股定理、正方形的面积和正方形的有关画图，解决本题的关键是根据网格的特点画出正方形. 阅读理解、根据正方形的面积公式可知，拼成的大正方形的边长为； 拓展应用因为个边长为的小正方形的面积为，所以拼成的大正方形的边长为，把原图形中剪下两个斜边长为的直角三角形，再拼成一个边长为的正方形即可； 因为两个正方形的面积分别为，，所以拼成的大正方形的面积一定为，在原图形中剪下两个直角边长分别为和的直角三角形，则这个直角三角形的斜边长为，把这两个直角三角形和剩余的部分重新拼接成一个边长为的大正方形即可． 【详解】阅读理解：解：大正方形的面积为， 大正方形的边长为， 故答案为：； 拓展应用 解：如下图所示， 小正方形的边长为， ， 把图中、两个直角三角形，沿虚线剪下来， 把剪下来的两个直角三角形拼在下面网格图中拼成一个大正方形， 如下图所示， 解：，， 小正方形的边长为，大正方形的边长为， 如下图所示，沿下图中虚线剪开， 如下图所示，把剪下的两个直角三角形按如图位置拼接． 6．问题背景： 在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积． 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处，，，），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求面积的方法叫做构图法． (1)请你将的面积直接填写在横线上：______． (2)思维拓展：若三边的长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并求出它的面积． (3)探索创新：若三边的长分别为、、（，，且），求这个三角形的面积． (4)直接写出当x为何值时，函数有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1) (2) (3) (4)当x为时，函数的最小值是 【分析】（1）计算即可． （2）根据、、，画图计算即可 （3）设小矩形的长为m，宽为n，根据题意，、、，画图计算即可． （4）求函数有最小值，即的最小值，实际上就是求x轴上一点到以及两点的和的最小值，而两点间的距离是线段最短，即可求得 函数的最小值是． 【详解】（1）根据题意得： =． 故答案为：． （2）根据题意得：、、，画图如下： 根据题意： ． （3）设小矩形的长为m，宽为n，根据题意，、、， 画图如下： 根据题意： =． （4）函数有最小值，即的最小值，实际上就是求x轴上一点到以及两点的和的最小值，而两点间的距离是线段最短，所以点到以及的距离即为所求，即． 当x为时，函数的最小值是． 【点睛】本题考查了网格上的三角形，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 8．【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，． 【深入探究】 （1）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度； 【问题解决】 （2）在演练中，墙边距地面的窗口有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的窗口去救援被困人员？ 【答案】（1），（2）云梯的顶端能到达高的窗口去救援被困人员 【分析】本题考查了勾股定理的应用．掌握勾股定理是解题的关键. （1）根据勾股定理即可求出，再求出，根据勾股定理求出，进一步即可求出； （2）当云梯的顶端到达高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为，根据，即可得到在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的窗口去救援被困人员． 【详解】解：（1）在中， ， ， ， 在中， ， 答：的长度为 ； （2）当云梯的顶端到达高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为：， ， ， ∴在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的窗口去救援被困人员． 9．周末，数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源． 测量数据 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．勘测组测量了相关数据，并画出如图的示意图，测得人放风筝的手与风筝的水平距离的长为15米，风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米． 数据处理组得到数据以后做了认真分析，请帮助他们完成以下任务： (1)根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； (2)如果风筝沿方向下降了12米，的长度保持不变，求要回收多少米的风筝线？ 【答案】(1)风筝离地面的垂直高度为21.7米 (2)要回收8米的风筝线 【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求解； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意， 在中，，，， ∴ ∴（米）， 答：风筝离地面的垂直高度为21.7米； （2）解：设此时风筝下降到点，由题意得， ∴， 在中，， ∴， ∴（米）， ∴要回收8米的风筝线． 10．项目式学习 项目主题：测量学校旗杆的高度 项目背景：国旗是国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大．同学们想知道学校旗杆的高度，但无法直接测量，学习了勾股定理后，“创新”小组在老师的指导下，利用所学知识展开了项目学习． 项目步骤： 测量工具 皮尺、旗杆顶端的绳子 模型抽象 测量方案及相关数据 ①如图，线段表示旗杆高度，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，小乐同学用皮尺测出的长为米； ②如图，小新同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时该同学直立于地面点处，小雷同学用皮尺测出的长为米； ③小新的身高为米． 问题解决：根据“创新”小组的测量方案及数据，要求出学校旗杆的高度，“智慧”小组想到了过点作于点，则米．请根据“智慧”小组的思路完成下列问题： (1)直接写出线段与之间的数量关系：___________； (2)求出学校旗杆的高度． 【答案】(1)；(2)米 【分析】（）根据题意解答即可； （）如图，过点作于点，设米，可得米，米，米，米，由勾股定理得，解方程求出的值即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解： 如图，过点作于点， 设米， 则米，米，米，米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴米， 答：学校旗杆的高度为米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 勾股定理实际应用的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、勾股定理解决最短路径问题 类型二、勾股定理解决网格问题 类型三、勾股定理解决行程问题 类型四、勾股定理解决梯子滑落问题 压轴专练 类型一、勾股定理解决最短路径问题 例．如图，是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高都分别为，，．和是这个台阶上两个相对的点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为（　　） A． B． C． D． 变式1-1．如图，在一个长为，宽为的长方形木板上，放着一根长方体木块，木块较长的棱和木板的宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发到达边中点需要走的最短路程为（    ）． A．10 B． C． D． 变式1-2．棱长分别为，的两个正方体如图放置，点A，B，C在同一直线上，顶点E在棱BF上，点P是棱DK的靠近点D的三等分点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是（   ） A． B． C． D． 变式1-3．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为（杯壁厚度不计）（   ） A． B．25 C． D．13 变式1-4．如图1，在棱长为的立方体纸盒的顶点处有一只蚂蚁，在另一顶点处有一粒糖． (1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点处，如图所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？ (2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为，，的长方体纸盒（如图3），其他条件不变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程． 类型二、勾股定理解决网格问题 例2．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的正方形网格图形中，，均是格点． （1）线段的长等于 ； （2）点是这个网格图形中的格点，连接，，且满足．在如图所示的网格中，画出 点的位置，在所有满足条件的中，边的长的最大值是 ． 变式2-1．如图是边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点均在格点上． (1)直接写出的形状； (2)仅用无刻度的直尺画图（画图结果用实线，画图过程用虚线）； ①在图（1）中的上画点，连接，使； ②在图（1）中的上画点，连接，使； ③在图（2）中的上画点，使． 变式2-2．在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积． (1)的面积为______． (2)若的三边、、长分别为，，，请在图的正方形网格中画出相应的，并求出的面积为______． (3)在中，，、，以为边向外作（与在异侧），使为等腰直角三角形，则线段的长为______． 变式2-3．问题背景：在中，三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将的面积直接填写在横线上： ； 思维拓展： （2）我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为，，，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并求出它的面积． 探索创新： （3）若三边的长分别为（，，且），试运用构图法求出这三角形的面积． 类型三、勾股定理解决行程问题 例3．在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里．    (1)求点A与点B之间的距离； (2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）． 变式4-1．如图，在港口A的正东3海里有一艘搜救艇B，正南4海里有一艘搜救艇D，东偏南方向有一艘轮船C． (1)若B与C的距离为12海里，D与C的距离为13海里，求点D到直线BC的距离； (2)当轮船C航行到点D的正东方向时，恰好在点B的东南方向．此时，轮船由于机械故障无法前行，只好请求救援．若两艘搜救艇速度一样，救援指挥部应派遣哪艘搜救艇前往救援能更快到达轮船出事点？ 变式4-2．如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时． (1)求港口A到海岛B的距离； (2)B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？（结果保留一位小数） 变式4-3．如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向，距离小岛40海里的点A处，它沿着点A的南偏东的方向航行． (1)渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？ (2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处立即出发以每小时30海里速度赶到C处进行救援，问救援队能否在2小时内到达C处进行救援？请说明理由． 类型四、勾股定理解决梯子滑落问题 例4．消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 变式4-1．如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面A处，另一端在地面B处，墙角记为点C． (1)若米，米． ①竹竿的顶端A沿墙下滑1米，那么点B将向外移动多少米？ ②竹竿的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，请求出移动的距离（保留根号）． (2)若，则顶端A下滑的距离与底端B外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端A下滑的距离与底端B外移的距离的大小． 变式4-2．课本原题呈现： 一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米． （1）这个梯子的顶端距底而有多高? （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗? 解决问题： (1)请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面_______米；（2）问中，梯子的底部_______在水平方向也滑动4米（填会或不会）； (2)在原题中，若保持梯子底端不动，将梯子再次斜靠到原题当中的墙体的对面，且与之平行的另一面墙上，梯子的顶端到地面的距离为15米，求这两面墙之间的距离． (3)将原题中的条件“云梯长25米”改变为“云梯顶端距底面20米”，将“梯子底端离墙7米”改变为“梯子的顶端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米”，请求出此梯子的长度是多少米？ 1．如图，长方体的底面是边长为6的正方形，高，若棱的中点处有一只蚂蚁，要沿着长方体的外表面爬到顶点处，则它需要爬行的最短路程是（    ） A．10 B． C．12 D．14 2．如图．长方体的底面是边长2cm的正方形，高为6cm．如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达B，那么所用细线最短需要 cm． 3．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程． 4．综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型 抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为米 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 5.【阅读理解】如图，将两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，再将这四个直角三角形无重叠无空隙地拼接在一起，就得到一个面积为的较大正方形．这个较大正方形的边长为_______． 【拓展应用】 （1）图是由个边长为的小正方形组成的图形，请你剪拼成一个大正方形（最多剪四次），并在的正方形网格中画出你剪拼成的图形，并适当的标记说明你是如何剪拼的； （2）如图，两个正方形纸片的面积分别为，，请用这两个小正方形拼剪构造一个大正方形（最多剪两次），请画出拼剪后的图形； 6．问题背景： 在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积． 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处，，，），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求面积的方法叫做构图法． (1)请你将的面积直接填写在横线上：______． (2)思维拓展：若三边的长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并求出它的面积． (3)探索创新：若三边的长分别为、、（，，且），求这个三角形的面积． (4)直接写出当x为何值时，函数有最小值，最小值是多少？ 8．【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，． 【深入探究】 （1）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度； 【问题解决】 （2）在演练中，墙边距地面的窗口有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的窗口去救援被困人员？ 9．周末，数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源． 测量数据 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．勘测组测量了相关数据，并画出如图的示意图，测得人放风筝的手与风筝的水平距离的长为15米，风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米． 数据处理组得到数据以后做了认真分析，请帮助他们完成以下任务： (1)根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； (2)如果风筝沿方向下降了12米，的长度保持不变，求要回收多少米的风筝线？ 10．项目式学习 项目主题：测量学校旗杆的高度 项目背景：国旗是国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大．同学们想知道学校旗杆的高度，但无法直接测量，学习了勾股定理后，“创新”小组在老师的指导下，利用所学知识展开了项目学习． 项目步骤： 测量工具 皮尺、旗杆顶端的绳子 模型抽象 测量方案及相关数据 ①如图，线段表示旗杆高度，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，小乐同学用皮尺测出的长为米； ②如图，小新同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时该同学直立于地面点处，小雷同学用皮尺测出的长为米； ③小新的身高为米． 问题解决：根据“创新”小组的测量方案及数据，要求出学校旗杆的高度，“智慧”小组想到了过点作于点，则米．请根据“智慧”小组的思路完成下列问题： (1)直接写出线段与之间的数量关系：___________； (2)求出学校旗杆的高度． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$