精品解析：江西省上饶市2024-2025学年高一下学期期末教学质量测试数学试题

上饶市2024-2025学年下学期期末教学质量测试 高一数学试卷 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效. 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效. 4.本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角终边上一点P的坐标为，则的值是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据三角函数定义，，即可求解 【详解】由题意， 故选： 【点睛】本题考查三角函数定义，属于基本题. 2. 若，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的意义可得出复数在复平面内对应的点坐标. 【详解】由题意可知，复数在复平面内对应的点为，位于第三象限. 故选：C 3. 已知向量与的夹角为，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求，再根据模长的平方关系结合数量积的运算律运算求解. 【详解】因为向量与的夹角为，，，则， 可得，所以. 故选：D. 4. 设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于ABD：以正方体为载体，举反例说明即可；对于C：根据线面平行的判定定理分析判断. 【详解】对于选项ABD：在正方体中， 例如平面，平面，， 但平面平面，故A错误； 例如平面，平面，平面平面， 但直线与直线异面，故B错误； 例如平面，平面， 但直线与直线异面，故D错误； 对于选项C：根据线面平行的判定定理可知若，，，则，故C正确； 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式化为，再结合二倍角公式进一步化简求值即可. 【详解】因为，所以 . 故选：B 6. 已知平面上不共线的四点，，，，满足，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件求得，进一步得到，根据向量的线性运算得，进一步得到，求比值运算即可求解. 【详解】由，得，即， 所以，所以， 因为，所以， 所以. 故选：A 7. 如图，在山脚处测得山顶的仰角为，朝山顶沿坡度为的斜坡向上走到点处，此时测得山顶的仰角为，则山高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，再结合角的关系求得，最后在直角中求解即可. 【详解】因为，， 所以， 因为，，所以， 又，所以，所以， 在中，， 所以山高. 故选：A 8. 已知棱长为4的正方体，点是棱的中点，点是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，且平面，则的长度最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作出平面平面，即可得到点的轨迹为线段，然后利用等面积法即可求最小值. 【详解】取上靠近点的四等分点，连接、， 由是棱的中点，点是棱的中点，易得，则平面， 取、中点、，取上靠近点的四等分点，连接、、、， 由正方体的性质易得，，则， 又平面，平面，所以平面， 同理，平面， 又，，平面，故平面平面， 又平面，平面，故，即点的轨迹为线段， 设点到的距离为，有， 故，故的长度最小值为. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则化简，再结合共轭复数、模的概念判断AB；根据复数的乘法法则判断CD. 【详解】由题意得，， 则，其虚部为，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：BD 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 D. 若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由图象可得周期，再得到即可；对于B，代入，可得的解析式，代入验证即可判断B，对于C，由函数平移前后的解析式可判断；对于D，根据单调性，可确定的取值范围. 【详解】由图可知，，，，故A错误； 所以，又过点，， 所以，，即，，，， 故，，故B正确； 对于C，将函数的图象向右平移个单位得到： ，故C正确； 对于D，当时，，令，则，. 当时，在上单调递增，在上单调递减； 又，，. 因为的图象与有且只有一个实数根， 所以的取值范围是，故D错误. 故选：BC. 11. 已知的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则有两解 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，点O为的外心，满足，则的值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：利用正弦定理运算求解即可；对于B：利用余弦定理运算求解即可；对于C：举反例说明即可；对于D：利用数量积可得，结合正弦定理运算求解即可. 【详解】对于选项A：因为，，， 由正弦定理可得， 又因为，则，故有两角，故A正确； 对于选项B：因为， 由余弦定理角化边可得：， 整理可得，所以为等腰三角形，故B正确； 对于选项C：例如，则， 但为直角三角形，故C错误； 对于选项D：因为的外接圆圆心， 则， 同理可得，， 因为， 可得，则， 即， 由正弦定理可得，其中为外接圆半径，则， 可得，， 可得，即，故D正确； 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的弧长为6，半径为4，则扇形的面积为__________. 【答案】12 【解析】 【分析】由扇形的面积公式直接可求 【详解】根据题意扇形的面积. 故答案为：12. 13. 如图，和是异面直线，，，分别为线段，上的点，且，，则与所成角的余弦值为______. 【答案】##0.625 【解析】 【分析】过作，交于点，连接，利用比例性质得，则（或其补角）即为与所成角，利用余弦定理得，即可得解. 【详解】在平面中，过作，交于点，连接，如图， ，，又，，则， （或其补角）即为与所成角， 在中，，，， ，与所成角的余弦值为. 故答案为： 14. 已知中，，，的最小值为，若为边上任意一点，为边的中点，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】延长，使得，设，可知，，三点共线，则时为最小值，然后求得即可确定最小值. 【详解】延长，使得， 令， 所以，，三点共线，即时为最小值， 在中，，得， 又因为，所以是等边三角形，所以， 在中，，取中点为，，， 所以，， 所以. 即求的最小值，当时，有最小值， 在中，，， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）若，求的值； （2）若且，求在方向上的投影数量. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直得到方程，求出或； （2），根据向量模长得到方程，求出，利用投影向量的公式得到答案. 【小问1详解】 因为，， 由于，所以， 所以或. 【小问2详解】 因为，，则， 若且，则，解得， 则，，可得， 所以在方向上的投影数量. 16. （1）已知，求的值. （2）已知，求. 【答案】（1）；（2）5 【解析】 【分析】（1）方法一：利用诱导公式和化简原式得，然后分子分母同除后代入计算即可； 方法二：利用诱导公式和化简原式得，然后分子分母同除后代入计算即可； （2）将变为，然后利用两角和差的余弦公式得，化弦为切即可求解. 【详解】（1）方法一：由，，得 原式； 方法二：原式； （2）因为 ， 所以， 所以. 17. 如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于. （1）求证：平面； （2）求证：. 【答案】（1）证明：法一：取中点，连接，，， 易知为中位线，故，且， 因为四边形是平行四边形，所以，， 故，又因为是的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 法二：连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为为中点，所以为的中位线， 所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为是的中点，所以为的中位线， 所以，又因为平面，平面， 所以平面，又因为， 平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）证明：连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以为的中位线， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以. 【解析】 【分析】（1）方法一：构造平行四边形，证得，再根据线面平行的判定定理证明即可；方法二：构造三角形的中位线，证得平面平面，根据平面，即可证明； （2）先通过三角形中位线证得平面，再根据线面平行的性质定理证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知函数. （1）求的单调增区间； （2）若关于的方程在区间内有两个不同的解，. （i）求实数的取值范围； （ii）求（用表示）. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简函数，然后利用正弦函数的单调性求解单调递增区间. （2）（i）由题意结合辅助角公式得，其中，，利用正弦函数的值域求得，解不等式即可. （ii）当时，利用正弦函数的对称性得，进而，利用二倍角的余弦公式即可求解；当时，利用正弦函数的对称性得，进而，利用二倍角的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 ， 由得， 所以增区间为； 【小问2详解】 （i）由得， 即，其中，. 所以要保证在区间内有两个不同的解，则，解得. 故实数的取值范围为. （ii）当时，，即； 此时， 而，所以， 当时，，即； 此时， 而，所以； 综上，. 19. 在中，角，，对应的边分别为，，若，，是内任一点，过点作，，的垂线，垂足分别为，，. （1）求角； （2）若为边中点，求的最大值； （3）柯西不等式是以数学家柯西的名字命名.请借助于三维分式型柯西不等式：对任意，，，有：，当且仅当时等号成立.求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合已知利用正弦定理得，利用两角和的正弦公式化简得，化简得，根据角的范围求解即可. （2）利用余弦定理及基本不等式得，由三角形的中线向量形式得，进而利用数量积的运算律及基本不等式求得的最大值. （3）利用面积分割得，利用三维分式型柯西不等式得，结合得，令，则，利用二次函数性质及不等式的性质求解即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 整理可得， 且，则，可得， 且，所以. 【小问2详解】 在中，，由（1）知. 由余弦定理，即， 所以，当且仅当时取等号，所以， 因为为边中点，所以， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 【小问3详解】 ， 又，，， 因为， 所以， 由三维分式型柯西不等式有： ， 当且仅当，即时等号成立. 由余弦定理，得：， 所以，即， 则， 令，则， 因为，解得， 当且仅当时等号成立，所以，则， 令， 则当，即时，有最大值， 则有最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上饶市2024-2025学年下学期期末教学质量测试 高一数学试卷 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效. 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效. 4.本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角终边上一点P的坐标为，则的值是 A. B. C. D. 2. 若，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量与的夹角为，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面上不共线的四点，，，，满足，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在山脚处测得山顶的仰角为，朝山顶沿坡度为的斜坡向上走到点处，此时测得山顶的仰角为，则山高为（ ） A. B. C. D. 8. 已知棱长为4的正方体，点是棱的中点，点是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，且平面，则的长度最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 D. 若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是 11. 已知的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则有两解 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，点O为的外心，满足，则的值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的弧长为6，半径为4，则扇形的面积为__________. 13. 如图，和是异面直线，，，分别为线段，上的点，且，，则与所成角的余弦值为______. 14. 已知中，，，的最小值为，若为边上任意一点，为边的中点，则的最小值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）若，求的值； （2）若且，求在方向上的投影数量. 16. （1）已知，求的值. （2）已知，求. 17. 如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于. （1）求证：平面； （2）求证：. 18. 已知函数. （1）求的单调增区间； （2）若关于的方程在区间内有两个不同的解，. （i）求实数的取值范围； （ii）求（用表示）. 19. 在中，角，，对应的边分别为，，若，，是内任一点，过点作，，的垂线，垂足分别为，，. （1）求角； （2）若为边中点，求的最大值； （3）柯西不等式是以数学家柯西的名字命名.请借助于三维分式型柯西不等式：对任意，，，有：，当且仅当时等号成立.求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $