2.4用因式分解法求解一元二次方程同步训练2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2.4 用因式分解法求解一元二次方程 同步训练 一、单选题 1．一元二次方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 2．已知一元二次方程的两根是，，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 3．方程的两根是菱形两条对角线的长度，则这个菱形的周长是（  ） A．40 B．30 C．28 D．20 4．已知代数式与的值互为相反数，则x的值是（    ） A．1或2 B．1或 C．或2 D．或 5．方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．下列各数中，方程的解是（   ） A． B．1， C．，2 D． 7．已知，则的值为（   ） A． B．5 C． D．2 二、填空题 8．已知方程的一个根为2，则 ． 9．请构造一个一元二次方程，使它的一个根为2，另一根比小，比大，则你构造的一元二次方程是 ． 10．若两个方程与有一个相同解，则 ． 11．我们称一元二次方程的两个根差的绝对值为两个根的距离，若关于x的方程的两根距离为3，则= 三、解答题 12．解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 13．下面分别是甲、乙两位同学板演的解题过程． 甲同学： 解：，，    第一步 ∴        第二步 ∴                第三步 ，                第四步 乙同学：     第一步     第二步         第三步 (1)甲同学解一元二次方程的方法是 ； (2)甲乙两名同学板演都出现了错误，分别写出他们从第几步开始出现错误； (3)从甲、乙两位同学中任选一个方程进行正确解答． 14． 在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，求方程的解． 15．定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的和谐点． (1)方程的和谐点的坐标为______； (2)若关于x的方程的和谐点在第一象限，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故选D． 2．B 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法求解方程是解题的关键． 根据因式分解法可直接进行求解． 【详解】解：A、由方程解得，，故不符合题意； B、由方程解得，，故符合题意； C、由方程解得，，故不符合题意； D、由方程解得，，故不符合题意； 故选：B． 3．D 【分析】本题考查了菱形的性质，运用因式分解法解方程，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运用因式分解法解方程，得，，再结合勾股定理算出菱形的边长，根据菱形的性质计算周长，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∴结合菱形的对角线互相平分，得， ∴结合菱形的对角线互相垂直，得菱形的边长， 则菱形的周长． 故选：D． 4．A 【分析】本题考查相反数的定义，解一元二次方程． 由相反数的定义，可得，解方程即可得的值． 【详解】解：∵代数式与的值互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴的值是或． 故选：A． 5．A 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 通过因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：∵可因式分解为， ∴或， ∴方程的解为，， 故选A． 6．C 【分析】本题考查了因式分解求解一元二次方程，准确的计算是解决本题的关键． 将方程移项化为标准二次方程，然后通过因式求解求解即可． 【详解】解： 解得或， 故选C． 7．B 【分析】本题考查了用整体思想及因式分解法解一元二次方程，要注意本身是非负数的特征．把看作一个整体，解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或（舍）， ∴． 故选：B． 8．3或 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，解一元二次方程． 将已知根代入方程，得到关于m的方程，解该二次方程即可． 【详解】将代入方程， 得： 因式分解得： 故或． 故答案为；3或． 9．（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，因式分解法解一元二次方程． 根据题意，另一个根需比小且比大，取另一个根为，满足条件，与已知根2共同构造一元二次方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为2，另一根比小，比大，不妨设另一个根为， ∴一元二次方程可写为， 展开得． 故答案为：（答案不唯一）． 10． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、解分式方程，先解一元二次方程，得到两个解为 或 ， 会使分式方程 的分母为零，所以共同解为 ，再排除使分式方程分母为零的解，确定共同解，最后代入分式方程求解． 【详解】解：解方程 ， 整理得： ， 解得： 或 ， 会使分式方程 的分母为零， 共同解为 ， 将 代入分式方程， 可得：， 即， 交叉相乘得： ， 即 ， 解得：， 经检验，当 时，分母均不为零，符合题意． 故答案为：． 11．或 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解绝对值方程． 由方程可得两根分别为和．根据两根距离为3，得 ，即．解此绝对值方程，得到或．代入所求表达式 ，即可求得值． 【详解】方程 的两根为，． 两根距离为． 即， 解得或， 所以或． ． 当时，； 当时，． 故答案为：或． 12．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据因式分解法可进行求解方程； （2）根据配方法可进行求解方程； （3）根据因式分解法可进行求解方程； （4）先化简，然后再根据因式分解法可进行求解． 【详解】（1）解： 或 ∴； （2）解： ∴； （3）解： 或 ∴； （4）解： 整理得： 解得：． 13．(1)公式法 (2)甲从第三步，乙从第一步 (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法和因式分解法是解答本题的关键． （1）根据甲同学的解题步骤分析即可； （2）根据甲同学和乙同学的解题步骤分析即可； （3）分别根据公式法和因式分解法的步骤求解即可． 【详解】（1）解：甲同学解一元二次方程的方法是公式法， 故答案为：公式法； （2）根据可知甲从第三步开始出现错误；根据可能等于0可知乙从第一步开始出现错误； （3）选择甲或乙： 甲同学： 解：，， ∴ ∴ ， 乙同学： 或 ， 14．或 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，根据新定义得到，，由得到，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 则， ∴， ∴，， ∴或． 15．(1)； (2)． 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，根据判别式判断一元二次方程根的情况，已知点所在的象限求参数． （1）用因式分解法解方程，结合一元二次方程的和谐点的定义，即可得点的坐标； （2）由，可得方程有两个不相等的实数根，用因式分解法解方程，结合一元二次方程的和谐点的定义，可得点的坐标为，由第一象限的点的坐标特征，即可得的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴方程的和谐点的坐标为 ． 故答案为： ． （2）解：由题意，得， ∴不论为何实数，该方程总有两个不相等的实数根． ∵， ∴， 解得，， ∵， ∴关于的方程的和谐点的坐标为． ∵点在第一象限， ∴， 解得． ∴的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $