2.4用因式分解法求解一元二次方程（题型专练）数学北师大版九年级上册

2.4 用因式分解法求解一元二次方程 题型一 因式分解法解方程的选择 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列一元二次方程最适合用因式分解法求解的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）解方程最合适的方法是（   ） A．因式分解法 B．公式法 C．配方法 D．代入消元法 3．（24-25九年级上·四川广安·期末）下列方程中，不适合用因式分解法求解的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）下列方程中，不适合用因式分解法求解的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·山东淄博·期中）下列方程能用因式分解法解的有（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 因式分解法解一元二次方程 1．（2025九年级上·全国·专题练习）一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）一元二次方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 5．（24-25九年级下·全国·假期作业）用因式分解法解方程： (1) (2) 题型三 用指定方法解一元二次方程 1．（24-25八年级下·山东烟台·期中）按要求解下列关于的一元二次方程： (1)（公式法） (2)（因式分解法） 2．用指定方法解下列方程 (1)(用配方法)； (2)(用因式分解法)． 3．（2023春·九年级单元测试）按照指定方法解下列方程： (1) （用直接开平方法） (2) （用因式分解法） (3) （用配方法） (4)（用求根公式法） 4．（2023·全国·九年级专题练习）解方程： (1)．（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（因式分解法） (4)（公式法） 5．（2023春·海南省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）解方程： (1)（直接开平方法 ） (2)；(公式法) (3)；(因式分解法) (4) (配方法) 题型四 用适当方法解一元二次方程 1．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）用合适的方法解方程： (1)； (2)． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）用适当的方法解下列方程： (1)． (2)． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）选择适当的方法解方程： (1) (2) 4．（24-25八年级下·山东东营·期中）用适当的方法解下列一元二次方程 (1) (2) 5．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型一 因式分解与新定义问题 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）我们规定一种新运算“★”，其意义为．若，则x的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东淄博·期中）关于的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 3．（2025·广东广州·二模）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，，则方程的解为 ． 4．（2025·江苏苏州·一模）定义：若一元二次方程的两个实数根相差1，则称这样的方程为邻根方程．如方程的两根为，，所以是邻根方程．若关于的方程是邻根方程，则 ． 5．（2025九年级上·全国·专题练习）如果关于x的方程的两根满足（其中），那么称这个方程为“理想方程”． (1)求方程的根，判断此方程是否为“理想方程”，并说明理由． (2)若关于x的方程为“理想方程”，求k的取值范围． 题型二 用换元法解一元二次方程 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知方程 的解是 ， ， 则方程 的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）若，则的值为（　　） A．或1 B． C．1 D．3 3．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知x是实数，且满足，则的值为 ． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）【例】解方程． 解：设， 则原方程可化为， 解得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程：． 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，； 当时，即，； 原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程：． 将其变形为， ， ， ， ， 或， 原方程有三个根：，，． (1)仿照以上方法解方程： ①； ②； (2)已知：，且，求的值． 题型一 因式分解与三角形的综合 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若方程的两个根恰好是等腰的两条边长，则的周长为（   ）． A．10 B．14 C．10或14 D．8或10 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）分别以一元二次方程的两根为腰和底画一个等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是（    ） A．10 B．8 C．10或8 D．10或6 3．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）若的两边长是方程的两个根，则的斜边长为（　　） A．6 B．2或 C．6或 D．6或 4．（2024春•凉州区月考）已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程（x﹣6）（x﹣10）＝0的一个实数根，则该三角形的面积是（　　） A．24或 B．24 C． D．或24 5．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此一元二次方程一定有两个实数根； (2)设该一元二次方程的两根为a，b，且6，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4 用因式分解法求解一元二次方程 题型一 因式分解法解方程的选择 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列一元二次方程最适合用因式分解法求解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式，本题可对选项一一进行分析，然后选出最适合用因式分解法来解的选项． 【详解】解：A. ，即，适合配方法解一元二次方程，故该选项不符合题意； B. ，即，不适合因式分解法解一元二次方程，故该选项不符合题意； C. ，适合配方法解一元二次方程，故该选项不符合题意；     D. ，整理得，，移项以后可提取公因式，进行因式分解，故该选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）解方程最合适的方法是（   ） A．因式分解法 B．公式法 C．配方法 D．代入消元法 【答案】A 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法．把作为整体，利用因式分解法求解较为简单． 【详解】解：， 因式分解得， 解得或， 解此方程最合适的方法是因式分解法， 故选：A． 3．（24-25九年级上·四川广安·期末）下列方程中，不适合用因式分解法求解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握适合因式分解法解一元二次方程——把方程的右边化为0，左边能通过因式分解化为两个一次因式的积的形式的方程是解题的关键． 把各方程整理乘右边等于0的形式，即可求解． 【详解】解：A、整理得，，适合运用因式分解法求解，故本选项不符合题意； B、，不适合运用因式分解法求解，故本选项符合题意； C、整理得，，适合运用因式分解法求解，故本选项不符合题意； D、整理得，，适合运用因式分解法求解，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）下列方程中，不适合用因式分解法求解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把各方程整理乘右边等于0的形式，即可求解． 【详解】解：A、整理得：，适合运用因式分解法求解，故本选项不符合题意； B、整理得：，即，适合运用因式分解法求解，故本选项不符合题意； C、，不适合运用因式分解法求解，故本选项符合题意； D、整理得：，即，适合运用因式分解法求解，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握适合因式分解法解一元二次方程——把方程的右边化为0，左边能通过因式分解化为两个一次因式的积的形式的方程是解题的关键． 5．（23-24八年级下·山东淄博·期中）下列方程能用因式分解法解的有（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握分解因式的方法是正确判断的关键．根据分解因式法求解方程的方法逐一判断即得答案． 【详解】解：方程可变形为，故①能用分解因式法求解； 方程可变形为，故②能用分解因式法求解； 方程可变形为：，故③能用因式分解法求解； 方程可变形为，即，故④能用分解因式法求解． 综上，能用因式分解法求解的方程有4个， 故选：D． 题型二 因式分解法解一元二次方程 1．（2025九年级上·全国·专题练习）一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程．将原方程整理为标准二次方程形式，通过因式分解或求根公式求解． 【详解】解：， 整理得：， 移项得：， 提公因式得：， 即：， 解得：， 故选：C． 2．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）一元二次方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解法进行解一元二次方程，先通过移项并提取公因式，然后将方程转化为两个一次因式的乘积等于零的形式，进而求解根． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴或； 解得， 综上，方程的根为和， 故选：C． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键： （1）利用平方差公式法进行因式分解后，求解即可； （2）利用完全平方公式进行因式分解后，求解即可． 【详解】（1）解：原方程可化为． 因式分解，得， 即， 解得． （2）因式分解，得， 即， 解得． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2) 【点拨】（1）先移项，再提取公因式；（2）可以把看作一个整体，再因式分解． 【解】（1）移项，得， 即． 因式分解，得， 或， 解得，． （2）因式分解，得，， 解得． 5．（24-25九年级下·全国·假期作业）用因式分解法解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （1）先移项，然后提公因式即可解答本题； （2）方程变形后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， 解得，； （2）解：， ， ， ， 或， 解得，． 题型三 用指定方法解一元二次方程 1．（24-25八年级下·山东烟台·期中）按要求解下列关于的一元二次方程： (1)（公式法） (2)（因式分解法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据公式法解一元二次方程即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ∴，，， ∴， ∴， 解得： （2） 因式分解得 移项得， 提取公因式得， 即， 解得 2．用指定方法解下列方程 (1)(用配方法)； (2)(用因式分解法)． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握指定的解法是解题的关键． （1）按照配方法解一元二次方程的一般步骤求解即可； （2）按照因式求解法解一元二次方程的一般步骤求解即可． 【详解】（1）解：（1） ∵， ∴ ， ∴ ∴， ∴ ， ∴ ∴ ， ∴， 即； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴；． 3．（2023春·九年级单元测试）按照指定方法解下列方程： (1) （用直接开平方法） (2) （用因式分解法） (3) （用配方法） (4)（用求根公式法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】（1）把15移到右边，两边同时除以3，然后直接开平方求根； （2）用十字相乘法因式分解求出方程的根； （3）二次项系数是1，一次项系数是6，把7移到右边，用配方法解方程； （4）把右边的项移到左边，用求根公式求出方程的根． 【详解】（1）解：， ∴， 解得：，． （2）， ∴， ∴或， 解得：，． （3）， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：，． （4）， ∴， ∴， ∴， 解得：． 4．（2023·全国·九年级专题练习）解方程： (1)．（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（因式分解法） (4)（公式法） 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【分析】（1）利用直接开平方法解方程； （2）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （3）利用因式分解法解方程． （4）求出，根据公式即可求出答案； 【详解】（1）解：， 两边除以4得：， 两边开平方得：， ∴； （2）解：， ∴， ∴， 即， ∴ 所以； （3）解： ∴， ∴或， 所以． （4）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（2023春·海南省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）解方程： (1)（直接开平方法 ） (2)；(公式法) (3)；(因式分解法) (4) (配方法) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】(1)利用直接开平方法解此方程，即可求解； (2)利用公式法解此方程，即可求解； (3)利用因式分解法解此方程，即可求解； (4)利用配方法解此方程，即可求解． 【详解】（1）解：由原方程得：， 解得，， 所以，原方程的解为，； （2）解：在方程中，，，， ， 解得，， 所以，原方程的解为，； （3）解：由原方程得：， 解得，， 所以，原方程的解为，； （4）解：由原方程得：， 得， 得， 得 解得，， 所以，原方程的解为，． 题型四 用适当方法解一元二次方程 1．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）用合适的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用配方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： 移项，得， 配方，得， ． 方程两边同时开方，得 ， 则，或． ，； （2）解： ． ， ． ，或． ，． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）用适当的方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）移项，得：， 配方，得 ， 解得：． （2）方程整理，得， 即， 解得． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）选择适当的方法解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握常用的解方程的方法． （1）因式分解，转化，解一元一次方程即可； （2）整理，开平方，转化，解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， 于是得，或， ， （2）解： ∴， ∴，或， ∴，或， ∴，或， ∴，或， ∴， 4．（24-25八年级下·山东东营·期中）用适当的方法解下列一元二次方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握相关解法是解题的关键； （1）根据求根公式法即可求解； （2）根据因式分解法化为，再解两个一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴，. ∴， ∴， ∴，． （2）； ∴． ∴， 即， ∴，或． ∴，． 5．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）先移项，再用直接开平方法求解； （2）先化为一般式，再由因式分解法求解； （3）先移项，再由因式分解法求解； （4）先化为一般式，再由公式法求解； 【详解】（1）解： 或， 解得：； （2）解： ， ， 或 解得：; （3）解： 或， 解得： （4）解：， ， ， 解得：． 题型一 因式分解与新定义问题 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）我们规定一种新运算“★”，其意义为．若，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了定义新运算，解一元二次方程，根据新运算的法则，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意得 (x−2)★(1−x)=(x−2)2-(x−2)(1−x)=28 整理，得2x2-7x-22=0 （x+2）（2x-11）=0 x1=-2，x2= 故选：D ． 2．（24-25八年级下·山东淄博·期中）关于的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题的关键．利用因式分解法求出方程的解，即可得出结果． 【详解】解：， ， ∴； ∴方程有两个不相等的实数根； 故选D． 3．（2025·广东广州·二模）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，，则方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查新定义，解一元二次方程，根据新定义得：，，由可得到一元二次方程，求解即可．根据题意得到一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得：，， ∴方程的解为，． 故答案为：，． 4．（2025·江苏苏州·一模）定义：若一元二次方程的两个实数根相差1，则称这样的方程为邻根方程．如方程的两根为，，所以是邻根方程．若关于的方程是邻根方程，则 ． 【答案】1或3 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是求出的两个根，再根据邻根方程的定义列出方程，求出字母的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵关于的方程是邻根方程， ∴或， 解得，或3， 故答案为：1或3． 5．（2025九年级上·全国·专题练习）如果关于x的方程的两根满足（其中），那么称这个方程为“理想方程”． (1)求方程的根，判断此方程是否为“理想方程”，并说明理由． (2)若关于x的方程为“理想方程”，求k的取值范围． 【答案】(1)；此方程为“理想方程”，理由见解析 (2)或 【分析】本题为新定义题型，充分利用题目中理想方程的定义是解题的关键． （1）可先求得方程的两根，再根据理想方程的定义进行判断即可； （2）可用k表示出方程的两根，再根据理想方程的定义可得到关于k的不等式，结合方程有两个不相等的实数根，可求得k的取值范围． 【详解】（1）解：， ， 解得． 此方程为“理想方程”，理由如下： ， 两根满足， 此方程为“理想方程”． （2）解：方程可整理为 方程为“理想方程”， 方程有两个不相等的实数根， 且，即，解得且． ， ． 方程为“理想方程”， 或， 解得或． 题型二 用换元法解一元二次方程 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知方程 的解是 ， ， 则方程 的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，通过变量替换法，将新方程转化为已知解的方程形式，再解出对应的x值即可． 【详解】解：设，则原方程可转化为， ∵方程 的解是 ， ， ∴方程的解为，， 当时，，解得， 当时，，解得， 因此，方程的解为，， 故选：C． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）若，则的值为（　　） A．或1 B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是利用换元法与因式分解的方法解一元二次方程，非负数的性质，熟练的换元是解本题的关键． 设，而，可得，再解一元二次方程即可． 【详解】解：设， ∴ ∴， ∴， ∴或， 解得：，（不符合题意舍去）； ∴， 故选：C 3．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知x是实数，且满足，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了换元法解一元二次方程，先设，再把原方程变形为，再根据因式分解法求出的值，即可得出的值．在解题时要注意当时，此方程无解，解题的关键是利用换元法将原方程变形． 【详解】解：设， 则原方程可变形为： ， ， 或 解得，， 则，， 当时，，故该方程无实数根， 当时，，故该方程有两根实数根， 所以， 故答案为：3． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）【例】解方程． 解：设， 则原方程可化为， 解得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程方程的基本方法，是利用整体换元法解方程的关键． （1）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． （2）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可化为，解得． 当时，； 当时，，此方程无解． 综上所述，原方程的解为． （2）解：设，则原方程可化为， 解得． 当时，； 当时，． 综上所述，原方程的解为． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程：． 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，； 当时，即，； 原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程：． 将其变形为， ， ， ， ， 或， 原方程有三个根：，，． (1)仿照以上方法解方程： ①； ②； (2)已知：，且，求的值． 【答案】(1)①，；②原方程有三个根：，， (2) 【分析】本题考查根的判别式，解一元二次方程—配方法，换元法，因式分解法，解题的关键是学会模仿例题解决问题． （1）模仿例题解决问题即可； （2）求出的值，利用降次思想求解即可． 【详解】（1）解：①设，则原方程可变为，解得， 当时，即，∴无解（舍去） 当时，即，，． ②将其变形为： ， ， 或 原方程有三个根：，，． （2）， ，且 ， 原式． 题型一 因式分解与三角形的综合 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若方程的两个根恰好是等腰的两条边长，则的周长为（   ）． A．10 B．14 C．10或14 D．8或10 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系定理，解此方程得到得，，然后根据三角形三边的关系得到的腰为6，底边为2，再计算三角形的周长，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：， 解得，， 因为这个方程的两个根恰好是等腰的两条边长， ①当的腰为6，底边为2，则的周长为； ②当的腰为2，底边为6时，不能构成三角形． 综上所述，该三角形的周长的14． 故选：B． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）分别以一元二次方程的两根为腰和底画一个等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是（    ） A．10 B．8 C．10或8 D．10或6 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程，先解方程得到两根，再根据等腰三角形的性质和三角形三边关系确定各边长度，最后计算周长即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得 ，， ∵以一元二次方程的两根为腰和底画一个等腰三角形， 则：①若腰为2，底为4，则三边为2、2、4． 此时 ，不满足三角形三边关系（两边之和需大于第三边），舍去． ②若腰为4，底为2，则三边为4、4、2． 此时 ，，均满足三角形三边关系． ∴符合条件的三角形边长为4、4、2，周长为 ． 故选A 3．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）若的两边长是方程的两个根，则的斜边长为（　　） A．6 B．2或 C．6或 D．6或 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，勾股定理，分类讨论，掌握一元二次方程解法及勾股定理是解题的关键；先解方程得到两根，再分两种情况讨论斜边的可能长度． 【详解】解：解方程， 因式分解得 ， 解得 ，； 当6和4均为直角边时，斜边为 ； 当6为斜边，4为直角边时，另一条直角边为 ，此时斜边仍为6； 由于斜边必为最长边，4不可能是斜边， 因此，斜边可能为6或，对应选项C； 故选：C． 4．（2024春•凉州区月考）已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程（x﹣6）（x﹣10）＝0的一个实数根，则该三角形的面积是（　　） A．24或 B．24 C． D．或24 【答案】D． 【分析】先解方程得到x＝6或x＝10，当第三边长为10时，则可利用勾股定理的逆定理证明该三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为8和6，据此利用三角形面积公式求解即可；当第三边长为6时，如图所示，不妨设AB＝AC＝6，BC＝8，过点A作AD⊥BC于D，则，利用勾股定理求出AD的长，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【解答】解：解方程（x﹣6）（x﹣10）＝0得x＝6或x＝10， ∴该三角形的第三边的长为10或6， 当第三边长为10时， ∵62+82＝102， ∴该三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为8和6， ∴该三角形的面积为； 当第三边长为6时，如图所示，不妨设AB＝AC＝6，BC＝8， 过点A作AD⊥BC于D，则， ∴， ∴该三角形的面积为； 综上所述，该三角形的面积为或24， 故选：D． 【点评】此题考查的是解一元二次方程、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 5．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此一元二次方程一定有两个实数根； (2)设该一元二次方程的两根为a，b，且6，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)m的值为：或． 【分析】（1）利用根的判别式求出关于m的代数式，整理成非负数的形式即可判定； （2）把原方程因式分解，求出方程的两个根，分别探讨不同的数值为斜边，利用勾股定理解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）原方程可变为， 则方程的两根为，， ∴直角三角形三边为6，5，m； ∴， ①若m为直角三角形的斜边时，则：； ②若6为直角三角形的斜边时，则：． 综上：m的值为：或． 【点睛】此题考查利用根的判别式探讨根的情况，以及用因式分解法解一元二次方程，勾股定理等知识点；注意分类讨论思想的渗透． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$