1.3 平行线导学案2024-2025学年浙教版七年级数学下册

本文围绕“平行线”展开，涵盖定义、画法、平行公理及推论等核心知识点。承接几何图形认知基础，为后续复杂几何学习奠基。通过概念讲解、例题分析、动手操作等环节，培养学生几何直观、推理能力等核心素养，引导学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达。 本设计创新点在于以易错点为突破口强化理解，采用讲练结合教法。从学生层面看，能提升其对知识的辨析能力；从教师角度，提供了清晰授课思路；从课堂效果而言，有效突破教学难点。

1.3 平行线导学案 一、学习目标（简写版） 1. 理解平行线的定义，能准确识别平行线，掌握平行线的表示方法。 1. 熟练运用直尺和三角板完成平行线的画法，理解画平行线的原理。 1. 掌握平行公理及其推论，能运用相关知识进行简单的推理和判断。 二、学习重难点 （一）学习重点 1. 平行线的定义、表示方法及基本特征。 1. 平行线的画法步骤与操作要点。 1. 平行公理及其推论的内容与应用。 （二）学习难点 1. 在复杂图形中准确识别平行线，理解平行线定义中 “在同一平面内” 的条件。 1. 掌握利用直尺和三角板画平行线时的操作技巧与原理。 1. 运用平行公理及其推论进行逻辑推理和实际问题的解决。 三、知识点自主预习填空 1. 在______内，不相交的两条直线叫做平行线。直线 a 与直线 b 平行，记作______。 1. 画已知直线的平行线，一般使用______和______，其基本步骤是 “一贴、二靠、三移、四画”，“一贴” 是将三角板的一边______已知直线，“二靠” 是用直尺______三角板的另一边，“三移” 是沿直尺移动三角板，使三角板原来与已知直线重合的边经过______，“四画” 是沿三角板经过已知点的边______。 1. 经过直线外一点，______一条直线与这条直线平行，这就是平行公理。 1. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线______，用符号语言表示为：如果 b∥a，c∥a，那么______。 1. 在同一平面内，与已知直线平行的直线有______条，过直线外一点与已知直线平行的直线有______条。 四、知识点讲解 （一）平行线的定义及表示方法 1. 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。这里强调 “在同一平面内” 是因为在空间中，存在不相交但也不平行的直线；“不相交” 是平行线的核心特征，两条直线只有在同一平面且没有交点时，才是平行线 。 1. 表示方法：直线 a 与直线 b 平行，记作 a∥b，“∥” 是平行符号，读作 “平行于”。例如，在四边形 ABCD 中，若 AB 与 CD 平行，可表示为 AB∥CD。 1. 常考易错点 0. 忽略 “在同一平面内” 这个前提条件，在空间图形中错误判断两条不相交直线为平行线。 0. 对平行线的概念理解不透彻，认为只要两条直线看起来不相交就是平行线，没有考虑到直线可以无限延伸。 经典例题 1：下列说法正确的是（ ） A. 不相交的两条直线是平行线 B. 在同一平面内，两条不相交的线段是平行线 C. 在同一平面内，不相交的两条射线是平行线 D. 在同一平面内，不相交的两条直线是平行线 0. 解析：选项 A 没有强调 “在同一平面内”，空间中不相交的两条直线不一定平行，所以 A 错误；选项 B 中线段有长度，即使所在直线不相交，线段本身不相交也不能说它们是平行线，所以 B 错误；选项 C 中射线有方向和端点，即使所在直线不相交，射线本身不相交也不能判定为平行线，所以 C 错误；选项 D 符合平行线在同一平面内且不相交的定义，所以 D 正确。 0. 答案：D （二）平行线的画法 1. 工具与步骤： 0. 工具：通常使用直尺和三角板来画平行线。 0. 步骤： 6. “一贴”：将三角板的一边紧贴已知直线，确保三角板与直线紧密贴合，这是保证画出平行线的基础。 6. “二靠”：用直尺靠紧三角板的另一边，直尺起到固定和引导三角板移动方向的作用。 6. “三移”：沿直尺移动三角板，使三角板原来与已知直线重合的边经过已知点，移动过程中要保持直尺和三角板的相对位置不变。 6. “四画”：沿三角板经过已知点的边画直线，这条直线就是已知直线的平行线。 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 6. 18. 原理：利用三角板平移过程中，同位角始终相等的性质，从而保证画出的直线与已知直线平行。 19. 常考易错点 0. 画平行线时，三角板移动过程中没有始终紧靠直尺，导致画出的直线与已知直线不平行。 0. “一贴” 时没有将三角板的边与已知直线完全重合，影响后续操作和结果。 经典例题 2：过点 P 画直线 AB 的平行线。 0. 解析： 9. 一贴：把三角板的一边贴在直线 AB 上。 9. 二靠：用直尺靠紧三角板的另一边。 9. 三移：沿直尺移动三角板，使三角板原来贴在直线 AB 上的边经过点 P。 9. 四画：沿三角板经过点 P 的边画直线 CD，则 CD∥AB（图略）。 0. 答案：成功画出过点 P 且平行于直线 AB 的直线 CD。 （三）平行公理 1. 平行公理内容：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。“有” 表示存在性，即一定能找到一条直线与已知直线平行；“只有” 表示唯一性，强调经过该点的平行线是唯一的 。 1. 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。用符号语言表示为：如果 b∥a，c∥a，那么 b∥c。该推论是平行公理的延伸，在证明多条直线平行关系时经常用到。 1. 常考易错点 0. 对 “有且只有” 理解不到位，在画图或推理时出现多条直线或找不到平行线的错误情况。 0. 运用推论时，忽略 “都与第三条直线平行” 这个前提条件，错误得出两条直线平行的结论。 1. 经典例题 3：已知直线 a∥b，直线 c 与直线 a 平行，那么直线 c 与直线 b 有什么位置关系？并说明理由。 0. 解析：因为直线 a∥b，直线 c∥a，根据平行公理的推论 “如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，所以直线 c 与直线 b 平行，即 c∥b。 0. 答案：直线 c 与直线 b 平行，理由是平行公理的推论。 五、效果检测 1. 不相交的两条直线一定是平行线。（ ） 1. 过一点有无数条直线与已知直线平行。（ ） 1. 用直尺和三角板画平行线时，三角板不需要紧靠直尺移动。（ ） 1. 如果直线 a 与直线 b 平行，直线 b 与直线 c 相交，那么直线 a 与直线 c 相交。（ ） 1. 在同一平面内，两条直线不相交就平行。（ ） 六、归纳总结 1. 平行线定义：同一平面内不相交的两条直线，注意 “同一平面内” 的条件，掌握表示方法。 1. 平行线画法：熟练使用直尺和三角板，牢记 “一贴、二靠、三移、四画” 步骤，理解同位角相等保证平行的原理。 1. 平行公理及推论：明确经过直线外一点平行线的存在性和唯一性，能运用推论判断多条直线的平行关系。 七、课后作业 1．给出下列说法：（1）过平面内一点有且只有一条直线与已知直线平行；（2）相等的两个角是对顶角；（3）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；（4）不相交的两条直线叫做平行线；（5）垂直于同一条直线的两条直线平行．其中说法错误的是（    ） A．②③④⑤ B．①②④ C．①②③ D．①②③④⑤ 2．下列说法中，正确的有（　　） ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行． ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． ④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 3．如图，过点P作直线的平行线，可作的平行线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 4．按下列要求画图，只能画出一条直线的是（ ） A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 5．下列说法中正确的是（　　） A．连接两点之间的线段叫做两点间的距离 B．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．若三点在同一直线上，且，则点是线段的中点 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 6．已知直线m、n，下列图形中属于两直线平行的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．平面上有2025条直线，若，，，，，，…，那么和的位置关系是 ． 8．如图，，所以O、M、N三点共线，理由是 ． 9．如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是 . 三、解答题 10．已知的正方形网格（每个小正方形的边长均为1），每两条线的交点称为格点，经过格点A、O、B，格点P为上一点． (1)不用量角器与三角尺，仅用直尺，过点P画的垂线，交于点C，过点P画的平行线； (2)若，请直接写出线段，，的大小关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 八、答案 （一）自主预习填空答案 1. 同一平面；a∥b 1. 直尺；三角板；紧贴；靠紧；已知点；画直线 1. 有且只有 1. 互相平行；b∥c 1. 无数；一 （二）效果检测答案及解析 1. ×。缺少 “在同一平面内” 的条件，空间中不相交的两条直线不一定平行，所以该说法错误。 1. ×。应该是经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，若点在直线上，无法画出与该直线平行的直线，所以该说法错误。 1. ×。用直尺和三角板画平行线时，三角板必须紧靠直尺移动，才能保证画出的直线与已知直线平行，所以该说法错误。 1. √。因为 a∥b，若 a 与 c 平行，根据平行公理推论，b 也应与 c 平行，而 b 与 c 相交，所以 a 与 c 相交，该说法正确。 1. √。在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，所以不相交就平行，该说法正确。 （三）课后作业答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B A D D B 1．D 【分析】本题主要考查了相交线与平行线的一些基本概念，解题时注意：对顶角是相对于两个角而言，是指两个角的一种位置关系；点到直线的距离只能量出或求出，而不能说画出；平行公理中要准确理解“有且只有”的含义． 根据平行线的定义、平行公理、对顶角的概念以及点到直线的距离的概念进行判断即可． 【详解】（1）平行公理指出“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，若点在直线上，则无法作平行线，故原说法错误； （2）相等的角不一定是对顶角，如平行线中的同位角或等腰三角形的底角，故原说法错误； （3）点到直线的距离是垂线段的“长度”，而非垂线段本身，故原说法错误； （4）平行线需满足“同一平面内不相交”，否则可能是异面直线，故原说法错误； （5）垂直于同一直线的两条直线需在“同一平面内”才平行，否则可能异面，故原说法错误． 综上，所有说法均错误， 故选D． 2．B 【分析】本题需根据平行公理、垂直性质及点到直线的距离定义，对四个说法逐一判断．分别分析每个说法是否符合相应的数学定义与性质．本题主要考查了平行公理、垂线性质以及点到直线的距离的定义，熟练掌握这些数学定义和性质是解题的关键． 【详解】解：①错误．垂直于同一条直线的两条直线必须在同一平面内才互相平行，原说法缺少前提条件． ②正确．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线性质． ③正确．经过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行，符合平行公理． ④错误．点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身． 综上，正确的说法为②③， 故选B． 3．A 【分析】本题主要考查了平行公理，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行求解即可． 【详解】解，∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴过点P作直线的平行线，可作的平行线有1条， 故选：A 4．D 【分析】本题考查平行公理和垂直，根据“在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”和“过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行”即可解答． 【详解】在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直，故①只能画出一条直线； 在同一平面内，过直线外一点能作无数条直线与已知直线相交，故②能画出无数条直线； 在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，故③只能画出一条直线； 故选：D． 5．D 【分析】本题考查平行公理，两点间的距离，垂线，由两点间的距离的定义，平行公理，线段中点的定义，垂线的性质，即可判断． 【详解】解：A、连接两点之间的线段的长叫做两点间的距离，故A不符合题意； B、在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故B不符合题意； C、如果C在线段外，则C不是线段的中点，故C不符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确，故D符合题意． 故选：D． 6．B 【分析】本题主要考查了相交线和平行线．观察图形，根据平行线和相交线的定义对各个选项进行判断即可． 【详解】解：观察图形可知：选项A C D中，直线m和n相交； 只有B选项中，直线m和n互相平行， 故选：B． 7．平行 【分析】本题考查了平行线的判定．根据题意推导出一般性规律是解题的关键．根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵若，，，，，，…， ∴，，……， ∴可推导一般性规律，4条直线的位置关系为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：平行． 8．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】本题考查了过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，理解题意是解题关键． 根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行即可得． 【详解】解：∵， ∴， 则点三点共线，理由是过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 9．过直线外点有且只有条直线与这条直线平行 【分析】本题考查的是平行公理．根据平行公理可得． 【详解】解：∵，，且、经过点C， ∴过外一点C的直线和都平行于直线， ∵经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行， ∴点M，C，N在一条直线上， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 10．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图—基本作图，垂线段最短，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据垂线和平行线的定义画出图形即可； （2）根据垂线段最短即可得解答案． 【详解】（1）解：如图所示，，即为所求； （2）解：由垂线段最短得，． $$